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第一章 函数 极限 连续一、函数 1、求函数值 方法 将给定的自变量值代入函数解析式。（1）初等函数的函数值 例1 设函数 ，求 。解 因为 。（2）分段函数的函数值 方法分段函数求函数值 时，首先确定 属于函数表达式中自变量哪一段变化范围，然后再将 代入该段相应的表达式中。例2 设函数 ，求 。解 因为 。（3）隐函数的函数值方法将自变量值代入确定隐函数的方程,解得 就是所求的函数值。例3 设方程 确定函数 ，求 。解 将 代入方程式，解得 即为所求。2、求初等函数的定义域思路利用基本初等函数的定义域和以下原则：两个函数之和（差）的定义域是各自定义域的交集。例4 求以下函数的定义域。 。解 （1）由不等式组 得解集 ，就是所求定义域。（2） 。说明 题（2）中不等式 如果化为 ，将增加解题的难度。例5 函数 的定义域是（ ）。分析 本题可以采用单项选择题的“特例排除法”求解。注意4个备选答案的区别仅在于区间的端点，因此只需检查-1和1是否在函数的定义域内。解 使得表达式中分母为零， 使得表达式中对数的真数为零，可见这两点都不在函数的定义域内排除（b）,（c）,（d），选择（a）。例6 设函数 的定义域是-4，4，求函数 的定义域。分析 本题其实就是求不等式组 的解集。解 。例7 设函数 的定义域是（0，3），求函数 的定义域。分析 参看例6，只需求 各自定义域的交集。解 由不等式组 得解集（1，2），即为所求。3、判断函数的相同思路两函数相同的充要条件是它们的定义域相同，且对应法则也相同（即对于定义域中的每个自变量值，按照两个对应法则所得到的因变量值都相同）。两函数不相同的充要条件是它们的定义域不同，或值域不同，或对应法则不同。例8 以下函数中与函数 相同的函数是 。解 只有(3)。注意(2)、(4)和(5)的定义域都不是全体实数与 的定义域不同；(1)和(6)的值域都不是全体实数与 的值域不同。4、判断函数的奇偶性 方法（1）用定义：，则 是偶函数； ，则 是奇函数。（2）用函数图像的对称性：奇（偶）函数的图像关于原点（y轴）对称。（3）利用基本初2页空白没用的，请掠过阅读吧哈,这2页空白没用的，请掠过阅读吧哈,请掠过阅读吧，哈哈哈守住底线，决不动摇事先决定好的“回落目标”进行谈判之前，一定要确定好自己的底线，亦即“回落目标”。尤其是要定好自己所能够接受的最低限度的条件或最低价钱。如若不然，当谈判结束后，回首一看，就会后悔：我怎么会同意这样的协议?再加把劲就好了!然而，在进行国际贸易时，许多的日本企业都是在没有事先决定自己的“回落目标”的情况下进行谈判的。面对对手的不依不饶，他们逐渐厌倦这种谈判的过程。随着时间的流逝，这种感觉愈发强烈。最后就会有这样的想法：“即使有些吃亏，只要能够达成协议就好。赶快结束这种不愉快的谈判吧!”“赶快离开会议室，去吃些好吃的吧!”作为一名律师，当对手提出不合理的要求时，即使到了深夜，我也会同他们周旋到底的。然而，我的委托人却已经疲惫不堪了。他会对我说“大桥先生，你也不用太勉强了。实在没有办法的话，就同意他们的要求吧!”诸如此类的话。在这种时候，我也只好向他们进行确认：“从今天早上开始，我们已经作出了很大的让步。继续让步的话，可能会后悔的。即使吃亏，你也要接受对方的要求吗?这样做真的可以吗?”下面，我讲述一个我经历过的在纽约发生的案例。这是关于进出口许可证的一次谈判。当时的委托人是一位颇具才能的服装店老板a先生。他购买下了美国的服装品牌许可，已经把品牌服装推广到整个日本市场。他的下一步打算是拓展美国市场。对于他的计划，我也想提供一些帮助。如果抛开生意，a先生绝对是位不错的人，与身边的人都能够很好地相处，也很值得大家信赖。但是，也正因为这样，当他面临紧张的气氛，要同谈判对手针锋相对、讨价还价时，才会感到莫大的痛苦。我们这次谈判的最大分歧在于：许可证的费率问题。在进行谈判之前，a先生拜托我说：“许可证费率应该在销售额的3%左右。如果超过3%，就不合算了。请守住这一底线进行谈判。”然而，到了中午时分，a先生已经疲惫不堪了，也许是因为时差没有调整好的原因吧。在休息时，a先生对我说：“好累呀。我已经有一种完全接受对手要求的冲动了。”时间缓慢地流逝，已是傍晚时分。对方律师由于厌倦了与我的谈判，就同a先生进行了直接对话。也许是a先生已经忍受不了这种压力和紧张气氛，他就对我说：“关于费率的问题，我们可以再做些让步。”“即使是支付5%的费用，也可以接受对方的要求。”“不管怎样，今天一定要达成协议。”“a先生，真的要这样做吗?今天早上您不是还说过不能支付超过销售额的3%吗?”“不是呀。早上还没有正式作出决定”既然我的委托人都已经这么交代了，我也不便过分地坚持什么。