结构力学静定结构的内力分析ppt课件.ppt

结构力学 1 重点 内力图特征 绘制单跨和多跨静定梁 静定平面刚架的内力图 这是本课程最重要的基本功之一 难点 内力与荷载间微分关系同内力图特征间的联系 区段叠加法绘制弯矩图 选取适当的隔离体和静力平衡方程求静定平面桁架的轴力 第3章静定结构的内力分析 教学基本要求 灵活运用截面法 内力图与荷载间的关系及区段叠加法绘制杆件的内力图 熟练掌握静定梁和静定刚架内力图的绘制方法 熟练掌握静定平面桁架结构轴力的计算方法 能利用特殊结点的静力平衡条件判断零杆和等力杆 掌握静定组合结构的受力特点及内力计算方法 掌握三铰拱支座反力及指定截面内力的计算方法 了解三铰拱在几种常见荷载作用下的合理拱轴线 2 目录 3 1单跨静定梁的内力分析 3 2多跨静定梁的内力分析 3 3静定平面刚架的内力分析 3 4静定平面桁架的内力分析 本章小结 3 5静定组合结构的内力分析 3 6三铰拱的内力分析 3 7静定结构的一般特性 3 a 简支梁 b 斜梁 c 悬臂梁 d 伸臂梁图3 1单跨静定梁的结构形式 3 1单跨静定梁的内力分析 单跨静定梁内力分析和内力图绘制方法 是其他静定结构内力分析和内力图绘制的基础 因此本节在材料力学等课程的基础上 进一步深入讨论单跨静定梁内力图的绘制方法 包括截面法 内力图与荷载间的关系和区段叠加法 梁是以受弯为主的结构 以承受竖向荷载为主 静定梁可分为单跨静定梁和多跨静定梁 单跨静定梁为单杆结构 其全部支座反力和内力都可用静力平衡方程求出 常见的单跨静定梁形式包括简支梁 斜梁 悬臂梁和伸臂梁等 如图3 1所示 在建筑结构中 窗台上的过梁属于简支梁 楼梯梁属于斜梁 雨棚属于悬臂梁 阳台上的挑梁属于伸臂梁 4 a 简支梁图3 2截面内力 3 1 1用截面法求指定截面的内力 杆件内力主要指截开杆件所暴露出的截面上的力 对于平面杆件 一般包括轴力 剪力和弯矩三种 如图3 2 b 所示 b 切开截面后的内力 分析杆件内力最基本的方法是截面法 其原理是利用静力平衡条件求截面的内力 主要步骤包括 截开截面 即用假想平面或曲面沿指定截面将原结构切开一分为二 内力代替 选取截面任一侧结构为隔离体 截开截面暴露出的三种内力绘制在隔离体受力图截面上 列平衡方程 通过隔离体静力平衡方程求解未知内力 在列平衡方程求解内力时 需事先确定截面内力的方向 而此时截面内力为未知力 因此 一般假定截面内力沿其正向作用 则计算得到的正负号就是该截面内力的正负号 5 轴力 截面上沿杆件轴线方向的内力合力 拉力为正 压力为负 轴力FN的数值等于截面任一边所有外力在梁轴线方向投影的代数和 剪力 截面上沿杆轴法线方向的内力合力 顺时针旋转为正 反之为负 剪力FQ的数值等于截面任一边所有外力在与梁轴线垂直方向投影的代数和 弯矩 截面上内力对截面形心的合力矩 下凸上凹为正 反之为负 弯矩M的数值等于截面任一边所有外力对该截面形心之矩的代数和 内力计算法则 直接法求内力 及符号规定 铰支座竖向反力 与所求反力力矩方向相反的外力矩符号规定为正 6 求解内力之前 通常先确定支座反力 未知支反力可任意假设正方向 若计算结果为正 则表示支反力的实际方向与假设方向相同 反之 则表示实际方向与假设方向相反 求出支座反力后 为避免以后计算过程中误判支反力方向 一般用括号中的箭头标明其实际方向 如计算得实际支反力向上 则在求得的支座反力后采用 标注 例3 1 试求图 a 伸臂梁截面D弯矩 截面A右侧的剪力 解 1 求支反力绘出该梁受力图 如图3 3 b 所示 对A点处取力矩平衡方程 最后由 同理 7 a b c d 图3 3例3 1图 2 求指定截面内力 求截面D的弯矩绘DBE梁段的受力图 如图3 3 c 求A右侧截面的剪力由AC梁段的受力图 3 应用截面法应注意以下问题 优先选取受力较为简单的部分作为隔离体 隔离体的受力图上 约束力要符合约束性质 未知内力按正方向标注 链杆仅有轴力 梁式杆件有轴力 剪力和弯矩 应熟练掌握平衡方程的列法 尽量避免求解联立方程 8 3 1 2内力图与荷载间的关系 工程中通常采用内力图表示结构在外荷载作用下的受力状态 表示杆件上各截面内力沿杆轴线变化规律的图形称为内力图 一般以杆件轴线为内力图基线 以垂直于基线的竖标表示对应位置处的内力值 如例3 1中所示结构各截面弯矩和剪力的竖标表示方法分别如图3 4 a b 所示 a MB和MD在弯矩图中的竖标 b FQA左 FQA右和FQD在剪力图中的竖标图3 4内力竖标表示方法 将杆件上所有截面的内力求出 并用竖标绘在相应基线上 再将所有竖标相连 可得相应的内力图 内力图中的轴力图和剪力图可绘制在杆件的任意侧 并标注正负号以表明力的正负 弯矩图无需标注正负号 但必须绘制在杆件截面上纤维受拉侧 9 通常先选取梁的端点和梁上的外力不连续点 如集中力 集中力偶作用点 分布荷载作用的起点和终点等外力变化的截面 作为控制截面 并求出各控制截面上的内力值 然后由内力变化规律及区段叠加法绘出内力图 2 微分关系法 根据梁上外力把梁分成若干段 由弯矩 剪力和分布荷载间的微分关系导出的内力变化规律来确定各段内力图的形状 计算各控制截面上的内力值 绘制梁的内力图 3 区段叠加法 求出梁某段两侧截面上的弯矩值 用虚直线连接两截面上的弯矩值 然后以它为基线 叠加上该段在所受荷载单独作用下的相应简支梁的弯矩图 