02函数中点的存在性-因动点产生的等腰三角形问题.doc

因动点产生的等腰三角形问题8（2010通化）如图，在RtABC中，A=90，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQ=x，QR=y（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由9（2008重庆）已知：如图，抛物线y=ax22ax+c（a0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QEAC，交BC于点E，连接CQ当CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）问：是否存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由10（2009上海）在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CMx轴（如图所示）点B与点A关于原点对称，直线y=x+b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，连接OD（1）求b的值和点D的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若POD是等腰三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径11在直角坐标系中，把点A（1，a）（a为常数）向右平移4个单位得到A，经过点A、A的抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点的纵坐标为2（1）求这条抛物线的解析式；（2）设该抛物线的顶点为点P，点B的坐标为O1A=O1B，且，若ABP是等腰三角形，求点B的坐标12如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DEBC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG（1）试求ABC的面积；（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；（3）设AD=x，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（4）当BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长13已知：O的直径AB=8，B与O相交于点C、D，O的直径CF与B相交于点E，设B的半径为x，OE的长为y（1）如图，当点E在线段OC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）当点E在直径CF上时，如果OE的长为3，求公共弦CD的长；（3）设B与AB相交于G，试问OEG能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出BC的长度（不必写过程）；如果不能，请简要说明理由14（2009黄冈）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2x10与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DEOA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；（3）当0t时，PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；（4）当t为何值时，PQF为等腰三角形？请写出解答过程15（2009深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=2x8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作P（1）连接PA，若PA=PB，试判断P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形16（2009重庆）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3过原点O作AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DEDC，交OA于点E（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由答案：8（2010通化）如图，在RtABC中，A=90，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQ=x，QR=y（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由考点：一次函数综合题。806858 专题：压轴题；开放型；分类讨论。分析：（1）根据三角形相似的判定定理求出BHDBAC，根据相似三角形的性质求出DH的长；（2）根据RQCABC，根据三角形的相似比求出y关于x的函数关系式；（3）画出图形，根据图形进行讨论：当PQ=PR时，过点P作PMQR于M，则QM=RM由于1+2=90，C+2=90，1=Ccos1=cosC=，=，即可求出x的值；当PQ=RQ时，x+6=，x=6；当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，故CR=CE=AC=2由于tanC=，x=解答：解：（1）在RtABC中，A=90，AB=6，AC=8，BC=10DHB=A=90，B=BBHDBAC，=，DH=AC=8=（3分）（2）QRAB，QRC=A=90度C=C，RQCABC，=，=，即y关于x的函数关系式为：y=x+6（6分）（3）存在，分三种情况：当PQ=PR时，过点P作PMQR于M，则QM=RM1+2=90，C+2=90，1=Ccos1=cosC=，=，=，x=当PQ=RQ时，x+6=，x=6做EMBC，RNEM，EMPQ，当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，EN=MN，ER=RC，点R为EC的中点，CR=CE=AC=2tanC=，=，x=综上所述，当x为或6或时，PQR为等腰三角形 （12分）点评：本题很复杂，把一次函数与三角形的知识相结合，使题目的综合性加强，提高了难度，解答此题的关键是根据题意画出图形，用数形结合的方法解答9（2008重庆）已知：如图，抛物线y=ax22ax+c（a0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QEAC，交BC于点E，连接CQ当CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）问：是否存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。806858 专题：压轴题。分析：（1）根据抛物线过C（0，4）点，可确定c=4，然后可将A的坐标代入抛物线的解析式中，即可得出二次函数的解析式（2）可先设Q的坐标为（m，0）；通过求CEQ的面积与m之间的函数关系式，来得出CQE的面积最大时点Q的坐标CEQ的面积=CBQ的面积BQE的面积可用m表示出BQ的长，然后通过相似BEQ和BCA得出BEQ中BQ边上的高，进而可根据CEQ的面积计算方法得出CEQ的面积与m的函数关系式，可根据函数的性质求出CEQ的面积最大时，m的取值，也就求出了Q的坐标（3）本题要分三种情况进行求解：当OD=OF时，OD=DF=AD=2，又有OAF=45，那么OFA是个等腰直角三角形，于是可得出F的坐标应该是（2，2）由于P，F两点的纵坐标相同，因此可将F的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P的坐标当OF=DF时，如果过F作FMOD于M，那么FM垂直平分OD，因此OM=1，在直角三角形FMA中，由于OAF=45，因此FM=AM=3，也就得出了F的纵坐标，然后根据的方法求出P的坐标当OD=OF时，OF=2，由于O到AC的最短距离为2，因此此种情况是不成立的综合上面的情况即可得出符合条件的P的坐标解答：解：（1）由题意，得解得（2分）所求抛物线的解析式为：y=x2+x+4（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EGx轴于点G由x2+x+4=0，得x1=2，x2=4点B的坐标为（2，0）AB=6，BQ=m+2QEACBQEBAC即SCQE=SCBQSEBQ=BQCOBQEG=（m+2）（4）=（m1）2+3又2m4当m=1时，SCQE有最大值3，此时Q（1，0）（3）存在在ODF中（）若DO=DFA（4，0），D（2，0）AD=OD=DF=2又在RtAOC中，OA=OC=4OAC=45度DFA=OAC=45度ADF=90度此时，点F的坐标为（2，2）由x2+x+4=2，得x1=1+，x2=1此时，点P的坐标为：P（1+，2）或P（1，2）（）若FO=FD，过点F作FMx轴于点M由等腰三角形的性质得：OM=OD=1AM=3在等腰直角AMF中，MF=AM=3F（1，3）由x2+x+4=3，得x1=1+，x2=1此时，点P的坐标为：P（1+，3）或P（1，3）（）若OD=OFOA=OC=4，且AOC=90AC=点O到AC的距离为，而OF=OD=2，与OF2矛盾，所以AC上不存在点使得OF=OD=2，此时，不存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形综上所述，存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形所求点P的坐标为：P（1+，2）或P（1，2）或P（1+，3）或P（1，3）点评：本题着重考查了图形平移变换、三角形相似、以及二次函数的综合应用等重要知识点，要注意的是（3）中不确定等腰三角形的腰是哪些线段时，要分类进行讨论10（2009上海）在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CMx轴（如图所示）点B与点A关于原点对称，直线y=x+b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，连接OD（1）求b的值和点D的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若POD是等腰三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径考点：切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。806858 专题：综合题；分类讨论。分析：（1）先求出点B的坐标，由直线过点B，把点B的坐标代入解析式，可求得b的值；点D在直线CM上，其纵坐标为4，利用求得的解析式确定该点的横坐标即可；（2）POD为等腰三角形，有三种情况：PO=OD，PO=PD，DO=DP，故需分情况讨论，要求点P的坐标，只要求出点P到原点O的距离即可；（3）结合（2），可知O的半径也需根据点P的不同位置进行分类讨论解答：解：（1）B与A（1，0）关于原点对称B（1，0）y=x+b过点B1+b=0，b=1y=x+1当y=4时，x+1=4，x=3D（3，4）；（2）作DEx轴于点E，则OE=3，DE=4，OD=若POD为等腰三角形，则有以下三种情况：以O为圆心，OD为半径作弧交x轴的正半轴于点P1，则OP1=OD=5，P1（5，0）以D为圆心，DO为半径作弧交x轴的正半轴于点P2，则DP2=DO=5，DEOP2P2E=OE=3，OP2=6，P2（6，0）取OD的中点N，过N作OD的垂线交x轴的正半轴于点P3，则OP3=DP3，易知ONP3DCO=，OP3=P3（，0）综上所述，符合条件的点P有三个，分别是P1（5，0），P2（6，0），P3（，0）（3）当P1（5，0）时，P1E=OP1OE=53=2，OP1=5，P1D=P的半径为O与P外切，O的半径为52当P2（6，0）时，P2D=DO=5，OP2=6，P的半径为5O与P外切，O的半径为1当P3（，0）时，P3D=OP3=，P的半径为O与P外切，O的半径为0，即此圆不存在点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，注意到分情况讨论是解决本题的关键11在直角坐标系中，把点A（1，a）（a为常数）向右平移4个单位得到A，经过点A、A的抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点的纵坐标为2（1）求这条抛物线的解析式；（2）设该抛物线的顶点为点P，点B的坐标为O1A=O1B，且，若ABP是等腰三角形，求点B的坐标考点：二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定；坐标与图形变化-平移。