（物理电子学专业论文）基于级联双稳系统随机共振的加强.pdf

摘要 随机共振是以噪声为媒介引起微弱周期信号与双稳系统协同作用的一种非 线性现象。噪声不再是有害的，而是能够部分能量转移到输出信号中，提高输出 信噪比。当输入信号通过非线性系统后，加入噪声，粒子得到能量后会存在两种 运动，一种是粒子在单一势阱内附近随机的波动，另外一种是粒子越过中间势垒 的障碍在两势阱之间做跃迁运动，这两种运动有着不同的时间尺度。本文研究了 随机共振下的级联双稳系统加入周期与系统粒子在单势阱中波动的时间尺度相 匹配的第二驱动信号后引起的效应。通过s 曲1 i n l 【设计模拟系统并进行仿真，观 察级联系统每一级系统都加入第二驱动周期信号与未加前后输出信号x ，频谱幅 值的变化。结果表明，第二驱动周期信号能够增强级联双稳系统随机共振的效果。 还分析了第一级加入驱动信号后输出信号频谱涨幅程度大于次级加入驱动信号 后涨幅程度的原因，并给出了第二驱动周期信号有效控制加强随机共振的条件。 本文还研究了利用随机共振大频信号尺度变换的方法，先对输入信号进行线 性压缩，等发生共振提取弱信号后，对其进行还原。用这种方法对一组叠加的未 知频率周期信号群进行信号提取，提高了信号处理的速度，也扩展了可通过输入 信号的频域带宽，该系统的自适应性也有较高的实际应用价值。 关键词：级联系统；多信号；尺度变换 a b s t r a c t n l i sp a p c rs n 碰e dm ee 妇t sm u c e db ya d d i n gt l 坞s c c o n dd 肌np 拍d i c s 远n a l ，t h et i m e a l e so fw h i c hm a t c h e s 妇o ft h e 血r a w e uf l u c t u a t i o 瑚，血o c 勰c a d e db i s t a b l es 骖i t e mu n d e rs t o c h 鹬t i cr e s o n 粕c e b a s e do nt h em o e i e ls y s t e m d e s 远n e db ys i m l i n ka n ds i n m l a t i o ne x p e r i n l e n t ，w ec a no b s e r 、r et l l ec h a n g eo f s p e c t f l l m 锄p h t u i 曲o f 也eo u ：t p u ts 远m lx 2b yc o m p a r i n gc 嬲c a d e db i s 讪l es y s t e m w i t ht l 把s e c o n dd 晰吼s 谵m li n c hl e v e la n dw i t h o u t 证t h er e s u hs b o w s 廿1 a tt h e s e c o n dd r i v e ns 螗越lc 跹即h a n c et h ee 任to f 咖c h a s t i cr e s 0 m n c eo fc 嬲c a d e d b 鼬l es y s t e 皿i ta j s o 锄蜘e dt 1 1 er e ：舔o nw h yt h ei n c r e 弱ea r e r 孤l d i n gt h es c c o n d s 远m l 血ot h e 丘r s tc 懿c a d c ds y s t e mi sb 逗h e rt h 柚t h eo n ea r e r 瓤l d i n gd i 如e ns 适m l 血ot h es u k c a s c a d e ds y s t e m a n di ts p c c m e dt h eq 砸l i f i c a t i o n 南rh o wt h es e c o n d d r j v e ns 噜越lc 粗c o m r o lt h e 哟c h a s t i cr e s 0 彻n c ee 伍c i e 】吐取 1 1 1 i s p 印盯a l s o s t l j d i e dt 1 1 es 劬h t i o no fm u n i p l es 蟾m l si ns t o c h 鹤t i c 曩懿。衄n c e ，a n dm i s c d 铆om 甜1 0 d s 幻d 船1w 油t l l el a 昭ep 嬲l m e t c rs 逗m l s t h e 脚e n c y s h i na n ds c a l et r a 璐旬瑚a t i o nc 锄s 懈s et h es 喀m l st ob es m l lp a r 锄e t e r m u l t i l es 噜m l s m u l t i p l e s 喀m l sj n 咖c h a s t i cd 鼯。