关于流行病的数学模型.pdf

第1 5 卷第3 期华北航天工业学院学报 v 0 1 1 5n o 3 2 0 0 5 年8 月j o u r n a lo fn o r t hc h i n ai n s t i t u t eo fa s t r o n a u t i ce n g i n e e d n ga u g 2 0 0 5 关于流行病的数学模型 曾大有1张文治1唐艳容2 1 北华航天工业学院基础部 河北廊坊0 6 5 0 0 0 2 石油管道局中心医院传染科 河北廊坊0 6 5 0 0 0 摘要 本文给出了一般流行病的数学模型 并给出了模型的解和解释 关键词 数学模型 传染病 中图分类号 0 2 9文献标识码 a文章编号 1 0 0 9 2 1 4 5 2 0 0 5 0 3 0 0 2 9 0 2 0 引 言 流行病又叫传染病 医学研究证明它们都是由 病毒传染引起的 传染病历来是人类的顽敌 给人 类带来巨大的恐慌 损失 病痛 残疾和死亡 本文用 数学方法建立了一般传染病的数学模型 以此来揭 示一般传染病的传播和蔓延的变化规律 预报一般 传染病高峰期到来的时间 预测一般传染病高峰期 到来时的最多传染人数 预防和控制传染病传播和 蔓延的方法和数学依据 1 模型1 设表示时刻已受传染的总人数 y 0 y 为初 始时刻受传染的人数 假设 1 得传染病后 经久不愈 并在传染期内不会 死亡 2 每个得传染病的人在单位时间内可以传染 个正常人 由于大多数传染病病毒在第二代以后 传染性将逐渐衰减 因此我们用p 来修正 其中0 卢 1 在 到 时间内增加受传染的人数为 y t t 一y 肚o y f 两边同除 f 并取极限可得 掣 牌止生掣 触 y d f t o 于是易得微分方程模型 7 掣 阳加 1 0 o 解微分方程由 1 可得j 专搿 j 肚 出 l n g l n 掣 肚o t 所以y c 扩o 把初始条件y 0 代人上式 解得c 便得到模型1 的解 y v o 扩o 2 这表明传染病的传播和蔓延按指数函数增加 这个结果与传染病的传播和蔓延的初期相吻合 一 般情况下 传染病的传播和蔓延的初期传播速度较 快 比如非典 鼠疫 艾滋病 肝炎 麻疯病 霍乱 流 行感冒 红眼病等病毒初期传播速度较快 模型1 描 述了病毒初期传播的情况 2 模型2 设 表示 时刻已受传染的总人数 y 0 y 为初始时刻受传染的人数 设r t 表示t 时刻 易受传染 但还没受传染 的总人数 假设 1 得传染病后 经久不愈 并在传染期内不会 死亡 2 f 时刻已受传染的总人数加上易受传染 但 还没受传染 的总人数为r 即y t 尺 t r 3 每个得传染病的人在单位时间内传染的正 常人数与未被传染的易受传染的正常人数成正比 即后 肚r 由于大多数传染病病毒在第二代以 后传染性将逐渐衰减 因此我们用p 来修正 其中o p 1 由上述假设可得模型2 基金项目 华北航天工业学院科研基金项目 k y 一2 0 0 3 一1 2 收稿日期 2 0 0 5 0 3 2 8 作者简介 曾大有 1 9 6 4 一 男 河北省廊坊市人 副教授 从事 大学数学教学和数学应用的研究工作 一2 9 一 掣 肚脚 尺 t r 3 y o 如 万方数据 2 0 0 5 年8 月华北航天工业学院学报第1 5 卷 由 3 和y r f r 可得亟笋 肚 r 一y f y f 对上式两边不定积分 j 瓯普 丽 黜 c 肚t c j 际 去h 南 若矧d zj 丽i 石丽2 瓦j 1y f 十尺 一y f 们 去 l n y l n r y 去l n 尚 所以肚t c 去l n 尚 尚 e 肌 q 俨矿其中c e q 盯 粤荔 4 把初始条件 0 y 代入 4 解得g y o r o y o 即可得到模型2 的解 如 器2 表 r o 鲁一 e 眠f y o 对上式 5 两边求导可得传播速度 m h m 卜一 5 鲁一 卜脚 一阢 一 出 鲁一z 卜叫2 一 即肚尺 等一1 o 也就是说r y 时y r 为定值 所以当y r f 时 y f 尺 z 有 最大值 即秽 f 亟 肚r y 有最大值 也就是说当y f r 挚时 最大传播速度 秽最大 t 肚r t y t 肚竽孚 譬竽对 6 两 巩 一脯 鲁一 出2 p 鲁一 e 脚 2 2 p 鲁一 e 铷 2 薪錾将p n 圳 一e 2 脚 鲁一 p r 灿 一二竺 i 塞二型 二 釜二 u 一 e 2 叫 鲁一 p 3 u7 令掣圳胪n 鲁一 o 阢川n 等一 所以t 赢t n 鲁一 也就是说当t 赢l 1 n 鲁一 时 传染病病毒传播速度最大为勘最大 f 譬警 由此可以看出 f 与传染强度肚和易传染的 最大 垡箸可知 传染病最大传播速度可最大 一3 0 一 万方数据 第3 期李殿龙等 对 离散数学 中三个公式 定义及定理的研究2 0 0 5 年8 月 上述方法不仅从理论上论证了无向图存在e u l e r 回路的判定定理 并且将一笔画问题渗透其中 便 于初学者理解和把握 参考文献 1 左孝凌 李为槛 李永才 离散数学 m 上海 复旦大学 出版社 1 9 8 4 2 刘叙华 虞恩蔚 姜云飞 离散数学 m 北京 中央广播 电视大学出版社 1 9 9 4 3 胡笑寒 万迪日方 网络环境下组织复杂性的方法体系初 探 j 西安交通大学学报 2 0 0 3 4 1 2 0 1 2 5 4 张家秀 殷志祥 离散数学中的d n a 计算 j 计算机工 程与应用 2 0 0 3 8 1 2 8 一1 3 0 5 吴陈 杨静宇 冲突关系与相容关系之间的关系及其相 关算法 j 计算机工程 2 0 0 4 7 1 3 0 一1 3 2 d i s c 翔峪s i o no ns o i i 炝p r o i b l e i 塔f b rd i s c r e t em a t l n j 撇t i c s l id i a n i o n 9 1h ec h u n j i a n 9 2 1 c o e g eo fs c i e n c e s o u t h e r ny a n g t