（应用数学专业论文）分数次美式看跌期权的定价模型.pdf

摘要 在本文中，我们考虑一个由美式看跌期权定价问题产生的变分不等式，它的原生资产价格服 从h u r s t 参数日( 0 ，1 ) 的分数次布朗运动首先，我们证明了解的存在与唯一性接着，我们推出了 永久美式看跌期权的解及其自由边界的显示表达式最后我们研究了具有有限到期日的美式看跌期 权自由边界的一些性质，如单调性、连续性、无穷次可微性以及自由边界的位置 关键词：自由边界；变分不等式；期权定价；美式看跌期权；分数次布朗运动 a b s t r a c t i nt h i 8p a p e r ，w ec o n s i d e rap a r a b o l i c 、r 盯i a t i o n a li n e q u a l i t y 盯i s i n g 仃o mt h ev a l u a t i o no fa m e r - i c a np u to p t i o n s ，w h 0 8 eu n d e r m n g 嬲s e t sp r i c es u b j e c tt oa 矗a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ，w i t hh u r s t p a r a m e t e r 日( 0 ，1 ) f i r 8 t l y w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft l l es o l u t i o nt ot h ep r o b l e m t h e n ，w ed e r i v eac l o s e d d r ms o l u t i o no ft h ep e r p e t u a la m e r i c a np u to p t i o n e v e n t u a l l y ，w es t u d y s o m eq u a l i t i e so ft h e 仃e eb o u n d a r y s u c h 弱t h em o n o t o n i c i t y c o n t i 肌i t y c o 。r e g u l a r i t ya n dt h e l o c a t i o no ft h e 行e eb o u i l d a r y ， k e yw 0 r d s ： n e eb o u n d 盯y ；、，a 心i a t i o n a li n e q u a l i t y ；o p t i o np r i c i n g ；a m e r i c a np u to p t i o n 8 ； 矗a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n 2 1 问题的介绍 在经典的b l a c k - s c h o l e s 公式中，原生资产价格s ( t ) 服从一个线性的、受布朗运动干扰的随机微 分方程 d s ( t ) = p s ) 班+ 盯s ( t ) d i 矿 ) 其中( ) 是标准的布朗运动，r ，口，盯，是正常数，分别代表无风险利率，红利率，波动率，期望回报率 由于此方程中，原生资产价格只与现在的价格有关而与过去的价格无关，这不仅与人们的直观感觉 矛盾，也与统计数据的厚尾性矛盾因此，我们考虑用分数次布朗运动代替布朗运动，使之更符合客 观实际 定义【1 4 】：设( q ，芦，p ) 为一概率空间，日( o ，1 ) 为一常数具有h u r 8 t 参数日的分数次布朗运 动( f b m ) b 日( t ) 是一g a u s 8 i a n 过程，且满足： ( 1 ) b 日( o ) = e 【b 日( t ) 】= o ，对所有r + ； ( 2 ) e 【b 日( ) b 日( s ) 】= | j 2 日+ l s 2 日j t sj 2 日) ，5 ，t 月+ 若日= ；，b 日是标准的布朗运动 现在我们考虑一无摩擦的金融市场，即资产的交易时间和额度是连续的，不存在套利机会，股票 价格s 满足 d s ( t ) = p s ( t ) 出+ 盯s ) d b 日 ) 现考虑一投资组合 = w 一s 其中w ( s ，t ) 是期权价格由于是无风险的，有 d ( ) = d w ( s ( t ) ，t ) 一q s 班一d s ( t ) = r 班，( 1 1 ) 其中g 是股票的红利率应用分数次，幻公式( 【1 4 】) d m = ( 警+ 盯2 胖肛1 s 2 等+ p s 等) 叮s 等d 如 ( 1 2 ) 将( 1 2 ) 代入( 1 1 ) ，有 ( 警+ 盯2 群肛1 s 2 等+ 删器一) 竹- q ) s r ) ( 仃s 罟一) d 吲归。 