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原创性声明 7 3 1 8 3 9 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行 研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、 数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成 果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：切ll 弭堑 日 论文作者签名：! e ! 兰! ：j 日期：沙哆j f f 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰 州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学 校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被 查阅和借阅：本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 ， - 有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本 人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时， 第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：笔h 虱粤导师签 期：。地堇! ! ： 兰州大学硕士学位论文 致谢 谨把此文敬献给我的导师一李效虎教授! 衷心感谢李老师三年来的悉心指导，正是他的涓涓细语，化作 今日溪流，方有此作 也把此文敬献给养育我的中国人民解放军l 军队提供了我三年来的全额费用，得此资助，才免我后顾之忧 特别要感谢的是我的妻子刘茜和我六岁的女儿邱越，没有她们 三年来的全力支持，我不可能安心地完成学业! 邱国新 2 0 0 5 年4 月 兰州大学硕士学位论文 摘要 2 本文证明了n b u c 在反星形变换下的封闭性，n b u ( 2 ) 在增凹变换下的封闭性， d r h r 在增凸变换下的封闭性，以及n b u f r 和n b u f r a 在其他单调变换下的封闭 性作为应用，我们证明了上述年龄性质在观察到的t t t 变换和非齐次p o s s i o n 冲击模 型中的封闭性另外，通过研究加速后的寿命和被加速寿命之间的随机比较，我们还讨 论了加速寿命模型中，加速因子对加速效果的影响! 关键词：并联系统；反星形变换；观察到的试验时间总变换；次可加变换；非齐次p o s s i o n 冲击模型；d r h r ；加速寿命模型；n b u c ；n b u ( 2 ) ；n b u f r ；n b u f r a ；随机序 中圈分类号： 0 2 1 2 2 兰州大学硕士学位论文 a b s t r a c t 3 i ti ss h o w e dt h a tn b u c a g i n gp r o p e r t yc a d b ep r e s e r v e db ya n t i - s t a r - s h a p e dt r a n s f o r m a t i o n s ，n b u ( 2 ) a g i n gp r o p e r t yc a nb ep r e s e r v e db yi n c r e a s i n ga n dc o n c a v et r a n s f o r m a t i o n s ，d r h ra g i n gp r o p e r t yc a nb ep r e s e r v e db yi n c r e a s i n ga n dc o n v e xt r a n s f o r _ m a t i o n s ，a n dn b u f r a n dn b u f r a a g i n gp r o p e r t i e sc a nb ep r e s e r v e db ys o m eo t h e r m o n o t o n et r a n s f o r