数学思想方法考试要点.doc

一、填空题1、古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以几何原本为代表；一种是长于计算和实际应用，以九章算术为典范。2、在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的几何原本。3、几何原本所开创的公理化方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。4、几何原本思想方法的特点是：1、封闭的演绎体系；2、抽象化的内容；3、公理化的方法。5、九章算术思想方法的特点是：1、开放的归纳体系；2、算法化的内容；3、模型化的方法。6、推动数学发展的原因主要有两个：实践的需要，理论的需要；数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。7、数学的研究对象大致可以分成两大类：研究数量关系；研究空间形式。8、变量数学产生的数学基础是解析几何，标志是微积分。9、数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。10、随机现象的特点是在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。11、数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现。它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。12、布尔巴基学派在集合论的基础上建立了三个基本结构，即代数结构、序结构和拓扑结构。13、抽象是对同类事物抽取其共同的本质属性或特征，舍去其非本质的属性或特征的思维过程。14、等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征：两边相等，加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。15、学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段潜意识阶段，明朗化阶段，深刻理解阶段。16、数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。17、数学概念抽象一般表现为：1、弱抽象；2、强抽象；3、理想化抽象（或称构造性抽象）；4、公理化抽象；5、可实现性抽象。18、强抽象就是指，通过把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。19、菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征：一组邻边相等，加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。20、概括是一种由个别到一般的认识过程。概括就是把同类事物的共同属性联结起来，或把个别事物的某些属性推广到同类事物中去的思维方法。21、一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节。 22、在扩张中得到的关于更广泛的一类对象的新概念或新命题，对扩张了的对象来说不一定是真的。为此，就要进行分析。23、归纳法是通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析，进而导出一个一般性结论的推理方法。归纳法是一种从特殊到一般的推理方法，它与演绎法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。24、演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。25、所谓类比，由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法；常称这种方法为类比法，也称类比推理。26、反例反驳的理论依据是形式逻辑的矛盾律。27、猜想具有两个显著特点：具有一定的科学性，具有一定的推理性。28、人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想。这种思想方法称为类比猜想。29、演绎推理是以一个一般性判断（或再加上一个特殊的判断）为前提，推出一个作为结论的个别的或特殊的判断的推理方法，即一般到特殊的推理方法。30、三段论是演绎推理的主要形式。三段论由大前提、小前提、结论三部分组成。31、公理方法就是从初始概念和公理出发，按照一定的规定（逻辑规则）定义出其他所有的概念，推导出其他一切命题的一种演绎方法。32、化归方法是指，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决的问题中，最终获得原问题解答的一种方法。33、在化归过程中应遵循的原则是简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则。