空白没用的，请掠过阅读吧哈这1页空白没用的，请掠过阅读吧哈空白没用的，请掠过阅读吧，这1页空白没用的，请掠过阅读吧，我有一位朋友a先生，他对纽约的住宅进行装修时，发生过一件事情。他想把自己的地板和厨房进行翻新，预算是6万美元。因此，a先生就告诉工程队：“预算为6万美元。”但是，听到a先生的交代后，工程队的负责人就估计：“a先生最终可能会支出8万美元吧!”于是，在工程进展过程中，他不断劝说道：“修缮一下屋顶吧。”“墙壁如不使用隔热材料是不行的。”等等。他还称如果不进行这些工程，对房屋可能会造成很大的损伤，房屋的性能也会下降。a先生曾经说过：“预算是6万美元。我的支出不会超过这一数字的。”但是，工程负责人却不断地劝告他“房屋的价值会下降”。结果，最后不得不追加新的工程，其费用也达到了8万美元。a先生非常为难。当然，a先生只有让他们完成这些8万美元的工程。但是，家中的经济状况就有些紧张了。a先生最初的支出打算只是6万美元。a先生要花费2万美元进行屋顶的修缮以及在墙壁中加入隔热材料。如果一开始a先生知道这些的话，恐怕他会降低厨房的翻新标准，或者推迟部分工程。这样，就可以保证“支出不超过6万美元”了。但是，正是因为拥有最终决定权的a先生直接同工程负责人进行了交谈，所以才会造成这样的窘境。那么，一开始a先生到底该怎么办呢?他可以让他的夫人去传话，告诉工程的负责人自己的预算。这样一来，情况又会怎样呢?“我没有从支出6万美元增加到支出8万美元的决定权。都是我丈夫说了算的。不过，我丈夫说过不能超过6万美元的。你们想办法在6万美元以内完成工程吧。”对没有决定权的夫人劝说什么，都是徒劳。工程队自然会放弃增加费用，想办法在6万美元以内完成工程。说不定不仅能够完成厨房的翻新，还能够修缮屋顶、在墙中加入隔热材料呢!正如这样，拥有决定权的人不露面，而让没有决定权的人前去谈判，有时候也是非常有效的。9直接挑战身负全责的“重量级人物”空白没用的，请掠过阅读吧哈这1页空白没用的，请掠过阅读吧哈空白没用的，请掠过阅读吧，这1页空白没用的，请掠过阅读吧，我曾经与距离位于曼哈顿的事务所最近的一个停车场的经理进行过一次交涉。当时，我租用了一个停车场，不过与该停车场的单月租用合同已经到期，于是，我需要寻找一个新的停车空间。某一天吃过午饭后，我又来到那家停车场，并向收银台的经理询问停车费的情况。“今天，如果你签下从下月一号开始生效的单月合同，只需要支付330美元。不过，仅限今天哟。”我想“他应该是在故弄玄虚吧”，于是我要求“300美元”。但是，对方不答应。于是，我决定前往附近的另一家停车场去看一下。就是该停车场的正对面的一家。我询问价格，得到的答复是“每月320美元”。但是，该停车场的构造很差，车辆出入可能要花费很多时间，我并不想租用那里。第二天，我又前往了最近的那家停车场，坐在收银台的还是那位经理。我询问单月租金，他仍然说道：“每月330美元。”果然，他昨天说的“330美元只限今天”是个谎言。于是，我说道：“对面的停车场只收320美元。能不能比他们便宜一点?”其实，我也是实话实说而已。想不到，对方却爽快地答应：“是吗?那么就收300美元吧。”一下子就让价30美元。这样，我当然非常满意。不过，我又进行了进一步的确认，直到觉得已经不可能再低了，才决定和他签下这份单月300美元的合同。谈判时，要手握多种选择。等函数的已知奇偶性和以下结论：两个奇（偶）函数的和还是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数；两个奇函数的复合函数是奇函数；一个奇函数与一个偶函数的复合函数或两个偶函数的复合函数是偶函数。注意（1）常数函数 是唯一的既是奇函数又是偶函数的函数（2）奇函数与偶函数之和如果不恒等于零，则它既非奇函数又非偶函数（3）定义域不是关于原点对称的区间的函数，一定既非奇函数又非偶函数。例9 判断以下函数的奇偶性。 。解(1)两个奇函数之积，是偶函数。(2)奇函数与偶函数之和，非奇非偶函数。(3)定义域 不关于原点对称，非奇非偶。(4) ；但是：奇函数。5、判断函数的周期性，求周期函数的周期 方法（1）用定义：若存在非零实数 使得 ，则 是以 为周期的周期函数；（2）求三角函数的周期时，可将其化为形如 的函数，其周期分别是 , , 。注意 通常所说的周期是指最小正周期。例10 函数 的最小正周期是（ ）。 解 因 ，而 的周期是 ，则 周期是 。选（ ）。说明 常数函数 以任何非零实数为周期。例11 以下函数中哪些是周期函数？并写出其最小正周期。解 （1）不是周期函数；（2）借助于函数的图像，可知周期是 ；（3）将表达式化为，易知周期为 。例12 关于函数 有以下4个命题：它是单调函数；它是奇函数；它是周期函数；它是有界函数。其中真命题是 。 解 应填和。