2019高考数学一轮复习精编课件：分类加法计数原理与分步乘法计数原理.ppt

一 分类加法计数原理完成一件事有n类不同方案 在第1类方案中有m1种不同的方法 在第2类方案中有m2种不同的方法 在第n类方案中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N 种不同的方法 m1 m2 mn 二 分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N 种不同的方法 m1 m2 mn 三 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理 都涉及的不同方法的种数 它们的区别在于 分类加法计数原理与有关 各种方法 用其中的任一种方法都可以完成这件事 分步乘法计数原理与有关 各个步骤 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成 完成一件事 分类 相互独立 分步 相互依存 在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理 提示 如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事 应该用分类加法计数原理 如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分 就用分步乘法计数 1 从3名女同学2名男同学中选一人 主持本班的 勤俭节约 从我做起 主题班会 则不同的选法种数为 A 6B 5C 3D 2解析 从3名女同学中选1人主持班会有3种选法 从2名男同学中选1人 有2种选法 根据分类计数原理知 从5名同学中选1人共有3 2 5 种 答案 B 解析 投3封信分三步 每步均有4种方法 由分步乘法计数原理知 共有4 4 4 64种方法 答案 C 3 如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图 公司在年初分配给A B C D四个维修点某种配件各50件 在使用前发现需将A B C D四个维修点的这批配件分别调整为40 45 54 61件 但调整只能在相邻维修点之间进行 那么要完成上述调整 最少的调动件次 n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n 为 A 15B 16C 17D 18解析 只需A处给D处10件 B处给C处5件 C处给D处1件 共16件次 答案 B 4 如图用6种不同的颜色把图中A B C D四块区域分开 若相邻区域不能涂同一种颜色 则不同的涂法共有 种 解析 从A开始 有6种方法 B有5种 C有4种 D A同色1种 D A不同色3种 不同涂法有6 5 4 1 3 480 种 答案 480 5 三位数中 如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小 那么称这个数为凹数 如635 729 868等 所有的三位凹数的个数是 解析 按十位上的数字分九类 有12 22 32 42 52 62 72 82 92 285个 答案 285个 考向探寻 1 对分类加法计数原理的理解 2 分类加法计数原理的应用问题 典例剖析 1 2012 浙江高考 若从1 2 3 9这9个整数中同时取4个不同的数 其和为偶数 则不同的取法共有A 60种B 63种C 65种D 66种 2 在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位数共有多少个 1 先找出和为偶数的各种情况 再用分类加法计数原理求解 2 先分类确定十位 个位数的情况 再求和即可 答案 D 2 解 解法一 根据题意 将十位数上的数字分别是1 2 3 4 5 6 7 8的情况分成8类 在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个 7个 6个 5个 4个 3个 2个 1个 由分类计数原理知 符合题意的两位数的个数共有 8 7 6 5 4 3 2 1 36 个 故共有36个 解法二 分析个位数字 可分以下几类 个位是9 则十位可以是1 2 3 8中的一个 故有8个 个位是8 则十位可以是1 2 3 7中的一个 故有7个 同理 个位是7的有6个 个位是6的有5个 个位是2的只有1个 由分类加法计数原理知 满足条件的两位数有 1 2 3 4 5 6 7 8 36 个 如果完成一件事有n类办法 这n类办法彼此之间是相互独立的 无论哪一类办法中的哪一种方法都能完成这件事 求完成这件事的方法种数 就用分类加法计数原理 在解题时 应首先分清楚怎样才算完成这件事 有些题目在解决时需要进行分类讨论 分类时要适当地确定分类标准 同时要做到不重不漏 活学活用 1 在某种信息传输过程中 用4个数字的一个排列 数字允许重复 表示一个信息 不同排列表示不同信息 若所用数字只有0和1 则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A 