关孝和与关流学派.doc

关孝和与关流学派第35卷第1期2006年3月内蒙古师范大学(自然科学汉文版)journalofinnermongolianormaluniversity(naturalscienceedition)vol35no.1mar.2006关孝和与关流学派张建伟(天津师范大学教学科学学院,天津300384)摘要:关孝和是日本江户时代杰出的数学家,是和算的主要莫基人.也是关流(数学学派)的创始人,他对和算发展做出了重要的贡献.介绍并评价了关孝和的生平,业绩及其创立的关流学派.关键词:关孝和;和算;关流学派中图分类号:()11文献标识码a文章编号:10018735(2006)010123041关孝和的生平关孝和(sekitakakazu,164271708)是江户时期(16031867)伟大的数学家,日本传统数学和算的奠基人,也是关流(即关氏及其弟子所建立的数学学派)的创始人,在日本被尊称为算圣.关孝和,通称关新助,字子豹,号自由亭,生年不详(16427),宝永五年(1708)十月二十四日殁,葬于东京都新宿区弁天町净轮寺.关孝和出生于群马县藤罔一武士家庭,本姓内山,是内山永明的第2子,后过继给关五郎左卫门家作养子,继承关家的家业.其父内山永明与养父关五郎左卫门作为藤罔藩大名武田家的遗臣,均受聘于同藩领主芦田家,芦田家没落后,又辗转受聘于幕府德川家.关孝和作为世袭武士跟随甲府(7t4-山梨县)宰相德川纲重及纲重之子纲丰,担任堪定吟味役江户幕府的职务名称,受老中(幕府的职务名称)支配,检查勘定所中的一切事物,将奉行(幕府的职务名)以下的各官吏的违法行为报告给老中,也对勘定所议定的幕府预算进行审计,负责监督财政官的行为.宝永元年(1703),纲丰成为五代将军德川纲吉的世子,迁入西之丸(即西丸,江户城西部之一郭,是将军世子的居所以及将军的隐居所,也就是现在东京市内皇居的所在地),关孝和随行并由此成为幕府直属武士,担任御纳户组头,这是德川幕府的一个下级武士职务,管理幕府的生活物品,俸禄为御藏米250依(1依等于4斗),再加1o人扶持(扶持为口粮单位),后增加到300依(相当于120石).宝永三年关孝和晋升为小普请,负责管理工程和技工,进入非役人的行列1.2关孝和的业绩关孝和可以说是日本数学发展史上划时代的数学家,和算自他以后,进入了日新月异,独自发展的阶段,并成为17世纪以来汉字文化圈内最为发达的传统数学.因此,在江户时代就有和算家尊称关孝和为算圣.关孝和生前仅有一部发微算法(1674)出版,另有括要算法(17o9)是由他的门徒荒木村英,大高由昌等人在其逝世后将其数学遗稿整理出版的.他的着作主要在关流内部以抄本形式秘传.除这两部着作外,还有早期的数学着作规矩要明算法,阙疑抄答术和勿惮改答术,代表其代数学最高成就的数学着作解见题之法(1683左右),解隐题之法(1685),解伏题之法(1683)(后世称之为三部抄),以及开方翻变之法(1685),题术辨议之法(1685),病题明致之法(1685),方阵之法?圆攒之法(1683),算脱之法验符之法(1683)(后世称之为七部书),另有求积,球阙变形草和开方算式.关孝和在和算学术老成之后,将研究兴趣转向天文历学,着有八法略诀(1680),授时发明(1680),授时历经立成之法(1680),授时历经立成,关订书(1686),四余算法(1697),宿曜算法,天文数学杂着(1699)等书l2.收稿日期:20050817基金项目中国科学院吴文俊天文与数学丝路项目(wsf20o3-05)天津市教委科研基金资助项目(20011204)作者简介张建伟(1979一).女.天津市人,天津师范大学硕士研究生,主要从事科学技术史研究.内蒙古师范大学(自然科学汉文版)第35卷关孝和最突出的数学成就是创立了所谓傍书法的文字代数方法,它是在继承中算天元术的基础上发展起来的.宋元时期的天元术是一种半符号代数,用简单的一个文字元来表示未知数,用筹式布列方程或多项式.而傍书法则使用更多的汉字或汉字偏旁部首作为简字代数符号,用以表示代数方程或代数式,是一种具有东方特色的符号代数.这种笔算式代数的使用与盛行堪称和算一大特色,和算之所以在江户时期能够取得许多优秀的成果,与它使用了这种较为先进的代数符号系统是分不开的.在代数学方面,关孝和除独创了傍书法代数方法之外,还给出了高次代数方程的数值解法(现今被称之为秦九韶程序或霍纳(horner)法),讨论了方程根的判别式,正负根的存在条件及方程根的变换问题,并使用牛顿迭代法求解方程实数根.