即得该段梁的弯矩图 内力图的绘制方法 1 内力方程法 列出梁的内力方程 由方程绘制内力图 10 弯矩 剪力 分布荷载集度之间的积分关系求截面内力 梁段上从左向右依次有A B两点 若FQA MA已知 计算B点的FQB MB 同理 由 A B两点间剪力图形的面积 如此 可利用积分法从梁左端向右端依次确定各控制截面内力值 按内力图的特征逐段绘图 AB 梁端点上的内力值 梁端点荷载剪力值弯矩值 铰支座无集中荷载支反力值零 固定端无集中荷载支反力值反力偶矩 自由端 无集中荷载零零 集中力FF力值零 集中力偶m零m力偶矩 A B两点间分布荷载图形的面积 11 弯矩 剪力 荷载集度间的关系在内力图绘制中的应用 梁内力图特征 q 0梁段q c梁段F作用截面m作用截面梁外力剪力图弯矩图 q x 0梁段 剪力图为平行线 弯矩图为斜直线 q x 常量梁段 剪力图为斜直线 弯矩图为二次曲线 FS 0的截面 弯矩M有极值 集中力F作用截面 剪力图发生突变 且突变值等于该集中力的大小 弯矩图出现尖角 且尖角的方向与集中力的方向相同 集中力偶作用截面 剪力图不变化 弯矩图发生突变 且突变值等于该集中力偶的力偶矩 q x 线性函数梁段 剪力图为二次抛物线 弯矩图为三次抛物线 表3 1梁杆内力图特征 a 简支梁 b M图 c FQ图图3 6根据弯矩图绘剪力图 水平杆 当梁段的弯矩图为直线变化时 剪力图为平行线 剪力数值大小为M图形的斜率 如上例 例3 2 试由图示弯矩图绘出相应的剪力轮廓图 其中区段9 11的弯矩为二次抛物线 a 弯矩示意图 b 剪力轮廓图图3 8例3 2图 13 图3 10 a 所示简支梁 两端作用集中力偶跨间布满均匀荷载 该梁弯矩图可视为两部分之和 仅在集中力偶作用下的弯矩图 如图3 10 b 所示 和仅在均匀荷载作用下的弯矩图 如图3 10 c 所示 在叠加集中力偶和均匀荷载的弯矩时 首先用虚线将和相联 以此虚线为新的基线 叠加均布荷载作用下的弯矩图 即在虚线的中点b处将ab线段延长 得到c点 而后用光滑的曲线将d c e三点相联 该曲线即为最终的弯矩图 如图3 10 d 所示 3 1 3用区段叠加法快速绘制任一杆段的弯矩图 若某杆件内任一杆段两端弯矩为已知时 可利用简支梁弯矩图的叠加法快速绘制该杆段的弯矩图 称为区段叠加法 叠加原理 对于小变形线弹性结构而言 所有荷载产生的总效应 内力和变形等 等于各种荷载单独作用产生效应的代数和 a 简支梁受力图 b 杆端力偶引起的弯矩图 c 均布荷载引起的弯矩图 d 叠加法绘制弯矩图图3 10简支梁弯矩叠加法 14 a 作ij段弯矩图 对图3 11 a 所示结构 当求得i j截面的弯矩和剪力后 由图3 11 b 所示ij段隔离体受力图与图3 11 c 中的简支梁完全等效 因此 可利用区段叠加法进行ij区段弯矩图的绘制 如图3 11 d 所示 b ij段隔离体图 d ij段M图 c 等效简支梁图3 11任意杆段弯矩叠加法 15 a 集中力作用在跨中 b 均布荷载作用满跨 简支梁在常见单一荷载作用下的内力图 c 集中力偶作用在跨中 d 集中力偶作用在梁端 图3 12简支梁在单一荷载作用下的内力图 16 若需要 根据各控制截面轴力值 逐段绘制轴力图 3 1 4作内力图的步骤及举例 绘制内力图的步骤 求支反力 悬臂结构可省略 注意校核 将梁杆按控制截面分段 求各控制截面内力 根据各控制截面的弯矩值 利用内力图特征和区段叠加法 逐段绘制弯矩图 根据各控制截面剪力值 利用内力图特征 逐段绘制剪力图 17 例3 3 试绘制图示单跨梁的内力图 解 1 求支座反力 由梁整体的平衡方程 MA 0 MB 0可求出支座反力为 FAy 45kN FBy 25kN 2 绘制FQ图 根据荷载作用的情况 可以把整个梁分成CA AE EF FG和GB五段 利用q FQ M三者之间的微分关系绘梁的剪力图 先求出各控制截面上的剪力值为 18 在基线上依次定出各点竖标 绘出剪力图如图示 3 绘制M图 选择C A D F和B作为控制截面 求出各控制截面上的弯矩值为 30kN 5kN 15kN 25kN 19 MCA 0MAC MAD F1 1m 30kN m 上侧受拉 MDA F1 2m FAy 1m 15kN m 上侧受拉 MDE F1 2m FAy 1m 10 5kN m 上侧受拉 MEA MEF F1 3m FAy 2m 10 10kN m 下侧受拉 MFE MFG FBy 2m F2 1m 30kN m 下侧受拉 MGB FBy 1m 25kN m 下侧受拉 MBG 0 在基线上依次定出以上各点竖标 梁弯矩图如图 c 所示 c M图 kN m 30 15 5 10 32 5 30 25 10 10 20 2 求控制截面弯矩并作弯矩图该梁的A B C D E截面为控制截面 由各控制截面的弯矩作弯矩图 如图 a 解 1 求支座反力由梁整体平衡 图3 13例3 3图 例3 3 试绘图3 13所示梁的弯矩图和剪力图 a 弯矩图 3 求控制截面剪力作剪力图 21 a 原结构 例3 4 试绘图3 15 a 中所示简支梁的内力图并求最大弯矩 解 1 求支座反力由梁整体平衡 b M图 2 求控制截面弯矩并作弯矩图该梁的A B D H截面为控制截面 由各控制截面的弯矩作弯矩图 如图 b 3 求控制截面剪力作剪力图 从剪力图看 