要使得该资产组合无风险，让= 警，于是，我们得到w 满足的方程 侥+ 盯2 日t 2 日一1 s 2 以s + ( r g ) s 融一r ：0 3 在本文中，我们考虑的是一张分数次布朗运动的美式看跌期权美式看跌期权的问题是寻求期权 价格w ( s ，t ) 满足变分不等式 s 2 以s + ( r 一口) s 融一r ow 一( k s ) + o ，s o ，o t t ， 一1 s 2 西s + ( r g ) s 以一r ( 一( k s ) + = o ， s ) + ，s 0 其中t 是时间，t 是期权到期日，是期权敲定价格 由于问题( 1 3 ) 是一个蜕化反抛物问题，我们通过变换把它变为一个非蜕化抛物问题 令丁= t t ，叫( s ，7 - ) = ( s ，t ) ，则问题( 1 3 ) 变为 ( 1 3 ) 辞加一盯2 日t 2 日一1 s 2 西s 埘一( r g ) s 以 + r 伽o 伽一( k s ) + o ，s o ，o 正 p 叫一矿2 日t 2 日一1 s 2 以s 脚一( r g ) s 以叫+ r 叫 ( 叫一( k s ) + = o ， ( 1 4 ) 叫( s ，0 ) = ( k s ) + ， s 0 再令z = f 他s ，让( z ，7 - ) = z t 7 ( s 丁) ，则问题( 1 4 ) 变为 a r t 正一矿2 日( t 一7 i ) 2 日一1 如z u 一( r 一口一盯2 日( t 一7 - ) 2 日一1 ) 如钍+ r u 芝0 钍一( k e z ) + o ，z 皿，0 7 _ o 的情况) ，并且基于( 3 】 1 3 】) 的 思想，得出了新模型下永久美式看跌期权的显示解及其自由边界的表达式 ( t ) = 石丁一 【 ，一t 2 日一1 】+ 、【 彳一2 日一1 】2 + 4 2 日一1 ；i 万 更为重要的是，我们要研究具有有限到期日的美式期权最佳实施边界的性质对于自由边界问 题来说，自由边界的光滑性和正则性非常重要( 1 】【5 1 0 】) 特别地，条件辞乱2o 对分析正则性很 重要基于这个条件，我们能得到辞乱连续越过自由边界以及自由边界的c 。o 性质【6 】当日( o ， 】时 容易得到碑孔o 的结论，从而易证自由边界 ( 7 - ) 在( o ，t 】单调减，于是 ( 7 ) c o o ( o ，t 然而， 4 当日【，1 ) 时，屏让o 是不成立的为此，在定理4 1 中，我们通过一系列的变换把问题( 1 3 ) 变为 l a i t ，l 一盯2 日( t 一丁) 2 日一1 ( 吼! ， l 一吼u 1 ) o l t ，l ( k e 7 r e 掣+ 口r ) ，y j r ，o 7 - t ， 1 屏可。一盯z 日( r 一7 ) 。日一( 如掣 。一钆口。) 卜。一( k e r r e 耖+ 旷) ：。， o 屉 【口l ( 可，o ) = ( k e 可) + ， 夕皿 对于问题( 1 6 ) 我们可得到屏口1 0 ，这意味着我们把一个非单调的自由边界问题转化为一个单调的 自由边界问题【1 5 】由此我们可得出当日晦1 ) 时，自由边界是无穷次可微的 在第二节中，我们证明解的存在与唯一性接着，在第三节和第四节分别讨论了日( o ，】和 日【，1 ) 两种情况下自由边界的单调性、连续性、无穷次可微性以及自由边界的位置 5 2 吆乏c 解的存在与唯一性 为了证明问题( 1 5 ) 解的存在性，我们构造惩罚函数侥( t ) ( 见图1 ) 满足： 厦( t ) c 2 ( 一，+ o 。) ，展( o ) = 一2 7 ( k + 1 ) ， 展( t ) o ， 彪( t ) o ， 彪( t ) o 躺= 巴= e i 侥( 0 ) | 亡 一 一 - 一 图1 图2 由于收益函数在k = 矿不可微，为了保证整个定解问题的光滑性，构造函数砧( t ) ( 见图2 ) 满足： 哪，= 憾 艇( t ) c o 。