船n c ec 姐s p e e d u ps 喀越l p r o c e 鼹i n go f t ：b cs y s t e m a n dm o s to fp m c t i c a lp f o j e c t 璐el a i 苫ep 黜眦喊e rs 远m l s ， i tb a sa p e r 蕾b c ta p p h c a t i o n k e yw o r d ：c 鹪c a d e db i s t a b l es y s t e m ；m u l t i p l cs 蟾m l s ；s c a l et r a _ n s f o m 吼t i o n 学位论文的主要创新点 一、大量报道研究的随机共振现象是针对单个信号而言，本文研究了 利用随机共振大频信号尺度变换的方法，对一组叠加的未知频率周期 信号群进行信号提取，提高了信号处理的速度，也扩展了可通过输入 信号的频域带宽，该系统的自适应性也有较高的实际应用价值。 二、双势阱中的粒子在吸收能量后会引起波动，本文在级联双稳系统 中加入一个可以驱动势阱中粒子层级运动时间与信号的周期相同的 输入信号，可以使得级联双稳系统输出信号频谱幅度变高。 第一章引言 1 1 随机共振 第一章引言 随机共振( s t o c h 鹪t i cr 伪。蚴磺 ，简称s r ) 这个名词最早是由b e 北i 等人在 研究古气象冰川问题时提出的【1 6 j ，地球总共有两个时期，冰川期和暖气后期， 这两个气候期都是以1 0 万年为一个周期，在这个气象学的基础上，许多学者发 现地球围绕太阳公转的偏心率变化周期也是1 0 万年，这说明太阳给地球输入了 一个周期信号，使得冰川期与暖气侯期的交换，然而这个信号很小，理论上无法 引起这么大的幅度变化，因此学者们研究这一周期信号与地球所构成的系统一定 是个非线性系统，并且它们之间产生了一种协同效果，于是人们把这种现象称为 随机共振。简单的说，随机共振现象是指，在一个非线性系统的环境下，若给此 系统输入微弱的周期信号和一个适当强度的噪声，在慢慢增大噪声强度的过程 中，系统输出的信噪比不旦没有降低，反而有所升高。随着大量学者对随机共振 的研究，人们发现随机共振在大噪声弱信号背景下提取有用信号的方法比以往滤 噪的方式要更有优势，因此为随机共振的研究提供了一个广阔的应用前景。 在随机共振提出来之前，对于弱信号淹没在强噪声中的这种情况，大部分学 者选择用滤波器滤除噪声的方式，此方法是基于线性系统所做的工作。此种方法 对于噪声过大的情况不适用，因为过大噪声强度的信号用滤波的方式无法滤除彻 底。而采用非线性系统可以解决这种问题，目前常用的是在线性滤波中加入非线 性放大环节。由于它还存在一部分线性系统的成分，因此没有完全摆脱线性系统 的局限性，对于强度较大的噪声仍然存在问题。但是，随机共振充分说明了噪声 不再是干扰有害的，而是可以变成有利于增强输出信号能量的有用信号，有时对 于提取信号来说，起到至关重要的作用。因此，近年来也有越来越多的信号处理 方面的学者研究随机共振这一理论1 6 7 。 在化学、生物学、物理学和信息论等基础科学中，随机共振已经在这些领域 中有着广泛的影响力。同时在电子学、激光系统和控制论等工程学领域也有随机 共振的存在。随着各个领域学科中随机共振现象的发现，随机共振的理论研究和 应用研究非常有研究的价值。 天津工业大学硕士学位论文 1 2 随机共振国内外研究现状 随机共振理论提出以后，许多国内外学者对此理论产生了浓厚的兴趣。此后， 各国学者做了大量的理论研究和应用试验，使随即共振理论和实验研究进一步得 到发展。 蛐h c h 舳k o 等人研究了随机共振现象在过阻尼振荡器模型下的存在形式， 特别研究了c h u a s 电路中的随机共振现象，并在不同力学特征下对这几种随机 共振特性进行了对比【8 】。c a r o h 用通过用展开隔热特征函数的方法研究双势阱函 数。f o x 研究了非磁滞双稳态中的随机现象【9 】。m 锄t e g 强和s p a g n o l 0 研究了快 速双稳电子系纠1 0 】。文中提到了现在应用的最高频率1 0 灶z 。s u s 觚n c o p p e 舳i t h 和r 血v a1 0f s t e d t 在实验室证实了在宏观系统中也存在随机共振现象。 随机共振理论在信号处理方面应用的时间不是太长，因为这个理论在这个领 域有局限性。根据绝热近似理论，输入周期信号引起的功率谱和噪声引起的功率 谱共同构成了非线性双稳态系统输出的功率谱，它具有洛伦兹分布形式。而洛伦 兹分布的功率谱有输出信号能量向低频区域集中的趋势。因此，能够产生随机共 振谱峰的频带，将局限在系统输出功率谱的低频段。频率能量均匀分布的白噪声， 经非线性双稳系统作用后，频谱结构将发生变化导致频谱能量向低频集中的趋 势。这就表明，随机共振只能处理频率很小的信号，并且只能利用低频信号的能 量，这对实际生活中有了很多局限性。所以，国内外好多学者开始研究对于大频 信号的处理方法，使大频信号也能发生随机共振现象。用移别1 1 】、二次采样【1 2 】、 小波变换【13 1 、尺度变换【1 4 】等方法解决该问题，在理论解释上已经得到了很好的 证明。 移频方法，也就是调制随机共振方法【l 引，它是指将大频信号乘以一个与它 相近的信号，信号变换后会产生两个频率的信号，一个是这两个频率相加的频率， 另一个是这两个信号相减的频率。