最大弯矩并不出现在跨中 而是出现在距跨中截面E偏左0 5m处 但最大弯矩与跨中弯矩相对差值的比为 24 25 24 24 100 1 04 很小 因此 在实际结构设计中 仍可近似将跨中处的弯矩作为设计控制弯矩 4 求最大弯矩 22 例3 5 试绘制图3 2 a 所示楼梯斜梁的内力图 已知q1 q2 l h 解 为计算方便 通常将沿楼梯轴线方向均布的自重荷载q2换算成沿水平方向均布荷载q0 如图3 2 b 所示 然后再进行内力的计算和内力图的绘制 图3 2 1 换算荷载 换算时可以根据在同一微段上合力相等的原则进行 即 沿水平方向总的均布荷载为 2 求支座反力 取整体为隔离体 23 图3 2 3 计算任一截面K上的内力 由如图3 2 c 所示AK段隔离体的平衡可得 4 绘制内力图 由M x FS x 和FN x 的表达式 绘出内力图分别如图3 2 d e f 所示 图3 2 24 3 2多跨静定梁的内力分析 3 2 1多跨静定梁的组成特点及传力层次图 多跨静定梁能跨越几个连续的跨度 受力性能优于相应的一连串简支梁 故广泛应用于房屋建筑和公路桥梁中 是使短梁跨越大跨度的一种较合理的结构形式 多跨静定梁的结构简图 由外伸梁和简支短梁铰结组成 多跨静定梁是由若干单跨梁用中间铰及链杆连结而成的静定结构 25 多跨静定梁的特点 多跨静定梁的基本形式 多跨静定梁有三种基本组成形式 第一种特点是第一跨无中间铰 其余各跨各有一个中间铰 第二种是无铰跨和双铰跨交替出现 第三种是二者混合 结构组成 组成整个结构的各单跨梁可分为基本部分和附属部分 基本部分 结构中凡本身能独立维持几何不变的部分 如上图 AB CF CF附属部分 需依赖其它部分支承才能保持几何不变的部分 如上图 BC FG 图3 19多跨静定梁基本形式之一 图3 20多跨静定梁基本形式之二 图3 21多跨静定梁基本形式之三 26 基本部分和附属部分的支承关系分别用图3 3 c 和图3 4 c 表示 这样的图形称为层次图 图3 3 就几何组成而言 多跨静定梁的各个部分可分为基本部分和附属部分 基本部分是几何不变体系 能独立承受荷载 图3 4 27 28 29 层次图 反映多跨静定梁组成顺序的图形 基本部分在下 附属部分在上 组成顺序 先基本部分 后附属部分 受力传递 先附属部分 后基本部分 计算方法 顺序 拆成单跨梁 先附属部分 后基本部分 先上后下 计算步骤 1 画出层次图 拆成单跨梁 2 由上而下 依次绘制各单梁内力图 3 拼接成全梁内力图 注意 1 由上而下画层次图 受力传递图时 各梁上除作用有荷载外 还有上层传来的支反力 多跨静定梁拆成单梁后 从附属部分到基本部分 依次由静力平衡方程求出各支反力反向作用于下层也为荷载 2 内力图画在原结构简图上 3 2 2多跨静定梁的计算步骤及举例 30 解 1 绘制层次图 层次图如图 b 所示 由层次图可以看出 多跨静定梁由三个层次构成 例3 6 绘制图 a 所示多跨静定梁的内力图 2 求约束反力 在计算时 先计算EF梁 再计算CDE梁 最后计算ABC梁 31 32 取EF为隔离体 由平衡方程求得EF梁的约束反力为 FFy 4 5kN FEy 4 5kN 将FEy的反作用力作为荷载加在CDE梁的E处 由平衡方程求得CDE梁的约束反力为 FDy 10 5kN FCy 4kN 33 再将FCy的反作用力作为荷载加在ABC梁上 由平衡方程求得ABC梁的约束反力为 FBy 15kN FAy 9kN FDy 10 5kN FCy 4kN FFy 4 5kN FEy 4 5kN 34 3 绘制内力图 各段梁的约束反力求出后 可以分别绘出各段梁的内力图 最后将各段梁的内力图连接在一起就是所求的多跨静定梁的内力图 图3 5 d e A D C B E F 27 6 8 6 75 5 06 d M图 kN m A D C B E F 11 4 6 4 5 4 5 e FQ图 kN 11 4 6 4 5 9 9 35 例3 6 绘图示多跨静定梁内力图 解 1 画层次图 把多跨梁拆成单跨梁计算 校核无误 2 绘内力图 分段绘图 再拼在原来的结构图上 用区段叠加法作图时 只求EC段中点的弯矩值 从结果可知 与极值点x的弯矩值非常接近 36 图3 24多跨静定梁层次图 例3 6 试绘图3 23所示多跨静定梁的内力图 图3 23例3 6图 解 1 作层次图从该梁的几何组成分析可知 最次部分为EF段 其次是CDE段 基本部分是ABC段 按先 附属 后 基本 的计算原则 应先分析EF段 再分析CDE段 最后分析ABC段 绘制拆散后的层次图如图3 24 a 所示 2 计算支反力逐段梁求各支座反力并标注在相应支座处 3 逐段绘制弯矩图 剪力图 图3 25多跨静定梁M图 kN m 图3 26多跨静定梁FQ图 37 多跨静定梁的受力特征 比较两个弯矩图可以看出 系列简支梁的最大弯矩大于多跨静定梁的最大弯矩 因而 系列简支梁虽然结构较简单 但多跨静定梁的承载能力大于系列简支梁 在同荷载的情况下可节省材料 多跨静定梁的中间铰构造复杂 中间铰的位置直接影响到梁的内力分布均匀 按需要设计伸臂长度可使弯矩均匀分布 跨中最大弯矩与支座处相同 复习 3 1 2习题3 4 c 3 6 a 预习 3 3 38 刚架是由梁和柱等直杆组成的具有刚性结点的结构 静定平面刚架是所有外力和各杆轴线都在同一平面内的平面刚架 