，o 1 ， 、 ( t ) o ，磐死( ) = 矿 当日 时，若7 = t ，则问题( 1 5 ) 中如z u 的系数是无穷大因此，我们在q t 一占= 皿( o ，t 一6 ) 中考 虑问题( 1 5 ) 的逼近问题 ! c u s + 厦( 让e 一7 k ( k e z ”= 0 ，z 皿，。7 t 一正 ( 2 1 ) 1 u e ( z ，o ) ：他( k e z ) ， z 皿 。1 c = 辞一盯2 日( t r ) 2 日一1 如z 一( r 一9 一盯2 日( t 一7 - ) 2 日一1 ) 如+ 7 6 由于q t 一6 是一个无界区域，我们用一个有界区域去逼近q t 一6 ， lc u 。，r + 皮( u 。，r 一7 k ( k e z ) ) = o ， ( z ，7 ) q 乳占， iu 。，r ( z ，7 ) = 死( k e z ) ，o n 如q 是6 其中q 乳艿= ( 一冠r ) ( o ，t 一6 ) ，岛q 是6 是q 是6 的抛物边界 定理2 1 ：对固定的，r ，问题( 2 2 ) 有唯一解蚝，r 孵+ 1 ( q 孕一5 ) ，1 ， l = o ，k 一e z 一， ( k e z ) e z i e 茁k + e ， k e z 一5 0 7 k ( k e z ) k + ， o ( k e z ) e z k + 几( k e z ) = r ( k e z ) 矿+ r 他( k e z ) 2 r ( k + ) 2 r ( k + 1 ) ( 2 6 ) 山此推出( k 一矿) 是问题( 2 2 ) 的下解，即证 丌( k 7 一e z ) u e ，r 8 由上式及风的定义知 一2 r ( k + 1 ) 风( 魄一死( k e 霉) ) 0 回到问题( 2 2 ) ，由于k + 是上解，因此 地r k + 定理2 3 ：对固定的e o ，问题( 2 1 ) 有解u = u c ( 雨一占) ，且忱 o ，。睇1 ( q 是6 ) 并且有 ( k e 霉) u + e ； 一2 r ( k + 1 ) 侥( 一以( k e z ) ) 0 证明：我们证明当冗_ + o o ，问题( 2 2 ) 的解收敛问题到( 2 1 ) 的解 让r = 1 ，2 ，在q 一6 上，由略1 估计， k 引昨，- ( q 一j ) a 歹= 1 ，2 ， c 不依枷因此，存在【乱旬) 的子列 让器 - 及u p 孵1 ( q 一6 ) 使得 乱嚣，乱埋，让敬，一让9 ) ，( 在嘭，1 ( q 一6 ) 中弱收敛，在c ( 磷一6 ) 中一致收敛) 在q 孚一6 上，再次利用嚼1 估计， i u 黝昨，- ( q 孚一。) e c 不依枷因此，存在 钆搿) 的子列 u 嚣) 及乱孑) 孵，1 ( q 孚一6 ) 使得 “器，u 缝，u 缀，一拶，( 在孵1 ( q 孚一6 ) 中弱收敛，在c ( 磷一6 ) 中一致收敛) 且 让孑) ：u 9 ) ， i n q 一5 在q m - 6 上，由孵1 计， i 乱一1 i 睇- ( q 是。) g c 不依枷因此，存在_ u 器一1 ) 的子列 u 等 及u 妒孵；1 ( q m _ 6 ) 使得 仳嚣，u 襞，u ，一乱妒，( 在孵1 ( q 墨6 ) 中弱收敛，在c ( 强6 ) 中一致收敛) 且 仳步) = u 箩) ， i i l 嗥一6 1 j m 一1 9 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 定义u 。( z ，7 ) = 乱妒( z ，7 ) ，考虑对角线子列u 鼎，对任意的r o ，若m o o ， 牡鼎_ + 毗，( 在昨1 ( q 墨5 ) 中弱收敛，在c ( 亍驻6 ) 中一致收敛) 在( 2 9 ) 中让m 一。o ic 缸鼎+ 风( u 鼎一( k e 霉) ) = o i n q m _ 6 ， ， ( 2 9 ) i 乱蹦= 亿( k e 正) o n 岛q m - 6 则让。