34、化归的途径有：1、分解与组合；2、恒等变形。35、在计算机时代，计算方法已成为与理论方法、实验方法并列的第三种科学方法。36、算法具有下列特点：有限性，确定性，有效性。在用计算方法解决问题时，不但要考虑算法的存在性，而且要研究算法的“好”、“坏”，即计算复杂性。37、算法的有效性是指如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解。38、算法大致可以分为多项式算法和指数型算法。39、中国古代数学的代表是九章算术，它是以算为主、以术为法的算法体系；古希腊数学的代表是几何原本，它是逻辑演绎体系。40、数学模型是利用数学语言模拟现实的模型，即把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构。数学模型是对客观事物的一个近似的反映。数学是研究空间形式和数量关系的。41、数学模型可以分为三类：1、概念型数学模型；2、方法型数学模型；3、结构型数学模型。42、数学模型具有下列特性：1、抽象性；2、准确性和演绎性；3、预测性。43、匀速直线运动的数学模型是一次函数。44、所谓数学模型方法是利用数学模型解决问题的一般数学方法，简称MM方法。45、数学建模的基本步骤：1、弄清实际问题；2、化简问题；3、建模；4、求解；5、检验。46、分类也叫划分，它是一种基本的逻辑方法，数学中的分类是，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的一种思想方法。47、分类具有三个要素：1、母项，即被划分的对象；2、子项，即划分后所得的类概念；3、根据，即划分的标准。48、一个科学的分类标准必须能够将需要分类的数学对象，进行不重复、无遗漏的划分。47、分类必须遵循的原则是不重复，无遗漏，标准同一。49、所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，由数思形、见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。50、所谓特殊化是指在研究问题时，从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想方法。51、面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或类比提出猜想，然后从两个方面入手：演绎证明此猜想为真；或者寻找反例说明此猜想为假，并且进一步修正或否定此猜想。52、化归方法的三个要素是： 化归对象、化归目标、化归途径。53、根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识、明朗化、深刻理解三个阶段，可相应地将小学数学思想方法教学设计成多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段。54、数学思想方法是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。55、在实施“双基教学”过程中，广大教师积累了“启发式教学”、“变式教学”、“精讲多练”等宝贵经验。56、数学思想方法大体上可分为三种类型：第一类是宏观型思想方法；第二类是逻辑型思想方法；第三类是操作技巧型思想方法。57、数学思想方法教学的原则有：1、化隐为显原则；2、循序渐进原则；3、学生参与原则。二、判断题1、计算机是数学的创造物，又是数学创造者。（是）2、抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。（否）3、抽象和概括是两种完全不同的方法。（否）4、一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。（否）5、九章算术不包括代数、几何内容。（否）6、既没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识。（是）7、数学模块方法是物理学、工程学的专利，在生物学、经济学、军事学等领域没应用。（否）8、在解决数学问题时，往往需要综合多种数学思想方法才能取得效果（奏效）。（是）9、如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该问题的精确解。（否）10、对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。（是）11、数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可以实现数学思想方法教学目标。（否）12、由类比法推得的结论必然正确。（否）13、有时特殊情况能与一般情况等价。（是）14、完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。（是）15、古希腊的柏拉图曾在他的学校门口张榜声明：不懂几何的人不得入内。这是因为它的学校里所学习的课程要用到很多几何知识。（否）16、完全归纳法的一般推理形式是：设S=A1，A2，A3，An，由于A1、A2、An具有性质P，因此推断集合S中的每一个对象都具有性质P。