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数学思想方法在数学解题中的应用Mathematics Ideas on Solving Problems论文作者：刘佳 专业 数学与应用数学 指导老师： 叶立军 完成时间： 2010 年 9 月 1 日摘 要数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓,是将数学知识转化为数学能力的桥梁.近几年来,在中,高考数学试卷中,十分重视数学思想方法的考查,如何正确与迅速的解答,都离不开数学思想方法的灵活与综合应用.特别在解综合题时，尤其需要用数学思想来统帅，分析,探求解题的思路.优化解题的过程，验证所得的结论.Abstract: Mathematical thinking is the essence of mathematics ,what is extracted from the mathematical content .It is the bridge of turn mathematical knowledge into mathematical ability. In recent years, in college entrance examination in mathematics, attaching great importance to test mathematical thinking, such as how to answer properly and quickly, mathematical thinking are inseparable from the flexible and comprehensive application. Especially in the composite problems, needs the mathematical thinking to command, analysis, and find problem-solving ideas,optimization problem solving process, verify the conclusion . 关键词：数学问题; 思想方法; 解题; 数学能力 Keyword: Mathematical problems; Thinking; Problem Solving; Mathematical Ability目 录1.引言22.方程函数思想3 2.1.运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题3 2.2.构造函数或方程解决有关问题3 2.3.运用函数与方程的思想解决数列问题43.数形结合的思想54.转化思想65.致谢96.参考文献9引言20世纪以来,由于数学基础学科中重大思想方法的出现,特别是数学公理化的形成以及数学基础理论研究的深入开展,人们渐渐关心数学各分支之间的内在联系,开始注意对数学思想方法本身的产生及其发展规律的探讨.许多著名的数学家都曾从事过数学思想方法理论的研究,并获得丰富的研究成果,这些成果为我们今天研究数学思想方法的教学提供了理论基础,为数学思想方法教学的顺利进行提供了可能.某知名教育家指出:作为知识的数学出校门不到两年可能就被遗忘了,唯有深深铭记在头脑中的数学精神、数学思想、研究方法和着眼点等,这些随时随地发生作用,使他们终身受益.因此教师应根据教学内容的特点,巧妙引导,教会学生如何学习和运用一些数学思想方法去分析问题和解决问题,本文将针对几种常见的数学思想方法在数学解题中的应用作如下阐述.1.方程函数思想方程与函数是数学教学的重点内容,占了相当多的份量,方程的思想和函数的思想是处理常量数学与变量数学的重要思想,在解决一般数学问题中具有重大的方法论意义.函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程的解就是函数的图像与轴的交点的横坐标,函数也可以看作二元方程通过方程进行研究. 就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题:二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.。函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点.在中学数学里,对各类代数方程和初等超越方程都作了较为系统的研究.对一个较为复杂的问题,常常先通过分析等量关系,列出一个或几个方程或函数关系式,再解方程（组）或研究这函数的性质,就能很好地解决问题.1.1运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题.例1 已知,，则有（ ）(A) (B) (C) (D) 解析 法一：依题设有是实系数一元二次方程的一个实根;0 故选法二:去分母,移项,两边平方得: 故选点评解法一通过简单转化,敏锐地抓住了数与式的特点,运用方程的思想使问题得到解决;解法二转化为是的函数,运用重要不等式,思路清晰,水到渠成.1.2构造函数或方程解决有关问题.例2 为了更好的了解鲸的生活习性,某动物保护组织在受伤的鲸身上装了电子监测装置,从海洋放归点处，如图（1）所示,把它放回大海,并沿海岸线由西向东不停地对它进行了长达40分钟的跟踪观测,每隔10分钟踩点测得数据如下表（设鲸沿海面游动）,然后又在观测站B处对鲸进行生活习性的详细观测,已知,观测站的观测半径为.观测时刻t（分钟）跟踪观测点到放归点的距离a（km）鲸位于跟踪观测点正北海岸西东图1AB方向的距离b（km）1010.9992021.4133031.7324042.001(1)据表中信息:计算出鲸沿海岸线方向运动的速度;试写出近似地满足的关系式并画出鲸的运动路线草图;AByx图2（2）若鲸继续以（1）运动的路线运动,试预测,该鲸经过多长时间（从放归时开设计时）可进入前方观测站的观测范围?