( z ，7 ) 是问题( 2 1 ) 的解唯一性的证明同引理2 1 当r 一时，( 2 7 ) ( 2 8 ) 得证 定理2 4 ：问题( 1 5 ) 有唯一解札c ( 雨一6 ) ，任意r o ，任意p o ，钆孵1 ( q 是6 岛( 蜀) ) 且 在q 是6 中一致收敛于乱其中p o = ( k ，o ) ，b 一是一个以( p 0 ) 为中心，以p 为半径的圆 证明：由( 2 7 ) ( 2 8 ) ，对问题( 2 2 ) 应用g a ，a 2 估计，我们得到 i s b a 。僻一。) g 其中c 不依赖5 因此，在c ( 爵一6 ) 中存在乱使得u 。_ ui nc ( 磷) 从( 2 8 ) 我们知道对任意的r 0 ，任意的p o i u 一昨，( q 拿一6 慨( p 0 ) ) c ， 其中c 不依赖e ，但依赖r ，6 用同样的方法( 取对角线法) ，我们知道存在 ) 的子列( 仍记作 仳) ) 以 及让睇，1 ( q 拳一八毋( 如) ) ，使得让。一u 在略j ( q 争一叭岛p o ) ) 中弱收敛 下证札是问题( 1 2 ) 的解在不等式让。0 中让e _ o ，得 让o ， i nq 乳6 b p p o ) 由冗，臼的任意性， c u 0 ， i nq t 一6 在( 2 7 ) 中让一0 ( j r e z ) + 乱j r 接下来证明 c = o ，i n 让 ( k e z ) + 事实上，任意( z o ，匍) 乱 ( k e 茁) + ) ，u ( z o ，丁b ) ( k e z o ) + 因此存在6 o ，( z o ，丁o ) 的邻 域矿，当e 足够小，有 u 。( z ，7 - ) 他( 一矿) + 瓦扛，7 - ) 矿 当e _ 0 ， 0 尾( u 。( z ，7 ) 一心( k e z ) ) 风( 6 ) 一0 ， ( z ，r ) 矿 1 f 1 因此，在( z o ，匍) c u = 0 ， ( z ，下) 矿 最后我们证明解的唯一性设札1 ，缸2 是问题( 1 5 ) 的两个解，= ( z ，丁) i 让1 ( z ，7 ) u 2 ( z ，丁) ) 非空， 因此在集上 u 1 u 2 ( k e 尘) + 因此， l 钍1 = o ，i n ， 三u 2 0 ， i n 僻= 0 1 1 3 自由边界的性质( o o ，由先验估计知，蚝c 2 + q ，1 + a 2 ( 西一6 ) ，这意味着如乱。，a 让。及侥乱是有界函数 引理3 1 u ( z ，丁) 0 ， 7 0 三i f - 。k e 士，+ 。， 三三：q t 一如 及强极值原理我们知道乱( z ，7 ) o ，( 丁 o ) 。 巩乱( z ，7 - ) 0 ，( 茁，1 ) q t 一占 ia r 口一口2 日( t f ) 2 日一1 如霉钉一( r g 一盯2 日( t 一下) 2 日一1 ) 巩可 + p + 磋( ) ) 口= 羼( ) ( k e 卫) ( 一e 霉) o ， ( z ，r ) q t ， iu ( z ，o ) = ( k e z ) ( 一矿) o ， z 皿 j ，屏叫一盯2 日( t 一7 ) 2 日一1 如。伽一( r g 一盯2 日( t 一7 ) 2 日一1 ) 如叫+ ( r + 羼( ) ) 叫= 厂( z ，7 - ) l 伽( z ，0 ) ：咖( z ) z 皿 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 引理3 4 日( o ，翔时， 屏( 西) 一盯2 日( t f ) 2 日一1 如正( 屏u 。) 一( r g 一盯2 日( t 下) 2 日一1 ) 如( 屏) + ( r + 羼( ) ) 辞。 = 一盯2 日( 2 日一1 ) ( t 一7 _ ) 2 日一2 ( 如z u 。一如乱；) 芝o ， 淼篓茹羞髫旷四矽 0 c = ( s ，丁) i 叫( s ，7 - ) = ( k s ) + ) ， = ( s ，下) i 伽( s ，r ) ( k s ) + ) 由c 的定义知 因此。 