m a t i o n s a sa p p l i c a t i o n s ，t h ep r e s e r v a t i o n so ft h e s ea g i n gp r o p e r t i e s u n d e ro b s e r v e dt o t a lt i m eo ft e s tt r a n s f o r m a t i o n sa n du n d e rn o n h o m o g e n e o u sp o i s s o n s h o c km o d e l sa r ed e r i v e d s t o c h a s t i cc o m p a r i s o n sb e t w e e na c c e l e r a t e dr a n d o ml i v e sa n d o r i g i n a lr a n d o m1 i v e su n d e ra c c e l e r a t e dl i f em o d e l sa r ei n v e s t i g a t e da sw e l l k e yw o r d s ：a c c e l e r a t e dl i f em o d e l ；a n t i s t a r s h a p e d ；d r h r ；m o n o t o n et r a n s f o r m a - t i o n ；n o n h o m o g e n e o u sp o i s s o ns h o c km o d e l ；n b u c ；n b u ( 2 ) ；n b u f r ；n b u f r a ；o b s e r v e dt o t a lt i m eo ft e s tt r a n s f o r m a t i o n ；p a r a l l e ls y s t e m ；s t o c h a s t i co r d e r i n g a m s2 0 0 0s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n p t i m a r y6 0 e 1 5 ，s e c o n d a r y6 2 e 1 0 前言 可靠性理论产生于现代技术的需要，尤其是源于第二次世界大战期间使用复杂军事 系统的需要随后，在b i r n b a u m ，e s a r y ，b a h o 毗p r o s c h a n 等人的大力推动下，该理论 得到迅猛发展，现已被广泛应用到工业工程、航空航天、计量经济、生物统计等学科的 研究中，成为应用概率统计中最为活跃的分支之一 可靠性理论的研究方向有很多，有关年龄性质的研究是其中一个重要话题此项研究 始于本世纪印年代，当时为了描述磨损及老化现象，以及比较各种更换策略，引入了诸如 i f r ( i n c r e a s i n gf a i l u r er a t e ) ，i f r a ( i n c r e a s i n g 丘i l u r er a t ea v e r a g e ) ，d m r l ( d e c r e a s i n g m e 8 nr e s i d u a ll 瓣) ，n b u ( n e wb e t t e rt h a nu s e d ) ，n b u e ( n e wb e t t e rt h a nu s e di ne x p e e t a t i o n ) 等年龄性质，并对这些年龄性质进行了系统研究近几年来，有关年龄性质的研究仍 很活跃，一些新的年龄性质被陆续引入进来例如，n b u ( 2 ) ( n e w b e t t e rt h a nu s e di nt h e s e c o n dd e g r e es t o c h a s t i cd o m i n a n c e ) ，n b u c ( n e wb e t t e rt h a nu s e di nc o n v e xo r d e r i n g ) ， n b u l t ( n e wb e t t e rt h a n 蝴e d 搋三印l a c eo r d e r i n g ) 等这些新的年龄性质的可靠性特征 也渐渐被人们所挖掘 