高频信号在双稳系统中无法发生随机共振，因 此只有小信号可以发生随机共振，通过双稳系统后，两信号频率相减的信号可以 发生随机共振，于是可以还原最初始的信号，此种方法叫做频移。这个方法简单 易行，但对于信号的稳定性要求较高，对于微弱信号的检测较为不利。 二次采样是指将大频率信号进行重新采样，使其变成可以发生随机共振的小 参数信号。然后再根据最初采样的比例还原出原始信号。二次采样的实质是将一 个较高频率变换为一个较低频率( 符合绝热近似条件) 的过程【l6 】。系统首先将 实测采集的数据经过二次采样器进行高频到低频的变换，然后将低频小信号数据 再送入双稳系统产生随机共振，最后按照二次采样的频率变换比恢复实测数据的 采集尺度，得到噪声背景下的弱信号特征值。这个方法在理论上较为严谨，而且 2 第一章引言 已经作过实测信号的数据处理。 小波变换是指用有限长或快速衰减的、成为母小波的振荡波形来表示信号， 该波形被缩放和平移以匹配输入的信号。小波变换【l7 】分为两个大类，离散小波 变换和连续小波变换。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移 上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。小波理论和几个其他课 题相关，所有小波变换可以视为时域频域表示的形式，所以和调和分析相关，所 有实际有用的离散小波变换使用包含有限脉冲响应滤波器的滤波器段，构成 c w r 的小波受海森堡的测不准原理制约，或者说，离散小波基可以在测不准原 理的其他形式的上下文中的考虑。 所谓变尺度随机共振，就是压缩大频信号使其变成能够发生随机共振的小信 号，然后分析双稳系统的响应谱，判断发生随机共振的频率参数，最后再按压缩 尺度比还原原始信号频率。这种方法可以概括为，将大频信号线性压缩成可以发 生随机共振的小频信号，使的大频信号发生随机共振能够实现。该方法将原实测 采集信号的每一频率成分相对于新定义的采样频率进行了重新归一化，因此它没 有改变原始信号的基本性质。该方法对于实际应用中的大频信号有很大的价值。 通过以上所介绍的三种常用方法，解决了工程上许多大频信号不能发生随机共振 的问题。但是大部分研究还是基于理论研究，对真正的项目实施，结果还与理想 有些差距。 1 3 随机共振国内外研究现状 本文首先介绍了随机共振现象的产生以及近几年国内外的发展状况，和国内 外学者在随机共振领域内做出的一些贡献。说明了随机共振在很多领域都是起到 了很重要的作用，因为噪声不再是干扰有害的，而是能够变成有用的输出信号能 量。这点研究对线性系统滤噪工作有着很深远的意义。 随后本文介绍了研究随机共振所用的理论模型，以及模拟实验仿真的软件， 这些都是学习随机共振理论必备的。我们要能理解随机共振的原理是什么，为什 么噪声信号的能量会转换成输出信号的能量。 文章在随后的两章研究了级联双稳系统随机共振的加强研究和提取多信号 随机共振的一种自适应方法。对实际工程中都有很大的价值。 首先级联双稳系统有很多优点，即它可以使输出信号波形图的毛边更加平 滑，并且会使输出信号的功率谱更高，使更多的噪声能量向低频区域集中，转化 成输出信号的能量。本文在级联双稳系统的基础上又提出一种增加驱动信号使得 随机共振现象加强的方法，更加提高了输出信号的信噪比。 天津工业大学硕士学位论文 大量的报道研究的都是单信号输入【1 8 2 4 】，这种方法效率低，与实际工程差距 较大。本文提出了一种可以同时处理多个信号的方法，并且多个信号可以是大频 信号，系统采用线性压缩的方法，还有系统自带的自适应系统，从而提取出多个 信号。对实际应用也有很大的价值。 课题研究的目标是可以更加深入的了解随机共振原理，并且在此基础上可以 研究出更加适合实际应用的系统或方法。 1 4 课题的仿真开发工具 s i m u l i n k 是m a t l a b 中最重要的组件之一【2 5 】，它提供了一个动态系统建模， 仿真还有综合分析的集成环境。在这种环境中，不需要大量书写程序，而是只需 要通过简单直观的操作，就可以画出构造出复杂的系统。 s i m u l i n k 具有适应面广、结构和流程清晰及仿真精细、贴近实际、效率高、 灵活等优点，并基于以上优点s i 珊j h n k 已被广泛应用于控制理论和数字信号处理 的复杂仿真和设计。同时又大量的第三方软件和硬件可应用于或被要求应用于 8 i m u l i n k 。 s i m u l i n k 作为m a t l a b 中的一种可视化工具，是一种基于m a t k i b 框图设计环 境，实现动态建模，仿真和分析的软件包，被广泛的应用于线性系统和非线性系 统、数字控制领域及数字信号处理建模和仿真中。s m l i n k 可以用连续采样时间、 离散采样时间或两种混合的采样时间进行建模，它也支持多速率系统，也就是系 统中的不同部分具有不同的采样速率，为了创建动态系统模型，它提供了一个建 立模型方块图的图形用户接口，这个创建过程只需单击和拖动鼠标操作就能完 成。它提供了一种更快捷，直接明了的方式。而且用户可以立即看到系统的仿真 结果。 s m l i n k 是用于动态系统和嵌入式系统的多领域仿真和基于模型的设计工 具，对各种时变系统，包括通信，控制，信号处理，视频处理，图像处理系统， s i m u l i n k 提供了交互式图形化环境和可定制模块库来对其进行设计、仿真、执行 和测试。 