且仅由静力平衡条件即可确定全部未知力的无多余约束的几何不变体系 1 杆件少 内部净空间大和便于使用 3 3静定平面刚架的内力分析 3 3 1刚架的特点 a 可变体系 b 静定桁架结构 c 静定刚架结构图3 27刚架形成大空间 39 2 整体性能好 内力分布均匀 a 梁结构 b 刚架结构图3 28刚架与梁结构弯矩和变形的对比 基于以上三个优点 刚架结构在建筑工程中得到了广泛应用 3 刚度大在刚架中的刚结点处 刚结在一起的各杆不能发生相对移动和转动 变形前后各杆的夹角保持不变 故刚结点可以承受和传递弯矩 如图3 28所示梁与刚架的变形比较 前者为后者的2 14倍 如图3 28所示刚架的最大弯矩为5ql2 72 梁与刚架比较 前者为后者的9 5倍 40 2 简支刚架 3 三铰刚架 刚架分类 静定平面刚架的三种基本类型及组合形式 1 悬臂刚架 4 多跨刚架 5 多层刚架 图3 29常见刚架的几何组成形式 刚架是由若干单个杆件刚结而成 刚架中杆件多为梁式杆 截面上内力有弯矩 剪力 轴力 内力图应绘M图 FQ图 FN图 内力图绘制规定 M图画在受拉侧 不标正负号 FQ图 FN图各分别画在杆轴两侧 必须标明正负号 FQ FN的符号规定与梁相同 剪力顺时针转向为正 轴力拉为正 杆端内力的表示方法 内力符号右下角两个脚标表示杆件 第一个脚标表示求内力的截面 3 3 2刚架内力图的绘制及校核 刚架中杆件的受力分析 本质上与单跨静定梁的受力分析相同 先由刚架的整体或局部平衡条件 求出支座反力或约束力 一般将刚架拆分为单杆 取各杆段两端面为控制截面 先用截面法或直接法逐杆端求解各控制截面的内力 然后利用内力图特征和区段叠加法绘制单杆的内力图 最后将所有单杆内力图拼接而成整个刚架的内力图 这种方法称为杆梁法 42 静定平面刚架内力计算的一般步骤是先由整体或部分的平衡条件 求出支座反力和铰结点处的约束力 然后可按单跨静定梁的内力计算法则和内力图的绘制方法 求出各控制截面上的内力值 逐杆绘制内力图 将各杆的内力图绘在结构简图对应杆件上 即得整个刚架的内力图 静定平面刚架计算步骤 1 求支座 约束反力 由整体结构平衡方程 2 求各杆端内力 取半边结构为研究对象 3 分段绘各杆内力图 用区段叠加法 拼接成整个刚架的内力图 用杆梁法 4 校核内力图 由杆件 结点处平衡条件 43 a b c d 图3 30杆梁法绘制弯矩图示意 44 例3 7 作图示悬臂刚架的内力图 解 对悬臂刚架可不计算支座反力 直接从刚架的自由端开始计算各控制截面的内力 并绘内力图 1 计算各杆控制截面 两端面 的内力值 DE杆 DB杆 BA杆 2 绘制内力图 区段叠加法 3 校核内力图 由结点 杆件或局部结构的平衡条件 45 例3 7 作图示刚架的内力图 解 1 求支座反力 由整体平衡得 2 绘内力图 DE杆 BE杆 EF杆 3 校核内力图 由内力图特征和结点 杆件平衡 AD杆 作弯矩图 再作剪力图 轴力图 46 例3 8 绘制图 a 所示简支刚架的内力图 解 1 求支座反力 由刚架整体的平衡方程 可得支座反力为 FAx 60kN FAy 16kN FB 76kN 2 求控制截面上的内力 将刚架分为AC CE CD和DB四段 取每段杆的两端为控制截面 这些截面上的内力为 47 3 绘制内力图 根据以上求得的各控制截面上的内力 绘出刚架的内力图分别如图 b c d 所示 b M图 kN m MAC 0MEC 0MBD 0MCA 60kN 4m 10kN m 4m 2m 160kN m 右侧受拉 MCE 20kN 2m 40kN m 左侧受拉 MCD 60kN 3m 76kN 5m 200kN m 下侧受拉 MDC MDB 76kN 2m 152kN m 下侧受拉 48 d FN图 kN c FQ图 kN E C B A E C B A D FQAC 60kNFQCA 60kN 10kN m 4m 20kNFQCE FQEC 20kNFQCD FQDC 60kN 76kN 16kNFQDB FQBD 76kN FNAC FNCA 16kNFNCE FNEC FNCD FNDC FNDB FNBD 0 49 图3 31例3 7图 例3 7 求图3 31所示刚架的弯矩图 解 1 求支反力由整体平衡 2 采用杆梁法绘制内力图 图3 32例3 7M图 3 校核 由结点B平衡知计算正确 E 图3 33结点B弯矩的校核 复习 3 3习题3 8 a c 预习 3 3例3 9 3 11 50 例3 8 绘制图示悬臂刚架的内力图 解 由刚架整体的平衡方程 求出支座A处的反力如图 a 所示 对悬臂刚架可不计算支座反力 直接计算内力 1 求各控制截面上的内力 取每个杆件的两端为控制截面 从自由端开始 根据荷载情况按单跨静定梁的内力计算法则 可得各控制截面上的内力为 51 MDC 0MCD 40kN 4m 10kN m 4m 2m 240kN m 上侧受拉 MCA MCD 240kN m 左侧受拉 MAC 40kN 4m 10kN m 4m 2m 40kN 2m 320kN m 左侧受拉 FQDC 40kNFQCD 40kN 10kN m 4m 80kNFQCA 0FQAC 40kNFNDC FNCD 0FNCA 40kN 10kN m 4m 80kNFNAC 80kN 52 2 绘制内力图 由区段叠加法绘制弯矩图 