6、函数的复合例13 设 ，求 解 7、已知复合函数 的表达式和 的表达式，求 的表达式 方法（1）先作变量代换 ，求出 的表达式。（2）将 写成 的函数，再作变量代换 。例14 已知 ，求 。解1 令 ，则 ；代入题设函数式： ，则 。解2 ，即 。例15 已知 ，求 。解 。（二）极限1、极限的定义与性质例1 数列 的极限（ ）。 （a）等于0 （b）等于1 （c）等于0或1 （d）不存在分析 一个数列如果有两个子数列趋于不同的极限，该数列极限一定不存在。 解 选（d）。例2 （1）如果数列 收敛、 发散，则 一定发散吗？ 也一定发散吗？（2）如果数列 、 都发散，则 也发散吗？解（1） 必发散，否则由极限运算法则， 存在。矛盾。但是 不一定发散：当 收敛但极限不是零时，仿（1）可证明 一定发散；但是当 收敛于零时， 有可能收敛，如 ，也有可能发散，如 。（2） 不一定发散。例如 都发散，但是 收敛。2、求数列的极限（1）如果数列的通项公式能够写出，则得出通项公式再求极限。例3 求以下极限。 ;。解（1）则原式。（2）由等差数列求和公式： ，原式 。（3）原式 。其中用到等比数列求和公式。（2）利用极限存在的夹逼准则思路将数列分别适当放大和缩小到容易求出极限且极限相等的两个数列。例4 求极限 。分析：本例的数列中 不能表示为初等函数当自变量取自然数的特例，因此不能用洛必达法则。考虑用夹逼准则计算，就是将数列适当地放缩成两个容易求出极限的数列。解 注意 ，而 。由夹逼准则 （3）利用初等函数的极限思路如果数列可以表示为 ，其中 是实变量函数，且 （或 ）， （或 ），则 。参看例7（2），例8（1）。3、初等函数的极限（1）利用初等函数的连续性 方法设 在 连续，则 。例如 等。（2）利用无穷小与无穷大的倒数关系例5 求极限 分析 当 时， ；另一方面函数 当 时，极限分别存在但不相等。因此本题要分别计算左、右极限。解： ，可见极限 不存在。（3）运用极限的四则运算法则例6 求极限。 。分析 这两个极限的共同特点是当 时分式的分子、分母同时趋于零，原因是分子、分母中都含有零因式 ，因此只需将这个公因式分离出来并且约分即可。解（1）原式 。（2）将分子有理化，则原式 。说明 分子分母同时趋于零的极限属于 型未定式，也可以用洛必达法则求解。例7 求极限。 。分析 题（1）的特点是分式的分子、分母同时趋于无穷大。这类极限的一般形式是，可以用所谓“无穷小量析出法”求解，即用分子、分母中最高次幂 同时去除所有的项。结果有3种可能：（1） 时，原式 ；（2） 时，原式 ；（3） 时，原式 。解（1）用 遍除分子、分母各项，或直接用上述结论（2）：原式=3/2。说明 题（1）属于 型未定式，也可以用洛必达法则求解。（2）用 遍除分式的每一项，原式 。说明 题（2）也可以用 去除分子和分母的各项。例8 求极限。 。分析 可以将 视为 的 次幂。因此题（1）可将分子、分母同除以 ；题（2）在有理化之后同除以 。解（1）原式 。（2）原式 。例9 求极限 。分析 这是所谓 型未定式，需要将“差”化为“商”再求解通分即可。解 原式 。例10 已知 ，求 的值。解 由题设， 。参看例7的分析可知，必有 。（4）利用“有界变量与无穷小的乘积是无穷小”例11 以下极限计算错误的是（ ）。分析 (a)、(b)、(d)题都是有界变量与无穷小的乘积，结果应是0。(c)题经变量代换 化为 ，正是重要极限，等于1。 解 选（a）。（5）利用两个重要极限 依据 例12 求极限 。解 原式 ，其中用到重要极限和有界量与无穷小的乘积。例13 求下列极限。 .解（1）原式 .说明 一般地，有 .此外，注意极限（ 是常数）。（2）原式 .（3）原式 .说明 两个重要极限分别属于 和 型未定式，也可以用洛必达法则求解。（6）等价无穷小代换 依据如果在同一极限过程中 是等价无穷小： ，则常用的等价无穷小：当 时,等。例14 求极限。 分析 这两题都都可以用洛必达法则求解；不过这里用等价无穷小代换求解更为简便。解（1）当 时 ；则原式 （2）原式 （7）未定式极限：洛必达法则（见第二章）。 说明 使用变量代换的技巧有时可以使极限的计算更为简便。例15 求极限 。解令 则且当时有则原式。4、分段函数在分段点处的极限思路如果分段函数在分段点 两侧不是同一表达式，求极限 时要分别计算左右极限；否则直接计算极限 。例15 设 ， 为何值时极限 存在？解 例16 极限 （ ）。（a）等于1 （b）等于-1 （c）等于-1或1 （d）不存在解 因为 ，则 。选（d）。5、无穷小的比较 依据用定义：设在同一极限过程中 都是无穷小，且极限 ,则 时 是比 高阶的无穷小，记为 ； 时 是比 低阶的无穷小； 时 是与 同阶的无穷小，其中当 时 与 是等价无穷小，记为 。例17 当 时，以下无穷小与 相比，哪些是高阶的、同阶但不等价的、等价的？