构架在s i 姗l i n k 基础上的其他产品扩展了s m h n k 多领域建模功能，也提 供了用于设计、执行、验证和确认任务的相应工具。s i m u l i n k 与m a t l a b 紧密集 成，可以直接访问m a t l a b 大量的工具来进行算法研发，仿真的分析和可视化、 批处理脚本的创建、建模环境的定制以及信号参数和测试数据的定义。 4 第二章随机共振理论 第二章随机共振理论 随机共振的原理就是将周期信号与噪声共同传输到双稳系统中，在噪声不断 增强的同时，输出端的信噪比会有一个高峰，也就是此时噪声对输入信号在频率 上有一个协同作用，使得噪声能黄转化为输出信号的能量。这种现象就是随机共 振现象。通常理论上解释随机共振现象的最简单模型是郎之万( l a n g e v 蛐方程。 2 1 非线性系统 2 1 1 双稳态系统郎之万( l a n g e v i n ) 方程 本文采用最简单的双稳系统出出= 肛一x 3 o ) 、周期信号彳s 证( 2 矾f ) 和 白噪声n ( t ) 。对应的郎之万方程为【2 6 】： 出破= 肛一x 3 + 彳c o s ( 2 矽) + 以( f ) ( 2 1 ) 其中，力( f ) = 2 d g ( f ) ，g ( d 代表均值为o ，方差为l 的高斯白噪声，d 是 噪声强度，工( f ) 是输出信号。相应的势函数为： u ( 力= 一去肛2 + x 4 一彳c o s o 硼+ 刀( ，) ) ( 2 - 2 ) 此双稳系统分别由两个势阱与一个势垒构成。 式( 2 2 ) 可改写为动力学随机变量x ( f ) 的概率分布函数所遵循的f p e 为： 塑笋：一昙【肛一x 3 + 彳c 。s ( 2 矽) p ( 彬) 】+ d 兰p ( ) ( 2 3 ) 因为此f p e 函数中含有非自治项一m c o s g 硼从x ，f ) 】，因此这个方程不存 珊 在定态解，求不出精确的解。因此，人们必须找到一种近似的数学方法来求出它 的近似解。目前最常用的是绝热近似和本征态展开两种近似方法，本文主要探讨 绝热近似方法。 2 1 2 单稳态系统 这种系统只有一个势阱，不像双稳系统那种存在势垒。 最常见的是单阱杜芬振荡器： x + 2 r k + 国? 工+ 芦3 = j ( f ) + 刀o ) = 占c o s f + 聆o ) ( 2 4 ) 5 天津工业大学硕士学位论文 其中1 1 酬 o 。这个系统只有在弱信号的环境下 能发生随机共振。 2 1 3 门限系统 最简单的系统之一，可以发生随机共振现象。一个简单的门限系统模型为： 妁一s s n = _ 粼；口 协5 ) 其中信号砸) = s o ) + ”o ) ，门限口r ，不同的门限可以把信号量子化。 2 2 绝热近似理论 本文主要以绝热近似性为理论框架【2 7 】，到目前为止，没有一种固定的理论 模型框架，许多学者每生成一种理论就有一种模型，但是绝热近似理论是最常 用也是最具有理论依据的。 1 9 8 9 年m c n 猢提出了绝热近似理论，这种理论适用于许多系统，它不 仅适用于离散二态系统，如史密斯触发器，也适用于连续双稳态系统。 当输入信号和噪声强度都很小时，即a “1 ，d o ) 。这样整个系统被分为两部分，一个区域为( - ，0 ) ，另一 个区域为( o ，) ，第一个是x = 一的吸引区间，后者为x = 的吸引区间。 在两势阱中，概率可以表示为： 山冉砷 p o ) = ip ( x ，f ) c 玩p + ( f ) = l p ( x ，f ) 西c ( 2 - 6 ) 显然，n ( f ) + n 9 ) = l 。当输入信号为小频弱信号这种情况，f 1 。 从此可以看出系统这两个势阱中，质点在某个势阱内部振动所需的时间远小 于质点在两势阱之间跃迁所需的时间，同时对于系统想要跟随信号达到频率一致 的时间也相差很多。由于每个势阱内部运动的时间相对于两个势阱之间转换的时 间来说太短暂，可以忽略不计，这就是所说的绝热近似理论。在绝热近似条件下， f p e 式的长时间演化行为可以简化为p 一( f ) 和以( f ) 的两个量之间进行概率交换 的主方程： z ( f ) = 一冠( r ) 只( f ) + 尺+ ( f ) 只( f ) = r + ( f ) 一【灭+ ( d + 疋o ) 】只( f ) ( 2 7 ) r ( f ) 为所对应的周期函数，式( 2 7 ) 解出得， 罡( r ) = u - 1 0 ) 【p - ( f o ) + 【足o 。) u ( f 。) 坊】 6 第二章随机共振理论 u ( f ) = e 冲u 【r ( f ) + 足( f ) 】西j ( 2 - 8 ) 假设咫( f ) 具有以下形式： 皿( f ) = ( 口+ c o s ( 2 矽” ( 2 9 ) 将此式展开为： 墨o ) = 去( r o 千置c o s g 刀回+ 恐2c o s 2 ( 2 刀回干) ( 2 一l o ) 其中 圭r 叫妣扣= 等等，万= 舯 ( 2 - 由此可得 墨( f ) + 足( ，) = r + 2c o s 2 ( 2 缈) ( 2 - 1 2 ) 将式( 2 8 ) 展开，将最终的结果代到式( 2 - 7 ) 中，便可得到 且c 。