绘出最后的弯矩图如图 b 所示 20 40 b M图 kN m 53 由控制截面上的剪力值 并利用q FQ和M三者的微分关系绘制该刚架的剪力图 绘出剪力图如图 c 所示 c FQ图 kN 54 由于各杆均无沿杆轴方向的荷载 所以各杆轴力为常数 根据求出的控制截面上轴力值直接绘出轴力图如图 d 所示 d FN图 kN 55 例3 8 试绘图3 34所示刚架的内力图 图3 34例3 8图 解 1 求支反力由整体平衡 2 采用杆梁法绘制内力图 3 校核 由结点B C和BC杆平衡知计算正确 M图 b FQ图 c FN图图3 36例3 8图 56 例3 6 绘制图 a 所示三铰刚架的内力图 解 1 求支座反力 取刚架整体为隔离体 由平衡方程 MA 0 Fy 0 Fx 0得 再取刚架的右半部分为隔离体 由 MC 0得 2 绘弯矩图 各杆端弯矩计算如下 57 左侧受拉 上侧受拉 右侧受拉 上侧受拉 绘出刚架的弯矩图如图 b 所示 其中CD段的弯矩图按区段叠加法绘制 b M图 kN m 62 1 62 1 ql2 45 62 1 62 1 A B C D E 58 3 绘剪力图 AD BE两杆的杆端剪力值显然就等于A B两支座的水平反力 即 现以DC杆为例 取该杆为隔离体 图 c 因杆端弯矩已求得 故利用力矩平衡条件可求得杆端剪力为 图 c 同理 FQDC FQCD 59 因均布荷载杆段的剪力图为一直线 故将上述两纵标连以直线即可 同理 可绘出CE杆的剪力图 刚架的剪力图如图 d 所示 d FQ图 kN 13 8 38 3 18 6 9 8 13 8 E C D B A 60 4 绘轴力图 AD BE两杆的轴力值可直接由A B两支座的竖向反力求得 DC和CE两斜杆的轴力可直接由截面一边的外力求得 也可根据已绘出的剪力图由结点的平衡条件求得 如求DC杆D端轴力时 取结点D为隔离体 图 e 可得 61 其他各杆端轴力可由类似方法求得 最后得刚架的轴力图如图 f 所示 B E C A D f FN图 kN 45 45 27 3 8 3 17 8 17 8 15 15 62 例3 作图示三铰刚架的内力图 解 1 求支座反力 由整体平衡 由左半边刚架平衡 2 绘弯矩图 AD杆 DC杆 DC杆中点 右半边计算 由M图可知 对称结构作用正对称荷载 弯矩图正对称 63 3 绘剪力图 AD杆 DC杆 右半边计算 由FQ图可知 对称结构作用正对称荷载 剪力图反对称 4 绘轴力图 求各杆端轴力 5 校核内力图 由N图可知 对称结构作用正对称荷载 轴力图正对称 64 图3 37例3 9图 例3 9 试绘图3 37所示三铰刚架的内力图 a M图 d FQ图 b BE隔离体 c BD隔离体 图3 38例3 9内力图 e D结点隔离体 f E结点隔离体 g FN图 解 1 求支座反力 由整体和右半边刚架平衡得 2 绘弯矩图 3 绘剪力图由BE和BD杆平衡得 4 绘轴力图由D和E结点平衡得 65 解 1 求支反力对于由刚架基本几何形式组成的复杂刚架 首先应分析清楚其几何组成 再按照先附属部分 后基本部分的顺序求解 例3 10 试绘图3 39 a 所示两层三跨刚架的内力图 a 原结构 b 受力图图3 39例3 10图 图3 40例3 10的内力图 66 例3 11 试根据图3 41 a 所示结构的弯矩图 确定结构所承受的 最少 相应荷载 其中仅BC杆的弯矩图为二次抛物线 b 结点B隔离体 c 荷载及支反力图图3 41例3 11图 a M图 解 这类题目的求解思路主要从内力图的特征和结构的静力平衡条件入手 复习 3 3习题3 8 f 3 9 i 预习 3 4 由BC杆的弯矩图为折线 F截面作用有集中荷载F 2kN 由BD杆的弯矩图为抛物线 BC杆作用有向下均布荷载q 2kN m 由BA杆的弯矩图为斜直线 BA杆无杆间荷载 由结点B的弯矩平衡 结点B作用逆时针集中力偶m 4kN m 67 a 钢筋混凝土屋架 b 桁架桥图3 42平面桁架结构 3 4静定平面桁架的内力分析 3 4 1概述 若干直杆由完全铰结点组成的结构称为桁架 通常采用钢 木或混凝土材料制作 是大跨度结构广泛采用的形式之一 如房屋结构中的屋架 天窗架 铁路和公路中的桁架桥 建筑施工用的支架等 68 通常把根据计算简图求出的内力称为主内力 把由于实际情况与理想情况不完全相符而产生的附加内力称为次内力 本书仅讨论主内力的计算 为了便于计算 通常将工程实际中的平面桁架抽象为理想桁架 对其计算简图作如下假设 1 桁架的结点都是光滑的理想铰 2 各杆的轴线都是直线 且在同一平面内 并通过铰的中心 3 荷载和支座反力都作用于结点上 并位于桁架的平面内 在结点荷载作用下 桁架各杆均为二力杆 其内力只有轴力 截面上应力分布均匀 可以充分发挥材料的强度 所以桁架结构广泛地应用于大跨度结构中 当桁架所有的杆件和所受荷载均在同一个平面内且桁架为静定结构时 称为静定平面桁架 69 桁架的杆件 按其所在位置的不同 分为弦杆和腹杆两大类 弦杆是桁架中上下边缘的杆件 上侧杆件通称为上弦杆 下侧杆件通称为下弦杆 上 下弦杆之间的联系杆件称为腹杆 其中斜向杆件称为斜杆 竖向杆件称为竖杆 各杆端的结合点称为结点 弦杆上两相邻结点之间的距离称为结间长度 两支座间的水平距离称为跨度 上 下弦杆上结点之间的最大竖向距离称为桁高 a b 图3 