解 。则当 时(1)和(2)是比 高阶的无穷小；(3)与 同阶但不等价；(4)和(5)是与 等价的无穷小。说明 以上题(1),(2),(3),(5)在求极限时都用到等价无穷小代换。例18 当 时，以下函数与 为等价无穷小的是（ ）。分析 (d)不是无穷小;(a)是与 同阶但不等价的无穷小;(b)是比 低阶的无穷小。解 选（c）:用等价无穷小代换，有 。（三）函数的连续性1分段函数在分段点处的连续性依据函数在点连续 存在，且存在，并等于 。例1 已知函数 在 连续，求 的值。解 。由题意和连续性定义，必有 。例2 讨论函数 的连续性。解 可见 在 处是连续的；在 ： 在连续。因此在定义域上连续。2、函数的间断点及分类 依据（1）如果函数在点 无定义或极限不存在或该极限虽存在但不等于则是的间断点。（2）初等函数若在某点无定义，但在该点两侧有定义，则该点是它的间断点。（3）若是的间断点且在的左右极限都存在，称是的第一类间断点，其中当左右极限相等时，称 是 的可去间断点；凡不是第一类间断点的间断点，称为第二类间断点。例3 是函数的（ ）a）连续点b）可去间断点c）第一类不可去间断点d）第二类间断点解 函数在 无定义排除（a）；极限 （有界变量与无穷小的乘积）选（b）.例4 求函数 的全部间断点，并指出其类型。解 这是初等函数，通过求定义域可知，间断点有 。是可去间断点；都不存在和 都是第二类间断点。例5 函数 的间断点的个数为（ ）。（a）0 （b）1 （c）2 （d）3分析 这是初等函数，求出它的定义域就能找到间断点。解 函数的定义域是 ，则间断点是 。选（c）.3、求函数的连续区间 思路（1）函数的定义区间与其间断点集合的差集，就是它的连续区间。（2）初等函数的定义区间就是它的连续区间。例6 求函数 的连续区间。解 这是初等函数，定义域 ，这就是函数的连续区间。4、闭区间上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理，零点定理）例7 如果函数在某个闭区间上连续，则它在该区间上一定（ ）（a）可导（b）可微（c）单调（d）有界解：由闭区间上连续函数的有界性定理，选（d）。说明 闭区间上连续函数不一定可导、可微、单调，例如 。5、方程实根的个数或位置的判断思路如果函数在闭区间上连续且则方程 在开区间 内至少有一个实根。说明 方程 的实根，就是函数 的零点。例8 证明方程 至少有一个正根。分析 构造一个辅助函数，使它在一个闭的正区间上连续，且在区间两端点异号。证 令 ，则该函数在区间 上连续，且 ， 。由零点存在定理，存在 ，即方程至少有一正根。说明 （1）应用零点存在定理只能证明某个方程在某个区间内至少有一实根，但是不能说明在区间内至多有多少实根。（2）如果在证明了函数零点存在性之后，还要证明其唯一性，则只需证明函数是严格单调的函数。这需要用导数的符号来判断（第二章）。 第二章 一元函数微分学（一）导数1、导数的定义： 结论（1）函数在一点可导的充要条件是在该点的左右导数都存在且相等。（2）若函数在一点可导，则函数在该点一定连续。例1 已知 在 处可导，且 ，求 。提示 这类题目的一般解法是将所给极限式化为导数定义中的极限式与某个常数的乘积。解 由题设， ，所以 。例2 已知 在 处可导，则 提示 参看例1的提示。解 原式 。例3 确定 的值，使函数 在 处可导。提示 函数在一点可导，则在该点必连续。解 由题意，函数在 必连续，则 （*）其次， ， ，由（*）式 ，因此 。 由可导的充要条件，有 ；再由（*）式， 。例4 若 在 处可导， 在 处不可导，那么（ ）。均在 处不可导均在 处可导在 处不可导，而 在 处未必不可导在 处可导，而 在 处未必不可导解 选（c），理由参看第一章（二）例2。例5 在（-1，1）内有定义且 。则在 （ ）（a）极限不存在 （b）极限存在，但不等于零 （c）不连续 （d）连续分析 由题意可以得出 ，即函数在 可导，因此必定连续，从而极限存在且等于零（即 ）。选（d）。 说明 本题主要考查“连续是可导的必要条件”。2、求函数的（一阶）导数（1）初等函数的导数 思路运用基本求导公式、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则计算。例6 求以下函数的导数。 。解 ；（3）先化简 说明 （1） 应当作为结论直接使用；（2）常见的幂函数的导数应作为结论记忆和运用，例如 等。（3）有时先将函数表达式化简，再求导数会简便些，如例6（3）题。例7 设 ，求 。解1 根据乘积的求导法则，有 ，其中 。由此可知 解2因为则例8 已知函数 可导，求函数 的导数。解 。