高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第十章 第一节分类计数与分步计数原理课件 理.ppt

第一节分类计数与分步计数原理 第十章 分类加法计数原理的运用 例1 三边长均为整数 且最大边长为11的三角形的个数是 思路点拨 根据题目中的条件 列出另两边满足的关系式 然后用列举法逐一求出来 再用分类加法计数原理求解 解析 设较小的两边长为x y 不妨设x y 当x 1时 y 11 当x 2时 y 10 11 当x 3时 y 9 10 11 当x 4时 y 8 9 10 11 当x 5时 y 7 8 9 10 11 当x 6时 y 6 7 8 9 10 11 当x 7时 y 7 8 9 10 11 当x 11时 y 11 所以不同三角形的个数为1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36 个 答案 36 点评 应用分类加法计数原理时 首先要根据问题的特点 确定好分类的标准 分类时应满足 完成一件事的任何一种方法 必属于某一类且仅属于某一类 变式探究 1 1 2013 南京模拟 用数字2 3组成四位数 且数字2 3至少都出现一次 这样的四位数共有 个 用数字作答 2 若a b n 且a b 5 则在直角坐标平面内的点 a b 共有 个 用数字作答 解析 1 分类讨论 若2出现一次 则四位数有c个 若2出现二次 则四位数有c个 若2出现3次 则四位数有c个 所以共有c c c 14个 2 按a分类 当a分别取等于1 2 3 4时 b的值分别有4个 3个 2个 1个 由加法原理知点 a b 共有4 3 2 1 10个 答案 1 14 2 10 分步乘法计数原理的运用 例2 把一个圆分成3块扇形 现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色 要求相邻扇形的颜色互不相同 问有多少种不同的涂法 解析 依题意 可分三步来完成 第一步涂a区域 有5种不同涂法 第二步涂b区域 有4种不同涂法 第三步涂c区域 有3种不同涂法 根据分步乘法计数原理 得不同涂色方法数是5 4 3 60 种 点评 本题需要分步去完成 分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步 不能独立完成这件事 各个步骤都是不可缺少的 需要依次完成所有的步骤 才能完成这件事 变式探究 2 1 2013 嘉兴质检 三张卡片的正 反两面分别写有1 2 3 4 5 6 将这三张卡片排成一排 可以组成三位数的个数有 个 2 如图所示的几何体是由一个正三棱锥p abc与正三棱柱abc a1b1c1组合而成 现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色 底面a1b1c1不涂色 要求相邻的面均不同色 则不同的染色方案共有 种 解析 1 分三步 先排百位 有6种排法 再排十位 有4种排法 最后排个位 有2种排法 故共有6 4 2 48种排法 2 先涂三棱锥p abc的三个侧面 然后涂三棱柱的三个侧面 共有 3 2 1 2 12种不同的涂法 答案 1 48 2 12 两个计数原理的综合应用 例3 现有高三4个班学生34人 其中一 二 三 四班各7人 8人 9人 10人 他们自愿组成数学课外小组 1 选其中1人为负责人 有多少种不同的选法 2 每班选1名组长 有多少种不同的选法 3 推选2人作中心发言 这2人需来自不同的班级 有多少种不同的选法 思路点拨 本题主要考查两个计数原理的综合应用 先考虑分类再考虑分步 解析 1 分四类 第一类 从一班学生中选1人 有7种选法 第二类 从二班学生中选1人 有8种选法 第三类 从三班学生中选1人 有9种选法 第四类 从四班学生中选1人 有10种选法 所以 共有不同的选法n 7 8 9 10 34种 2 分四步 第1 2 3 4步分别从一 二 三 四班学生中选一人任组长 所以共有不同的选法n 7 8 9 10 5040种 3 分六类 每类又分两步 从一 二班学生中各选1人 有7 8种不同的选法 从一 三班学生中各选1人 有7 9种不同的选法 从一 四班学生中各选1人 有7 10种不同的选法 从二 三班学生中各选1人 有8 9种不同的选法 从二 四班学生中各选1人 有8 10种不同的选法 从三 四班学生中各选1人 有9 10种不同的选法 所以共有不同的选法n 7 8 7 9 7 10 8 9 8 10 9 10 431种 点评 解决这类题首先要明确 完成一件事 指什么 如何完成这件事 即分步还是分类 进而确定应用分类计数原理还是分步计数原理 分步计数原理中的 分步 程序要正确 步 与 步 之间是连续的 不间断的 缺一不可 分类计数原理中的 分类 要全面 不能遗漏 类 与 类 之间是并列的 互斥的 独立的 也就是说 完成一件事情 每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法 变式探究 1 某书店有11种杂志 2元1本的8种 1元1本的3种 小张用10元钱买杂志 每种至多买一本 10元钱刚好用完 则不同买法的种数是 种 用数字作答 2 2013 太原调研 某班一天上午有4节课 每节都需要安排一名教师去上课 现从a b c d e f6名教师中安排4人分别上一节课 第一节课只能从a b两人中安排一人 第四节课只能从a c两人中安排一人 则不同的安排方案共有 种 用数字作答 解析 1 分两类 第一类 买5本2元的有c种 第二类 买4本2元的和2本1元的有c c种 故共有c c c 266种不同的买法种数 2 分两类 第一类 第一节课 若安排a 则第四节课只能安排c 第二节课从剩余4人中任选一人 第三节课从剩余3人中任选一人 共有排法4 3 12 种 第二类 第一节课若安排b 则第四节课可由a或c上 第二节课从剩余4人中任选1人 第三节课从剩余3人中任选1人 共有2 4 3 24 种 排法 因此不同安排方法是12 24 36 种 答案 1 266 2 36 例4 电视台在 欢乐今宵 节目中拿出两个信箱 其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信 甲信箱中有30封 乙信箱中有20封 现由主持人抽奖确定幸运观众 若先确定一名幸运之星 再从两信箱中各确定一名幸运伙伴 有多少种不同的结果 解析 分两类 1 幸运之星在甲箱中抽 再在两箱中各定一名幸运伙伴 有30 29 20 17400种结果 2 幸运之星在乙箱中抽 同理有20 19 30 11400种结果 由分类计数原理 共有17400