2019高考数学一轮复习精编课件：等差数列及其前n项和.ppt

一 等差数列的定义如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 通常用字母d表示 定义的表达式为an 1 an d n N 同一个常数 二 等差数列的通项公式1 如果等差数列 an 的首项是a1 公差是d 那么通项公式为an 2 如果等差数列 an 的第m项为am 公差为d 则其第n项an a1 n 1 d am n m d 1 等差数列的通项公式满足一次函数的形式吗 如何判断等差数列的单调性 提示 等差数列的通项公式为an nd a1 d 满足一次函数的形式 d 0时 an 为递增数列 d 0时 an 为常数列 d 0时 an 为递减数列 三 等差中项如果三个数a A b成等差数列 则三数的关系是 2 三数成等差数列时 一般设为a d a a d 四数成等差数列呢 提示 可设为a 3d a d a d a 3d 四 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和是关于n的二次函数 因此可借助二次函数的知识解决与Sn有关的最值问题 五 等差数列的性质已知数列 an 是等差数列 公差为d Sn是其前n项和 1 若m n p q 则 特别地 若m n 2p 则am an 2ap 2 am am k am 2k am 3k 仍是等差数列 公差为 3 数列Sm S2m Sm S3m S2m 也是等差数列 am an qp aq kd 答案 D 2 已知 an 为等差数列 若a3 a4 a8 9 则S9 A 24B 27C 15D 54答案 B 3 2013 杭州模拟 在等差数列 an 中 若a2 a3 4 a4 a5 6 则a9 a10等于 A 9B 10C 11D 12答案 C 4 Sn为等差数列 an 的前n项和 S2 S6 a4 1 则a5 法二 S2 S6 即a1 a2 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a3 a4 a5 a6 0即2 a4 a5 0 a5 a4 1 答案 1 5 设Sn为等差数列 an 的前n项和 若S5 10 S10 5 则公差d 用数字作答 答案 1 考向探寻 1 对等差数列的概念的理解 2 等差数列的判定 3 求等差数列的通项公式 4 利用等差数列的通项公式解决问题 等差数列及其通项公式 答案 3n 2 1 等差数列的判定方法 定义法 对于n 2的任意自然数 验证an an 1为同一常数 等差中项法 验证2an 1 an an 2 n 3 n N 都成立 通项公式法 验证an pn q 前n项和公式法 验证Sn An2 Bn 2 等差数列的有关问题都可转化为a1和d来解决 解题中要注意不变的运用 等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法 而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断 考向探寻 1 求等差数列的前n项和 2 给出等差数列前n项和 求其通项公式 3 等差数列前n项和公式推导的思想方法的应用 4 等差数列前n项和的最值问题 等差数列的前n项和 典例剖析 1 2013 昆明模拟 已知等差数列 an 中 a3 a9 公差d 0 则使前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是A 4或5B 5或6C 6或7D 8或9 1 解析 a3 a9 d0 当n 6时 an 0 S5或S6最大 答案 B 用二次函数求Sn的最值时 要注意n N 这一条件 活学活用 2 1 等差数列 an 的前n项和满足S20 S40 下列结论中正确的是 A S30是Sn中的最大值B S30是Sn中的最小值C S30 0D S60 0解析 S20 S40 a21 a22 a40 0 a21 a40 0 a1 a60 0 S60 0 答案 D 2 设等差数列的前n项和为Sn 已知前6项和为36 Sn 324 最后6项的和为180 n 6 求数列的项数n及a9 a10 考向探寻 1 等差数列性质的应用 2 等差数列性质的探求 等差数列的综合问题 典例剖析 1 2013 威海模拟 如果等差数列 an 中 a3 a4 a5 12 那么a1 a2 a7等于A 14B 21C 28D 35 2 已知数列 an 是等差数列 且a1 a2 a10 10 a11 a12 a20 20 求a41 a42 a50 3 理 2012 山东高考 在等差数列 an 中 a3 a4 a5 84 a9 73 求数列 an 的通项公式 对任意m N 将数列 an 中落入区间 9m 92m 内的项的个数记为bm 求数列 bm 的前m项和Sm 3 文 2012 山东高考 已知等差数列 an 的前5项和为105 且a10 2a5 求数列 an 的通项公式 对任意m N 将数列 an 中不大于72m的项的个数记为bm 求数列 bm 的前m项和Sm 1 利用等差数列的性质求解 2 转化为a1 d或利用等差数列的性质求解 3 求出a1 d即可 确定出bm 然后求和 1 解析 数列 an 是等差数列 a3 a4 a5 3a4 12 a4 4 a1 a2 a7 7a4 28 答案 C 方法二 设b1 a1 a2 a10 b2 a11 a12 a20 b3 a21 a22 a30 b4 a31 a32 a40 b5 a41 a42 a50 易知b2 b1 a11 a1 a12 a2 a20 a10 10d 10d 10d 100d 同理b3 b2 b4 b3 b5 b4 100d 故数列 bn 是等差数列 设其公差为d 则b1 10 b2 20 d 10 所以b5 10 4 10 50 所以a41 a42 a50 b5 50 3 理 解 因为数列 an 是等差数列 a3 a4 a5 3a4 84 a4 28 设数列 an 的公差为d 则5d a9 a4 73 28 45 d 9 由a4 a1 3d a1 27 28知a1 1 an a1 n 1 d 1 9 n 1 9n 8 即an 9n 8 常用的方法与技巧 1 三数成等差数列时可设为a d a a d d为公差 四数成等差数列时可设为a 3d a d a d a 3d 公差为2d 2 会用方程思想处理等差数列的有关问题 等差数列的通项公式与前n项和公式中共涉及五个量 即a1 d n an Sn 这五个量中知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个 解等差数列问题的基本方法是方程法 在遇到一些较复杂的方程组时 要注意整体代换 使运算尽量简单 3 解题中要注意等差数列性质的运用 会给计算带来方便 活学活用 3 设a1 d为实数 首项为a1 公差为d的等差数列 an 的前n项和为Sn 满足S5S