（2）隐函数的导数 方法（1）对确定隐函数的方程式两边同时求导（2）用隐函数求导公式（见第五章）例9 求由方程 确定的函数 的导数。解 方程两边同时对 求导，得到 ，即 。说明 在对方程两边同时求导时，实际上将 视为中间变量，例如 。例10 设函数 由方程 确定，求 。解 方程两边对 求导： （*） 将 代入方程解得 ；再将 代入（*）式，整理得到 。说明 本题也可以由（*）式先整理出 ，再将数值代入求解，不过稍嫌繁琐。（3）参数方程确定的函数的导数 方法对于参数方程 确定的函数 ，有 。例11 设 求 。 解 。（4）取对数求导法方法对于形如 的所谓“幂指函数”和由多个因式的积、商、幂构成的函数，可以先对函数表达式两边同时取自然对数，然后用隐函数求导法求导数。例12 求 解（1）取对数， ，等号两边同时求导： 。说明 幂指函数的导数也可以借助对数恒等式 求解，例如本题的又一解法是：。（2）取对数， ，则说明 由本题可以看出，取对数的目的是使乘幂化为乘除、乘除化为加减。3、求函数的高阶导数 （1）初等函数的2阶导数例13 已知函数 有2阶导数，求 的2阶导数。解 例14 求 的2阶导数。解 说明 求函数的2阶导数是在1阶导数的基础上进行的，因此求出1阶导数后的化简有时很重要。本题如果不对1阶导数的结果进行化简，计算2阶导数就将十分繁琐。（2）隐函数的2阶导数 方法（1）对已整理出的一阶导数表达式 的两边继续求导。（2）对确定隐函数的方程式两边连续求导两次。例15 对例7方程式确定的函数，求 。解1 例7已求得 。继续求导： 。解2 例7已求得 （*），并得出 （*）。对方程（*）继续求导： ，整理并将（*）代入：。（3）参数方程确定的函数的2阶导数方法将一阶导数的结果 记为 ，则 。例16 设 求 。解 。（4）求函数的任意阶导数的通项公式思路通过求函数的前几阶导数，归纳、猜测它的 阶导数的表达式。例17 求 阶导数。 解 则 ； 则 ； 则 。说明 严格地说，通过归纳得到的 的表达式还需用数学归纳法的证明，本课对此未作要求，因此至少应求出34阶导数后再进行归纳，而且在归纳出 的表达式后最好将 代如进行验证。（二）微分 1、微分的定义和性质 依据当 时，函数在 处可微，微分 。当 时， 是比 高阶的无穷小。例1 当 时， 是比 高阶的无穷小，求 。提示 这是考查微分的定义。解 依题意， 2、求函数的微分 方法（1）利用微分与导数的关系 ，通过计算导数来得出微分；（2）直接运用微分公式和法则计算微分；（3）复合函数的微分也可用微分形式不变性计算。一阶微分形式不变性：不论 是自变量还是中间变量，都有 。例2 已知 ，求 。解1 令 ,则 解 2 例3 设 ，求 。提示 这是隐含数求微分。解1 用隐函数求导法先求 ：先将方程左边化为 ；求导： ，整理得到 解2 用一阶微分形式不变性。等号两边同时取微分：化简： 。（三）中值定理 1、罗尔定理，拉格朗日中值定理例1 在区间-1，1上满足罗尔定理的是（ ）解 在指定区间内（a）不连续；（b）不可导；（c）在区间端点的值不相等。则应选（d）。例2 函数 在区间-1，3上满足拉格朗日中值定理的 解 ；由拉格朗日中值定理，为所求的点。例3 在 上连续,在 内可导, .以下命题中假命题是（ ） 分析 由题设 在 上满足拉格朗日中值定理的条件，则它在 的子区间 上也满足该定理，因此（a）、（c）、（d）都是真命题。解 应选（b），因为这时中值定理只能保证 在区间 内，却不能保证在 内。2、用拉格朗日中值定理的推论证明恒等式方法若在区间 上 ，且 ，则 例4 证明恒等式 。证 令 ，则 ；在任意闭区间上应用拉格朗日中值定理的推论，有 ；又 ，因此 。（四）导数的应用1、洛必达法则求未定式的极限思路（1）满足法则条件的 型和 型未定式可以由 求解；（2） 型未定式可化为 型或 型； （3） 型化为 或 型；（4） 通过取对数或对数恒等式化为（1）或（2）。例5 求极限。 解 （1）这是 型。原式 。说明 在使用一次洛必达法则后，要对极限式进行整理，如果还是未定式，可以继续用洛必达法则。例如本题中间结果 仍属于 型，可稍加化简后继续用法则：。不过我们给出的解法是用等价无穷小代换，更为简便。（2）这是 型。为简便起见，作代换 ，则原式 。 说明 第一步要用洛比达法则，其中 的导数要用取对数求导法；第二步式中由于因式 ，因此将其分离出来单独计算，不要参加洛必达法则中的求导运算。（3） 型。通过通分化为 型。原式 。例6 求极限。 。解（1）这是 型。原式 。（2）这是 型。原式 。说明 第三步极限 也可以用等价无穷小代换，得到 。2、判定函数的单调性 依据若在区间上有（ ）则在该区间上 单增（减）。方法通常是用函数的不可导点和驻点（即导数为零的点）将函数的定义域分成若干区间，然后讨论导函数在每个区间上的符号。例7 讨论函数 的单调性。