文献e s a r ye ta 1 ( 1 9 7 3 ) 开辟了可靠性理论中冲击模型的研究方向，一些年龄性质 在此模型中的封闭性也被该文和其他一些文献所相继论证此项研究由于有着广阔的应 用背景，所以现在仍激励着很多人在此领域进行更深入的探讨 比较两个随机寿命某种年龄性质的强弱是可靠性理论中另一重要研究方向专著 s h a k e da n ds h a n t h i k u m a r ( 1 9 9 4 ) 和m 6 l l e ra n ds t o y a n ( 2 0 0 2 ) 对随机序方面的研究成 果作了系统总结前不久，f i n k e l s t e i n ( 2 0 0 1 ) 将随机序的概念引入到加速寿命模型中， 讨论了加速后的寿命依通常意义的随机序小于搜加速寿命盼充要条件 在导师李效虎教授的指导下，笔者自2 0 0 2 年夏开始研究一些年龄性质在单调变换 下的封闭性，首先建立了n b u c 等年龄性质在单调变换下封闭的充分条件，然后把这些 封闭性结论成功应用到观察到的试验总时间变换和非齐次p o i s o n 冲击模型中。与此同 时，还通过反例说明了n b u c ，n b u ( 2 ) 和n b u e 在次可加变换下是不封闭的 我的研究工作得到了兰闸大学数学与统计学院有关老师，尤其是数学与统计学院资 料室黎晓梅老师的大力支持和帮助，在此向他们深表谢意l 5 第一章预备知识 1 1 引言 在可靠性理论中，年龄性质在各种情形下的封闭性研究一直是人们所关注的热门话 题，但到目前为止，研究的最多的还是这些年龄性质在串联系统、并联系统、热备系统、 冷备系统，乃至更一般的协同系统中的封闭性有关这方面的研究成果，读者可参阅文献 b r y s o na n d d d i q u i 1 9 6 9 ) ，a b o u a m m o ha n de l n e w e i h i ( 1 9 8 6 ) ，c a ia n dw uf 1 9 9 7 1 和 b a r l o wa n d p r o s e h a n ( 1 9 8 1 ) 等专著值得一提的是，程侃先生的中文专著c h e n gf 1 9 9 9 1 对此问题还专辟一章，进行系统论述 本文致力于研究一些年龄性质在单调变换下的封闭性开展这项工作的动机有两个 方面：首先是考虑到元件或系统在使用过程中，都不可避免的要遭受外来冲击例如：建 筑物、烟囱、飞行物要接受气流的冲击；道路、桥梁、铁轨要接受行驶物碾压的冲击；电 子元件要接受开关过程中脉冲电流的冲击等等元件或系统在接受冲击以后，能否继续 保留原来的年龄性质是每一位可靠性工作者都很关心的问题关于这一类问题的研究成 果已经有了很多，例如，e s a r ye ta 1 ( 1 9 7 3 ) 和k l e f s j 5 ( 1 9 8 1 ) 研究了建立在生灭过程基 础上的冲击模型；f a g i u o l ia n dp e l l e r e y ( 1 9 9 4 ) ，c a oa n dw a n g ( 1 9 9 1 ) ，a b o u a m m o ha n d q a m b e r ( 2 0 0 3 ) 研究了建立在齐次p o i s s o n 冲击过程上的冲击模型；而p e l l e r e y ( 1 9 9 4 ) 则把冲击模型的研究重点放在计数冲击过程上，得出一些年龄性质在计数冲击过程中的 封闭性最近， y u ea n dc a o ( 2 0 0 1 ) 和z h a n ga n dl i ( 2 0 0 3 ) 对两类新的年龄性质，即 n b u l t 和n b u m g ( n e w b e t t e rt h a nu s e di nm o m e n t g e n e r a t i n g 丘n c t i o no r d e r i n g ) ，不但 分别研究了其在齐次p o i s s o n 冲击过程中的封闭性，而且还研究了其在非齐次p o i s s o n 冲 击过程和计数冲击过程中的封闭性实际上，在本文的第二章第四节将会看到，基于年 龄性质在单调变换下的封闭性，可将这些年龄性质在齐次p o i s s o n 冲击模型中的封闭性 轻松推广到非齐次p o i s s o n 冲击情形 本文的另一项工作是研究加速寿命模型，它要求加速寿命变换的逆变换是非负递增 