806858 专题：分类讨论；待定系数法。分析：（1）把点A，A和（0，2）代入解析式用待定系数法求解；（2）根据题意可设点B的坐标为（1，m），利用等腰三角形的两边相等作为等量关系列式子关于m的方程，要注意本题有三种情况，要分别列举，当AP=PB时；当AP=AB时；当PB=AB时，分别计算不要漏解解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，点A（1，a）（a为常数）向右平移4个单位得到点A（3，a），（1分）抛物线与y轴的交点的纵坐标为2，c=2，（1分）图象经过点A（1，a），A（3，a），（1分）解得，（2分）这条抛物线的解析式为y=x2+2x+2；（1分）（2）由y=x2+2x+2=（x1）2+3得P（1，3），（1分）ABP是等腰三角形，点B的坐标为（1，m），且m3，（）当AP=PB时，即，（1分）；（1分）（）当AP=AB时，（11）2+（13）2=（11）2+（1m）2，解得m=3，m=5，（1分）m=3不合题意舍去，m=5；（1分）（）当PB=AB时，（11）2+（3m）2=（11）2+（1m）2，解得（1分）当或5或时，ABP是等腰三角形点评：本题考查图形的平移变换和待定系数法求二次函数的解析式和利用等腰三角形的性质求点的坐标，此题是典型的数形结合综合性习题12如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DEBC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG（1）试求ABC的面积；（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；（3）设AD=x，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（4）当BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质。806858 专题：动点型。分析：（1）作底边上的高，利用勾股定理求出高就可以求出面积（2）根据DEBC，得到ADEABC，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出边DE的长度（3）可以分为正方形在三角形内部和不全在内部两种情况求解，全在内部时，利用三角形相似得=，求出DE，再求重叠部分正方形的面积，不全在内部时先求出长DE，再利用DGAH，求出宽（4）当BDG是等腰三角形时，分BD=DG，BD=BG，DG=BG三种情况写出AD的长解答：解：（1）过A作AHBC于H，AB=AC=5，BC=6，BH=BC=3，AH=4，SABC=BCAH=64=12（2）令此时正方形的边长为a，DEBC，a=（3）当DE=时，由ADEABC得=，解得AD=2，当0x2时，正方形全部在三角形内部，由=得：=，DE=x，y=（x）2=x2，当2x5时，y=（5x）=xx2（4）当BDG是等腰三角形时，设AD=x，当BD=DG，此时正方形全部在三角形内部，BD=5x，由（2）可知DG=DE=x，由此即可求出AD=；当DB=BG时，求出AD=；当DG=BG，求出AD=；故点评：本题考查了正方形、等腰三角形的性质，相似比等相关知识，解题时，注意形数结合，分类讨论13已知：O的直径AB=8，B与O相交于点C、D，O的直径CF与B相交于点E，设B的半径为x，OE的长为y（1）如图，当点E在线段OC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）当点E在直径CF上时，如果OE的长为3，求公共弦CD的长；（3）设B与AB相交于G，试问OEG能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出BC的长度（不必写过程）；如果不能，请简要说明理由考点：圆与圆的位置关系；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。806858 专题：开放型；分类讨论。分析：（1）欲求y关于x的函数解析式，连接BE，证明BCEOCB即可；（2）求公共弦CD的长，作BMCE，垂足为M通过圆的知识得出BM=0.5CD，转化为求BM的长；分为两种情况：点E在线段OC上时；点E在线段OF上时，求出BM的长；（3）OEG为等腰三角形，分为两种情况：点E在线段OC上时；点E在线段OF上时，根据角的关系先求出角的度数，从而求出BC的长度解答：解：（1）连接BE，O的直径AB=8，OC=OB=AB=4BC=BE，BEC=C=CBOBCEOCBCE=OCOE=4y，y关于x的函数解析式为，定义域为0x4（2）作BMCE，垂足为M，CE是B的弦，EM=设两圆的公共弦CD与AB相交于H，则AB垂直平分CD，CH=OCsinCOB=OBsinCOB=BM当点E在线段OC上时，EM=（OCOE）=，OM=EM+OE=3BM=CD=2CH=2BM=当点E在线段OF上时，EM=（OC+OE）=OM=EMOE=BM=CD=2CH=2BM=（3）OEG能为等腰三角形，BC的长度为或点评：本题难度较大，数形结合，考查了两圆的位置关系、相似三角形的性质和函数结合，做题时一定要分析各种情况，不要遗漏14（2009黄冈）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2x10与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DEOA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；（3）当0t时，PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；（4）当t为何值时，PQF为等腰三角形？