= 丢 p 一心。一u 2 丘。，一千! 若三 三帮 + 亏崭 c 2 - ，3 ， 其中s 缸p2 赢，c 。s 秒2当气一硼时，最( f ) 趋 于渐进解乓( f ) ： 黜坤擀扣搿1 ( 2 - 1 4 ) 这一渐进解不是精确的定态解，但它与f 0 时最开始的状态没有关系。若 a o + 卅，r ) 表示在，这一时间点，系统在j 区间到f + f 这一时间点跃迁到i 区域 的概率( f _ ，= + ，一) ，那么由式( 2 一1 2 ) 可知 置。+ 叫+ j ，= 圭t p 一焉7 l - 干! 毛三；三帮j + l j ；喜 i 崭，2 - 1 5 ) 最。+ r i 一，= 三 p 一凡7 | - 一，千兰若三 i 兰帮j + 1 亏占善 擀j 2 - 1 6 ) 它的相关函数可以用以下式子表示： ( x ( f ) 印+ f ) ) = 慨归，h 杠f 玖彬) = 【只o + 叫+ ，) 砰o ) + 罡( ，+ 叫；d z o ) 一只o + 叫+ ，f ) 砰( f ) 一只( f + 叫+ ，f ) z ( f ) j 7 天津工业大学硕士学位论文 在式( 2 - 1 7 ) 中，跃迁速率可以用+ 表示，分布函数用- 表示，又因为只( f ) 概 率的大部分集中在万的附近，所以x 、y 在+ 、区域的积分直接由万和一万 的相乘的结果来取代，可算出渐进相关函数为 (x。，x。+f，)=胪一焉|fi一!王譬三孑晕鼍驴+兰堡壁三垒旦鱼覆羹孑；兰铲 ( x o ) x o + f ) ) 平均= 厂p ( x o ) x o + f ) ) 班 = 胪一r0 | 叫 - 一蚓+ 瑞 最终输出的功率谱函数为 s ( 国) = e ( x o ) x o + _ ) ) 平均p f 7 出= s ( 国) + s ：( 国) 其中 驰) 2 尚- 2 咖烈甜2 硎 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) s ：c 国，= t 一蒯搞 c 2 - 2 ， 式中墨( 缈) 来自输入信号，与输入信号同频。最( ) 则来源于输入的噪声， 它是具有洛伦兹性的连续分布的功率谱。在输出信号谱s ( 国) 中包括两个d c l 协 函数，一般只取正的国谱来讨论。以下我们用来表示信号谱。 蹦叻= 尚- 2 硎 ( 2 - 2 2 ) 为了将函数厂 + c o s g 硼) 以及系数置o = 0 ，1 ) 更加具体，我们现在分析式 ( 2 5 ) 。 在f 1 的条件下，输入信号频率很小，那么信号变化的速度就慢，这样系 统便可以轻松的保持频率与输入信号一致。 咖) c x 档 争扣觚。啦椰 协2 3 ， 若把势函数 ( 功= 一丝x 2 + x 4 一彳x c o 啦衫力 ( 2 2 4 ) 看做u ( x ) ，便可以得到式( 2 5 ) 概率跃迁速率。可以得到 第二章随机共振理论 蹦归去p 书( o ) 训圻灿 ：j ! ! 竺：p 一( 2 4 一、伍c 。s ( 2 习2 ) ) d( 2 2 5 ) 一2 窍 将式( 2 2 5 ) 代入式( 2 1 0 ) ，可以得到 r ：盟p 4 ， 万栌学 将式( 2 2 5 ) 代入，可求得输出的功率谱为 s ( 妫= 墨( 叻+ 是( 功 其中 = 老锅瑚 删邛一毒鬻筹象，若褊羚 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 输出总信号功率与缈= 2 矿处得单位噪声谱的平均功率之比，为输出信噪比，即 r ：i 志，只= r 墨( 缈) 如 ( 2 2 8 ) r = 二2 一， 只= ls ( 缈) 如 ( 2 2 8 ) 是徊= 2 们 4 七一。 则有 r ：亟丝：竺 4 d ( 2 2 9 ) 在a “l 时，式( 2 2 9 ) 的括号中第二项可省去，则有 r ：堕丝! 竺( 2 3 0 ) 4 d 这就是绝热近似性的表达式。 如果对式( 2 2 7 ) 的s ( 国) 积分，则输出功率为 气= j c o s ( 缈) 如= 2 掣 ( 2 - 3 1 ) 从式中可以看出此式子与噪声强度及信号振幅无关，且在随机共振现象中， 存在着噪声能量向输出信号能量转移的现象。 用绝热近似理论研究随机共振，方法比较简单，图像清晰。但是它的要求也 非常苛刻。如a “l 、d “1 和f l ，对于实际应用中有很大的局限性。 2 3 势阱切换理论与信号时间匹配条件 随机共振中，人们通常用郎之万方程相对应的双稳态势函数 9 天津工业大学硕士学位论文 u g ，f ) = 一每来研究它的粒子运动。当质点m 受到周期信号作用后，会引起 粒子在势阱内的波动或者在两势阱之间做跃迁运动。如果想让系统可以与信号频 率保持一致，那么必须使系统的参数条件与周期信号时间量程能够匹配，并且此 时达到了随机共振现象。 当质点m 未受到信号的作用力时，此时系统的逃逸速率为r ，其中： 肚去e 印( - 岩) 3 2 ， 在系统加入周期信号后，双稳态系统会产生倾斜，从而质点在波动力的作用下产 生波动。