的，且当自变量趋近于无穷大时，遂变换本身也要趋近于无穷大因此，研究年龄性质 在更一般的单调变换下是否封闭，也就同时解决了这些年龄性质在加速寿命模型中的封 闭性问题，这也是本文要研究一些年龄性质在单调变换下的封闭性的另一个原因 c o s a n do a k e s ( 1 9 8 4 ) 是这一领域比较早的研究文献之一f i n k e l s t e i n ( 2 0 0 1 ) 对此模型作了 更进一步的研究，得出了i f r ，i f r a ，n b u 在加速寿命模型中保持封闭的充分条件本 文继f i n k e l s t e i n ( 2 0 0 1 ) 之后，将随机比较引入到加速寿命模型中，讨论了加速后的寿命 依某种随机序小于被加速寿命的充分条件 1 2 基本概念 为方便起见，先介绍一些本文将要用到的年龄性质和随机序的定义 6 兰州大学硕士学位论文 7 设x 是非负随机变量，其分布函数和可靠性函数分别记为f 和户= 1 f 当x 绝对连续时，若将其密度函数记为，则其失效率和反向失效率分别是 州班器一= ，( z ) f ( x ) 定义1 2 1 ( 1 ) 若对所有的t ，z 0 ，不等式 r o 。p o 。 f o + u ) d “户( t ) f ( ) d “ ( 1 1 ) j j 2 成立，则称x 或者f 是n b u c 的； ( 2 ) 若对所有的t ，x 0 ，不等式 胁m 冲嘲z 。讯) 觇 成立，则称x 或者f 是n b u ( 2 ) 的； ( 3 ) 若对所有的茁0 ，不等式 z ”户( ) d u f 扛) z o 。f ( u ) d u 成立，则称x 或者户是n b u e 的； ( 4 ) 若对所有的。0 ，不等式 r f ( o ) r f ( x ) 成立，则称x 或者户是n b u f r ( n e w b e t t e rt h a nu s e di nf a i l u r er a t e ) 的； ( 5 ) 若对所有的z 0 ，不等式 r f ( 0 ) - - z lf o 。r f ( 州“= 半掣 成立，则称x 或者尹是n b u f r a ( h e ? j ) b e t t e r t h a nu s e di nf a i l u r er a t ea v e r a g e ) 的； ( 6 ) 若对所有的z 0 ，西( z ) 都是递减的，则称x 或者户是d r h r ( d e c r e a s i n g r e v e r s e dh a z a r dr a t e ) 的 特别的，若x 是非负整值的随机变量，取值为k 的概率是p k = p ( x = ) ，= 0 ，1 ，2 ，记 反= p ( x 七) 兰p j j = k 七一1 r = 1 一r 兰功， j = o 兰州大学硕士学位论文 定义1 2 2 ( 1 ) 若对所有的菲负整数七，i ，都有 瓦巧 f = 0 则称x 是d n b u c ( d i s c r e t en e w b e t t e rt h a nu s e di nc o n v e xo r d e r i n g ) 的i ( 2 ) 若对所有的非负整数k ，i ，都有 e j = o 8 则称x 是d n b u ( 2 ) ( d i s c r e t e n e wb e t t e rt h a nu s e di nf 眈s e c o n d d e g r e es t o c h a s t i cd o r a i n a n c e ) 的； ( 3 ) 若对所有的非负整数量，都有 r + l 展p l 则称x 是d n b u f r ( d i s c r e t e n e wb e t t e rt h a nu s e d 讥f a i l u r er a t e ) 的； ( 4 ) 若对所有的非负整数k ，都有 露肚扇 则称x 是d n b u f r a ( d i s e r e t e n e wb e t t e rt h a nu s e di nf a i l u r er a t ea v e r a g e ) 的； ( 5 ) 若对所有的非负整数k ，都有 磺2p k l p k + 1 则称x 是d d r h r ( d i s e r e t ed e c r e a