（否）三、简答题1、为什么说几何原本是一个封闭的演绎体系？答：几何原本是以少数原始概念和和公设、公理为基础，运用逻辑规则，把当时所未知的几何学中的主要命题（定理）全部推演出来，从而形成一个井然有序的整体。在这个整体中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其他东西。另外，从几何原本与当时的社会生产、生活的关系看，它的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。所以，几何原本是一个比较完整的、相对封闭的演绎体系。2、试对九章算术思想方法的一个特点“算法化的内容”加以说明。答：九章算术在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。以后遇到其他同类问题，只要按“术”给出的程序去做就一定能求出问题的答案。历代数学家受到追求实用、 讲究算法的传统思想的影响，使他们对九章算术的注、校，主要集中在对“术”进行研究，即不断改进算法。因此我们说，内容的算法化是九章算术思想方法的特点之一。3、简述算数的局限性。答：算数的局限性主要表现在它限制抽象的未知数参与运算，只允许具体的、已知的数进行运算，因而导致其在解决问题的方法上存在局限性。这是因为算术解题方法的基本思想是：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出用已知数据表示所求数量的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。4、分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。答：算术的解题方法基本思想：首先要围绕所求的数量收集、整理已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，并通过四则运算求得算式的结果。代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成含有已知数与未知数的代数式，并找等量关系列出方程，再通过对方程进行恒等变型求出未知数的值。区别在于算术解题参与的量必须是已知量，而代数解题允许未知量参与运算。算术方法关键是列算式，代数方法关键在列方程。5、变量数学产生的意义。答：1、变量数学的产生，为自然科学更精确地描述物质世界提供了有效的工具；2、变量数学的产生，促进数学自身的发展与严密；3、变量数学的产生，使辩证法进入数学。6、简述确定性现象、随机现象的特点以及确定性数学的局限性。答：自然界发生的现象有两类：一类是决定性现象，另一类是随机性现象。决定性现象的特点是：在一定条件下，其结果可以唯一确定，故决定性现象的条件与结果之间存在着必然联系，所以事先可预知结果如何。随机性现象的特点：在一定条件下，可以发生也可以不发生某些结果，条件与结论之间不存在着必然联系。在数学学科中把研究决定性现象数量关系规律的数量分支，称为确定性数学。定量的描述决定性现象的运动和变化过程，已确定结果。由于随机现象条件与结果之间不存在必然的联系，无法用确定的数学加以定量描述。但确定性数学无法定量的揭示大量同类随机现象中所蕴含的规律性，这为确定性数学的局限性。7、随机数学产生的意义。答：随机数学产生的意义在于下面三个方面：1、就应用而言，对社会的发展具有促进作用；2、就认识论而言，表明人们对偶然性与必然性之间的辩证关系有了进一步的认识；3、就方法论而言，是从局部到总体的归纳方法。8、简述社会科学的数学化是必然趋势的主要原因。答：第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素；第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化；第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支；第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。9、简述计算机在数学方面的三种新用途。答：第一，用来证明一些数学命题；第二，用来预测某些数学问题的可能结果；第三，用来作为一种验证某些数学问题结果的正确性的方法。10、简述抽象的含义及其过程。答：抽象的含义：是对同类事物抽取其共同的本质属性或特征。舍去其非本质的属性或特征的思维过程。抽象的过程：人们在思维中对对象的抽象是从对对象的比较和区分开始的。所谓比较就是在思维中确定对象之间的相同点和不同点；而所谓区分，则是把比较得到的相同点和不同点在思维中固定下来，利用它们把对象分为不同的类。然后再进行舍弃与收括，舍弃是指在思维中不考虑对象的某些性质，收括则是指把对象的我们所需要的性质固定下来，并用词表达出来。这就形成了抽象的概念，同时也就形成了表示这个概念的词，于是完成了一个抽象过程。11、简述进行比较的规则。答：规则1只有对具有确定联系的对象，或比较有意义的对象才能进行比较。规则2比较应在同一标准下进行。规则3比较应能按一定的程序进行并在有限步内得出结果。