在讨论方程根与系数的关系时,关孝和创立了名为适尽诸级法的学说,成为极值理论的萌芽,为后来和算极值方法的形成奠定了基础.关孝和在代数学上另一引人注目的成就是在世界数学史上首次引入了行列式.他在解伏题之法中,为解多元高次方程组(关氏名之为解伏题),引入了行列式,以方程系数行列式的终结式作为消元的结果.他的这一做法比欧洲莱布尼兹的工作早2o余年.这一工作开创了和算行列式展开法研究的新领域,其后,和算家在行列式展开法方面取得了大量成果,在时间上均比欧洲相应的成果早口.在级数方面,关孝和推广了授时历的等间距三次内插法,使招差术一般化,创立了累裁招差法与混沌招差法两种插值公式,后者就是今天所谓的牛顿插值公式.在高阶等差数列求和方面,发展了中国宋元时期的垛积术,给出了求乘方垛和的一般性公式(ip+2p+3p+np),并且在推导乘方垛公式中获得了伯努利数.在不定分析方面,为探讨祖冲之约率22/7和密率355/113的由来,关孝和发明了零约术,即以和内插方式进行实数的有理逼近.为解一次不定方程和同余式组,他发明了与秦九韶大衍求一术等价的剩一术,并发展了杨辉的剪管术,获得了一次同余式组的一般性解法,这一解法与秦九韶的大衍总数术相似.圆理是和算的最高成就,是和算家在中国传统数学上发展起来的一种类似于微积分的无穷小算法,主要用来解决曲线长和曲面体体积的计算问题.关孝和为这一方法的形成奠定了基础.他从圆内接正四边形开始,利用割圆术逐次计算内接正2边形的边长n和周长z=2ma,由l:,l.,l计算差值=厶一l一,发现这些差的比值/逼近常数1/4,利用增约术的等比级数求和公式,求得丌的近似值,j,j,7cz】b+._=3ll6一l5jll7一l6j使圆周率精确到小数点后第1o位.他还指导其弟子建部贤弘(takebekatahiro,16641739)创立了累遍增约术(rombeg算法)的数值逼近方法,从而获得精确到小数点后第4o位的圆周率数值5.关氏创造性地用插值方法求解弧长,把弧长幂表示成矢的七次代数多项式,指导建部贤弘研究弧长的无穷级数展开式,使和算圆理走上微积分的道路.此外,关孝和在椭圆和螺线计算方面也有诸多创造性的工作.在证明球体积公式时,他将球有限分割成5o片,100片,200片,并进行叠加,再利用增约术,获得球体积公式.尽管关孝和给出的是切成5o片,100片,200片的特殊情况,做的是有限次分割,但这一方法已经很接近积分学方法,蕴涵了微元思想,其孙弟子松永良弼将其发展至无穷分割,并建立了立体求积的积分方法.和算圆理经过一代代的发展,到安岛直圆与和田宁时,形成了多重积分方法.在几何学方面,关孝和证明了勾股定理,获得了椭圆面积公式,研究了如何求阿基米德螺线长的问题,提出了与帕普斯?古尔亭定理相当的求积公式,认识到了作为圆锥截i:i的圆锥曲线,还开创了关于正多边形计算的新领域角术,即研究正三角形至正二十边形的各正多边形中,内切圆半径,外接圆半径以及边长之间的代数关系.这一课题是中国传统数学中从未出现过的.在组合分析方面,关孝和探讨了各种幻方(即方阵)和圆攒(即圆阵)的构造规律,并对江户初期的数学游戏继子立(后弥之为算脱)和目付字问题予以数学化,进行了一般性理论分析.3关流的形成日本在安:t,桃山时期(15731603),随着国家统一以及社会,经济与文化的向前发展,形成了以佛教影第l期张建伟t关孝和与关流学派响减弱,突出世俗性与现实性为特征的安土?桃山文化.德川幕府建立后,社会安定,商品经济不断发展,逐渐形成了以京都,大阪和江户为中心的三大经济圈.随着商品经济的发展,町人(商工业者)阶级成长起来,形成了所谓的町人文化,取代了长期以来的贵族,武士文化,尤以元禄(16881703)年间最为鼎盛,故元禄文化常被誉为日本的文艺复兴.日本传统科学在这一时期也得到了史无前例的迅速发展6.关孝和所处的时代正是江户町人文化的兴盛期,当时出现了诸如歌仙绘,浮土绘,和歌,剑道,武道和花道等民间艺术,和算也是民间艺能的一种.随着研习这些艺能的低级武士和一般民众的增多,在等级社会的家元制度下,逐渐形成了各种学艺流派7.关孝和的弟子颇多,着名且获得秘传的仅有建部贤弘与荒木村英两人.关氏去世后,书稿为其养子关新七以及荒木村英和建部贤弘所继承.新七因品行恶劣,犯事被流放而成为浪人,与关家断绝关系,未能继承父业.建部贤弘的数学能力虽然远在荒木村英之上,但由于任职于幕府,深受将军德川吉宗重用,无暇顾及授徒及门派内的事务,所以荒木村英成为第一代关流宗统传人.