s i n gr e v e r s ef a i l u r er a t e ) 的 通过改变定义1 2 1 和1 2 2 中不等式的方向，可得出各自对偶年龄性质的定义 n b u c 的定义最早由c a o a n dw a n g ( 1 9 9 1 ) 提出，其在卷积下的封闭性和在串联系 统中的不封闭性也可见于此文h e n d ie ta 1 ( 1 9 9 3 ) ，c a ia n dw u ( 1 9 9 7 ) 和三ie 口f ( 2 0 0 0 ) ，l ie ta 1 ( 2 0 0 3 ) 都调查了n b u c 在并联系统中的封闭性；f a g i u o l ia n dp e l l e r e y ( 1 9 9 4 ) ，a b o u a m m o ha n dq a m b e r ( 2 0 0 3 ) 都调查了n b u c 在齐次p o i s s o n 冲击模型中的 封闭性 d e s h a n d ee ta 1 ( 1 9 8 6 ) 最早提出了n b u ( 2 ) 的定义，n b u ( 2 ) 与其他年龄性质的关 系也可参阅此文；文献l ia n dk o c h a r ( 2 0 0 1 ) 和f r a n c o e ta i ( 2 0 0 1 ) 独立建立了n b u ( 2 ) 在串联系统的封闭性；l i ( 2 0 0 4 ) 在建立了n b u ( 2 ) 的等价刻画后，证明了n b u ( 2 ) 在并 联系统中的封闭性 a b o u a m m o ha n da h a m e d ( 1 9 8 8 ) ，f a g i u o l ia n dp e l l e r e y ( 1 9 9 4 ) 分别建立了n b u f r ， n b u f r a ，n b u ( 2 ) 在齐次p o i s s o n 冲击模型中的封闭性，有关这三种年龄性质的其他更 多细节，读者可参阅b r y s o na n ds i d d i q u i ( 1 9 6 9 ) ，l o h ( 1 9 8 4 ) 一r 一 竹 皓 一r 蜘 茂 一 一弓 州：i 兰州大学硕士学位论文9 d r h r 的另外一些等价定义可在文献n a n d ae f 口f ( 2 0 0 3 ) 中查到，萁在齐次p o i s s o n 冲击模型中的封闭性由s e n g u p t a 毹a l 。( 1 9 9 9 ) 最先证明，它的其他一些性质可参阅文献 n a n d ae ta l , ( 1 9 9 s ) ，l ia n d z u o ( 2 0 0 2 ) 设y 是另一非负随机变量，其分布函数和可靠性函数分别记为g 和0 = l g 当 ，绝对连续时，其密度函数记为g ，失效率和反向失效率分别记为 r g ( 加器 x ) = 器 记x 和y 的平均剩余寿命分别为 俐x = 0 0 。帮毗州垆z 0 。帮眠 下面的随机序概念是对年龄性质的一种二元推广，。 定义1 2 3 ( 1 ) 若对所有的z 0 ，g _ 1 f ( x ) 都是凸的，则称x 依i f r 序小于y ( 记为x s 。y ) ； ( 2 ) 若对所有的z 0 ，g _ 1 f ( x ) 都是星形的，则称x 依 f r a 序小于y ( 记为 义s + y ) ； ( 3 ) 若对所有的茹0 ，g _ f ( x ) 都是超可加的，则称x 依n b u 序小于y ( 记为 x 。y ) ； ( 4 ) 若对所有的z20 ，【g 。f ( z ) 7 g q f ( o ) 成立，则称x 依n b u f r 序小于y ( 记为x z ) = p ( x 妒( z ) ) = 矿( 妒( z ) ) 于是，对所有的t ，z 0 ，我们有 r o 。r o 。 g ) g m ) d u 一 g ( 钆) d u j tj t h ，r 。o = f ( 妒 ) ) 户( 妒( 钍) ) d u 一f ( 妒( 札) ) d u j tj t + $ r 冲2r o o = p ( 妒( z ) ) f ( 妒( u ) ) d 似一【1 一户( 妒( z ) ) f ( 妒( 钍) ) d “ ( 2 1 ) j tj t + 注意到西( z ) 是反星形的，妒( 茁) 是星形的也就是说，对所有的t ，z o ， ! 