解 函数的定义域是 。 ；令 。当 时， ，函数单调增加；当 时， 。因此函数单调减少。例8 求函数 的单调区间。说明 函数在某区间上是单调的，称该区间为这个函数的单调区间。第四章 向量代数与空间解析几何一、向量代数 1、向量的坐标表示 要点向量 的模为，方向余弦为 ，其中 。向量 的坐标等于终点 的坐标与起点 的坐标之差： ；与向量 同向的单位向量是 。例1 与两点 和 所成向量同方向的单位向量是 。解向量它的模则所求单位向量为 。2、向量的线性运算 要点(1)向量的加减法 ；(2)数乘向量.(3)向量与平行（共线）或例2 从点 沿向量 的方向取长为6的线段 ，求 点坐标。解 设 点坐标为 ，由题设有 ；由可得则于是所求坐标为。3、向量的数量积和向量积 依据 。的大小 ，方向按右手系与 所在平面垂直（即同时垂直于 ）。又 。(3)有关结论： 。例3 确定以下各组向量间的关系。 解 ，则两者不垂直；又 分量不成比例，则两者不平行。由于说明 用两向量分量是否成比例判断它们是否平行，比用向量积是否为零判断简便。例4 求与两向量 都垂直的单位向量 。分析 既垂直于 又垂直于 ，用这个方法求解本题较简捷。解1 注意 ，而 ，则 。说明 向量平行（共线）包括向量同向和反向两种情形。解2 设 ，由题设应有解这个方程组，得 。例5 求向量 在向量 上的投影。提示 向量 在向量 上的投影为 。解 所求投影为 。二、平面与空间直线1、平面的方程 依据(1)点法式：过点、法向量为的平面方程为；（2）一般式： （ 不全为零）； （3）截距式： （ 全不为零，分别是直线在三个坐标轴上的截矩）。例1 过三点 的平面的方程是 。分析1 用平面的点法式方程，其中“点”从已知三点中任选一个，法向量取由这三点构成的两个向量例如 的向量积。解1 ，则 ，所求平面方称为 ，即 。分析2 也可将三点坐标分别代入平面的一般式方程，以确定系数 的关系。解2 将已知三点坐标分别代入平面的一般式方程 ，得到方程组取 ，则 。所求平面方程为 。说明 在平面的一般式方程中，系数 中只有3个是独立的。这从上述解法中也能看出：四个系数满足三个线性方程，解此方程组并将其中三个系数用第四个系数表示（本题用 表示），最后取 为任意非零值，得出其余三个系数的值。例2 求过两点 且与平面 垂直的平面方程。分析1 所求平面的法向量与已知平面的法向量和向量 都垂直。解1 取法向量 ，则所求平面方程为 ，即 。分析2 还可以仿照例1的解法2，利用平面的一般式方程求解。解2 设所求平面的方程为 。将已知两点坐标代入，得；由于所求平面与已知平面垂直，则有 。以上三方程联立，解得 ；取 ，得到 。例3 求过点 、且过两平面 的交线的平面方程。提示 过两平面 的所有平面（即平面束）的方程可表示为 。解 过已知两平面交线的平面束方程为 由于所求平面过点 ，因此将该点坐标代入上述方程，解得 ；将此值代回平面束方程，得到所求平面方程 。2、两平面之间的位置关系思路（1）两平面的平行、垂直或交角，就是它们法向量的平行、垂直和交角。（2）点 到平面 的距离 。（3）平行平面 和 的距离为（平行平面的距离，等于其中一个平面上任一点到另一平面的距离）。例4 求平行平面 与 的距离。解 。3、空间直线的方程 依据（1）标准式（对称式）：过点 、方向向量为 的直线方程为 。（2）两点式：过点 和 的直线方程为。（3）一般式： （作为两平面的交线）。（3）参数式： 例5 求过直线 且与直线 平行的平面方程。分析 显然直线 上的点 在所求平面上，且该平面的法向量与两直线都垂直。解 取 。由点法式，所求平面为 。例6 求直线 与平面 的交点。提示 将直线方程化为参数式后代入平面方程，解得参数值 ，则 对应的 的值就是所求交点的坐标。解 令 ，则 代入平面方程，得到 。将该值代回直线的参数式方程，得到交点（1，2，2）。4、两直线间的位置关系思路两直线的位置关系，就是两者方向向量间的位置关系平行、垂直、斜交。例7 两直线 （ ）。（a）平行 （b）垂直 （c）斜交 （d）与以上全不同的结论解 直线 的方向向量为 ，而直线 的方向向量为。可见两者平行。5、直线与平面的位置关系 依据设直线 ，平面 ，则直线平行于平面 ；直线垂直于平面 ；直线与平面重合 ；直线与平面的夹角满足： 例8 平面 与直线 （ ）。（a）平行 （b）重合 （c）垂直 （d）斜交解 所给直线的方向向量为 ，平面的法向量为 。因为 ，即直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行或重合；但是平面上任一点例如（-4,0,0）不满足直线方程，因此两者平行。三、简单的二次曲面1、球面、椭球面的方程球面方程；椭球面方程 。例1 方程 的图形是（ ）。