10B 11C 12D 15 答案 B 考向探寻 1 对分步乘法计数原理的理解 2 分步乘法计数原理的应用问题 典例剖析 1 2012 新课标全国高考 将2名教师 4名学生分成2个小组 分别安排到甲 乙两地参加社会实践活动 每个小组由1名教师和2名学生组成 不同的安排方案共有A 12种B 10种C 9种D 8种 2 已知集合M 3 2 1 0 1 2 P a b 表示平面上的点 a b M 问 P可表示平面上多少个不同的点 P可表示平面上多少个第二象限的点 P可表示多少个不在直线y x上的点 答案 A 2 解 确定平面上的点P a b 可分两步完成 第一步确定a的值 共有6种确定方法 第二步确定b的值 也有6种确定方法 根据分步乘法计数原理 得到平面上的点数是6 6 36 确定第二象限的点 可分两步完成 第一步确定a 由于a0 所以有2种确定方法 由分步乘法计数原理 得到第二象限点的个数是3 2 6 点P a b 在直线y x上的充要条件是a b 因此a和b必须在集合M中取同一元素 共有6种取法 即在直线y x上的点有6个 由 1 得不在直线y x上的点共有36 6 30 互动探究 本例条件不变 若结论改为 设a b c M 则y ax2 bx c可表示的开口向上的抛物线的条数为 则如何求解 解析 若y ax2 bx c的图象开口向上时 a的取值有2种情况 b c的取值均有6种情况 因此y ax2 bx c可以表示2 6 6 72个图象开口向上的二次函数 答案 72 如果完成一件事情需要分成n个步骤 且各步骤缺一不可 即只有依次完成所有的步骤 才能完成这件事 而完成每一个步骤各有若干种不同的方法 计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理 在应用分步乘法计数原理时 只有各个步骤都完成时才算完成这件事 步骤之间互不影响 运用分步乘法计数原理 要确定好次序 还要注意元素是否可以重复选取 考向探寻 1 同时利用两个计数原理解决综合性问题 2 几何图形中的涂色问题 典例剖析 1 2012 北京高考 从0 2中选一个数字 从1 3 5中选两个数字 组成无重复数字的三位数 其中奇数的个数为A 24B 18C 12D 6 2 如图所示 用四种不同颜色给图中的A B C D E F六个点涂色 要求每个点涂一种颜色 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色 则不同的涂色方法共有A 288种B 264种C 240种D 168种 1 根据所选偶数为0和2分类讨论求解 2 先按所涂颜色的种数分类 然后在每一类中再分步求解 答案 B 答案 B 1 在处理具体问题时 首先弄清是 分类 还是 分步 其次要弄清 分类 或 分步 的具体标准是什么 选择合理的标准处理事件 可以避免计数的重复或遗漏 2 对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题 应先分类再分步 同时画出示意图或列出表格 使问题更加直观 清晰 活学活用 2 设集合I 1 2 3 4 5 选取I的两个非空子集A和B 要使B中最小的数大于A中最大的数 则不同的选取方法共有 A 47种B 48种C 49种D 50种 解析 当A中最大的元素为1时 B可以是 2 3 4 5 的非空子集 即有24 1 15种方法 当A中最大的元素为2时 A可以是 2 或 1 2 B可以是 3 4 5 的非空子集 即有2 23 1 14种方法 当A中最大的元素为3时 A可以是 3 1 3 2 3 1 2 3 B可以是 4 5 的非空子集 即有4 22 1 12种方法 当A中最大的元素为4时 A可以是 4 1 4 2 4 3 4 1 2 4 1 3 4 2 3 4 1 2 3 4 B可以是 5 即有8 1 8种方法 共有15 14 12 8 49种方法 答案 C 12分 现有高一年级4个班中的学生34人 其中一 二 三 四班各7人 8人 9人 10人 他们自愿组成数学课外小组 1 选其中一人为负责人 有多少种不同的选法 2 每班选一名组长 有多少种不同的选法 3 推选二人作中心发言 这二人需来自不同的班级 有多少种不同的选法 1 分类加法计数原理 2 分步乘法计数原理 3 先分类后分步 1 分四类 第一类 从一班学生中选1人 有7种选法 第二类 从二班学生中选1人 有8种选法 2分第三类 从三班学生中选1人 有9种选法 第四类 从四班学生中选1人 有10种选法 4分所以 共有不同的选法N 7 8 9 10 34 种 6分 2 分四步 第一 二 三 四步分别从一 二 三 四班学生中选一人任组长 所以共有不同的选法N 7 8 9 10 5040 种 8分 3 分六类 每类又分两步 从一班 二班学生中各选1人 有7 8种不同的选法 从一 三班学生中各选1人 有7 9种不同的选法 从一 四班学生中各选1人 有7 10种不同的选法 从二 三班学生中各选1人 有8 9种不同的选法 10分从二 四班学生中各选1人 有8 10种不同的选法 从三 四班学生中各选1人 有9 10种不同的选法 所以共有