江西师范大学2006届本科毕业生学士学位论文.doc

利用特殊函数求解氢原子螆肆膂葿蚁肅芄节薇肄羄蒇蒃蚁膆芀葿蚀艿薆螈虿羈荿蚄蚈肀薄薀蚈膃莇蒆蚇芅膀螅螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿芆葿螂肁蒂螇螂膄芅蚃螁芆蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀蒇蚆袆肂荿薂袆膄薅蒈袅芇莈螆袄羆膁蚂羃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀肃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇羇肀芄螆肆膂葿蚁肅芄节薇肄羄蒇蒃蚁膆芀葿蚀艿薆螈虿羈荿蚄蚈肀薄薀蚈膃莇蒆蚇芅膀螅螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿芆葿螂肁蒂螇螂膄芅蚃螁芆蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀蒇蚆袆肂荿薂袆膄薅蒈袅芇莈螆袄羆膁蚂羃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀肃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇羇肀芄螆肆膂葿蚁肅芄节薇肄羄蒇蒃蚁膆芀葿蚀艿薆螈虿羈荿蚄蚈肀薄薀蚈膃莇蒆蚇芅膀螅螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿芆葿螂肁蒂螇螂膄芅蚃螁芆蒀蕿螀羆芃蒅衿肈蒈莁袈膀芁蚀袇袀蒇蚆袆肂荿薂袆膄薅蒈袅芇莈螆袄羆膁蚂羃聿莆薈羂膁腿蒄羁袁莄莀羀肃膇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇羇肀芄螆肆膂葿蚁肅芄节薇肄羄蒇蒃蚁膆芀葿蚀艿薆螈虿羈荿蚄蚈肀薄薀蚈膃莇蒆蚇芅膀螅螆羅莅蚁螅肇膈薇螄艿莃薃螃罿芆葿螂肁蒂螇螂膄芅蚃螁芆蒀蕿 江西师范大学2006届本科毕业生学士学位论文题目：利用特殊函数求解氢原子the solution of hydrogen atom by special functions姓 名： 杨 跃 明 学 号： 026010063 学 院： 物理与通信电子学院 专 业： 物理学 指导老师： 马善钧（教授） 选题编号： 完成时间： 2006年4月25日 摘 要本论文是利用特殊函数来求解氢原子的薛定谔方程，采用分离变量法,将其化为一元微分方程，对分解后的一元微分方程求解，得出氢原子的能级和波函数形式，从而讨论出氢原子的能级分立，不等间距和核外电子在空间的分布情况。关键词：氢原子、薛定谔方程、氢原子能级和波函数、特殊函数。abstractin this paper，we introduce the schrdinger equation of hydrogen atom and transform it into ordinary differential equation by variable separation method.solving the latter,we get energy levels and wave function of hydrogen atom directly. by discussing about energy levels and wave function, we can find eigenenergies are discrete, inequally spaced, and we obtain spatial distribution of electron.keywords：hydrogen atom，schrdinger equation ，energy levels and wave function of hydrogen atom，special function.目 录1 引言12 氢原子的薛定谔方程12.1 自然坐标下的薛定谔方程12.2 以相对坐标和质心坐标表示的薛定谔方程12.3 时间函数22.4 质心运动状态33 电子相对核的运动状态33.1 波函数在球坐标下的表示33.2 求解球函数43.2.1 对球函数分离变量43.2.2 求解53.2.3 求解53.2.4 球函数的解63.3 求解径向方程74 氢原子的波函数、能级形式105 讨论105.1 对能级的讨论105.2 对波函数形式的讨论115.2.1 径向分布函115.2.2 角分布函数136 小结147 附录15参考文献19致谢201 引言巴耳末公式可以成功地计算氢原子跃迁的一些问题，却未能给出合理的解释，在氢原子一些问题的处理中，玻尔曾应用经典理论和量子化条件导出氢原子的能级公式，但是量子化条件的引进没有适当的理论解释.