请写出解答过程考点：二次函数综合题。806858 专题：压轴题。分析：（1）已知抛物线的解析式，当x=0时，可求得B的坐标；由于BCOA，把B的纵坐标代入抛物线的解析式，可求出C的坐标；当y=0时，可求出A的坐标求顶点坐标时用公式法或配方法都可以；（2）当四边形ACQP是平行四边形时，AP、CQ需满足平行且相等的条件已知BCOA，只需求t为何值时，AP=CQ，可先用t表示AP，CQ，再列出方程即可求出t的值；（3）当0t时，根据OA=18，P点的速度为4单位/秒，可得出P点总在OA上运动PQF中，Q到PF的距离是定值即OB的长，因此只需看PF的值是否有变化即可得出SPQF是否为定值，已知QCPF，根据平行线分线段成比例定理可得出：，因此可得出OP=AF，那么PF=PA+AF=PA+OP=OA，由于OA的长为定值即PF的长为定值，因此PQF的面积是不会变化的其面积的值可用OAOB求出；（4）可先用t表示出P，F，Q的坐标，然后根据坐标系中两点间的距离公式得出PF2，PQ2，FQ2，进而可分三种情况进行讨论：PFQ以PF为斜边则PF2=PQ2+FQ2，可求出t的值PFQ以PQ为斜边，方法同PFQ以FQ为斜边，方法同综合三种情况即可得出符合条件的t的值解答：解：（1）y=（x28x180），令y=0，得x28x180=0，即（x18）（x+10）=0，x=18或x=10A（18，0）在y=x2x10中，令x=0得y=10，即B（0，10）由于BCOA，故点C的纵坐标为10，由10=x2x10得，x=8或x=0，即C（8，10）且易求出顶点坐标为（4，），于是，A（18，0），B（0，10），C（8，10），顶点坐标为（4，）；（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QCPA故只要QC=PA即可，而PA=184t，CQ=t，故184t=t得t=；（3）设点P运动t秒，则OP=4t，CQ=t，0t4.5，说明P在线段OA上，且不与点OA、重合，由于QCOP知QDCPDO，故AF=4t=OPPF=PA+AF=PA+OP=18又点Q到直线PF的距离d=10，SPQF=PFd=1810=90，于是PQF的面积总为90；（4）设点P运动了t秒，则P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8t，10）t（0，4.5）PQ2=（4t8+t）2+102=（5t8）2+100FQ2=（18+4t8+t）2+102=（5t+10）2+100若FP=FQ，则182=（5t+10）2+100即25（t+2）2=224，（t+2）2=0t4.5，2t+26.5，t+2=t=2，若QP=QF，则（5t8）2+100=（5t+10）2+100即（5t8）2=（5t+10）2，无0t4.5的t满足若PQ=PF，则（5t8）2+100=182即（5t8）2=224，由于15，又05t22.5，85t814.5，而14.52=（）2=224故无0t4.5的t满足此方程注：也可解出t=0或t=4.5均不合题意，故无0t4.5的t满足此方程综上所述，当t=2时，PQF为等腰三角形点评：本题着重考查了二次函数的性质、图形平移变换、平行四边形的判定、直角三角形的判定等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法15（2009深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=2x8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作P（1）连接PA，若PA=PB，试判断P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形考点：切线的判定；一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。806858 专题：压轴题。分析：（1）通过一次函数可求出A、B两点的坐标及线段的长，再在RtAOP利用勾股定理可求得当PB=PA时k的值，再与圆的半径相比较，即可得出P与x轴的位置关系（2）根据正三角形的性质，分两种情况讨论，当圆心P在线段OB上时，当圆心P在线段OB的延长线上时，从而求得k的值解答：解：（1）P与x轴相切，（1分）直线y=2x8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，8），OA=4，OB=8由题意，OP=k，PB=PA=8+k在RtAOP中，k2+42=（8+k）2k=3，（2分）OP等于P的半径P与x轴相切（1分）（2）设P与直线l交于C，D两点，连接PC，PD，当圆心P在线段OB上时，作PECD于E，PCD为正三角形，DE=CD=，PD=3PE=AOB=PEB=90，ABO=PBE，AOBPEB，即，（2分）PO=BOBP=8P（0，8）k=8（2分）当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P（0，8）k=8（2分）当k=8或k=8时，以P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形点评：本题考查了一次函数图象，圆的切线的判定，相似三角形的判定及性质，等边三角形等内容，范围较广，题目较复杂16（2009重庆）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3过原点O作AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DEDC，交OA于点E（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将EDC绕点D按顺时针方向