规则4对同一性质作的比较应在所研究的所有对象间进行，也可以说，要进行完全比较。12、简述数学抽象的特征。答：数学抽象有以下特征：1、数学抽象具有无物质性。2、数学抽象具有层次性。3、数学抽象过程要凭借分析或直觉。4、数学的抽象不仅有概念抽象还有方法抽象。13、简述概括的含义及其过程。答：概括是一种由个别到一般的认识过程。概括就是把同类事物的共同属性联结起来，或把个别事物的某些属性推广到同类事物中去的思维方法。一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节。14、简述概括和抽象的联系。答：概括和抽象虽有差别，但又是互相联系、密不可分的。抽象是概括的基础，没有抽象就不能认识任何事物的本质属性，就无法概括。概括也是抽象思维过程中所必需的一个环节，前述“收括”称之为概括，由于对共同点的概括才能得出对象的本质属性，从而完成抽象过程。科学概念通常是抽象和概括共同采用的结果。一般说来，概括的范围越广泛，得到的概念的内涵就越少，即是说它所反映的事物的性质越普遍，实际反映的性质就越少，因而从抽象的角度来看，其抽象程度也就也就越高；而概括范围较狭窄的概念，也就是比较具体的概念。反之，抽象程度越高的概念，其收括的规范性就越少，反映的事物的本质属性就越多，因而其概括的范围就越大；而对于较具体的概念，由于它反映着事物的较多的规定性，因而反映的事物就越少，其概括的范围也就越小。由于抽象和概括是密切联系的两种方法，因此，人们常将抽象方法和概括方法统称为抽象概括方法。15、简述公理方法历史发展的各个阶段。答：公理方法始于古希腊欧几里得的几何原本，它从5个公设和5个公理出发，运用演绎的方法将当代所了解的全部几何知识推导出来，成为展示人类智慧和认识能力的一个标志，为公理化历史的第一阶段。19世纪初由罗巴切夫斯基发表了论几何基础创立了与欧氏几何第5公设对立的新几何，称为非欧几何。黎曼在1854年提出了更广泛的非欧几何，称为黎曼几何，极大地推动了公理化的发展，为公理化的第二阶段。1899年希尔伯特重新建立几何体系，完善了几何学的公理化的方法，把欧氏几何改造为一个严密的公理化体系，具有一相溶性，二独立性，三完备性，使公理化方法进入了形式化的阶段，为公理化的第三阶段。16、简述公理方法的作用。答：公理法在数学以至于其他科学的发展中作出了重要的贡献，发挥了重要的作用：1、公理化使有关的知识系统化。2、公理法是应用演绎推理的基本方法。3、公理法的建立和应用要求一门科学的充分成熟。4、公理法是表述科学理论一种比较完善的方法。17、简述化归方法并举例说明。答：所谓“化归”，可以理解为转化和归结的意思。化归方法是指数学家们把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。或简单地说，化归就是问题的规范化、模式化。例如：小学数学中的几何知识三角形面积公式的推导化归到平行四边形，平行四边形面积公式的推导化归到矩形。此例形象地道出了化归的根本特征：在解决一个问题时，人们不是直接寻找问题的答案，而是寻找一些熟悉的结果，设法将面临的问题化为某一规范的问题，以便运用已知的理论、方法和技术使问题得到解决。18、简述化归方法在数学教学中的应用。答：1、利用化归方法学习新知识；2、利用化归方法指导解题；3、利用化归原则理清知识结构。19、简述化归方法的基本原则。答：1、简单化原则。简单化原则是指将问题中比较复杂的形式、关系结构，通过化归，将其变为比较简单的形式、关系结构，或者通过问题的简单化，获得解决复杂问题的思路。2、熟悉化原则。熟悉化原则是指将原问题中陌生的形式或内容转化为比较熟悉的形式和内容。3、和谐化原则。和谐化是数学内在美的主要内容之一。美与真在数学命题和数学解题中一般是统一的。因此，我们在解题过程中，可根据数学问题的条件或结论以及数、式、形等的结构特征，利用和谐美去思考问题，获得解题信息，从而确立解题的总体思路，达到以美启真的作用。20、什么是数学模型方法？简述用MM方法解决实际问题的基本步骤，并用框图加以表示。答：所谓数学模型方法就是利用数学模型解决问题的一般数学方法。简称MM方法。MM方法解题的基本步骤可用框图表示如图：数学模型实际问题 数学抽象 推理或演算数学模型的解实际问题的解 还原说明21、试用框图表示用特殊化方法解决问题的一般过程。答：用特殊化解决问题的一般过程，可以用框图表示：对象A对象A（ A） 特殊化结论BA+B （若信息不够则重复进行）结论B22、简述计算和算法含义。答：所谓计算是指，概括已知数量。算法就是由一组有限的规则所组成的过程，实际上是解决一类问题的一种方法。它包括一套指令，只要按照指令一步一步地进行操作就能使问题得到解决。在一个算法中，每一个步骤必须规定的精确和明白，不能产生歧义，并且一个算法在按照有限的步骤解决问题后必须结束，只是算法的实质。计算的意义：计算是一种最基本的数学思想方法。主要表现在三个方面：1、推动了数学应用。2、加快了科学的数学化过程。3、促进了数学自身的发展。算法的意义主要表现为：1、用于表述科学结论的一种形式。2、用于表述一个复杂过程的方法。3、减轻脑力劳动的一种手段。4、作为研究和解决新问题的一种手段。5、作为一个基本的数学工具。