生塑 绁f 2 2 1 t + o茁 兰州大学硕士学位论文 1 2 所以( 2 ，1 j 大于等于 讹) ，蚪。户( 掣“) 虮 1 - 讯) ( f ( 掣乱) 砒 = 揣胁瑚露尹( y ) d y - 卜脚瑚冉，叫 = 丽t + x k ，乓。刚s ，一t m 叫 = 漏b 瑚乓。f 旷乓。眦m + 乓。贰“司切) d 扩厶删贰们曲 = 斋z ) + b ( t ，圳- ( 2 3 x 是n b u c 的，故对所有的t ，。0 ， 似t 司卸 陋”乓。烈们曲一乓。其“习枷m 坨0 。 另外，对所有的t ，丑0 ，( 2 2 ) 等价于 妒o + 。) 一妒( 茁) 而妒( t + z ) 于是，对所有的t ，。0 ， b 心甸2 上糕贰烈动+ 们曲一上( m ) 取奶如 2 乓贰“功蜘) d 扩k 小出) 取烈功切m = 丘型 f ) + v ) d y 0 根据以上讨论，对所有的t ，z 0 ，( 2 3 ) 是非负的，从而咖( x ) 也是n b u c 的 ( b ) 同理可证 - 在定理2 1 1 的证明中，令t 趋近于0 ，直接可导出a h a m e e da n d p r o s c h a n ( 1 9 7 3 ) 证明的n b u e 和n w u e 的封闭性 f i n k e t s t e 讯( t h e o r e m1 ，2 0 0 1 ) 已证明n b u ( n w u ) 年龄性质在递增次可加( 超可 加) 变换下具有封闭性由于反星形变换一定是次可加的，故考虑n b u c 和n b u e 在次 可加变换下是否仍然封闭就很有意义下i g 的n - ：x c i l t n 题作出了否定的回答 兰州大学硕士学位论文 例2 1 2 令乒( z ) = 旧是不小于。的最小整数，它是递增次可加的但若z ，= 2 9 x 2 = 3 1 必：三。三：煎尘 x l 2 93 1 x 2 从而，( z ) 不是反星形的 对非负随机变量x ，其可靠性函数设为 f 1 ， f ( z ) 一 o 8 9 2 ， 【0 ， 0 o 0 9 9 0 9 9 z 1 0 1 当0st 0 9 9 时，f ( ) = 1 ，( 1 1 ) 是显然的 当t 1 0 1 时，( 1 1 ) 的两边都等于0 ，( 1 1 ) 是平凡的 当0 9 9st h ) = 0 8 9 2 ，1 sz 1 1 ， 【0 ， 。21 1 ， 这里的l z j 指的是不大于z 的最大整数 ) 的平均剩余寿命函数是 嘲州归一c e 声 ( u ) d u = 9 9 2 - ，文誊i 嘲删2 可2 ，j 甍 9 9 2 = m ( x ) ( o ) ，僻) 不是n b u e 的，当然也就不是n b u c 的一 兰州大学硕士学位论文 1 4 对于n b u c 在并联系统中的封闭性，h e n d ie ta i ( 1 9 9 3 ) 最早给出了独立同分布情 况下的证明随后， c a ia n dw u ( 1 9 9 7 ) 用分析的方法证明了结论在独立但不同分布情 况下依然成立 “e ta 1 ( 2 0 0 0 ) 和i 以a 1 ( 2 0 0 3 ) 借助于随机比较，再次证盟了独立不 同分布情况下结论的正确性前不久，p e l l e r e ya n dp e t a k o s ( 2 0 0 2 ) 证明了n b u c 在具 有凸结构函数的协同系统中是封闭的，从而n b u c 在并联系统中的也是封闭的在本节 的最后，我们先证明n b u c 的两个等价刻画，基于这两个等价刻画，n b u c 在并联系 统中的封闭性也能简单得证 、 定理2 1 。3 随机变量x 是n b u c ( n w u c ) 的充要条件是，对非负增凸函数g ( x ) ( e g ( x ) 。) 和t 三0 ，下列不等式成立： 广r 。o g ( z t ) d f ( x ) s ( ) f ( t ) 9 ( z ) d f ( x ) ( 2 4 ) 证明充分性因x 有有限均值，故l i mx p ( x ) = 0 ，进而 l i r ax f ( x + t - fb ) = 1 i mx f ( z + b ) = 0 对所有的茁0 和b 0 ，考虑函数 g c 茗，= 一。，+ = 一。，：薹： 显然，9 ( 。) 是非负增凸的，并且 f t ”g ( z t ) d f ( x ) =厂o 。