关于递推数列通项公式的求法研究 毕业论文.doc

【标题】关于递推数列通项公式的求法研究 【作者】蒋 安 琼 【关键词】递推公式通项公式方法 【指导老师】彭 祖 明 【专业】数学与应用数学 【正文】1引言递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。根据递推关系式求出数列的通项公式既能考查学生对数列这部分知识是否掌握，也能考查学生的观察能力，推理能力，判断能力。因此，对学生递推能力的考查一直是高考关注的重点。一些数学工作者对递推数列通项公式的求法研究已取得了许多重要的进展，例如：方平，王学东,徐卫兵等对通项公式的研究已经取得了一定的成果。其中，方平老师主要研究了由递推公式数列的通项公式的“递推猜想证明”、“变换”、“累差积商”三种方法1。王学东老师则是研究了递推数列中常见的七种典型例题2。而徐卫兵老师主要研究了五种常见的求递推数列通项公式的类型3。如：(1-1)(1-2)(1-3)(1-4)(都是常数，)(1-5)但是，缺少了对递推数列常见类型的求法的研究。本文重点是研究递推数列通项公式的主要算法以及每种算法应用的常见类型。并通过具体例子来巩固各种算法。递推数列通项公式的求解方法包括：“递推猜想证明”、“变换”、“累差积商”1，“待定系数法”、“倒数法”“对数变换法”等。这些方法是解决中学数学的数列问题，处理数列的递推公式时常用的方法。研究递推数列通项公式的求法时，首先要将一般数列转化为等差和等比两种特殊数列，再选用适当的方法求解。本文主要就近几年的高考试卷中常见的求递推数列通项公式的七种基本类型的求法进行了归纳，总结。具体的研究思路是：先介绍递推数列通项公式的求法，然后指出该方法适用的类型，再举例加强对方法的理解。2递推数列所谓递推公式是指:如果已知数列的第一项(或第几项),且任一项与它的前一项或前几项之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的递推公式.而如果数列的第n项与n之间可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如果一个数列可由递推公式表示，我们称该数列为递推数列。递推数列通项公式的七种基本类型有：(2-1)(2-2)(2-3)(2-4)(都是常数，)(2-5)(2-6)已知递推公式为与的关系式。3方法的应用3.1累加法3.1.1应用于型当数列的递推公式可化为的形式时，而且是可求得的，那么可以用“累加法”求得通项公式。由上式可得：将等式的左右两边分别相加得到：+所以+(3-1)例 1已知数列满足，求数列的通项公式。解：所以例 2已知数列满足求数列的通项公式。分析此题较例1要复杂些，直接观察不能发现其规律，要在等式两边除以。解：由两边同除以得令，则，即利用累加法，得此类型还有另外一种常见的类型（其中常数）解决这类问题，一般情况下先将此类数列变形得，再由等差数列的通项公式可求得。此类题目比较简单，这里就不举例说明了。3.1.2应用于（为常数）型把原递推公式转化为(3-2)其中满足，再应用累加的方法求解。例 3（2006年福建卷）已知数列满足，求数列的通项公式。解：由可转化为，即，所以解得或这里我们选用（当然大家也可以选用这里就不在重复计算。）则，所以是以首项为，公比为2的等比数列。所以，再应用累加法，令，代入上式得个等式累加，得+又因为所以。3.2累乘法累乘法主要应用应用于。当数列的递推公式可化为的形式时，而且是可求得的，那么可以用“累乘法”求得通项公式。把原递推公式转化为，利用累乘法求解。原式可化为（3-3）即，迭乘得所以例4设是首项为1的正项数列，且），求（2000年全国高考题）解：由已知得由，知，即令，将这个式子相乘，得又例5已知，求数列的通项公式。分析本题解题的关键是把原来的解递推公式转化为，若令，则问题进一步转化为我们熟知的形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式。解：因为所以所以（3-4）又因为，即，所以由（3-4）式可知，故，由累乘法得则则数列的通项公式为。3.3换元法应用于类型。把原递推数列转化为：（3-5）其中，再利用换元法转化为等比数列求解例 6（2006年福建理）已知，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足证明是等差数列；（3）证明分析：用观察法或特征方程构造等比数列求通项公式是解决此题的基础。解：（1）是首项为2，公比为2的等比数列。（2）（3）略。例7（2007年全国卷二理科试卷）设数列的首项，。（1）求的通项公式。（2）设，证明，其中为正整数。解：（1）由，整理得有，所以的首项，公比为的等比数列故的通项公式为。（2）略。3.4待定系数法通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列），通常转化为等比数列。待定系数法常用于（3-6）例 8已知数列满足，求.解：令，再变形为比较条件得即数列是以为首项，以2为公比的等比数列例 9设数列满足，求通项公式。解：设，则所以即设这时，且由于是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有由此得3.5递推猜想证明根据数列的递推公式可以写出数列的前几项，再由前几项猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明。已知递推公式为与的关系式，可以运用此方法例 10在数列中，已知，且，求解：当时，由此，可猜测：证明：（1）（2）运用“递推猜想证明”的方法，求数列的通项公式需要积累一些经验，掌握某些有一定规律的数列的特征。并且在“猜想”时要注意运用比较观察方法，进行类比、归纳推理，以及是否是等差数列、等比数列的判断。在已知递推公式为与的关系式的情况下还可以运用其它方法求解。方法一：利用 （3-7）消去转化为只含有的递推公式再求解。例 11（2005年江西理）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式。解：检验时也成立，所以评注：此题得到后等式两边同乘以得令转化为也可求通项公式。方法二：利用（3-8）消去转化为只含有的递推公式再求解。例 12已知，求解：因为，所以即两边同除以，则有所以是首项为，公差为2的等差数列。所以则当时，不合题意。所以3.6两种方法的综合使用3.6.1应用于(都是常数，)该类型比前一种要复杂一些。一般要先在原递推公式两边同除以，得（3-9）引入辅助数列（其中），得（3-10）再应用前一种类型的方法求解。例 13：在数列中，求。解：由两边同时除以可得令，则有，上式两边同时加上得令则即为公比是，首项的等比数列，即从而故例 14（2003年全国高考题）设为常数，且。证明对任意的，有证明：将递推式两边同除以，得，令，则有则又是首项为，公比为的等比数列。即递推式的通项，是由齐次解和特解组成，其中奇次方程的解可由特征方程求出，特解可由的形式按一定的规律类似给出。这里就不再详细解答了。3.6.2应用于例 15已知数列满足且，求数列的通项公式。解：（换元）由，可得（3-11）令，则有各式相乘可得取得（3-12）由（3-12）式得（3-13）将（2）式代入（3-13）式可得（3-14）令，则（3-14）式为累加得：4总结以上提到的“累加法”、“累乘法”、“换元法”、“待定系数法”、“递推猜想证明”是解决中学数学的数列问题，在处理数列的递推公式时常用的方法。其中的七种类型均是历年高考试卷中最常见的类型，在解题时应注意每种方法都和数列的递推关系式的结构和特点紧密联系。对于有些题，要学会运用适当的数学变换将