23、简述计算的意义。答：1、推动了数学的应用；2、加快了科学的数学化；3、促进了数学的发展。24、什么是算法的有限性特点？试举一个不符合算法有限性特点的例子。答：一个算法必须在限步之内终止。例如，十进制小数的除法的算法。若取数4.5和3作为初始数据，计算过程为（竖式：略），得到的结果为1.5。但是对初始数据20和3，计算过程为（竖式：略），无论怎样延续这个过程都不能结束，同时也不会出现中断。如果在某一处中断过程，我们只能得到一个近似的、不准确的结果。而且如果在某一步中断计算过程已经不是执行原来的算法。可见，十进制小数除法对于20和3这组数不符合算法的“有限性”特点。25、简述算法在现代科学技术中的意义。答：1、它是用于表示科学结论的一种形式，例如化学配方、研究方案、实验方法等都可以用于算法来表述；2、它是作为一个复杂过程的方法，努力使用一个算法来表述一个复杂的过程，实现“过程的算法化”，这是使过程自动化的一个前提条件；3、它是减轻脑力劳动的一种手段。只要将大量重复性脑力劳动的步骤用算法列出，凡是遇到这类问题只要机械地应用算法即可，从而使脑力劳动的强度得到减轻；4、它可作为研究和解决新问题的方法；5、它可作为一种基本的数学工具。26、简述运用方程模型解应用题的要点。答：1、在透彻理解问题的基础上，把问题归结为确定若干个未知数；2、设想问题已经解出，根据条件列出已知量与未知量之间成立的一切关系式；3、从已知条件中析出部分条件，使得能用两种不同方式去表示同一个量，从而得出一个联系未知量的方程式。直至最后，得出一个方程与未知量个数相等的方程组；4、解方程组，并检验所得答案。27、简述特殊化方法在数学教学中的应用。答：1、利用特殊值（图形）解选择题。2、利用特殊化探求问题结论。3、利用特例检验一般结果。4、利用特殊化探索解题思路。28、简述数学思想方法在提高人的素质中有重要作用。答：1、数学教育不仅对于提高人的科学文化素质有重要作用，而且对于提高思想品德素质和心理健康素质亦有着不可忽视的作用。2、在提高人的素质中发挥重要作用的，是人们在长期的数学学习中逐步形成的数学精神和数学思想方法。29、简述在小学数学教学中加强数学思想方法教学需要做哪些工作？答：一要转变教师的教学观念；二要把数学思想方法的教学列为教学的一项目标；三要努力提高教师自身的水平和数学素养；四要大力开展数学思想方法课堂教学试验，探索小学实施数学思想方法教学的基本规律。30、简述数学教学中引起“分类讨论”的原因。答：数学教学中引起“分类讨论”的原因如下：1、数学中的许多概念的定义是分类给出的，因此涉及到这些概念时要分类讨论。2、数学中的有些运算性质、运算法则是分类给出的，因此进行这类运算时要分类讨论。3、有些几何问题根据题设不能用一个图形来表达，必须全部考虑各种不同的位置关系，因此要分类讨论。4、许多数学问题中含有字母参数，随着参数的取值不同会使问题出现不同的结果，因此要对字母参数取值情况进行分类讨论。31、简述猜想在数学教学中的应用。答：1、用猜想学习新知识；2、用猜想探究数学规律；3、用猜想帮助解题。32、什么是类比猜想？并举一个例子说明。答：人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为类比猜想。例如，分式与分数非常相似，只不过是用字母替代数而已。因此，我们可以猜想，分式与分数在定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面都是对应相似的。事实也确是如此。33、什么是归纳猜想？并举一个例子说明。答：人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为归纳猜想。例如，人们在度量了很多圆的周长和半径以后，发现它们的比值总是近似地等于3.14，于是提出了圆周率是3.14的猜想。后来数学家从理论上证明了圆周率的数值为，果然和3.14很接近。34、简述将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则的理由。答：由于数学思想方法往往隐藏在知识的背后，知识教学虽然蕴含着思想方法，但是如果不是有意识地把数学思想方法作为教学对象，在数学学习时，学生常常只注意到处于表层的数学知识，而注意不到深层次的思想方法。因此，进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识教学过程达到思想方法教学之目的。35、简述国家数学课程标准的几个主要特点。答：1、把“现实数学”作为数学课程的一项内容。即为学生准备的数学应该是与现实世界密切联系的数学，且能够在实际中得到应用的数学。2、把“数学化”作为数学课程的一个目标。学生学习“数学化”的过程是将学生的现实数学进一步提高抽象的过程。3、把“再创造”作为数学教育的一条原则。把“已完成的数学”当成“为完成的数学”来交给学生提供“再创造”的机会。4、把“问题解决”作为数学教学的一种模式。数学课程标准提出了“问题解决”的教学模式，即：情境问题探索结论反思。5、把“数学思想方法”作为课程体系的一条主线。要求学生掌握基本的数学思想方法。6、把“数学活动”作为数学课程的一个方面。