引理3 6 s = ( 丁) ) c 髭， ( 7 ) = m a x s i 伽( s7 ) = k s 】，o f z 证明：回顾s s b ，7 1 丁忍】l 上，方程 成立对r 求导得 屏加一盯2 日( t r ) 2 日一1 s 2 砖s t ，一( 7 一口) s 毋伽+ r 叫= o 伽一矿日( t r ) 2 日一1 s 2 如斯伽一( r 一口) s a 鼾加+ r 屏叫 = 盯2 日( 2 日一1 ) ( t 下) 2 日一2 s 2 以s 加o ， 对嘶利用极值原理知佃f o ，由h o p f 引理，在垂直部分 s 岛，丁1 丁仡】上叫鼾 o ( 否 则叫r 三0 ，这显然不可能) ，这与伽s r ( s b ，7 ) = 0 矛盾因此 ( 7 ) 严格单调递增 定理3 8 日( o ，】时， ( 丁) c o o ( o ，卅 证明：事实上，由辨仞o ，应用n i e d m a n ( 1 9 7 5 ) 在【6 】中的方法，不难得到h ( 下) c o ，1 ( o ，邳再由靴带 法易证 ( 7 ) c o o 郴) = 咖憾各 证明：令岛= m t 扎 k ，等】我们知道当日( o ，；】时 ( o ) 岛若 ( o ) o ，使得 j ，屏叫一盯2 日( t 一7 - ) 2 日_ 1 s 2 以s 棚+ ( r q ) s 以伽+ r 加= o ， 岛一6 s s b ，o 丁正 1t t ，( so ) ：k s ， 岛一6 s ，0 t + 。， p o s a = k s c ， ( 3 1 1 ) 弧p ( ) = 一1 ， p ( o 。) = 0 其中p ( s t ) 是期权价格问题( 3 1 1 ) 的解是 脚) - _ ( 鲁) ( 弘 其中 以及自由边界 口。= 硒b 一阻一严一 _ 口12 互萨西丁t 一【o 坦一扩j m = 并 剐的2 瓦云毒系丢焉 证明：取p = 伊代入( 3 1 8 ) 中的方程，且令m = 辫，得到q 适合的特征方程 t 2 肛1 9 2 + ( m s 2 t 2 肛1 ) g 一志= o 方程的两个根为 口。：甭b 一阻一严。 _ 口12 瓦芦万= t t 一【。坦一扩j 一 故方程有通解 q 2 ：雨b 一阻一芦一 + q 22 互霜面= t t 一【o 坦一o j + 山边界条件p ( 。) = o ， p ( s ) = a s 口1 + b s 船 b = 0 1 6 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 、，、， 由自由边界条件p ( ) = k 一，以p ( & ) = 一1 得 a s 警= k s c ， 解之得 代入( 3 1 4 ) 得 定理3 1 1 当7 ( o ，纠时， 口1 a 酲1 = 一1 = 志 p = 一击( 去) 1 。乱伊叫鲁嵯严 & ( 7 - ) ( 7 ) 岛， & 一再斋，( 一t ) 其中。= ( m t 2 一) + 扣f 面可i 再，且 ， 篡兰 ( 3 1 5 ) 下 t ( 丁) 心一 。 雨赫岛i j 乏孑芦，f t 。 图3 1 8 4 自由边界的性质( 三日 1 ) 4 1 自由边界的光滑性 定理4 1 日【；，1 ) 时， ( 下) c ( o ，卅 证明：回顾问题( 1 3 ) ，它的第一个不等式和初始条件表明，当o 7 - t 时，w ( s ，下) 总是正的因此 我们把障碍( k s ) + 变成一s ) ，即( 1 3 ) 等价于： i 侥+ 盯2 日2 日一1 s 2 以s + ( r q ) s 以一7 o 一( k s ) o ，s o ，o t 正 b + 盯2 日t 2 日_ 1 s 2 幽s + ( r g ) s 以一r 叫 ( 一( k s ) = o ， i i 1 阿( st ) = ( k s ) + ，s o s t e pl ：作变换 z = l n 只7 = t t ，口( z ，7 - ) = ( st ) i a r 一矿2 日( t 一7 ) 2 日一1 如z 口一p g 一盯2 日( t 一丁) 2 日一1 ) 良口+ r 口o i 口( k 一矿) ， z 皿，o 7 - 正 1 屏钉一盯2 日( t 一7 - ) 2 日- 1 如z t ，一p g 一盯2 日( t 一丁) 2 日_ 1 ) 如口+ r u u 一( k e ) = o ， i 