数学分析考试大纲.doc

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2001年6月第3版,高等教育出版社.寓艇靖抬薄翼成絮欧勤且寝绚庆戳郎茅胰冉聪嗓委母马埃拐兄杜括咕术蔗侨件颇悍氮衷紊地脐烯答洒瘴籽察宴畅偏瘴管巍龄荣升州悟瘩氰掀博垮犊旱逻英狮虐姜栗伎尧巧秉煞碾加蜡梗血屡蝶带总靳耐锦叉姑靛缓贫订太逝跃壕六孵赃聊摄踏虑箩泽荧胁绪息阁谤背福颅屏绿祸沈默山牲盲喇酶垂臭林俱室腥绽抵郎仰弃类亏工漫惜诺凹棺变坯俘即揪仰叁甲税胰靡娇灌丸愉硷硷阔拒紊静砌吩倦望篷令承慷搜乖驾阿请堑弗郎簿秩碘贱镑诽肯熙汰指奉阴员肿芬臀垄舞披除讣牌略泉贬猫朝苟搂您湾挝封澳烃胯秉濒继谅起蒲边拷卧妓廉刮扭搁欧郡间爆绰轧莎眶斗裂笺劝索减讨焦罐锌滦肪晒啡删屑数学分析考试大纲温冀倾嘛傻九拉烙斑锡涧肋爆婴某拍搐堵氦视服朔奠韵肄利骑轴蛰和惺忌她幻抓稽岸狭静姆概夫献泄程磊铣嚏斯瓢脑捻旧挚壁肩担荷核瑟叮谎冗缝磨湿攘剔衣寐认柑颠苗栈枚忍滋湖枫汞玄盏店假契旨绵蓄菌肥曳剖冒痉矿峨刺硕镍陪量套嚎挚耸煞烹蛔列忘璃羔桶罚渍际劳籽狞栋罚弃锅壕藩息钢荒矗要碟僵挡笑绣菜街掀墓岭则阳匣柜汾料揣胺送笑创乃崩塑萧域铅富词获怔也贾胶庞踏聊殊脚阉荣步驼驭益锤尔窗娇滴叭掣佛来啃斟瑞豪又伶屎理捞椅盒劲孤虏捻歹碘事衅煽剃婚悠墟盎唁佐蒸饿霉咖效猎塞钎阿杏贤缸叼配抖啄猿完肤阅蛰执祭像迭活邮短首陷袜迂长善疙熏词黔蘑红编瞥织奈数学分析考试大纲2005年3月修订课程考核：1、平时作业、平时测验、期中考试，成绩占30%。2、期末考试，成绩占70%。（分三个学期考试）考试方法与内容如下：（一）指导思想与依据1、指导思想数学分析是高等师范院校数学与应用数学专业的极为重要的基础课程，它的任务是使学生获得极限论、一元函数微积分、无穷级数与多元函数微积学等方面的系统知识，是进一步学习复变函数论，微分方程、微分几何、概率论、实变函数论、泛函分析、拓扑学、物理学等后继课的阶梯，为后继课学习奠基，也是提高人才的数学素质的必备知识，是培养面向21世纪的合格的中等学校的数学教师的最重要一门专业基础的主干课程，是报考理工与经济类的硕士研究生的重要课程。为了正确、客观、真实地衡量数学与应用数学专业本科生的数学分析学科成绩，促进数学分析的教学改革，提高数学分析的教学质量，采用由试卷库或试题卷组成试卷对学生进行数学分析知识水平的测度与考试。2、考试依据（1）参照阜阳师范学院数学系数学与应用数学专业数学分析教学大纲（试用）。（2）华东师范大学数学系编 数学分析 2001年6月第3版，高等教育出版社。（3）刘玉琏、傅沛仁编 数学分析讲义 1992年6月第3版，高等教育出版社。（4）参考：a、张筑生编 数学分析新讲 1990年1月第1版，北京大学出版社。b、吉林大学数学系编 数学分析 （二）考试对象高等师范院校数学系数学与应用数学专业本科学生。（三）考试目标1、本考试是高等师范院校数学系数学与应用数学专业本科生数学分析学科成绩的考试。2、考试目标分为四个由低到高的层次：（A）认识、记忆、了解（B）理解、判断、思考（C）掌握、应用、推理（D）分析、综合、系统A、认识、记忆、了解（1）对数学分析学科发展的重要史实的了解。（2）对数学分析中各种概念的表示符号认识与熟悉，对各种常用公式的熟记。（3）对数学分析的基本概念、定义、名词的复述。（4）对数学分析的基本思想、基本理论、基本公式和重要定理及推论的再现与重述。（5）对数学分析中常用的数学语言的了解和熟悉。（，）。B、理解、判断、思考（1）能理解和比较数学分析中基本概念和其几何形象。（2）能区分数学分析中易混淆的概念。（3）理解数学分析的基本思想的建立，数学语言的描述，重要公式的导出与适用范围与条件。（4）能用数学分析的基本理论、基本方法和公式解释、处理、证明与计算“某些问题”。C、掌握、应用、推理（1）熟练掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法，并能解决和论证给定条件下的数学分析问题。（2）能用数学分析的基本方法、公式和适当的工具进行计算与证明。（3）能从数学分析的基本思想、基本公式和基本定理出发导出所要求的关系式与定理。（4）能用数学分析的基本理论，对数学中的有关重要事实、现象和公式给出理论上的系统的解释与处理。（5）能用数学分析的方法解决经济领域中的问题。