强调学生的数学活动，注重“向学生提供充分从事数学活动的机会”，帮助他们“获得广泛的数学活动的经验”。7、把“合作交流”看成学生学习数学的一种方法。让学生在解决问题的过程中“学会与他人合作”，并能“与他人交流思维的过程和结果”。8、把“现代信息技术”作为学生学习数学的一种工具。36、简述数学思想方法教学的主要阶段。答：学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段：1、潜意识阶段；2、明朗化阶段；3、深刻理解阶段。我们将数学思想方法教学设计成：多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段。与学生掌握数学思想方法实际过程中的三个阶段是基本一致的。37、简述中小学数学教育的基本任务。答：1、使学生掌握作为现代社会的人在日常生活和生产活动中所必需的，并足以适应其他学科的学习和继续学习之要求的数学知识、能力和技能。2、使学生形成关于数学的思想方法及其对认识世界之作用的概念。3、用数学手段培养和发展学生个性的理性品质。四、论述题1、分析几何原本思想方法的特点，为什么？ 答：几何原本注重知识内在的逻辑关系，采用演绎体系的体例：即从以一些原始概念和不加证明的公设和公理为基础，采用逻辑证明，把几何中所有的定理证明出来，其特点：（1）封闭的演绎体系。在几何原本中除了推导所需要的逻辑以外，每个公理所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，引入的概念也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不依赖其它东西，因此，其为一个封闭的演绎体系。其次，它的理论体系回避任何与社会生产现实生活相关的应用问题，故相对社会生产也是封闭的。（2）抽象化的内容。几何原本研究的对象都是抽象的概念和命题。不研究这些概念和命题与社会生活之间的关系，也不考虑这些数学模型所由之产生的现实原型，故为抽象的。（3）公理化的方法。几何原本在第一篇开始给出的5个公设和5个公理是全书其它命题的基本前提，然后出现的23个定义再逐步引入证明定理。定理的证明是有序的，在一个定理的证明过程中，证据只是前面的定理和公理。这种处理知识体系的表述方法为公理化方法。2、分析九章算术思想方法的特点，为什么？ 答：九章算术是由应用问题解法集成的体例编纂成的，因此它是：1、一个与社会实践紧密联系的开放体系。在此书中，通常先举出一些问题，从中归纳出某一类问题的一般解法，再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法。此外，该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些方法中提炼出数学模型立章。因此，其为一个开放归纳体系。2、算法化内容。在每一章节内，先举出几个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”作为一类问题的共同解法。故，内容的算法化为该书在思想方法上的特点。3、模型化方法。九章算术各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转化成数学模型。（有的章采用的是数学模型到原型的过程。）3、论述社会科学数学化的主要原因。答：第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素。第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化。第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。如概率论、离散数学、模糊数学、数理逻辑、系统论、信息论、控制论、突变论等，都为社会科学数学化提供了有力的武器。这些新的数学分支使社会科学数学化成为可能。第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂的社会现象经过量化后可以进行数值处理。4、论述数学的三次危机对数学发展的作用。答：公元前4世纪，数的不可通约性的发现引起了第一次数学危机，其产物欧式几何学。欧几里得总结了前人所有的几何学的知识著成几何原本，构成一个标准化的演绎体系，对数学乃至哲学产生巨大的影响。十七世纪末第二次数学危机产生于对无穷小的分析，形成了数学分析的思想和方法，为实数论进一步完善其理论基础。第三次数学危机在19世纪末和20世纪初，为数学空前发展的时期。由于逻辑的数学化、集合论的系统化、罗素的悖论的提出，产生了对数学的震动，造成了第三次危机。柯西、维尔斯特拉斯用极限的概念解决了矛盾，但又出现了非标准分析在集合论的基础上产生了抽象代数、拓扑等大量新的数学分支推动了数学的发展。5、叙述不完全归纳法的推理形式，并举一个应用不完全归纳法的例子。答：所谓不完全归纳法，是根据对某类事物中的部分对象的分析，作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。