随量子力学的发展，我们知道微观粒子具有波粒二象性，其微观体系的状态可以用波函数(r,t)描述,且波为一种几率波,波函数在空间某一点的强度(几率振幅的模的平方)和在该点找到粒子的几率成正比,且波函数随时间变化遵从薛定谔方程, 利用薛定谔方程我们可以精确求解氢原子的的能级和波函数形式，有了能级和波函数，我们不需要假设更不需要人为的规定就可以成功地解释氢原子的光谱，得出能级分立，最可然半径，跃迁公式等。本文利用特殊函数求解氢原子的薛定谔方程，采用分离变量法，将特殊函数化为一元微分方程，从而得出氢原子的的能级和波函数形式。2 氢原子的薛定谔方程 2.1 自然坐标下的薛定谔方程在氢原子问题中，严格说来，我们应当考虑核的运动，也就是说应当考虑两个粒子（电子与核）在库仑相互作用下的运动；这是一个两体问题1，在经典力学中，我们知道两体问题可以归结为一个粒子在场中的运动；我们将看到，在量子力学中，情况也是这样，下面将给出其解析解，并根据所得出的能级和能量本征函数，对氢原子光谱线的规律及一些重要性质给予定量说明。氢原子包含原子核及核外电子，是个二体问题，由多粒子体系的薛定谔方程2，我们可以写出氢原子的薛定谔方程： （1）式中 分别是电子和核的坐标；分别是电子和核的质量。2.2 以相对坐标和质心坐标表示的薛定谔方程前面已说过，为简化问题，量子力学与经典力学一样，可以把二体问题化为单体问题。由质心坐标公式，我们可以得出质心坐标， （2）式中=是体系的总质量。由于为核坐标，为自然坐标下电子坐标，以（）表示电子相对核的坐标，则有： （3）把对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商，直接通过微商运算3有： （4）将（2）（3）（4）式子代入（1）式后，得到以相对对坐标和质心坐标表示的薛定谔方程： （5）式中称为约化质量。2.3 时间函数设可以表示为三个函数的乘积，其中仅是的函数，其中仅是的函数，其中仅是的函数4,以 （6）将（6）式代入方程（5），用除方程两边，则左边仅与时间有关而与坐标无关，右边仅与坐标有关而与时间无关，所以两边应等于同一个常数。以表示这常数，则由左边有 它的解是 （7）2.4 质心运动状态将（6）式代入方程（5），用除方程两边，右边为： 这方程左边第一项仅与有关，第二项和第三项仅与有关，所以它们应分别等于常数，两常数之和是，以表示左边第二，第三两项之和；则 （8） （9）方程（9）是描写质心运动状态的波函数5 所满足的方程，很容易看出这是能量为的自由粒子的定态薛定谔方程。由此可见，质心相当于质量为的自由粒子运动，相应的能量为，相应的波函数是平面波。3 电子相对核的运动状态在氢原子问题中，我们特别感兴趣的是原子的内部状态，即电子相对核的运动状态。因此对于两体问题，关键是求解相对运动方程（8）式，对氢原子，原子核远大于核外电子质量，质心位置就在核上，从而有，方程（8）正是描写电子相对于核运动波函数所满足的方程，相对运动的能量e就是电子的能级。可以看出，方程（8）所描写的运动正好是一个折合质量的粒子在势能力场中运动。3.1 波函数在球坐标下的表示在式（8）中，我们取球坐标系，势场为吸引库仑势，于是我们得到在球坐标系下的波函数6 。=（10）与无关，在球坐标下（8）式为： （11）因为分别为三个独立变量，故可分离变量，记（12）将（12）式代入（11）式，则（11）式变为： （13）这方程的左边仅与有关，右边仅与有关，而都是独立变量，所以只有当等式两边都等于同一个常数时，等式才能成立，以表示这个常数，则（13）式可以分离为两个方程: （14）= （15）通常（）（14）式称为径向方程，（15）式为球函数方程。3.2 求解球函数3.2.1 对球函数分离变量接下来，我们对球函数进行分离变量7： 令 （16）代入球函数方程（15），得（17）用遍乘各项并适当移项，得（18）3.2.2 求解 通过观察上式可知：方程左边是函数，跟无关，右边是的函数，跟无关，两边相等显然是不可能，除非两边实际上是同一个常数，把这个常数记为 （19）这就分解为两个常微分方程8： （20）（20b）的解很容易求解，由波函数的单值性，方向波函数的边界条件是 （21）常微分方程（20b）和自然周期条件构成本征值问题，本征值是 （22）本征函数是 （23）根据欧拉公式（23）式可写成 （24）由方向的归一化条件得出=所以 （25）3.2.3 求解现在我们来求解方向的方程(20a) 9，将（20a）改写为： （26）通常用把自变数从变为,只是代表，并不是直角坐标，则方程（26）化为：亦即 （27）式（25）叫作阶连带勒让德方程10。