( z t 一6 ) + d 矿( z ) j o 一扛 ：一厂0 。g a f ( y + t + 6 ) 2 z 亏 + 2 + 6 ) d y = 户( + t ) d y 类似的， ，。r 。 g ( 。) d f ( x ) = f ( 可) d y j oj b 于是，由( 2 4 ) 得出不等式( 1 1 ) 成立，x 是n b u c 的 必要性由充分往豹证明可知，从n b u c 的假设可推出不等式( 2 4 ) 对函数9 ( 茁) ； 仕6 ) + 成立，从而不等式( 2 4 ) 对g ( z ) = 忙一6 ) + 的正线性组合都成立，这里的b 兰州大学硕士学位论文 1 5 可取各种不同的非负值由于每一增凸函数都可通过用形如9 ( z ) = ( z 一6 ) + 的函数的正 线性组合来逼近，所以，必要性的证明可由控制收敛定理来完成 n w u c 的情形同理可证 下面的推论2 1 4 是n b u c ( n w u c ) 的另一等价刻画，它的内容与定理2 1 3 稍有 不同，但它在证明n b u c 关于并联系统的封闭性时却很有用 推论2 1 4随机变量x 是n b u c ( n w u c ) 的充要条件是，对非负增凸函数目( z ) ( e g ( x ) n ) 1 + e 囟( x 1v 。磁a ) l ( x 。! 。 t 表示x 在时刻t 0 的剩余寿命 根据定义1 2 1 ( 2 ) 和定义1 2 4 ( 1 ) ，我们知定理中的n b u ( 2 ) 假设等价于，对所有 的t 0 ，x 依增凹序大于咒于是，由定理3 a 5 ( s h a k e da n ds h a n t h i k u m a r , 1 9 9 4 ) ，对 所有的t 0 ，我们进一步有 t = 妒( x ) - i c y 毋( x t ) 又考虑到在x t 时，由增凹性可推出次可加性，故 这样，对所有的t 0 咖( x ) = 庐( x t + t ) 乒( x t ) + 8 ) 妒( 咒) = 曲( x t ) i x t 】 = 【妒( x t ) 毋( x ) 曲( t ) 】 曲( x ) 一曲( t ) i6 ( x ) 咖( t ) 】 = ( t ) 从而，对所有的t = ( ) 0 ，t i 。正，即西( x ) 也是n b u ( 2 ) 的 一 兰州大学硕士学位论文 1 7 注： 在完成本定理的证明之后得知，导师李效虎博士用迥然不同的方法也独立完成 了本定理的证明 尽管我们已证明n b u ( 2 ) 在增凹变换下是封闭的，但仍然不知道n b u ( 2 ) 在反星形 变换下是否封闭? 然而，下面的例子2 2 2 却表明，n b u ( 2 ) 在次可加变换下是不封闭 的 例2 2 2 根据f r a n c oe t a 1 ( 2 0 0 1 ) 中的例2 7 ，若离散型随机变量x 在1 ，1 5 ， 2 5 这三点分别取概率值0 7 ，0 2 ，o 1 ，则x 是n b u ( 2 ) 的然而，对递增次可加变换 曲( z ) = z ，妒噬) 的可靠性函数是 。c 。，= 户c 扛一，= 呈1 ：0 三：； f ，z 3 9 = g ( 1 ) z 2 g ( ) d u = g ( ”z 。g ) d “ 故西伍) 不是n b u ( 2 ) ，_ 对d r h r ，首先注意到( i n f ( z ) ) 7 = f ( 。) ，故d r h r 的一个等价定义是其分布函数 是对数凹的( n a n d ae ta 1 ，2 0 0 3 ) 下面的定理2 2 3 表明，d r h r 在增凸变换下是封闭 的 定理2 2 3x 是d r h r 的，若西( 。) 是增凸的，员! l 西啤) 也是d r h r 的 证明令妒( z ) = - 1 ( z ) ，记咖) 的分布函数为g ( z ) ，于是， g ( x ) = p 妒( x ) sz ) = p x 妒( z ) ) = f ( 妒( z ) ) 注意到( z ) 是增凸的，v ( x ) 是凹的，且由假设可知，l n f 是增凹的，故l n g 也是凹 的这就是说，西( x ) 是d r h r 的 一 注： s e n g u p t ae ta 1 ( t h e o r e m2 ，1 9 9 9 ) 证明了定理2 2 3 的两个特殊情形：曲( 。) = o 。