并求出可持续观测的时间及最佳观测时刻.（注：6.40；精确到1分钟）解析（1）由表中的信息可知: 鲸沿海岸线方向运动的速度为:（km/分钟）近似地满足的关系式为:运动路线如图（2）以为原点,海岸线为轴建立直角坐标系,设鲸所在位置点,由、得:，又,依题意:观测站B的观测范围是: 又 解得:由得: 该鲸经过分钟可进入前方观测站的观测范围 持续时间：分钟该鲸与B站的距离当d最小时为最佳观测时刻，这时,分钟。1.3运用函数与方程的思想解决数列问题.例3设等差数列的前项和为，已知，,，（1）求公差的取值范围；（2）指出,，中哪一个最大,并说明理由.思考与分析：在等差数列中，又由可得与的关系，把用关于的表达式替代，则得到一个关系式，我们可以把这个关系式看作关于的二次函数,这个二次函数的常数项为0,二次项系数为2,可以用二次函数的有关知识来解等差数列的前项和的问题.解析（1）由得:， （2），是关于的二次函数,对称轴方程为: 当时，最大.数列是特殊的函数, 可以看成关于的一次函数,可以看作n的二次函数,只要运用函数思想将式子转化为关于的函数,有些问题就会迎刃而解.2.数形结合的思想数学研究的主要对象是现实世界的空间形式与数量关系,形与数以及它们之间的关系始终是数学的基本内容.因此,数形结合又是学习与研究数学的重要思想方法.数学发展的历史表明,形与数的结合不仅使几何问题获得了有力的现代工具,而且也使许多代数问题获得了明显的直观的几何解释,从而开拓出新的研究方向.例如,笛卡尔创立的解析几何就是运用形数结合这一思想方法的典范,开创了数学发展的新纪元.纵观近几年的数学高考题中数形结合思想占有非常重要的地位,特别是在解决选择题、填空题时发挥着神奇的功效.例1:设关于的不等式的解集为,且,求的值集. 解:设则，即于是的几何图形是以为圆心，为半径的半圆（如图所以）,而是过远点的直线束.问题转化为求当时,半圆在动直线上方的值集.易得，即，故例2:求函数的最小值分析:这是一道较复杂的无理函数最值问题。观察解析式的特点,注意两根号中可统一成平方和的形式,从而联想到两点间的距离公式,解此题的关键是如何将代数问题转化为几何思想. 解：，若极,如图的两边之和大于第三边的:当且仅当共线时取等号.3.转化思想 数学中充满矛盾,对立面无不在一定条件下互相转化.已知与未知,异与同,多与少,一般与特殊等等在一定条件下都可以互相转化.这是唯物辩证法在数学思想方法上的体现,转化的方向一般是把未知的问题朝向已知方向转化,把难的问题朝较易的方向转化,把繁杂的问题朝简单的方向转化,把生疏的问题朝熟悉的方向转化. 转化变换的思想往往是渗透在数学的教学过程中，渗透在运用知识分析解决问题里.这就要靠教师在整个教学过程中,使学生能够领悟并逐步学会运用这些思想方法去解决问题.例1（2007年广东卷理16）已知顶点的直角坐标分别为（1）若，求的值；（2）若是钝角，求的取值范围。解析:比较以下两种解法.解法一：（1）由两点距离公式可得,，而,（2）由两点距离公式可得,而若为钝角,则解得,的取值范围是. 解法二： （1）,，若, 则,（把题意中的已知转化为向量表示）（运用向量知识先求角A的余弦值） （2）先考虑543C (c ，0)A (3 ，4)DyBx是直角的情形（把一般的钝角转化为特殊的直角） 由 得 即 要 ，则的取值范围是点评:通过比较以上两种解题的思想方法,可以发现:运用转换与化归思想的解法二更加简便有效.在问题（1）中,解法二把三角函数转换成向量来解决,减少了计算量;由于向量能简化计算,尤其是在立体几何中的体现更加明显,所以我们在解决数学问题,特别是立体几何时可以多点考虑能否把问题转化为向量.在问题（2）中,解法二把一般的钝角三角形化为特殊的直角三角形来解决问题,然后运用射影定理（或两三角形相似性质）,因此解决起来比常规方法简便得多.把一般转化为特殊在选择题和填空题中更常用到,即常说的”特殊值代入法”.例2. 对任意函数,，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下: 入数据，经数列发生器输出;若,则数列发生器结束工作;若，则将反馈回输入端,再输出,并依此规律继续下去.现定义（1）若输入，则由数列发生器产生数列,请写出的所有项;（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据的值；（3）若输入时,产生的无穷数列,满足对任意正整数均有；求的取值范围.命题意图:本题主要考查学生的阅读审题,综合理解及逻辑推理的能力,属五星级题目.知识依托:函数求值的简单运算,方程思想的应用.解不等式及化归转化思想的应用.解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言.错解分析：考生易出现以下几种错因:（1）审题后不能理解题意.（2）题意转化不出数学关系式,如第2问.（3）第3问不能进行从一般到特殊的转化.技巧与方法：此题属于富有新意,综合性,抽象性较强的题目.由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言.这就要求我们慎读题意,把握主脉,体会数学转换.解：（1）的定义域数列只有三项，（2）,即或,即或时故当时,当x0=2时, （3）解不等式，得或要使,则或对于函数若，则,若时,且依次类推可得数列的所有项均满足综上所述,由,得.问题是数学的心脏.数学问题的解决是数学教学中的一个重要组成部分.纵观以上各例,可见数学思想和方法在解题中的重要性,与其说教给学生数学知识和内容,不如说是教会其数学思维活动.这是中学数学教学的重要目的之一.素质教育给广大教师提出了更高的要求,一个合格的数学教师,只有注重了数学思想这个“灵魂”的教学,才无愧于“工程师”的称号,也只有这样,才能把数学课讲懂