（a）球心在原点、半径为1的球面（b）球心在点(0,0,1)、半径为1的球面（c）球心在点(0,0,1)半径为1的上半球面（d）球心在点(0,0,1)半径为1的下半球面解 方程可以整理成 ，这是以点(0,0,1)为心、半径为1的球面；再由题设表达式知，这是下半球面。选（d）。例2 求过4点(0,0,0)，(2,0,0)，(1,1,0)和(1,0,-1)的球面方程。提示 球面方程的一般形式为 。解 将以上各点坐标分别代入所设球面方程，得到方程组 所求球面方程为 ，即 。2、母线平行于坐标轴的柱面的方程 依据准线为、母线平行于 轴的柱面方程为，余类推。常见柱面方程：圆柱面 ；椭圆柱面 ；抛物柱面 。例2 在空间直角坐标系中，方程 的图形是二次曲面；柱面；旋转曲面；球面。正确的判断是（ ）。（a） （b） （c） （d）解 显然成立；其次，方程可化为 ，其中变量 未出现，可见这是母线平行于 轴的圆柱面，因此成立，同时也排除。因此选（b）。3、旋转曲面 平面曲线 绕 轴旋转一周所成旋转曲面为 ,余类推。常见旋转曲面有：球面，圆柱面；旋转抛物面 ；圆锥面 .例3 方程 的图形是（ ）。（a）球面 （b）旋转抛物面 （c）圆锥面 （d）圆柱面解 选（c），这是顶点在原点的上半圆锥面的方程。 第五章 多元函数微分学一、二元函数的概念 1、求二元函数的定义域 方法与一元函数求定义域的原则相同。例1 求以下函数的定义域 。（1）解 定义域为 。（2）解 定义域为 .2、求二元函数的函数值例2 已知 ，求 。解1 。则， 。解2令则 二、偏导数，全微分1、一阶偏导数 , 方法对某个自变量求偏导数时，将其余自变量视为常数。结论函数 在一点的两个偏导数都存在时，该函数在这点不一定连续。例1 设 ，求 。解1 先求偏导函数。将 视为常数，有 。解2 将 代入，得 .说明 解2的方法只有在求函数在一点的偏导数时可以使用。例2 设 ，求 。分析 将 视为常数时，函数为幂函数；将 视为常数时，函数为指数函数。解 。例3 设 ，验证 。解 ；类似地有 。则2、高阶偏导数 依据 ， ， ，。类似可定义更高阶偏导数，例如 等。结论若在点 处 都连续，则两者相等。例4 设 ，求 。解 先化简，得 。说明 本题如果先求 、再求 ，结果与 相同。3、全微分 依据如果函数 在点 处的全增量 ，则函数在该点可微分，且 称为 的全微分。结论（1） 函数 在点 处：两个一阶偏导数都连续 可微分 偏导数存在（以上命题的逆命题均不成立。（2）一阶微分形式不变性仍成立。例5 求函数 在点（1,2）处的全微分。解1 解2 利用一阶微分形式不变性。，将 代入，得到与解1相同的结果。说明 用一阶微分形式不变性求全微分，可以同时得出两个偏导数。因此有时也可以用这个性质求偏导数。三、多元复合函数和隐函数求导法则1、复合函数求导法则 公式设 存在偏导数， 有连续偏导数，则。例1 设 。求 。解1 将 的表达式代入 的表达式： ，则解2 用复合函数求导公式，有解3 用一阶微分形式不变性： ，再由题设 因此， 。例2 设 ， 可微，求 。分析 的表达式未知，只能用复合函数求导公式。为简便起见，可令 ；也可以不引进中间变量，直接用“1”表示 ，“2”表示 。解 例3 设 ，求 。解1 将 的表达式代入 ，则 解2由复合函数求导公式。 u说明 本题函数、中间变量与自变量的关系如右图。 z t例4 验证 满足微分方程 。 v解 说明 记号 ，其中 。本题是只有一个中间变量的二元复合函数。2、隐函数求导公式（1）二元方程 确定的一元函数 的导数： （2）三元方程 确定的二元函数 的偏导数：例1 设 由方程 确定，求 。解1 令 则 。说明 用隐函数求导公式求导时，将变量 等均看作自变量。解2 方程两边同时对 求导： ，整理可得结果。说明 直接求导可能比用公式简便，不过在求导时必须分清谁是自变量、谁是因变量。解3 方程两边求全微分： ，整理即可。说明 这样解题时， 均为自变量。例2 设 由方程 ，求 。解1令 解2 求全微分： ；整理得到解3 方程两边同时对 求偏导数： ，整理即得结果。说明 这时必须将 作为 的函数。四、偏导数的应用1、曲面的切平面和法线的方程 思路曲面 上一点 处的法向量为 ；曲面 上一点 处的法向量为 。由此可以用点法式、对称式分别写出曲面在点 处的切平面和法线方程。例1 求椭圆抛物面 在点 处的法线方程。解 因为 ，则法向量为 。因此该点处的法线方程为 。例2 求球面 上一点处与平面 平行的切平面的方程。解 记 ，则 ，因此球面上任一点处的法向量为 ，且由题设知 ；解此方程组，得到切点坐标 ，再由点法式得平面方程为 。2、二元函数的无条件极值 方法设 在点 某邻域内有2阶连续偏导数,且 ,.记 ,则（1）当 时 在点 处取得极值，且当时为极小值，时为极大值；（2）当 时 在点 处没有取得极值；（3）当 时 在点 处可能取得也可能没有取得极值。