43桁架结构的名称 70 2 桁架的分类 按桁架的几何组成规律可把平面静定桁架分为以下三类 1 简单桁架 71 2 联合桁架 I II 3 复杂桁架 72 按照桁架结构的外形的不同 静定平面桁架可分为平行弦桁架 图3 44 a 三角形桁架 图3 44 b 折弦 抛物线 桁架 图3 44 d 和梯形桁架 图3 44 e a b c 按照支座反力的性质 可分为无推力的梁式桁架 图3 44 f 以外的均是 和有推力的拱式桁架 图3 44 f d e f 图3 44桁架结构的分类 73 3 4 2结点法 1 内力计算的方法 平面静定桁架的内力计算的方法通常有结点法和截面法 结点法是截取桁架的一个结点为隔离体 利用该结点的静力平衡方程来计算截断杆的轴力 由于作用于桁架任一结点上的各力 包括荷载 支座反力和杆件的轴力 构成了一个平面汇交力系 而该力系只能列出两个独立的平衡方程 因此所取结点的未知力数目不能超过两个 截面法是用一截面 平面或曲面 截取桁架的某一部分 两个结点以上 为隔离体 利用该部分的静力平衡方程来计算截断杆的轴力 由于隔离体所受的力通常构成平面一般力系 而一个平面一般力系只能列出三个独立的平衡方程 因此用截面法截断的杆件数目一般不应超过三根 74 a b 图3 45力三角形与长度三角形 桁架结构中有较多斜杆 为避免解算时进行三角函数运算 需先将斜杆的轴力分解为水平分力和竖向分力 再建立力平衡方程 对任意一根斜杆 设其两端以A B表示 该杆的轴力FNAB及其水平分力FxAB和竖向分力FyAB组成一个直角三角形 该杆的长度l及其水平投影长度lx和竖向投影长度ly也组成一个直角三角形 如图3 45所示 由力和长度组成的这两个三角形各边互相平行 故两三角形相似 因而 易得比例关系为 3 7 求桁架内力时 通常先利用上式将斜杆内力FN分解为Fx和Fy 然后逐结点运用静力平衡条件和 先计算各杆轴力的分力 再推算各杆轴力 以简化计算 在分析桁架结构受力时 可利用一些特殊结点的静力平衡规律 直接判定出一些杆件的轴力 从而简化计算 75 2 零杆的判定 桁架结构中 在已知荷载作用下轴力为零的杆称为零杆 通常在下列几种情况中会出现零杆 1 不共线的两杆组成的结点上无荷载作用时 该两杆均为零杆 图3 16 a 2 不共线的两杆组成的结点上有荷载作用时 若荷载与其中一杆共线 则另一杆必为零杆 图3 16 b 3 三杆组成的结点上无荷载作用时 若其中有两杆共线 则另一杆必为零杆 且共线的两杆内力相等 图3 16 c 三杆结点 其中两根杆件分别在第三根杆件的两侧且交角相等 简称为Y形结点 则两斜杆轴力大小相等 性质相同 如图3 48 c 所示 应用零杆判断法则 可以判断出图3 47中桁架虚线所示的各杆均为零杆 图3 47零杆的判断 另一类特殊的结点可直接判别杆件轴力的绝对值是否相等 称为等力杆判别准则 b c 图3 48判断等力杆的特殊结点 a 四杆结点无外荷载作用 且杆件两两共线时 简称为X形结点 则共线杆件的轴力两两相等且性质相同 如图3 48 a 所示 四杆结点无外荷载作用 其中两根杆件共线 另两根杆件在此共线杆件的同侧且交角相等 简称为K形结点 则两斜杆轴力大小相等 性质相反 如图3 48 b 所示 77 零杆只是在某种荷载作用下轴力为零的杆 不能从结构中去掉 当结构上的荷载变化时 零杆的位置也随着改变 78 例3 12 求图示桁架各杆的内力 解 1 求支座反力 由整体的平衡方程 或利用对称性 可得支座反力为 79 2 求各杆的内力 在计算之前先找出零杆 由对结点C G的分析 可知杆CD GH为零杆 80 此桁架为对称桁架 只要计算其中一半杆件的内力即可 从只包含两个未知力的结点A开始 顺序取结点C D E为隔离体进行计算 取结点A为隔离体 图3 18 b 由 Y 0得 FNADy 10kN 40kN 30kN 利用比例关系 得 FNAD 67kN FNADx 60kN 由 X 0得 FNAC FNADx 60kN 81 取结点C为隔离体 图 c 由 Fx 0得FNCF FNAC 60kN 取结点D为隔离体 图 d 列出平衡方程 Fx 0FNDEx FNDFx 60kN 0 Fy 0FNDEy FNDFy 30kN 20kN 0 利用比例关系 得 FNDEx 2FNDEyFNDFx 2FNDFy 代入平衡方程 得 2FNDEy 2FNDFy 60kN 0FNDEy FNDFy 10kN 0 82 取结点E为隔离体 图 e 由结构的对称性FNEHy FNDEy 20kN 由 Fy 0得 FNEF 2 20kN 20kN 20kN 解得 FNDEx 40kN FNDEy 20kN FNDE 44 7kNFNDFx 20kN FNDFy 10kN FNDF 22 3kN 内力计算完成后 将各杆的轴力标在图上 图 a 图中轴力的单位为kN 83 为简化内力计算 应用截面法计算静定平面桁架时 应注意两点 选择恰当的截面 尽量避免求解联立方程 利用刚体力学中力可沿其作用线移动的特点 可将杆件的未知轴力移至恰当的位置 通常可选在某结点处 进行分解 以简化计算 3 4 2截面法 在桁架的轴力分析中 有时仅需求出某些指定杆件的轴力 这时采用截面法较为方便 该方法利用适当截面 截取桁架的某一部分 至少包括两个结点 为隔离体 再根据该隔离体的平衡方程求解杆件的轴力 