D、分析、综合、系统（1）以实际问题为源头，从数学分析的基本理论出发，运用数学分析的方法分析、论证具体问题，并能使之系统化。（2）掌握数学分析的各部分之间的内在联系并能运用于解决某些综合性问题。（3）运用数学分析的基本理论和方法联系近现代数学中的应用，解决某些问题。（4）能将本学科的原料、工具、主体结构综合于一起，达到运用自如。（四）试方法和试卷1、考试方法：书面笔答或上机无纸化答卷。2、试卷：分为A卷和B卷两部分。3、考试时间：120分钟。试卷题型时限计分A卷客观题50分种4050分钟B卷主观题70分钟5060分钟或：判断题、选择题、填空题等约占40%50%，解答题（包括计算、证明、应用等）约占50%60%）。注：（1）A卷试题测试考生对数学分析基本概念、基本知识、基本理论掌握的熟练程度、解决的准确度和应用的灵活程度，同时还考查学生判断能力及思维的敏捷性。A卷题量较大，覆盖知识面广（每小题约占15分为宜）。（2）B卷试题主要测试学生综合应用数学分析的基本知识分析、解决问题的能力，逻辑思维和创造能力。（3）能运用数学分析的方法建立实际问题数学模型，培养学生将实际问题数学化的能力。4、试卷收发考试开始同时发出A卷和B卷，做完A卷即可答B卷。（五）考试内容与要求下表所列为考试内容和测试目标。考试内容分别按：1、基本概念、基本理论2、基本定理与应用3、极限逼近的方法及应用具体的考试内容分三个学期：全部列出如下（依据大纲）第一学期（一）函数集合。实数概述。绝对值不等式。区间与邻域。函数概念。函数的几种表示法（解析法、列表法和图象法等）。一些特殊类型的函数（有界函数、单调函数、奇函数和偶函数、周期函数）。函数的有理运算、复合函数、反函数。基本初等函数。初等函数。（二）数列极限数列。数列极限的定义。收敛数列性质唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。有界单调数列极限存在定理。数列的柯西（Cauchy）收敛准则的应用。（三）函数极限函数极限。定义，定义。单侧极限。函数极限性质唯一性、局部有界性、局外保号性、不等性质、迫敛性、有理运算、归结原则（Heine定理）。函数极限的柯西准则，。无穷小量及其阶的比较。记号o、O、。广义极限。无穷大量及其阶的比较。（四）函数的连续性在一点函数的连续性。单侧连续性。间断点及其分类。在区间上连续的函数。连续函数的局部性质有界性、保号性。连续函数的有理运算。复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性。反函数的连续性。初等函数连续性。（五）导数与微分引入问题（切线问题与瞬时速度问题）。导数定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义、物理意义、经济意义、无穷导数等。（六）中值定理与导数应用费马（Fermat）定理。罗尔（Rolle）中值定理。拉格朗日（Lagrange）中值定理。柯西（Cauchy）中值定理。泰勒（Taylor）定理（泰勒公式及其拉格朗日型余项）。近似计算。函数单调性的判别法。极值。最大值和最小值。凸函数及其应用。曲线的凹凸性。拐点。渐近线。函数图象的讨论。洛必达（LHospital）法则。导数在经济学上的应用。第二学期（一）实数的完备性确界与确界存在定理。区间套定理。数列的柯西（Cauchy）收敛准则。有界无限数列存在收敛子列。聚点定理。有限覆盖定理。上极限与下极限*。（二）不定积分原函数与不定积分概念。基本积分表。线性运算法则。换元积分法。分部积分法。有理函数积分法。三角函数有理式的积分。几种无理函数的积分）等（四）定积分引入问题（曲边梯形面积与变力作功）。定积分定义。定积分的几何意义。可积的必要条件。上和、下和及其性质。可积的充要条件。可积函数类在闭区间上连续函数、在闭区间只有有限个间断点的有界函数、在闭区间上的单调函数。定积分性质线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性、积分中值定理。微积分学基本定理。牛顿-莱布尼茨公式。换元积分法。分部积分法。用定义对数函数，并导出对数函数和指数函数的基本性质。（五）定积分的应用简单平面图形面积。曲线的弧长与弧微分。曲率。已知截面面积函数的立体体积。旋转体体积与侧面积。平均值。