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第1章概率论的基本概念 教材 盛骤 概率论与数理统计 第四版制作 讲授 安徽师范大学朱仁贵 2 当面对两个选择的时候 抛硬币可以帮助我们 答案在它落地后才能知晓 3 随机现象 结果不确定 做之前可以预知多种可能的结果 但究竟是哪一个结果 只有做了才知道 1 抛掷一枚均匀的硬币 会出现正面向上 反面向上两种不同的结果 2 用一门大炮 射击某一目标 炮弹落点不尽相同 3 罚点球 可能进也可能不进 4 参加考试 得分有多种可能 4 1 向上抛一石子 必然下落 2 在标准大气压下 将水加热到100摄氏度 必然沸腾 3 同性电荷必然相斥 异性电荷必然相吸 4 寻求长生不老药 必然失败 5 抛一枚硬币 观察正反两面出现的情况 多次重复后 发现正反两面出现的次数基本上对半分 多次掷一颗骰子 任意一面朝上的次数基本上占总投掷次数的1 6 6 第一章概率论的基本概念 1 1随机试验 1 2样本空间 随机事件 1 3频率与概率 1 4等可能概型 古典概型 1 5条件概率 1 6独立性 7 1 1随机试验 e1 抛一枚硬币 观察正面h 反面t出现的情况 e2 将一枚硬币抛三次 观察正面h 反面t出现的情况 e3 将一枚硬币抛三次 观察出现正面的次数 e4 抛一颗骰子 观察出现的点数 注意 e2和e3是一次试验 e5 记录某城市120电话台一昼夜接到的呼唤次数 e6 在一批灯泡中任意抽取一只 测试它的寿命 e7 记录某地一昼夜的最高温度和最低温度 8 1 2样本空间 随机事件 1 2 1样本空间 e1 抛一枚硬币 观察正面h 反面t出现的情况 e2 将一枚硬币抛掷三次 观察正面h 反面t出现的情况 e3 将一枚硬币抛掷三次 观察出现正面的次数 e4 抛一颗骰子 观察出现的点数 e5 记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数 e6 在一批灯泡当中 任意抽取一只测试它的寿命 e7 记录某地一昼夜的最高温度和最低温度 这里x表示最低温度 y表示最高温度 并设这一地区的温度不会小于t0也不会大于t1 9 1 2样本空间 随机事件 1 2 2随机事件 10 1 2样本空间 随机事件 1 2 2随机事件 随机事件的分类 由一个样本点组成的单点集 由基本事件组合而成的事件 空集 11 1 2样本空间 随机事件 1 2 3事件间的关系与运算 12 1 2样本空间 随机事件 1 2 3事件间的关系与运算 13 1 2样本空间 随机事件 1 2 3事件间的关系与运算 14 1 2样本空间 随机事件 1 2 3事件间的关系与运算 事件运算定律 交换律 德摩根律 结合律 分配律 15 例题 令a 信号灯亮 bi 开关i闭合 i 1 2 3 1 2样本空间 随机事件 1 2 3事件间的关系与运算 16 1 3频率与概率 大量试验证实 当重复试验的次数n逐渐增大时 频率呈现稳定性 稳定于某个常数 如下表所示的投币试验 观察正面h出现的情况 17 1 3频率与概率 1 非负性 对于每一事件a 有p a 0 2 规范性 对于必然事件s 有p s 1 3 可列可加性 又称完全可加性 18 1 3频率与概率 概率的一些重要性质 2 有限可加性 若a1 a2 an是两两互不相容的事件 则有 3 差事件概率 设a b是两个事件 若a b 则有 4 对于任一事件a 有p a 1 5 逆事件概率 对于任一事件a 有p 1 p a 6 和事件概率 加法公式 对于任意两事件a b有 19 1 3频率与概率 可推广到多个事件的和事件 20 1 4等可能概型 古典概型 等可能概型的定义与概率的计算 具有如下两个特点的试验 称为等可能概型 又叫古典概型 2 试验中每个基本事件发生的概率相同 p e1 p e2 p en 1 试验的样本空间只包含有限个元素 s e1 e2 en 21 1 4等可能概型 古典概型 一个口袋装有6只球 其中4只白球 2只红球 从袋中取球两次 每次随机地取一只 22 1 4等可能概型 古典概型 将n只球随机地放入n n n 个盒子中去 试求每个盒子至多有一只球的概率 设盒子的容量不限 选排列 相当于放回抽样 相当于不放回抽样 事件a的概率 现实中的类似问题 一年365天 n n 365 个人的生日各不相同的概率 23 设有n件产品 其中有d件次品 今从中任取n n n 件 问其中恰有k k d 件次品的概率 组合 1 4等可能概型 古典概型 基本事件总数 恰有k件次品的概率 不放回抽样 但是样品不分先后 不编号 不区分 