作变换其，所以 （28）为的阶导数。既然是次多项式，它最多只能求导次，超过次就得为0，因此，本征值中的整数对的一个确定值，连带勒让德函数中的只能取值。所以由可以算出其归一化系 3.2.4 球函数的解 解出、后，于是我们得出球函数的解10： （29） （30）3.3 求解径向方程解出后，最后我们求解方向即径向方程11其中（ ） （31）上式变为： （32）我们注意到= （33）因而可令 （34）代入上式可得： （35）为方便计，令 （36）方程化为（37）再令（38）上式变为：（39）为解这个方程，先研究其渐近形式：当（40）当（41）式中有两个常数因此总能使它和有限远处的方程式的解光滑连接，保证波函数连续和波函数微商连续这两个方程式成立，表明大于0时一切值都是允许值，构成连续谱，此处电子处于电离态，不属于我们研究范围。因此，当小于0时， （42）由于波函数有界12，因而=0于是解 （43）当 （44）令 （45）得 （46）解得即由于在处发散，故舍去，所以只存在的解综上所述： （47）将上式代入径向方程得的微分方程： （48）令简化方程得： （49）此方程与合流超比方程 （50）可知 （51）其解为合流超比函数有 （52）其中递推关系 （53）当在无穷远处发散，也发散，须将切断为多项式。即只能含有限项，设最高次项是，可知，由递推关系=0即，（=0，1，2，3）由上式的=，令于是有， （54）此时氢原子的束缚态径向波函数13是对进行归一化条件 （55）式中 其中称为第一玻尔半径14，为主量子数，为角动量量子数，为磁量子数，并注意到的取值是：4 氢原子的波函数、能级形式综上所述，我们得出电子相对核运动的波函数15： （56）其和分别见上，且得出电子能量 （57）5 讨论有了氢原子的波函数和能级形式，现在我们可以对氢原子的物理图象和一些主要结果作一些讨论16：5.1 对能级的讨论由于氢原子的束缚态能级20满足.可知与成正比，即与成反比，我们可以讨论得出几点：由于为整数，所以氢原子的能级是分立的、不等间距的；当增加时，增加，即能级越高，能量越大，能级间距越小，能级越密；当=1时，氢原子处于基态，此时具有的能量称为基态能，电子伏；当时，电子不再束缚在核的周围，而可以完全脱离原子核，即开始电离；与电子基态能量之差称为电离能，氢原子的电离能为：=13.60电子伏。如果用约化质量，=13.597电子伏。另外，对于库仑场，能级，只与主量子数有关，与角动量量子数及磁量子数无关，但波函数与，三个量子数有关，能级是简并的，注意到的取值：因此简并度是（2）利用氢原子能级公式可解释氢原子光谱17，并给出里德伯常数，电子能级跃迁到时辐射出光，它的频率为这就是巴耳末公式。式中是里德伯常数；若用约化质量，则=10967758。从理论得到的值与实验值很好的符合，由此可见，量子力学比玻尔理论更成功，它可以直接从求解氢原子的薛定谔方程给出氢原子的光谱18，而无须依赖玻尔原子论中的各种假设，整个理论显得更自然和更严密。5.2 对波函数形式的讨论5.2.1 径向分布函知道了氢原子的波函数，就可以进一步讨论氢原子内电子在空间各点的几率分布。当氢原子处于态时，电子在点周围的体积元内的几率是将此式对积分，并注意是归一化的，我们便得到在半径到的球壳内找到电子的几率是称为径向概率分布函数，我们列出最低的几个的表达式：在不同的值时对的曲线如下图。曲线上的数字表示的值。图1 与的函数关系图 与的函数关系图2 与的函数关系图3 与的函数关系例如，30表示从图中还可以看出是的节点数目；比如30曲线，=2，这曲线有两个交点。从上式还可以证明，当氢原子处于基态时，在电子与核的距离为处的几率最大。5.2.2 角分布函数 电子出现在角度为处的立体角的几率1, 3是：下图表示在各种的态中对的函数关系。由于与角无关，所以这些图形是绕轴旋转对称的立体图形。图4 态电子角分布图5 态电子角分布图6 态电子角分布图7 态电子角分布例如，在时几率是它与也无关，所以在图中是一个球面。又如，时，几率在=（不论取何值）有最大值，在极轴方向（）的值为0，而在时，情况则恰好相反，在=0处几率有最大值，=处几率为0。