( o 0 ) 和咖( 。) = z “( a 1 ) 2 3n b u f r 和n b u f r a 的封闭性 本节限定递增变换咖( z ) 的逆变换v ( x ) 在【0 ，o 。) 上处处可导，此限定虽很严格，但 实际上仍有意义譬如说，在加速寿命模型中，逆变换妒( 口) 被解释为加速因子( k o t z a n d s i n g p u r w a l l a ，1 9 9 9 ) ，此时的i p ( 茁) 就可视为连续可微的，并且存在一个函数”( z ) ，使得 广。 妒( z ) 2 j ( 叫( u ) d 吐， o 0 的非齐次p o i s s o n 过程经过前k 次冲击后，装置能继续遭受冲击的概率是a = i = kp i ，这里的鼽是一 整值随扎变量的概率分布，比如说就是l ，则此装置的可靠性函数可写作 耻薹a 学e _ a ( “一。， ( 2 s ) 其中 a ( ) = a ( ) d u j 0 是累积发生率若令a ( t ) 恒等于一个常数a ，则 豆( t ) ：妻磊鳟。喇，t 0 豆( t ) = 磊等e 。，t o ， ( 2 9 ) 七= d 就是装置在齐次p o i s s o n 冲击下的可靠性函数 众所周知，连续寿命分布h ( t ) 可继承整数取值的分布戤0 = 1 ，2 ，) 的一些年龄性 质很多作者已经讨论了h ( t ) 继承p 。年龄性质的充分条件e s a r ye ta 1 ( 1 9 7 3 ) 是这 领域的最早研究成果这一领域的其他研究成果可参阅文献a h a m e e da n dp r o s c h a n ( 1 9 7 3 ) ，k l e f s j 5 ( 1 9 8 1 ) ，s i n g ha n dd e s h p a n d e ( 1 9 8 5 ) 最近的研究成果可参阅f a g i u o l ia n d p e l l e r e y ( 1 9 9 4 ) ，b e t z u n c ee ta 1 ( 1 9 9 9 ) ，z h a n ga n dl i ( 2 0 0 3 ) ，归功于a b o u a m m o ha n d a h m e d ( 1 9 8 8 ) ，f a g i u o l ia n dp e l l e r e y ( 1 9 9 4 ) ，a b o u a m m o ha n dq a m b e r ( 2 0 0 3 ) 的如下结 论将被用来推证n b u c ，n b u ( 2 ) ，d r h r ，n b u f r 和n b u f r a 在非齐次p o i s s o n 冲击 模型中的封闭性 引理2 4 3 ( a ) 若y 是d n b u c ( d n w u c ) 的，则( 2 9 ) 中的豆( t ) 也是n b u c ( n w u c ) 的； ( b ) 若y 是d n b u ( 2 ) 的，则( 2 9 ) 中的豆( t ) 也是n b u ( 2 ) 的； ( c ) 若y 是d d r h r 的，则( 2 9 ) 中的日( t ) 也是d r h r 的； ( d ) 若y 是d n b u f r ( d - n w u f r ) 的，则( 2 9 ) 中的h ( t ) 也是n b u f r ( n w u f r ) 的； 兰州大学硕士学位论文2 1 ( e ) 若y 是d n b u f r a ( d n w u f r a ) 的，则( 2 9 ) 中的h ( t ) 也是n b u f r a ( n w u f r a ) 的 定理2 4 4 ( a ) 若l ，是d n b u c ( d n w u c ) ，且a ( t ) 是星形的( 反星形的) ，则( 2 8 ) 中的h ( t ) 也是n b u c ( n w u c ) 的； ( b ) 若】，是d n b u ( 2 ) 的，且a ( t ) 是凸的，则( 2 8 ) 中的h ( t ) 也是n b u ( 2 ) 的； ( c ) 若y 是一d r h r 的，且h ( t ) 是凹的，则( 2 8 ) 中的h ( t ) 也是d r h r 的； ( d ) 若y 是d n b u f r ( d n w u f r ) ，且a ( t ) a ( o ) ( a ( ) a ( o ) ) ，则( 2