需要消除不同排列带来的重复 24 1 4等可能概型 古典概型 某接待站在某一周接待过12次来访 已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的 问是否可以推断接待时间是有规定的 假设没有规定 任一次来访都有7天可供选择 a 这12次接待发生在周二和周四 事件a发生的概率 概率极低的事件竟然发生了 所以有理由怀疑假设的正确性 从而推断接待时间是有规定的 25 1 5条件概率 1 5 1条件概率 事件a发生的条件下事件b发生的概率 设试验的基本事件总数为n 事件a所包含的基本事件数为m m 0 事件ab所包含的基本事件数为k 26 1 5条件概率 1 5 1条件概率 前述概率的6个性质 对条件概率也是适用的 例如对任意两事件b1和b2有 1 非负性 对于每一事件b 有p b a 0 2 规范性 对于必然事件s 有p s a 1 3 可列可加性 设b1 b2 是两两互不相容的事件 则有 27 1 5条件概率 1 5 1条件概率 28 1 5条件概率 1 5 2乘法定理 乘法定理 乘法公式 p ab p b a p a p abc p c ab p ab p c ab p b a p a p a1a2 an p an a1a2 an 1 p an 1 a1a2 an 2 p a2 a1 p a1 29 1 5条件概率 1 5 2乘法定理 ai 第i次取到红球 30 1 5条件概率 1 5 3全概率公式与贝叶斯公式 贝叶斯公式 全概率公式 31 1 5条件概率 1 5 3全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式 贝叶斯公式 32 1 5条件概率 1 5 3全概率公式与贝叶斯公式 a 此人吸烟 c 此人患肺癌 p a p c a p p c 33 1 6独立性 互相独立与互不相容是不同概念 互不等价 抛甲 乙两枚硬币 观察正反面出现的情况 先抛甲后抛乙 a b独立 34 1 6独立性 a b c三者独立 1 设a b是两事件 且p a 0 若a b相互独立 则p b a p b 反之亦然 2 若事件a与b相互独立 则下列各对事件也相互独立 a与 与b 与 3 若事件a1 a2 an n 2 相互独立 则其中任意k 2 k n 个事件也是相互独立的 4 若事件a1 a2 an n 2 相互独立 则将a1 a2 an中任意多个事件换成它们各自的对立事件 所得的n个事件仍相互独立 35 1 6独立性 例 求系统的可靠性 p a p a1a2 a3a4 p a1a2 p a3a4 p a1a2a3a4 p a1 p a2 p a3 p a4 p a1 p a2 p a3 p a4 p1p2 p3p4 p1p2p3p4 36 第一章结束 goodbye 37 习题 3 1 设a b c是三个事件 且p a p b p c 1 4 p ab p bc 0 p ac 1 8 求a b c至少有一个发生的概率 其中p abc p c ab p ab 0 故p a b c 1 4 1 4 1 4 1 8 5 8 38 利用德摩根律和逆事件概率可得 39 利用差事件概率可得 由加法公式可得 或利用条件概率的乘法定理可得 或 40 3 3 已知p a 1 2 a 若a b互不相容 求 b 若p ab 1 8 求 若a b互不相容 则p ab 0 故 a b 解 利用差事件概率可得 41 5 10片药片中有5片是安慰剂 1 从中任意抽取5片 求其中至少有2片是安慰剂的概率 2 从中每次取一片 作不放回抽样 求前三次都取到安慰剂的概率 解 1 这属于经典概型的组合问题 令ai 取到的5片中有i片是安慰剂 i 0 1 2 3 4 5 它们是互不相容的 根据概率的有限可加性 所求概率为 2 令ai 第i次取到的是安慰剂 利用条件概率的乘法定理可得 或 42 8 在1500件产品中有400件次品 1100件正品 任取200件 1 求恰有90件次品的概率 2 求至少有2件次品的概率 2 令ai 取出的200件产品中有i件次品 则所求概率为 43 21 已知男子有5 是色盲患者 女子有0 25 是色盲患者 今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人 恰好是色盲者 问此人是男性的概率是多少 解 设a 任选一人为男性 b 任选一人为色盲 则由题意知 利用全概率公式可得 再根据贝叶斯公式可得所求概率为 44 34 试分别求以下两个系统的可靠性 1 设有4个独立工作的元件1 2 3 4 它们的可靠性分别为p1 p2 p3