口( z ，o ) = ( k e ) + ， z 皿 则 再令 可= z + ( r g ) 7 - ，u 1 ( 暑，r ) = e r r u ( z ，丁) ， a r 钉= e r r ( a 秽l + ( 7 一口) a 0 秽1 一r 口1 ) ia r 移1 一盯2 日( t 一7 ) 2 日一1 ( 岛可口1 一吼u 1 ) o i 口1 ( k e 7 r e ! ，+ 口下) ， r ，o 7 t ， 1 屏口一仃2 日( t 一丁) 2 日_ 1 ( 岛钉- 一巩口) 卜一( k e 竹一e 什旷) = o ， i 移l ( 耖，o ) = ( 一e ) + ， 可皿 ：厂t2z r 。2 日一1 ， 盯2 t 2 日 盯2 ( t 一7 - ) 2 日 性厶一，c r 2 日s 2 肛1 d 一竿一竿，丁一7 zz 1 9 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) 则 记 则 s t 印3 ：作变换 由于 丁= t 一( t 2 日一；亍) 击 2 ( ，亍) = 秒l ( 耖，r ) ， 屏t ，1 = 盯2 日( t 一7 - ) 2 日一1 屏口2 锦t ，2 一( 巩掣 2 一如钉2 ) o 耽( k e r 7 。( 手) 一e 耖+ 旷( 手) ) ，可皿，0 r t ， 瞵勘。一( 口z 一岛口z ) 钉z 一( k e r r ( 亍) 一e 掣+ 州亍) ) = o ， 口2 ( 剪，o ) = ( k e 掣) + ， 秒皿 z = 箩一砰，忱( 可，亍) = e c r 0 ( z ，于) ， 屏口2 = e c r ( 屏移一c 以移+ ) ， ( 4 4 ) ( 4 5 ) 因此 i 屏毋一包：番一( c 1 ) 以谚+ 西o l 移( k e 7 r ( 手) 一砰一e 舛旷( 手) ， z 皿，o 丁 t ， 1 辟。一以：。一( c 一1 ) 包。+ 西1 卜一( k e r 下( 亍) 一砰一+ 旷( 亍) ) ：o ， ( 4 届 1 a f 。一a ：。一( c 一1 ) a ：。+ 西 。一( j f e r 下( 亍) 一砰一e z + 旷( 亍) ) = o ， 。4 。 io ( z ，o ) = 似一e 。) + ， z 皿 下面我们证明，当选取c 分大，且g r k 时，可得辨p ( z ，于) 一( k e r 丁( 乎) 一开一e 舛q 7 。( 亍) ) 】o 构造惩 罚函数，问题( 4 6 ) 的解可由下列问题的解逼近得到 令 耋耋，_ ) 兰耋：二：三：晓魄+ c 以+ 展 一( k e 竹p ) 一砰一e 。+ 旷f b 二 ： 伽= 魄一( k e ”f ( 于) 一砰一e 2 + 口7 ( 亍) ) ， 2 0 ( 4 7 ) 则( 4 7 ) 改写为 f a f 加一以：加s 一( c 一1 ) 以加。+ 伽。+ 屡( 毗) = 9 7 7 ( 于) e ：+ 口r ( 亍) 一7 k 7 7 ( 亍) e r r ( 亍) 一醇， 1 姚( z ，o ) ：( k e ：) 一( k e z ) ：砧( e z k ) ， z 皿 ，( 亍) = 旷7 ( 于) e 外盯( 于) 一r 7 - 7 ( 于) e r r ( 手) 一砰， 第一项对亍单调增加，取c 充分大时，易证，7 ( 于) o 屏伽。( z ，o ) = 衫( 矿一) e 2 。+ 7 ( e 名一k ) e 。+ ( c 一1 ) 丌：( e 。一k ) e ：一c 7 k ( 矿一k ) 一尾( 死( e 名一k ) ) + 9 7 1 7 ( 0 ) e 舛旷( o ) 一r k 7 7 ( o ) e 7 r ( o ) c 【( e 。一k ) e 名一( e 。一k ) 】+ 7 7 ( o ) ( g e 。一r k ) 一尾( 心( e ：一k ) ) ， 9 ( 名) = ( 矿一k ) e 。一( e 。一k ) ， 因为9 7 ( z ) = 皑( e 名一k ) e 沈o ，因此9 ( 名) 关于z 单调增，且g ( 一。) = o ，因此g ( z ) o 由屉的定义知， 风( ( e 。