因隔离体包含两个以上的结点 在通常情况下 其受力为平面一般力系 因此 只要隔离体上未知力的数目不多于三个 则可以利用平面一般力系的三个平衡方程 直接把这一截面上的全部未知力求出 84 图3 52例3 13图 例3 13 屋架计算简图如图3 52所示 试用截面法计算a b c三杆的内力 解 该屋架采用结点法求解 共需求解6个结点后才能求出a b c三杆的内力 直接采用截面法将大大提高计算效率 1 计算支座反力利用桁架的整体平衡条件 可求得 2 计算指定杆件内力取截面 右边部分为隔离体 如图3 53所示 图3 53例3 13隔离体图 85 例3 14 求图3 54所示桁架指定杆件的轴力 图3 54例3 14图 解 图示桁架为联合桁架 需联合应用结点法和截面法进行求解 1 计算支座反力利用桁架的整体平衡条件 2 计算指定杆件内力如图3 54所示由 截面以右隔离体的平衡 因结点5为X形结点 故 取截面 以右为隔离体 如图3 55 a 所示 b a 图3 55例3 14隔离体图 最后由结点4隔离体的平衡 86 例3 15 求图3 56所示桁架指定杆件a的轴力 图3 56例3 15图 解 图示桁架为复杂桁架 很难根据结点法和截面法进行求解 可利用结构对称性简化计算 对称桁架是指几何形状 支承形式和杆件刚度 截面尺寸及材料 都关于某一轴线对称的桁架结构 对称荷载是指位于对称轴两侧大小相等 当将结构沿对称轴对折后 其作用线重合且方向相同的荷载 反对称荷载是指位于对称轴两边大小相等 当将结构沿对称轴对折后 其作用线重合但方向相反的荷载 对称桁架的基本特性为 在对称荷载作用下 对称杆件的内力对称 即大小相等 且拉压一致 在反对称荷载作用下 对称杆件的内力反对称 即大小相等 但拉压相反 在任意荷载作用下 可将荷载分解为对称荷载与反对称荷载两组 分别计算出内力后再叠加 根据对称桁架的基本特性 可将图3 56所示求轴力FNa的桁架 在求出结点5处的水平反力FP后 分解为图3 57 a b 所示对称荷载和反对称荷载分别作用下的叠加 87 对于图3 57 a 所示对称荷载情况 结点6为K型结点 则有FN26 FN46 但对称桁架在对称荷载作用下 对称杆件的内力是对称的 即有FN26 FN46 因此 杆26和杆46必为零杆才能同时满足以上两个条件 然后 先后取结点2 结点1为隔离体 可得FNa1 FP a 对称荷载作用下 b 反对称荷载作用下图3 57例3 15荷载分解 对于图3 57 b 所示反对称荷载情况 结点3为Y形结点 则有FN35 FN37 但对称桁架在反对称荷载作用下 对称杆件内力反对称 即有FN35 FN37 因此 杆35和杆37必为零杆 则杆13 杆12和杆14也为零杆 故FNa2 0 将对称荷载作用下与反对称荷载作用下杆件a的轴力叠加 有FNa FNa1 FNa2 FP 0 FP读者也可尝试用其他方法求解FNa 88 注意 在用截面法求解桁架内力时 若所截各杆件中未知力数目超过三个 则一般不能利用隔离体的三个平衡方程将其全部解出 但对于某些特殊情况 仍可利用取特定截面隔离体的平衡条件解出其中某一杆件的未知内力 a b 图3 59特定截面 形式二 除待求杆件外 其余未知轴力的杆件全部相交于一点 对于图3 58 a 所示桁架 取截面 左边部分为隔离体 如图3 58 b 所示 这时 虽然截面上包含有六个未知轴力 但FN67可通过结点7判断等力杆方便地求出 为FN67 FP 则除FN35以外 其余四个未知轴力均交于点8 因此 由 便可求出FN35 又如图5 59 a 所示的桁架 作封闭截面 这时虽然截断了EC ED GB FA四根杆件 但除FA外 其余三杆的内力作用线交于E点 故可利用求得FNFA 如图3 59 b 所示 a b 图3 58特定截面 形式一 89 除待求杆件外 其余杆件全部平行 对于图3 60 a 所示桁架 取截面 左边部分为隔离体 如图3 60 b 所示 这时 除杆件a的轴力FNa外 其余三根杆件的轴力都与x轴平行 因此 由静力平衡条件 便可求出FNa a b 图3 60特定截面 形式三 复习 3 4习题3 11 3 12 b 预习 3 5 90 例3 8 求图 a 所示桁架中杆a b c d的内力 解 1 求支座反力 由整体平衡方程 可得支座反力为 91 2 求杆a b c的内力 用截面 截取桁架的左半部分为隔离体 图 b 列平衡方程 MD 0FNc 4m 20kN 3m 50kN 3m 0 得 FNc 52 5kN MF 0 FNa 4m 20kN 3m 20kN 6m 50kN 9m 0 得FNa 67 5kN Fx 0FNa FNbx FNc 0 得FNbx FNa FNc 15kN 利用比例关系 得 FNb 18 03kN 或 Fy 050 20 20 FNby 0 得FNby 50 20 20 10kN 92 3 求杆d的内力 联合应用结点法和截面法计算杆d的内力较为方便 先取结点E为隔离体 图 c 由平衡方程 Fx 0 得 FNCE FNc 52 5kN 93 再用截面 截取桁架左半部分为隔离体 图 d 列平衡方程 MD 0FNdx 4m 52 5kN 4m 50kN 3m 0 FNdx 15kN 得 利用比例关系 得 FNd 18 05kN 94 a 相应简支梁 b 简支梁弯矩图 c 简支梁剪力图 3 