东南大学 11123 高数 A 期末(下册)以及答案.pdf

1 11 1 级高等数学 a 下 期末考卷 2012 6 21 150 分钟 一 填空题一 填空题 每题 分 共每题 分 共 3636 分分 1 设函数 2 xyu 则dz 2 2 y dxxydy 2 设级数 1 1 n n n ax 在2x 处条件收敛 则该幂级数的收敛半径为 3 r 3 设c是正向圆周1z 则积分 2 ln 1 c z dz z 2 i 4 曲面32 z ezxy上点 1 2 0 p 处的切平面方程为 24 xy 5 交换积分次序 y y dxyxfdy 231 0 2 3 0 3 10 1 0 2 x x dyyxfdxdyyxfdx 6 sin 0 1cos z res z 留数 2 7 设圆周1 1 1 22 yxc 取逆时针方向 则曲线积分 2222 5ln c xy dxxyxxydy 5 8 若 43224 4 65 duxxy dxx yy dy 则u 5523 1 2 5 xyx yc 9 设 1 0 f xxx 展开 s x 为正弦级数的和函数 1 0 0 0 xx x 二 计算下列各题 计算下列各题 每题每题 7 7 分 共分 共 3535 分分 1 判别级数 1 3 n n n n n 的敛散性 1 3 limlim31 1 n n nn n un une 故级数发散 2 将 2 232 x f x xx 展成2 x的幂级数 11 0 1211 1111 22 521 25 23 11 2 43 1121 7 1 2 5232 2 n nn nn n f x x xx x xx 3 将函数 2 1 1 f z z 在圆环域32z 内展开为 laurent 级数 1 0 111111111 31 31 211222 2 11 22 n n n f z zzzz zz 4 将函数 0 2 f xx x 展开为余弦级数 0 0 2 0 2 1 2 0 0 2 22 1 1 cos 2 2 1 1 cos 0 n n n n n bax dx axnxdx n f xnxx n 5 讨论级数 1 1 1ln 1 1 n n nn 的敛散性 若收敛 是绝对收敛还是条件收敛 11 111 ln 1 nn nnn 利用极限比较法得 与 同为发散 利用leibniz判别法得 原交错级数收敛 故为条件收敛 三 三 8 分 分 计算曲线积分 c yy dyxeydxexyi cos 12 其中曲线 1 1 ac由点沿曲 线 2 xy 到点 0 0 o 再沿直线0 y到点 0 2 b的路径 11 02 2 1 12 cos2 12 1 sin1 y c bd dabdda d dbdda ix dyedyxe dx e 取点连接线段和 则 另解 利用基本算法直接计算 四 四 8 分 分 计算第二型曲面积分 2 26dd2dd3ddixzyzyz zxzxy 其中 22 2 02 zxyz 取上侧 22 11 1 2 0 2038 2 136 33 xy z iz dvdxdy 补补 取取下下侧侧 五 五 7 分 分 求数项级数 1 1 1 1 21 n n nn 的和 12122 2 11 2 1 1 12 1 2 1 21 1 1 2arctan 2 arctanln 1 1 1 2 1 1 1 ln2 21 2 nnnn nn n n s xxsxx nnx s xxs xxxxx s nn 令 六 六 6分 分 将 二 重 积 分 d dxdyyxf 表 示 为 极 坐 标 下 的 二 次 积 分 其 中 2 22222 02 01dx yxyxyyxxx 2 1 2cos 4cos2