荒木村英的弟子松永良弼是关流的第二代宗统传人,经过后来的弟子山路主住,户板保佑等人的组织化工作,关流学派逐渐稳固下来.关流是江户时代最大的和算流派,和算的重要创造大都出自关流,它对江户时期的数学发展发挥了重要作用.和算作为特殊艺能,也形成了类似学历认证和资格认证的免许制度.免许制度不仅对学算者入门后学习数学的阶段做了明确区分,而且成为从形式上判别算学学艺境界的准则.关流数学免许制度由关孝和时代的两段免许制度算学许符和算学印可,演变为享保初的三段免许见题,隐题,伏题,松永良弼在此基础上又增添了两个阶段,即别传免许和印可免许,至此关流五段免许制度全部形成,尤以山路主住时代的五段免许制度最为完善.从关流六传藤田贞资授予弟子的免许状目录中g,可概观关流的数学内容.第一见题卷首河图;洛书;三成;大极;四象;大数;小数;诸率.算法草术;加减乘除之法;开除法;九章;平垛解术;圆法玉率及弧矢弦玉欠论l诸法根源;诸法慎始;统术;点窜;筹策;一算盈肭;之分法;统术解;同秘传;同目录之解;单伏点窜;再乘和门,总括;见题蕴奥.第二隐题免许太极;全积门;差分门;因积门;勾股门;互换门;形容门;截积门;收约门;杂式门;诸角门;分合;形写兑换盈缩;勾股变化之法;隐题温奥.第三伏题免许无极;单伏演段;众伏演段;单伏起术;维乘两式演段;方程演段;交离;商一演段;因府;消长又日加减反复;起率演段;两义式;潜伏式;造化式;诸角经术i解伏题蕴奥;交式斜乘之解.别传目录经纬式;探差;方步式;直差;脱差;诸约;两一术;剪管演段;剪管l类约经术;垛术;对换式;演段杂武;索术;探术;括术;步术;缀术;廉术;径术;算法变形草;桃李.蹊经;燕尾猿臂两术;无有奇;得商;增约求积;太阴率.算法印可状招差总术;垛叠总术;诸约总术;剪管总术;角法一级演段平圆率之解i立圆率之解;弧矢弦;方阵;算脱验符法;病题明致开方翻变;题术辨议;球缺变形草;求积;太阳率.和算每一段免许状都是以序文,传书目录,神文(即血誓)和关流历代宗统传人联名的方式构成.关流算学免许制度是江户数学诸流派中最典型,最完备的.4结语日本文化是汉字文化的一部分,中国传统数学一直源源不断地传人日本,成为和算发展的基础.关孝和家元是指那砦在传统技艺领域里负责传承正统技艺,管理一个流派事务.发放有关该流派技艺许可证?处于本家地位的家族或家庭内蒙古师范大学(自然科学汉文版)第35卷的数学创造与中国传统数学特别是宋元数学有着很深的渊源关系,除算学启蒙,杨辉算法和授时历的直接影响外,也不排除有其他宋代算书的影响.元文年问(17361740)的武林隐见录1阳称:关孝和获悉奈良某寺院藏书中有一些内容不明的古书,便以为一定是算书,于是抽暇去奈良,阅读抄写,回江户学习三年,此后学力大增.会田安明(17471817)在丰岛算经评林中也说龄固斋谈丛云:关孝和于算学亦巧,然其意甚不仁,为扬己名烧弃古书.由此可见,可能烧弃明人之书而窃其术,盗为己创ll.龄固斋谈丛成书距关孝和去世(1708)时隔3o余年,所言是否属实,难以断定.但从以上材料可以看出,关孝和阅读了大量的中国算书.十四五世纪以来,中国传统数学逐渐衰落,宋元时期的学术性数学逐渐失传.16世纪中叶后,由西方传教士传人的西方文化开始影响东亚文化.在明末清初时期,中国的传统数学受到西方数学的猛烈冲击,未能得到很好的发展.17世纪3o年代,日本随着禁止基督教传播的禁教政策的扩大化而逐渐转人锁国状态,锁国期间,传播西方学术的南蛮学被终止,东方传统学术(汉学)在江户时期逐渐盛行起来,汉字文化囤的传统科学在这一时期获得较好的发展,而和算家也把宋元数学发展到一个新的高度,其成就足以与十六七世纪欧洲的近代数学相媲美.其中关孝和及其弟子们做的大量的基础性工作具有重要意义.致谢本文撰写得到徐泽林教授的悉心指导,特此致谢!参考文献:1日本学士院.明治前日本数学史:第=卷m.新订版.日本:岩波书店,1979.2平山谛,下平和夫,j2=濑秀雄.关孝和全集m.大阪:大阪教育图书会社,1975.3李文林.数学珍宝m.北京:科学出版社,1998.4徐泽林.和算赭约衍diophantus近似及奄中算源流j.数学史研究,2004,通卷180号:1.5徐泽林.建部贤弘的累遍增约术与romberg算法j.自然科学史研究,1998.17(3):240249.6徐泽林.和算的中算基础及其与清代数学的比较d.西安:西北大学数学系,l998.7乌云其其格.和算的发生d.北京:中国科学院自然科学史研究所,2000.8远藤利贞.增修日本数学史:第二卷