若此周期信号的能量比较弱，则质点在势阱内波动，若周期信号的能量 比较强，则质点会越过势阱到另一势阱内波动。系统引入一定的噪声后，能够使 系统跟随输入信号一致波动。很多实验结果表明，噪声引起的双势阱切换平均时 间为： 瓦( d ) = 击 ( 2 3 3 ) 也就是驱动信号的周期必须要大于等于两势阱切换之间的平均等待时间， 即砭2 瓦，这是绝热近似性的一个限制。 l o 第三章利用数值方法实现ia n 萨v i n 方程中的随机共振现象 第三章利用数值方法实现l a n g e v i n 方程中的随机共振现象 本文提出了将变步长龙格库塔( r l m g e k u t t a ) 算法应用于此微分方程的近 似求解，同时应用了m a t l a b 软件中的s m l i n k 模块对系统的整个电路进行模拟 仿真，不需要编码即可出来良好的结果图。并且对于工程中常用的大频信号，此 模块也表现出了良好的仿真效果。 3 1 龙格库塔数值解法 变步长龙格一是用于模拟常微分方程的解得重要一类隐式或显示迭代法。这 些技术由数学家卡尔龙格和马丁威尔海姆库塔在1 9 0 0 年左右发明。我们以四阶 公式为例： x 棚= + 尝( 七l + 2 也+ 2 屯+ ) 屯= 厣。一+ p ( f 。) 妒肿。+ 争七。+ 争3 嘲。+ 争 ( 3 - ) 屯叫争吨+ 争砒+ 争 丸= ( 工。+ 五屯) 一( x 。+ 厅颤) 3 + p ( f 。+ 办) 龙格库塔方法的过程为：以步长j j i 从点f 。出发求得x ( f 。+ 而) 的一个近似值 础，再以皂为步长从乙出发计算两步求得x ( f 。+ | i i ) 的另一个近似值工辫。若估 差= 岳卜嬲一x 老f 侈( p 表示所用的龙格一库塔的阶数，我们取p = 4 ) 且相 差不多， 孝为精度，则取x 也+ 。) 矗= 2 ，并以厅为步长计算r 川处的近似值 x m ；如果 善，则说明步长过大，应减小 步长，直到满足 善为止。 天津工业大学硕士学位论文 3 2 随机共振理论在弱信号检测中的仿真研究 为了更好的用实验验证理论解释，我们用了m a t l a b 软件中的s i m u l i n k 模块 来仿真这个实验，其优点就是仿真结果真实可靠，方法简便，易懂。其模型如图 3 - 1 。 图3 1 非线性双稳态随机共振模型 图3 1 中，s 远m lg e n e r ；蕾t o r 为能够产生正弦信号的模块，w 硫en o i s e 产生 均值为0 ，方差为l 的噪声。加法器a d d e r 将输入信号与噪声相加，即为 彳c o s g 硼+ 刀0 ) ，表示周期信号中混有噪声信号。p 1 5 0 d u c t 为乘法器，输入信号 进入双稳系统后三倍相乘变为x 3 。g a i n 为增益，对应系统参数口、6 。i n t e 蹦狮r 为积分器，输出为x 、输入为。加法器a d d e r l 的输入端由三部分组成：饿、一缸3 、 么c o s g 硼+ 刀( ，) 。对整个双稳系统和输入的信号噪声来研究，便可得到公式 ( f ) = 肛一x 3 + 彳c o s ( 2 矽) + 疗( f ) ，即我们模拟的朗之万( l a n g e v 蛐方程。s p e c t m m s c o p e 是波形显示器，可以显示信号波形图，为我们更好的研究信号性质提供好 的条件。 3 3 数值仿真结果 仿真实验中，我们利用微弱周期信号与高斯白噪声混合来进行数值仿真。 设有混合信号么c o s e 硼+ n ( ，) ，信号幅度a 卸3 v ，频率卸0 0 5 h z ，令 历= 日，噪声参数h = 0 4 ，采样频率为萨5 h z 。此时得到的输入、输出信号 波形和输出信号功率频谱如图3 2 。a 图是输入信号的原始波形，可以看出它是 1 2 第三章利用数值方法实现ia n g e v i n 方程中的随机共振现象 一个普通的周期信号波形，b 图是输入信号加入干扰噪声后，输入信号的波形图， 可以看出在加入噪声后，原来的信号被噪声淹没看不出原始的图形。在通过非线 性双稳系统后，发生了随机共振现象，此时输出信号的波形图呈现出与原始周期 信号类似的波形走向，说明随机共振可以复原原始信号，我们可以根据这个特点 提取强噪声背景下的弱信号。 信号在没有噪声能量时，只能在势阱内部波动，但是在有了噪声能量后，质 点可以在两势阱间跃迁波动，这样系统就可以追随输入信号的频率。 i_ ( a ) 原信号波形 3 4 小结 曩二。薯警：j i 篓 翟黧 。 l 爱? ( b ) 输入信号波形 、? ( c ) 输出信号波形 图3 2 随机共振系统的时域波形图 本文采用s i m u l i n k 软件模拟郎之万( l a n g e v 蛐方程中的随机共振现象，利用 变步长r l l n g e k l l t t a 算法和s m l i n k 软件实现了双稳态系统中随机共振方程的求 解。数值仿真表明，应用双稳态系统的随机共振特性可以从强背景噪声中检测出 低频微弱周期信号。但此系统只适合低频信号的检测，大参数信号需要进行一定 的处理后才可用随机共振方法进行检测，那也是我们的下一步工作。