z eu n i v e r s i t y w u x i2 1 4 0 6 4 c h i n a 2 n o r t hc h i n ai n s t i t u t eo fa s t r o n a u t i ce n g i n e e r i n g l 锄g f a n g0 6 5 0 0 0 c h i n a a b s t 瑚c t i nt h i sp a p e r w ed i s c u s si n t e n s i v e l ys o m ep m b l e m 8k 圊耐o nd i s c r e t em a t h e m a t i c sa i l dg i v em o r ed i s t i n c tc o n t e n t sa n dl a w s t or e a da n du n d e r s t a n de a s i l yo nt h ep r o b l e m s t h e s ea r ei m p o r t a n ta n dn e c e s s a r yf o rt e a c h e r sa n ds t u d e n t s k e y w o r d s d u a lf o r m u l a g r o u p e u l e rc i r c i l i t 上接第3 0 页 3 隔离 可以减少易传染的总人数r 降低传 染强度肚 由公式 赢 l n 鲁一1 可知 t 将 变大 t 变大意味着传染病达到最大传播速度时的 时间 将变大 即达到推迟传染高峰期t 的目的 4 及时寻找传染源 对传染源采取有效措施 进而减小y 也就是说减少了传染病病人y y o 小 5 隔离传染病人后 利用推迟传染高峰期 到来赢得的宝贵时间 对新发现的传染病病人进行 研究 治疗 护理 寻找传染源 病毒传播途径 研制 疫苗进而有效地控制传染病疫情 6 传染病的传播进入后期 此时传染病疫情已 得到有效控制 人们不再恐慌 大家只要按照医生的 建议就可避免传染上传染病 对已传染上传染病的 病人已有康复和治疗的措施 比如说非典 鼠疫 艾 滋病 肝炎 麻疯病 霍乱 流行感冒 红眼病等 参考文献 1 何春江 高等数学 m 北京 中国水利水电出版社 2 0 0 4 2 姜启源 数学模型 m 第2 版 北京 高等教育出版社 9 9 8 m a t h 伽嗡t i c a lm o d e l so fi n f e c t i o 吣d i s e 嬲e z e n g d a y o u l z h a n gw e n z h i lt a n gy a n r o n 9 2 1 f u n d a m e n t a ls c i e n c ed e p a r t m e n t n o r t hc h i n ai n s t i t u t eo fa s t r o n a u t i ce n g i n e e r i n g l a n g f a n g0 6 5 0 0 0 c h i n a 2 i n f t i o nd e p a r t m e n to f0 i lp i p e l i n ec e n t e rh 0 8 p i t a l l a n g f a n g0 6 5 0 0 0 c h i n a a k t i 翟c t t h ep 印e ri sa b o u tm a t h e m a t i c a lm o d e l so fi n f t i o u sd i s e a s e sa n dt h e i r8 0 l u t i o n s 1 e yw o r d s m a t h e m a t i c a lm o d e l s i n f b c t i o u sd i s e a s e s 一3 3 万方数据 关于流行病的数学模型关于流行病的数学模型 作者 曾大有 张文治 唐艳容 zeng da you zhang wen zhi tang yan rong 作者单位 曾大有 张文治 zeng da you zhang wen zhi 北华航天工业学院 基础部 河北 廊坊 065000 唐艳容 tang yan rong 石油管道局中心医院 传染科 河北 廊坊 065000 刊名 华北航天工业学院学报 英文刊名 journal of north china institute of astronautic engineering 年 卷 期 2005 15 3 被引用次数 2次 参考文献 2条 参考文献 2条 1 何春江 高等数学 2004 2 姜启源 数学模型 1998 本文读者也读过 10条 本文读者也读过 10条 1 卢军 利用数学模型预测 控制森林传染病lanczos过程可行性的研究 学位论文 2005 2 徐为坚 陈时东 xu wei jian chen shi dong 具有免疫接种及饱和传染率的传染病模型分析 期刊论文 广西科 学2006 13 4 3 王彩云 具有隔离项的seiqs模型全局分析 期刊论文 忻州师范学院学报2009 25 5 4 潘金仁 陈坤 应用时滞seir离散模型评价水痘暴发疫情控制效果 会议论文 2010 5 薛颖 熊佐亮 xue ying xiong zuo liang 具有免疫接种且总人口规模变化的sir传染病模型的稳定性 期刊论文 应用泛函分析学报2007 9 2 6 董霖 邱亚林 dong lin qiu ya lin 一类潜伏期和染病期均传染的seis模型 期刊论文 龙岩学院学报 2007 25 6 7 周效良 一类传染病扩散模型的研究 期刊论文 电力学报2002 17 3 8 王丙刚 曲波 郭海强 张蕾 金鑫 李刚 孙高 传染病预测的数学模型研究 期刊论文 中国卫生统计2007 24 5 9 刘汉武 徐洁 刘启明 连续接种的具有年龄结构的sis型传染病模型 期刊论文 工程数学学报2002 19 4 10 陈军杰 一类具有常数迁入且总入口在变化