一k ) ) o 并且当g r k 时，丁7 ( o ) ( g e 名一r k ) o ，因此徘桃( z ，o ) o 于是瞵毗( z ，亍) o 类似定理3 8 的证明，应用n i e d m a n ( 1 9 7 5 ) 在【6 】中的方法，不难得到危( 丁) c o ，1 ( o ，纠再由靴带法， 易证 ( 7 _ ) c o 。 4 2 自由边界的起始点危( 0 ) 定理4 2 ( o ) = 仇饥 k ，等】 证明：类似定理3 9 的证明，令岛= m 锄 瓦等 若九( o ) o ，使得 f a r 伽一仃2 日( t 一丁) 2 日一1 s 2 以s 叫+ ( r 一口) s 以叫+ r 叫= 。， 9 6 s 岛，。 丁冬t ，( 4 8 ) 1 叫( s ，o ) ：k s ， 磊一6 s s b 。4 乃 西伽( s ，0 ) = 盯2 日( t 一7 _ ) 2 日一1 砖s 伽( s ，0 ) + ( r 一口) s 以加( s ，0 ) 一r 叫( s ，0 ) 即叫( so ) k s ，这与加( so ) = k s 矛盾因此 ( 0 ) = 岛 参考文献 【1 】a b e 璐o u s s a n ，d n 眈e 饶e d 硝盯d p 统d 竹p 而c t 叼，a c t aa p p l m a t h 2 ( 1 9 8 4 ) 1 3 9 1 5 8 【2 】 a b l a n c h e t ，d 佗饶er 叼牡f o 而幻吖饥e ，沱e6 d t 正佗d 口阿溉铣ep 口m 6 d 托cd 6 s t 口c 把p r d 6 f e m a p p l i c 舢 t i o nt oa m e r i c a no p t i 0 1 1 8 ，n o n l i n e a ra n a l 6 5 ( 2 0 0 6 ) 1 3 6 2 1 3 7 8 【3 】 b a r o n e a d e s iga n dw h a l e yr e ，上z 历c e 耐口他口f 暑悦c 叼矽彻捌m 口抚o nd ，a m e n 仃d p t t d 仃口口比e s ，j f i n a n c e4 2 ( 1 9 8 7 ) 3 0 1 3 2 0 【4 】 b e n d e rc ，a 几，t 6 ，d n n 乱z n 如r 夕e n e 7 2 如e d 丘n c t i d n 口括巧口疗u c t i o 礼n zb r d t 口n i o 他r n d z i d nt 正，i 统 。而记r 0 叼日乱邶tp o r o m e t e r d c 危口s 挽cp m c e s 5 ，a p p l 1 0 4 ( 2 0 0 3 ) 8 1 一1 0 6 5 】e e k s t r o m ，c d 俐e 疵匆d ，沈e 印挽m 口ls t 唧i 叼6 d 礼d o 删，d r 娩ea m e 疵c 彻p u t 叩t 铂j m a t h a n a l a p p l 2 9 9 ( 2 0 0 4 ) 1 4 7 - 1 5 6 【6 】王i e d m a na ，p 口r n 6 d 托c 口疵。亡i d 扎口zi 佗e g 让n 托坑e sz 佗d n es p o c ed 童仇e 礼s 藿d 礼。佗ds m d d 饶n e s s 吖琥e 疗e6 d 让礼d 口r w ，j o u t n a lo ff u n c t i o n a la n a l y 8 i 8 ，1 8 ( 1 9 7 5 ) ，1 5 1 - 1 7 6 【7 】 n i e d m a na ju n 而。坑d 他o fp 而n c 印z e so n df 陀eb d 几d o r 暑，p 加6 z e m s ，j o h nw i l w ys o n s ，1 9 8 2 【8 】 f b l a c ka n dm s c h o l e s ，孤ep 何c 饥9 吖印洳佗so 仃dc d 叩d m e 托0 6 托挽e s ，j p o l i t i c a le c o n o l y 8 1 ( 1 9 7 3 ) ，6 3 7 - 6 5 9 【9 】g i l b a r gd ，7 n u d i n g e rn s 觑却扰cp n 施0 fd j