不完全归纳法的一般推理形式是：设S=A1,A2,A3，,An, ；由于A1具有属性P，A2具有属性P，An具有属性P，因此推断S类事物中的每一个对象都可能具有属性P。不完全归纳法的例子：通过一系列算式：4+6=6+4 10+20=20+10 127+325=325+127 可以归纳出加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。进一步用字母a、b分别代表两个不同的加数，就可以得到一般表达式：a+b=b+a。 6、叙述完全归纳法的推理形式，并举一个应用完全归纳法的例子。答：完全归纳法是根据对某类事物中的每一对象的情况分析，进而作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。完全归纳法的一般推理形式是：设S=A1,A2,A3，,An, ；由于A1具有属性P，A2具有属性P，An具有属性P，因此推断S中每一个对象都可能具有属性P。完全归纳法的例子：证明1+2+3+n的和的末位数字不能是2，4，7，9。易知1+2+3+n=n(n+1)2 因此，可以先讨论n(n+1)的末位数字。若n的末位是1，则n(n+1)的末位是2；若n的末位是2，则n(n+1)的末位是6；将所有结果列表于下表：n的末位数字 1234567890n(n+1)的末位数字 2620026200 n(n+1)可以看出，n(n+1)的末位数字只能是0，2，6三个数字，因此， 2 的末位数字只可能是0，1，3，5，6，8。所以，1+2+3+n的末位数字不可能是2，4，7，9。7、试比较归纳猜想与类比猜想的异同。答：归纳猜想与类比猜想的共同点是：都是一种猜想，即一种推测性的判断，都是一种合情推理，其结论具有或然性。或者经过逻辑推理证明为真，或者举出反例予以反驳。归纳猜想与类比猜想的不同点是：归纳猜想是用归纳的方法得到的猜想，是一种由特殊到一般的推理形式。其思维步骤为：特例归纳猜想。类比猜想是用类比的方法得到的猜想，是一种由特殊到特殊的推理形式。其思维步骤为：联想类比猜测。8、试述小学数学加强数学思想方法教学的重要性。答：数学思想方法是联系知识与能力的纽带，是数学科学的灵魂。它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。具体表现在：1、掌握数学思想方法，能够更好的理解数学知识。2、数学思想方法对数学问题的解决有着重要的作用。3、加强数学思想方法的教学是“以学生发展为本”的必然要求。9、简述数学思想方法教学应注意哪些事项。答：1、要把数学思想方法的学习纳入数学目标。2、重视数学知识发生、发展的过程，认真设计数学思想方法教学的目标。3、做好数学思想方法教学的铺垫工作和巩固工作。4、不同类型的数学思想方法应有不同的数学要求；5、注意不同数学思想方法的综合运用。10、简述1989年NCTM（全美数学教师协会）发表了中小学数学课程与评估标准， 文件论述了数学教育改革的目标是应当培养出有数学素养的社会成员，并提出作为“有数学素养”的标志的五项条件。答：1、懂得数学的价值，即懂得数学在我们文化中的地位和社会生活中的作用。2、对自己的数学能力有信心，懂得数学是人类社会中极为普遍的活动，相信自己有用数学的能力，而不是害怕数学或厌恶数学。3、有解决数学课题的能力，课题可以来自数学的内部，也可以来自数学的外部，更主要的是指来自现实世界的课题；要求学生有归结问题、进行调查研究、收集论据、进行论证、找出答案的能力。4、学会数学交流，会读数学、写数学、讨论数学、会同别人进行交流。5、学会数学的思想方法。五、设计题1、设计运用“猜想”进行数学教学的一个片断。答：数学教学片段：能被3整除的数的特征。学生在学习“能被3整除的数的特征”时，很容易受能被2、5整除的数的特征影响，作出“个位是3的倍数的数能被3整除”的猜想。对此，老师不必急于否定学生的猜想，可出示如下一系列数引导学生进行观察、验证：116，43，253，146，89，259。学生能够发现这6个数的个位数都是3的倍数，但是它们都不能被3整除，从而意识到原先的猜想是错误的，心中充满疑惑，探求新知的强烈欲望会油然而生。这时老师宜抓住契机写出第二列数：12，21，36，63，234，423，135，531。引导学生进行仔细观察，并思考问题：第二列数能否被3整除？这8个数的个位数有什么特点？接着指出：判断一个数能否被3整除，不能只看个位，也与数的排列顺序无关。那么，究竟与什么有关，具有什么样的特征呢？在教师的启发下，学生会重新作出下列猜想：可能与各位数的乘积有关；可能与各位数的和有关；可能与各位数的差（大数减小数）有关；对这些猜想，教师可放手让学生自己进行验证，从而逐步得出能被3整除的数的特征是：一个数的各位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。2、结合下列材料，请你设计一个“数形结合”教学片断。答：第一步，明确题目要求，师生共同分析三个数的互相关系。提问：怎么找关系？（用数的方法且列出表格。）第二步，列出三者关系的表格如下：图 边上的点 内部的点 面积1 4 0 12 6 0 23 8 0 34 14 0 65 4 1 26 6 1 37 14 1 78 6 0 29 4 2 310 6 2 411 8 2 512 14 2 8第三步，经过分析，猜想归纳。