例3 求函数 的极值。解 计算出；由解得驻点为(0,0)，(-1,-1)，(1,1)。又 。在点 ，则用本法不能确定函数在该点是否有极值。但是在点(0,0)充分小的邻域内，在直线 和 上分别有和 。可见原点不是该函数的极值点；在点 ，因此 是极小值；在点 ，因此 是极小值。说明 本题函数为偶函数，据此及 是极小值可以直接断定 也是极小值。3、多元函数的条件极值，拉格朗日乘数法 方法求函数 在约束条件 下的极值：构造拉格朗日函数 ；分别对该函数的各自变量求导，并令各偏导数为零，得方程组解此方程组得到的 就是可能的极值点；通过进一步的判断可以确定其是否为极值点。例4 表面积一定的长方体，其棱长如何可使体积最大？求出该最大值。解1 设该长方体的表面积为 ，3条棱长分别为 ，则问题是求在约束条件 下函数 的最大值。作拉格朗日函数 。解方程组得到驻点 。由于驻点唯一，且由问题的实际意义可知该体积必有最大值，因此当该长方体为正方体时，体积最大，最大体积等于 。说明 构造拉格朗日函数时，约束条件一定要先化为标准形式（即等号右边为零）。思考 根据什么理由说“由问题的实际意义可知该体积必有最大值”？ 第七章 无穷级数一、数项级数概念1、判断级数的收敛性 方法（1）定义写出级数前 项和的通式，若其极限存在则级数收敛，否则发散。（2）级数收敛的必要条件：若 ，则级数 发散。（3）级数的基本性质（见教材）（4）正项级数收敛判别法（见下文一、2）（5）交错级数：莱布尼兹判别法（见下文一、3）结论（1）几何级数 当 时收敛于 ；当 时发散。（2） 级数 当 时收敛； 时发散。例1 以下级数收敛的是（ ）。分析 则级数收敛于1。，则级数发散。可见 不存在，级数发散。，则级数发散。 解 选（a）。说明 （1）备选答案 的发散性也可用收敛必要条件判断： 不存在。（2）注意当 时级数不一定收敛，例如 中级数。例2 以下级数发散的是（ ）。分析 收敛：这是两个收敛的几何级数之差。 收敛：几何级数， 。 发散： 。 收敛：几何级数， 。解 选（c）。2、正项级数判敛法 方法（1）比较判别法： 都是正项级数且 ，则 收敛 收敛； 发散 发散。（2）比值判别法： 是正项级数，且 ，则 时级数收敛； 时级数发散； 时级数可能收敛也可能发散。例3 判别级数的收敛性。 （1）解，由 收敛（ 级数，）和比值判别法，原级数收敛。说明 形如 的级数的收敛性，取决于一般项中分母、分子的最高次幂的次数之差，即当 时级数收敛，当 时级数发散。（2）解 ，且级数 收敛，由比值判别法，原级数收敛。（3）解 ，由比值判别法级数收敛。（4）解 ，由比值判别法，级数发散。（5）解1 ，由 收敛和比较判别法，原级数收敛。解2 ，由比值判别法级数收敛。3、任意项级数收敛判别法思路（1）若级数 收敛，则级数 绝对收敛；2）若级数 发散而级数 收敛，称级数 条件收敛；3）莱布尼兹判别法：若交错级数满足则级数收敛且级数的和不超过 。例4 判别以下级数的收敛性；若收敛，是条件收敛还是绝对收敛。（1）解 因为 发散（ 级数， ），而原级数是交错级数，满足 ，由莱布尼兹判别法知原级数收敛。因此该级数条件收敛。（2）解 因为 满足 ，则由比值判别法知级数 收敛，从而原级数绝对收敛。（3）解 因为 ，而 收敛（ 级数， ），由比较判别法知原级数绝对收敛。（4）解 级数发散，因为 。例5 级数 （ 为常数）（ ）。（a）发散 （b）条件收敛 （c）绝对收敛 （d）收敛性与 有关分析 注意 条件收敛， 绝对收敛。解 原级数是两个收敛级数的和，其中一个级数为条件收敛，因此选（b）。二、幂级数1、幂级数的收敛半径和收敛区间 方法幂级数 的收敛半径 ；由级数 和 的收敛性，幂级数的收敛区间为 或 或 或 。幂级数的收敛半径与幂级数的收敛半径相同；收敛区间则是以为中心为半径的区间。例1 求幂级数的收敛半径和收敛区间。 （1）解 收敛半径 ； 当 时原级数为 ，是调和级数，发散；当时原级数为 ，是交错级数，由莱布尼兹判别法知其收敛。所以收敛区间为 。（2）解 收敛半径 ；当 时，原级数为 ，收敛；当 时，原级数为 ，发散。所以收敛区间为 。（3）解 收敛半径 ，则级数在 即 收敛；当 时，原级数为 ，收敛；当 时，原级数为 ，发散。所以收敛区间为 。2、将函数展开为幂级数 或 思路间接展开法：利用5个函数的幂级数展开式。公式 方法代入法；加减法；逐项求导；逐项积分等。例2 将函数展开为 的幂级数。 .（1）分析 用对数恒等式将函数化为以 为底的指数形式，利用 的展开式展开。解 。（2）分析 不要用 和 的幂级数展开式相乘，只需将函数化为 再利用 的展开式即可。 解 说明 以上两题所用方法称为“代入法”，即当 的展开式已知时，