并且此种方 瓣瓣懑闺 天津工业大学硕士学位论文 法对于级联双稳系统也同样适用，我们将在第四、五章中详细说明这两种情况下 的随机共振。 1 4 第四章级联双稳系统随机共振的加强 第四章级联双稳系统随机共振的加强 4 1 级联双稳系统的模型及原理 g a 删m i t o n i 等人在1 9 9 9 年首次提出了控制随机共振的方法【2 引，l 6 c h e r 等人 提出了随机共振控制的理论框架【2 9 1 ，l i n 等人也提出了针对各种系统加强随机共振 的方法【弛3 。对于级联双稳系统的控制却很少提及。级联双稳系统是指将两个双 稳系统进行串联，并且第一级双稳系统的输出信号是第二级双稳系统的输入信号， 在表达式中，可以表示为： i 出。国= 口。x 。一6 l x ? + 彳s 缸( 2 矾f ) + r ( f )，、 【出2 西= 口2 工2 6 2 工；+ x l o ) 上式中，z 。为一级级联系统的输出信号，工：为次级级联系统的输出信号，式 ( 4 1 ) 为普通级联双稳系统的动力学方程，下面要研究如果在一级和次级级联双 稳系统中分别增加两个第二驱动周期信号，这两个信号能分别与第一二级系统自 身的粒子单势阱波动时问尺度随机同步，系统的随机共振效果是否加强。系统仿 真模型如图所示： 图4 一l 级联双稳系统仿真模拟图 图2 中，b a n d l i m i t e dw h i t en o s i e 为白噪声信号发生器，s i g n a lg e n e r a t o r 为信号发生器，可以设定所产生的信号，信号与噪声通过加法器成为混合输入的 天津工业大学硕士学位论文 信号，s c o p e 为波形显示器，从这里我们能看到我们所需要观察的图形，输入信号 通过双稳态系统，双稳系统由一闭合回路构成，输出信号x 经过p r o d u c t 乘法器3 次相乘变成了工3 ，另一路输出信号x 不变。它们分别通过g a i n 常数增益，并与信 号噪声相加，此再经过i n t e g r a t o r 积分器，便构成了一级随机共振系统，二级所 用模型类同。o u t l 为x ，o u t 2 为x ，。我们把两个双稳系统串联在一起，便构成了 级联双稳系统。在系统输出信号后接入f f t ，对其进行傅里叶变化，可以观察到最 终的输出功率谱图。 系统模拟图构成以后，便要设置参数。因为随机共振发生的条件除了满足3 个需要的信号，噪声，双稳系统以外，还需要满足绝热近似理论，这就要求 彳 l ，d l ，厂 l 。因此设定参数的时候不能选择大参数信号以及噪声。至于 大参数信号如何发生随机共振，以及如何检测出弱信号，已有很多文章通过二次 采样，移频，小波检测的方法解决，这里便不在赘述。 若加入周期驱动信号后，式( 4 1 ) 变为： f 出。班= 口l x 。一6 l x ? + 彳s i l l ( 2 矾f ) + b s i t l ( 2 研f ) + r ( f )，。、 【西吃d z = 口2 x 2 6 2 x ；+ x lp j + c s i l l ( 2 匆乞f ) x ，是一级双稳系统的输出信号，x ：是次级双稳系统的输出信号。设口i = 0 8 ， 6 l = 1 2 5 ，口2 = 0 8 ，6 2 = 1 2 ，么= 0 3 ，兀= o 0 0 5 ，z = 0 0 1 5 厶= o 0 l d = 0 4 ， 曰= o ，c = o 取采样频率六= 5 ，则采样时间z = ”= o 2 。参数的设置可以通 过双击模块进行。 数据设置好后，便可运行此系统，并从s c o p e 里观察波形图。 4 2 层级运动 噪声驱动下的双稳系统存在两种运动，一种是粒子在单一势阱内随机波动， 另一种是粒子越过中间势垒的障碍在两势阱之间做跃迁运动。这两种运动有着不 同的时间尺度。 以第一级级联系统为例，双稳系统中粒子在单一势阱内波动的时间尺度 五= 1 2 口l 【3 2 】。 第二种层级运动可以根据克莱默斯逃逸速率式来表达 耻去e 印( 一岩) 3 ， u = 口2 如。，此时粒子在双势阱之间跃迁的特征时间尺度为两势阱切换的平均 等待时间的二倍，即瓦= 纠心，发生随机共振的条件是信号周期r 瓦。 瓦= 等d 訇 4 ， 口l 第四罩级联双稳系统随机共振的加强 传统的随机共振指加入的周期信号与粒子两阱间跃迁的时间尺度匹配【3 引，却忽 略了阱内波动对随机共振的影响。若在输入端再输入一个第二驱动周期信号，使 此信号的周期与粒子在单势阱波动的时间尺度o - 相匹配，则会使1 与l _ ，o 的随机同 步配合的更好，促进更多的噪声能量转化为输出信号的能量。在级联双稳系统中， 每一级系统都存在着两种固有的时间尺度，因此在此系统发生随机共振的同时在 第一级和次级级联双稳系统中都加入第二周期驱动信号，便可进一步加强级联双 稳系统随机共振的效果。 4 3 实验仿真 因为b = o ，c = 0 。即级联系统假设没有加入第二驱动周期信号，观察x 。和x ： 波形图和频谱图。因为仿真实验有随机性，因此以下每组结果都取2 0 组数据进行 实验，求其平均数。 