4201=1；8201=3；4211=2；14211=7；4221=3；8221=5；14221=8。第四步，总结规律：三个数字之间满足面积=边上的点数2内部的点数1。3、假定学生已有了除法商的不变性知识和经验，在学习分数的性质时，请你设计一个孕育“类比法”教学片断。答：第一步，复习除法商的不变性的相关知识，呈现形式：填空、口算。第二步，引领学生填出除法商不变性的字母表格。除法表示：AB性质1：(Am ) (Bn )=AB (m0)性质2：(Am ) (Bn )=AB (m0)第三步，给出几个除法算式如：618，3570等。组织引导学生将其写成分数形式后，把分子和分母同时乘以或除以相同的数，让学生逐步发现规律，并对照左侧表格，进行类比化归，总结右侧表格且填写表格。分数表示：A/B性质1：Am /Bn= A/B (m0)性质2：Am /Bn= A/B (m0)第四步，引导学生说出本节课所学知识为“分数的性质”，并使学生明白其是由除法商不变的性质类比归纳出来的，二者实质相同，只是呈现方式不同罢了。六、解答题1、圆周角定理证明思路如下：将圆周角的两边所处的位置分为三种情况：角的一边落在直径上；角的两边在某一直径的两侧。先对情况进行证明，然后将情况、转化为情况分别进行证明。最后得出圆周角定理对任意圆周角都成立的结论。试具体分析上述证明中需要用到哪些数学思想方法。解答：该证明中用到下面几种数学思想方法：将圆周角分为三种情况，用到分类的方法；先证明角恰有一条边在直径上的特殊情况，用到特殊化的方法；将其他两种情况转化为角恰有一边在直径上的情况，用到化归方法；通过对所有三种情况证明，然后得出圆周角定理的结论，用到完全归纳法；在证明过程中需要用演绎推理，因此用到演绎方法。2、以“平行四边形面积公式”为内容，设计一个教学片断。（要求：教学过程要比较具体、合理，且有一定的层次；要有与数学知识教学相联系的本课程中学习的数学思想方法教学内容；不少于300字。）答：第一步，唤起学生的数学知识和经验。让学生操作长方形活动木框，使其既可拉成长方形，也可拉成平行四边形。引导学生进行概括：尽管两个图形的形状不同，但二者的面积没有发生变化。使学生明白为什么图形形状改变，而面积不变的原因。（为把长方形化为平行四边形打基础。）第二步，探究平行四边形面积。1、创设问题情境。请同学们想一想，刚才动手操作时，既可拉成长方形，也可拉成什么图形？那么，推导平行四边形的面积公式时，我们要将它化为什么图形呢？（生）齐声回答：化为长方形。老师请学生在格点纸上画一个平行四边形，计算这个平行四边形的面积（要求有计算步骤或计算式子）。接着学生进行深入探究（起到扔掉拐杖，让学生自主学习、探索，也鼓励开展小组讨论，共同寻求解题策略的作用。）2、展示学生火热的数学化思考。生1：我是把平行四边形的左侧沿高剪下，旋转、平移后拼成一个长方形。长方形的面积即为所求平行四边形的面积。生2：我将两个完全一样的平行四边形旋转后拼成一个长方形，平行四边形的面积等于长方形的面积。生3：将平行四边形的左下角沿垂线剪下，旋转、平移至平行四边形的左上角后拼成一个长方形。平行四边形的面积等于长方形的面积。第三步，概括平行四边形面积公式、提炼化归方法。回顾与思考1：（概括平行四边形面积公式）请同学们观察刚才解决问题时的好办法，即求解算式。使学生明确：长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，长方形的面积等于平行四边形的面积。并概括出平行四边形的面积公式：平行四边形的面积=底高。回顾与思考2：（提炼、概括化归方法） 前面，同学们列举了那么多计算平行四边形面积的算式，想一想，你们都用到了什么方法，才能求出平行四边形的面积呢?一般地，化归方法包含三个要素：化归对象，对什么东西进行化归；确定化归目标，明确把化归对象化到哪一步或化为何种形式；化归途径，即采取什么措施进行化归。这个教学片断中，求平行四边形的面积是需要解决的问题，而把平行四边形化为长方形就是把未知化为已知，这里的平行四边形就是化归的对象，把平行四边形化为长方形就是化归的目标，利用分割、割补、旋转、平移的办法实现了未知向已知的转化，这里的分割、割补、旋转、平移就是化归的途径。3、以“梯形面积公式”为内容，设计一个教学片断。（要求：教学过程要比较具体、合理，且有一定的层次；要有与数学知识教学相联系的本课程中学习的数学思想方法教学内容；不少于300字。）答：第一步，唤起学生的数学知识和经验。1、让学生观察图形后，引导学生进行概括：把平行四边形化为什么？把三角形化为什么？（再次孕育化归方法。）2、判断两个等底等高的平行四边形的面积是否相等？是学生明白为什么图形形状改变，而面积不变的原因。（为把梯形化为平行四边形或三角形打基础。）第二步，探究梯形面积。1、创设问题情境。师：在推导平行四边形的面积公式时，我们是通过把平行四边形化为长方形而得出其面积公式的。请同学们想一想，推导三角形的面积公式时，我们是将它化为什么图形呢？（生）齐声回答：化为平行四边形。老师请学生在格点纸上画一个梯形，计算这个梯形的面积（要求有计算步骤或计算式子）。接着学生进行深入探究（起到扔掉拐杖，让学生自主学习、探索，也鼓励开展小组讨论，共同