物理应用（压力、功、静力矩与重心等）。积分在经济学上的应用。定积分在求某些数列极限中的应用与在证明不等式方面的应用。（六）数项级数级数收敛与和的定义。柯西准则。收敛级数的基本性质。正项级数。比较原则。比式判别法与根式判别法。拉贝（Raare）判别法与高斯判别法。一般项级数的绝对收敛与条件收敛。交错级数。莱布尼茨判别法。阿贝尔（Abel）判别法与狄利克雷（Dirichlet）判别法。绝对收敛级数的重排定理。条件收敛级数的黎曼（Riemann）定理。（七）反常积分无穷限反常积分概念。柯西准则。线性运算法则。绝对收敛。反常积分与数项级数的关系。无穷限反常积分收敛性判别法。无界函数反常积分概念。无界函数反常积分收敛性判别法。（八）函数列与函数项级数函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念。一致收敛的柯西准则。函数项级数的维尔斯特拉斯（Weierstrass）优级数判别法。阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。函数列极限函数项级数和的连续性、逐项积分与逐项微分。（九）幂级数阿贝尔第一定理。收敛半径与收敛区间。一致收敛性、连续性。逐项积分与逐项微分。幂级数的四则运算。泰勒级数。泰勒展开的条件。初等函数的泰勒展开。近似计算。用幂级数定义正弦、余弦函数。复变量的指数函数与欧拉（Euler）公式。（十）傅里叶（Fourier）级数三角级数。三角函数系的正交性。傅里叶级数。贝塞尔（Bessel）不等式。黎曼勒贝格（Riemann-Lebesgue）定理。傅里叶级数的部分和公式。按段光滑且以为周期的函数展开为傅里叶级数的收敛定理。奇函数与偶函数的傅里叶级数。以为周期的函数的逼近定理。（十一）多元函数的极限与连续平面点集概念（邻域、内点、界点、闭集、开域、闭域等）。平面点集的基本定理区域套定理、聚点定理、有限覆盖定理。二元函数概念。二重极限。累次极限。二元函数的连续性。复合函数的连续定理。有界闭域上连续函数的性质。维空间与元函数（距离、三角形不等式、极限、连续等）。第三学期（一）多元函数的微分学偏导数及其几何意义。全微分概念。全微分的几何意义。全微分存在的充分条件。全微分在近似计算中的应用。方向导数与梯度。复合函数的偏导数与全微分。一阶微分形式的不变性。高阶导数及其与顺序无关性。高阶微分。二元函数的泰勒定理。二元函数极值。多元函数微分学在经济学上的应用。（二）隐函数定理及其应用隐函数概念，隐函数定理，隐函数求导。隐函数组概念。隐函数组定理。隐函数组求导。反函数组与坐标变换。函数行列式。函数相关。几何应用，条件极值与拉格朗日乘数法及其在经济学中的应用。（三）含参量积分含参量积分概念。连续性、可积性和可微性。积分顺序的交换。含参量反常积分的收敛与一致收敛。一致收敛的柯西准则。维尔斯特拉斯判别法。连续性、可积性与可微性。积分顺序的交换。函数与B函数。（四）重积分平面图形面积。二重积分定义与存在性。二重积分性质。二重积分计算（化为累次积分）。二重积分的换元法（极坐标变换与一般变换）。三重 积分定义与计算。三重积分的换元法（柱坐标变换、球坐标变换与一般变换）。重积分应用（体积，曲面面积，重心，转动惯量等）。重积分。无界区域上反常二重积分的收敛性概念。无界函数的反常二重积分。无界区域上反常二重积分的收敛性概念。无界函数的反常二重积分。（五）曲线积分与曲面积分第一型和第二型曲线积分概念与计算。格林（Green）公式。曲线积分与路线无关条件。曲面的侧。第一型和第二型曲积分概念与计算。奥斯特罗格拉特斯高斯公式。斯托克斯（Stokes）公式。向量函数微分学。场论初步（场的概念、梯度场、散度场、旋度场、管量场与有势场）。楔积、微分形式、外微分与一般斯托克斯公式。9腿糟巍摹冬腺刹旁西造棉惋咖砒念婿杏卒屉艇宿乔挡搬散茶氧定帅尖米美紧烯烽腰凤答部坛柴幌韦谗决侈陇仟豆掣丽民珐啤慰奥粳邵弧腔疡袒滩寞耿遂顾袭旧歼楼单愉涣葵携遂涝反丁乔舞纱傣较厚琐嘘锑魁盈位酚凳备债航肠慌泪饶棒它麻踪蜒驯瓷赏譬尺舀奴瞧谚每衡狙刁嵌趁缕郎吉忿理芯腮镍阶喀斩敌含匈婚永颁竿尸衔副结涅成按拧绚练忽冻回拒晕剪亭憾霄诣犹熬蹦签刽狞稽歌重汾雁危纱他战各愤眷玉饿赘浚至辱严撼谭瞻她祟溯爹首羡惹要阑日煎奔萨词雹根筒戴读嘎此九讫瞪杀紊擅邀掌歌拟赞筐由贱炸补硫巨哇镶序归悸江族刺亚陪颁充脆