山情号量磐输山俯号 图4 2 级联双稳系统未加第二驱动信号，x l 和x 2 的时域图和频谱图( a ) 的时域波形和 频谱图，( b ) x 2 的时域波形和频谱图 图4 2 ( a ) 一级级联系统在只加了调制信号时，此周期信号只能引起系统粒子 在双势阱中的跃迁，此时，频率幅度为9 4 8 5 ，从峰值上看，系统达到随机共振。 图4 2 ( b ) 为次级级联系统输出信号的波形图和频谱图。从图4 2 ( b ) ，我们能 清楚的看到级联双稳系统对随机共振效果的优越性，从输出信号时域波形图中， 我们能看到比图4 2 ( a ) 更加平滑的曲线，滤除了一级双稳系统输出波形的高频小 幅毛刺，并且也能更突出信号的基本轮廓。从频谱图上，也能看出，频谱幅值达 到1 7 1 2 5 ，说明级联双稳系统可以提高随机共振的强度，增大最终输出的功率。 这是因为在级联系统中，一级双稳系统的输出信号五在经过非线性系统后， 性质发生了改变，此时它是由一个矩形波p ( f ) 与色噪声q ( t ) 组成，要解出它的功率 谱非常复杂。系统的输出功率是由两部分组成的，一部分由输入信号引起的墨( 厂) ， 它与输入信号同频，另一部分由噪声引起的最( 厂) ，具有洛伦兹分布形式。级联系 1 7 天津工业大学硕士学位论文 统中，虽然信号变成了矩形波，幅值上发生了变化，但仍然保持周期信号频率特 征，没有对最后功率有太大影响。而噪声在经过级联双稳系统后系统在低频区域 噪声逐渐增大，因此聚集的能量也越来越多彤】。虽然噪声的总能量没有变化，但 是却更多的转到了输出信号的能量中。 若b = 0 0 8 ，即在一级级联双稳系统加入第二驱动周期信号b s 缸2 顽f ，观察 输出信号和z ：的波形图和频谱图，如图4 3 。 山信号终山信号 囊搴h t ( a ) 图4 3 一级级联双稳系统加入第二驱动信号后，x l 和石2 的频谱图( a ) 工l 的时域波形和频谱 图，( b ) x 2 的时域波形和频谱图 图4 3 ( a ) 为加入第二驱动周期信号后x 的信号波形图和频谱图，虽然波形振 幅没有太大改变，但是频谱幅度达到1 1 8 7 5 左右，与图4 2 ( a ) 相比幅度增长，说 明双稳系统加入第二驱动信号能够提高随机共振的强度，证实了这种说法的真实 存在性。 图4 3 ( b ) 为x ，波形图和频谱图，频谱幅值为1 9 1 0 ，对比图4 2 ( b ) 也有一定幅 度的增长，是因为一级级联系统输出信号五的能量变大了，进而影响了x ：。 因为次级双稳系统中同样存在使粒子在单势阱中随机波动的时间尺度，因此 在次级双稳系统中也加入一个第二驱动周期信号，理论上也可以加强次级随机共 振的效果。我们取c = 0 3 ，厶= 0 0 l ，观察它的输出波形和频谱图。 第四章级联双稳系统随机共振的加强 图4 4 次级级联系统次级加入第二驱动信号后，x 2 的频谱图 图4 4 中x ：频谱幅度大概为1 9 0 0 附近，改变参数疋以及参数c 的大小进行多 次实验后，发现在次级双稳系统中未加第二驱动信号与加入第二驱动信号对x ，频 谱幅度差异不大，甚至加入后有可能变弱。究其原因，可能是加入驱动信号的频 率与系统参数不匹配，不符合单势阱波动时间尺度，反而混淆了原本的信号。所 以改变次级双稳系统的系统参数，观其变化，这里假定6 ，= 1 设口，分别为0 2 ，0 4 ， 0 6 ，o 8 ，1 0 。看未加驱动信号和加入驱动信号后哪个频谱幅值在每次仿真都有 所增加。经过大量实验我们得出当口：= 0 8 ，6 ，= 1 时，幅值变化最明显，仿真成 功的次数也最多。 ( a )( b ) 图4 5 口2 = o 8 ，如= 1 时，次级级联系统未加和加入第二驱动信号后，x 2 的波形图及频 谱图( a ) c = 0 时x 2 的时域波形和频谱图，( b ) c = 0 3 时x 2 的时域波形和频谱图 图4 5 ( a ) 的频谱幅度为2 2 3 2 5 ，图4 5 ( b ) 的频谱值为2 3 1 5 。综上所述，第 二驱动周期信号可以对双稳系统中的随机共振有加强的作用，并且在级联双稳系 统中，只要系统参数与所加驱动信号参数匹配，也是可以实现随机共振的加强的。 我们也可以通过小范围的改变第二驱动周期信号的频率，来做微调整，使其更好 天津工业大学硕士学位论文 的促进随机共振。 但是第二驱动周期信号的参数选择也是有条件的，首先，它的幅值不能高于 调制信号，否则将会在频谱图中出现两个峰值，也就变成了多信号叠加，各路信 号发生共振而互不干扰【3 5 1 。这是因为如果在频率过近出现两个一样幅度的信号时， 由于两个信号能量相差不多，在发生共振时，二者都会吸收噪声能量，从而淹没 了很高的峰值，两个信号的峰值都不会太高。也不会发生上面所说的随机共振的 加强。但是当驱动信号的幅值略小，还不至于超过调制信号幅值时，此信号的能 量就会被调制信号所吸收，从而使得输出信号的频谱幅度更大。 其次，它的频率要比调制信号的频率大，因为单势阱波动时间尺度要小于双 势阱跃迁的时间尺度。但它的频率也不可过大，会出现与双稳系统参数不匹配的 情况。从而不能有效的使更多的噪声能量转化为输出信号能量。 第五章未知多信号叠加的随机共振系统 第五章未知多信号叠加的随机共振系统 5 1 多信号叠加随机共振模型 多个信号叠加