4 4梁式桁架受力性能的比较 因平行弦桁架 三角形桁架和抛物线桁架在房屋建筑结构中得到了广泛应用 现对这三种简支梁式桁架的受力性能进行比较 在相同跨度及荷载作用下 简支梁和三种桁架的内力图如图3 61所示 图3 61简支梁和三种桁架内力的比较 95 梁式桁架 在竖向荷载作用下 支座处不产生水平反力的桁架 1 平行弦桁架 平行弦桁架可视为高度较大的简支梁 其上下弦杆的轴力形成的力偶矩承受相应截面处梁中弯矩 腹杆轴力的竖向分力承受相应截面处梁中剪力 与之相应的简支梁如图3 61 a 所示 其弯矩 剪力的分布规律如图3 61 b c 所示 平行弦桁架的内力分布不均匀 弦杆的轴力 相应简支梁的弯矩 由两端向中间递增 腹杆的轴力 相应简支梁的弯矩 则由两端向中间递减 d 平行弦桁架 96 2 三角形桁架 三角形桁架的内力分布也不均匀 图 f 弦杆的轴力由两端向中间递减 腹杆的轴力则由两端向中间递增 3 梯形桁架 梯形桁架的受力性能介于平行弦桁架和三角形桁架之间 弦杆轴力变化不大 腹杆轴力由两端向中间递减 图 f 97 图3 21 4 抛物线形桁架 抛物线形桁架的内力分布比较均匀 图 e 上 下弦杆的轴力几乎相等 腹杆的轴力等于零 5 折线形桁架 折线形桁架是抛物线形桁架的改进型 其受力性能与抛物线形桁架相类似 图 e 98 a b 图3 62组合结构示意 3 5静定组合结构的内力分析 3 5 1组合结构的受力特点 组合结构是由若干链杆和梁式杆件联合组成的结构体系 其中链杆只承受轴力 属二力杆 梁式杆件则一般承受弯矩 剪力和轴力的共同作用 组合结构常用于屋架 吊车梁和桥梁等承重结构中 如图3 62 a 所示下撑式五角形屋架 图3 62 b 所示的简易斜拉桥结构 99 组合结构的内力计算 一般是在求出支座反力后 先计算链杆的轴力 其计算方法与平面桁架内力计算相似 可用截面法和结点法 然后再计算梁式杆的内力 最后绘制结构的内力图 根据组合结构中两类杆件受力特点的差异 工程中常采用不同的材料制作以达到经济的目的 如较为常见的下撑式五角形屋架结构 其上弦杆由钢筋混凝土制成梁式杆 主要承受弯矩和剪力 下弦杆和腹杆则采用型钢构件制成链杆 主要承受轴力 100 计算组合结构内力仍用截面法和结点法 但需注意以下三点 3 5 2计算方法及举例 如组合结构有主次层次之分 应按照计算主次结构的规律 先计算次要结构 附属部分 再计算主要结构 基本部分 因梁式杆件的截面有三个内力而链杆仅受轴力 为避免所取隔离体的未知力过多 宜先截断链杆取隔离体 因此 组合结构的计算步骤一般是先计算链杆的轴力 再根据所求轴力和外荷载求梁式杆的内力 在选取隔离体后 应注意被截断的杆件是链杆还是梁式杆 以便准确标示其内力 101 图3 64例3 16隔离体图 解 简易斜拉桥结构 是由ABCG和CDEH两刚片和地基由不共线的三个铰G H和C组成的静定结构 应先计算各链杆轴力 再进行结构受力分析 1 求各链杆轴力由整体平衡 例3 16 求图3 63所示组合结构的弯矩图和轴力图 图3 63例3 16图 由右半边结构平衡 联解二方程得 利用结构对称性得 2 作轴力图由结点G H的平衡求各杆轴力 a 轴力图 kN 3 作弯矩图利用结构对称 由CDE梁的平衡求各截面弯矩 注意FCy 0 102 例3 16 试计算图 a 所示组合结构内力 并绘制梁式杆内力图 图 a 解 因为荷载和结构都是对称的 所以支座反力和内力也是对称的 故可只计算半个结构上的内力 1 求支座反力 由对称性 支座反力为 FAx 0 FBy FAy 40kN 103 2 计算链杆的内力 用 截面从C处截断结构 取左半部分为隔离体 图 b 由平衡方程 图3 24 得 X 0FNDE FCx 0 FCx FNDE 40kN 得 Y 0FAy 10kN m 4m FCy 0 FCy 0 得 104 取结点D为隔离体 图 c FNDAx 40kN 利用比例关系 得 FNDAy 40kN 由平衡方程 Y 0 得 FNDF FNDAy 40kN 由平衡方程 X 0 得 105 3 计算梁式杆内力 将链杆内力的反作用力作为荷载作用在梁式杆上 取杆AFC为隔离体 如图3 24 d 所示 以A F C为控制截面 控制截面上的内力为 图3 24 MAF 0 MFA MFC 20kN m 上侧受拉 MCF 0FSAF 0 FSFA 20kN FSFC 20kN FSCF 0FNAC FNCA 40kN 106 4 绘制梁式杆的内力图 根据梁式杆内力计算的结果 可以绘出梁式杆的内力图 分别如图3 24 e f g 所示 M图 kN m FS图 kN FN图 kN MAF 0 MFA MFC 20kN m 上侧受拉 MCF 0 FSAF 0 FSFA 20kN FSFC 20kN FSCF 0 FNAC FNCA 40kN 复习 3 5习题3 14 a c 预习 3 6 7 107 3 6 1拱结构及其受力特点 拱是在竖向荷载作用下产生水平推力的曲线形的结构 在竖向荷载作用下有无水平推力是拱式结构和梁式结构的主要区别 由于拱中水平推力 支反力 的存在 导致拱中各截面的弯矩比曲梁和相应简支梁对应截面的弯矩小得多 因此 拱结构以承受压力为主 能够采用石材 混凝土等价格较为低廉的脆性材料形成大跨度的结构 是房屋建筑 地下建筑 桥梁及水工建筑中常用的结构形式 例