6 小结本文是利用特殊函数来求解氢原子的薛定谔方程，采用分离变量法，将其化为常微分方程，在对分解后的常微分方程求解过程中，引入特殊函数，从而解出氢原子的能级及波函数形式19，由能级和波函数形式，我们更有力更合理地解释氢原子光谱以及推导出巴耳末公式，同时由波函数形式，我们根据其归一性也更好的说明电子在核内分别按径向和角向两种分布情况，分别对能量和波函数形式加以讨论得出能级分立，最可然半径，跃迁公式20等。7 附录附录（一）连带勒让德函数为了得到一般情况下的球函数，首先要求解连带勒让德方程:（）连带勒让德方程常点，可以在的邻域上求连带勒让德方程的级数解，但是直接运用级数解法所得系数递推公式比较复杂，每个递推公式涉及三个系数，从而难于写出系数的一般表示式。因此，通常作变换把待求函数从变换为，在这变换下把以上三个式子代入连带勒让德方程，就把它化为的微分方程：事实上，微分方程就是勒让德方程逐项求导次后得到的方程，应用关于乘积求导的莱布尼茨求导规则把勒让德方程求导次，其结果是即 这正是的微分方程，因此，解应当是勒让德方程的解的 阶导数，我们知道，勒让德方程和自然边界条件（在为有限）构成本征值问题，本征值是，而为整数，本征函数则是勒让德多项式，那么，方程也就与自然边界条件构成本征值问题，本征值同上，本征函数则是的阶导数，即以此代回得这叫做连带勒让德函数，通常记作其中只是的阶导数。总之，连带勒让德方程和自然边界条件也构成本征值问题，本征值是，本征函数则则是连带勒让德函数。是阶多项式，它最多只能求导次，超过次就得到0，因此，本征值中的整数应大于等于，对的一个确定值，连带勒让德函数中的只能取值当=0时，连带勒让德函数简化为勒让德多项式，下面列出的连带勒让德函数的具体形式。附录（二）合流超几何函数形式如下的微分方程称为合流超几何方程=0点则是方程的正则奇点，=是非正则奇点，其余为常点，先研究方程的解在奇点=0附近的行为。当0时，方程渐近形式表示成 令代入，可得出指标方程它的两个根为当整数时，可以用级数解法求得微分方程的两个线性无关解。先讨论与相应和级数解代入合流超几何方程，要求方程左边的各次项的系数为0，得出和递推关系为 由此可得出 所有系数均可用表示出来，为任意常数，这样，我们得到了方程和一个解，通常到=1，级数解记为 其中： =这级数解只当和负整数才有意义，由定义的函数称为合流超几何函数21。由于整数，即整数，与根相对应，方程的另一个线性独立的级数解可表示为代入式得与合流超几何方程比较，形式上完全相同，只是参数不同，上式的一个解可以表示成这样，在整数和情况下，我们找到了的二个线性独立解，为在的性质，按递推关系，当时，这个比值与和幂级数展开的系数比值相同，因此，时当可负整数，应取解，此时一般没有意义，除非也是负整数，此时可令为一个多项式22而=为无穷级数，当，两解相同，均为当正整数，应取，因为一般失去意义，除非是不小于负整数，此时是一个多项式，而则为无穷级数（因为），因此当整数时，而又非适当的负整数时，要用另个的办法找第二解。参考文献1 周世勋.量子力学教程m.北京:高等教育出版社,1979.64-77.2 苏汝铿.量子力学m.上海:复旦大学出版社,1997.99-110.3 苏汝铿.量子力学m. 北京:高等教育出版社,2001.62-70.4 汪德新.数学物理方法m.武汉:华中科技大学出版社，2001.99-130.5 梁昆淼.数学物理方法m. 北京:高等教育出版社,1998.273-308.6 曾谨言.量子力学导论m. 北京:北京大学出版社,1997.99-101.7 曾谨言.量子力学卷1（第三版）m. 北京:科学出版社，2000.322-335.8 宋鹤山.量子力学m. 大连:大连理工大学出版社，2004.121-129.9 张永德.量子力学m. 北京:科学出版社，2002.101-110.10陈鄂生.量子力学基础教程m.山东:山东大学出版社,2003.315-320.11程守诛.普通物理学（第五版）m. 北京:高等教育出版社,2001.378-384.12高等数学m.四川:四川大学出版社,1978.100-130.69-140.13季燕江(e-mail: )量子力学讲义(notes on quantum mechanics) eb/ol北京科技大学 应用科学学院 物理系url: /eprint/abs/1.html or /，2003-8-12/2006-4-16101-112.14 e.h.wichmann,berkeley physics course,vol.4,quantum physicsm, 1971.132-141.15 d.landau & 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