华中科技大学 理论力学习题答案.ppt

1 第十章动量矩定理 2 10 1质点的动量矩定理 10 2质点系的动量矩定理 10 3定轴转动刚体的动力学 10 4质点系的相对运动动量矩定理 10 5刚体平面运动动力学习题课 第十章动量矩定理 3 动力学 动量定理或质心运动定理 质点系随质心平动的问题 如绕质心轴定轴转动刚体 vc 0 则其动量恒等于零 质心无运动 可是刚体确受外力的作用而运动 动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点 固定轴 的动量矩的改变与外力对同一点 轴 之矩两者之间的关系 10 1质点的动量矩定理 一 质点的动量矩质点对点o的动量矩 矢量质点对轴z的动量矩 代数量 4 质点对点o的动量矩与对轴z的动量矩之间的关系 正负号规定与力对轴矩的规定相同对着轴看 顺时针为负逆时针为正 动力学 kg 2 s 动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点 轴 转动的强弱 5 二 质点的动量矩定理 两边叉乘矢径 有 左边可写成 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数 等于作用在质点上的力对同一点之矩 这就是质点对固定点的动量矩定理 动力学 故 6 将上式在通过固定点o的三个直角坐标轴上投影 得 上式称质点对固定轴的动量矩定理 也称为质点动量矩定理的投影形式 即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数 等于作用在质点上的力对同一轴之矩 动力学 7 运动分析 由动量矩定理即 微幅摆动时 并令 则 解微分方程 并代入初始条件则运动方程 摆动周期 解 将小球视为质点 受力分析 受力图如图示 例1 单摆已知m l t 0时 0 从静止开始释放 求单摆的运动规律 注 计算动量矩与力矩时 符号规定应一致 本题规定逆时针转向为正 8 动力学 一 质点系的动量矩质点系对点o动量矩 质点系对轴z动量矩 10 2质点系的动量矩定理 二 质点系的动量矩定理 左边交换求和与导数运算的顺序 而 一质点系对固定点的动量矩定理 对质点系 有 对质点mi 9 将上式在通过固定点o的三个直角坐标轴上投影 得 质点系对固定轴的动量矩定理 质点系的动量矩守恒 当时 常矢量 当时 常量 定理说明内力不会改变质点系的动量矩 只有外力才能改变质点系的动量矩 10 解 系统的动量矩守恒 猴a与猴b向上的绝对速度是一样的 均为 动力学 例2 已知 猴子a重 猴子b重 猴b以相对绳速度上爬 猴a不动 问当猴b向上爬时 猴a将如何动 动的速度多大 轮重不计 11 12 时 时 由 得 解 13 3 平面运动刚体平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩 等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和 刚体动量矩计算 1 平动刚体 平动刚体对固定点 轴 的动量矩等于刚体质心的动量对该点 轴 的动量矩 2 定轴转动刚体定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积 14 动力学 解 例4 滑轮a m1 r1 r1 2r2 j1滑轮b m2 r2 j2 物体c m3求系统对o轴的动量矩 15 例5已知 小车 不计摩擦 求小车的加速度 解 由 得 16 例6水轮机转轮 进口水速度 出口水速度 它们与切线夹角分别为 总体积流量 求水流对转轮的转动力矩 17 设叶片数为 水密度为 有 解 18 例7 已知 不计摩擦 求 1 2 o处约束力 3 绳索张力 19 由 得 解 1 20 2 由质心运动定理 3 研究 4 研究 21 一 动力学方程 对于一个定轴转动刚体代入质点系动量矩定理 有 刚体定轴转动微分方程 解决两类问题 已知作用在刚体的外力矩 求刚体的转动规律 已知刚体的转动规律 求作用于刚体的外力 矩 但不能求出轴承处的约束反力 需用质心运动定理求解 动力学 10 3定轴转动刚体的动力学 22 特殊情况 若 则恒量 刚体作匀速转动或保持静止 若常量 则 常量 刚体作匀变速转动 将与比较 刚体的转动惯量是刚体转动惯性的度量 动力学 23 二 刚体对轴的转动惯量的计算 一 定义 若刚体的质量是连续分布 则 刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量 它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度 转动惯量恒为正值 国际单位制中单位kg m2 动力学 24 积分法 具有规则几何形状的均匀刚体可采用 例5 1 匀质细直杆长为l 质量为m 求 对z轴的转动惯量 对z 轴的转动惯量 动力学 二 转动惯量的计算 解 25 2 均质薄圆环对中心轴的转动惯量 3 均质圆板对中心轴的转动惯量 式中 或 26 2 回转半径由所定义的长度称为刚体对z轴的回转半径 对于均质刚体 仅与几何形状有关 与密度无关 对于几何形状相同而材料不同 密度不同 的均质刚体 其回转半径是相同的 在机械工程设计手册中 可以查阅到简单几何形状或已标准化的零件的转动惯量和回转半径 书中列出几种常见均质刚体的 以供参考 动力学 27 3 平行移轴定理同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量 加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积 动力学 28 证明 设质量为m的刚体 质心为c 动力学 例如 对于例1中均质细杆z 轴的转动惯量为 刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值 29 当物体由几个规则几何形状的物体组成时 可先计算每一部分 物体 的转动惯量 然后再加起来就是整个物体的转动惯量 若物体有空心部分 要把此部分的转动惯量视为负值来处理 动力学 4 计算转动惯量的组合法 解 例8 钟摆 均质直杆m1 l 均质圆盘 m2 r 求jo 30 例9 提升装置中 轮a b的重量分别为p1 p2 半径分别为r1 r2 可视为均质圆盘 物体c的重量为p3 轮a上作用常力矩m1 求物体c上升的加速度 取轮b连同物体c为研究对象 补充运动学条件 化简 1 得 化简 2 得 动力学 解 取轮a为研究对象 31 1 对质心的动量矩 由于 因 有 得 其中 10 3质点系相对于质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程 32 即 质点系相对质心的动量矩 无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同 对任一点o的动量矩 33 2相对质心的动量矩定理 由于 即 34 质点系相对于质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数 等于作用于质点系的外力对质心的主矩 质点系相对于质心和固定点的动量矩定理 具有完全相似的数学形式 而对于质心以外的其它动点 一般并不存在这种简单的关系 35 三 刚体平面运动微分方程 动力学 36 以上各组均称为刚体平面运动微分方程 应用时一般用投影式 37 例10半径为r 质量为m的均质圆轮沿水平直线滚动 如图所示 设轮的惯性半径为 作用于轮的力偶矩为m 求轮心的加速度 如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f 问力偶m必须符合什么条件不致使圆轮滑动 38 解 其中 得 纯滚动的条件 即 39 例11均质圆轮半径为r质量为m 受到轻微扰动后 在半径为 的圆弧上往复滚动 如图所示 设表面足够粗糙 使圆轮在滚动时无滑动 求 质心 的运动规律 40 解 由于 41 其解为 式中 运动方程为 得 得 由时 42 一 基本概念1 动量矩 物体某瞬时机械运动强弱的一种度量 2 质点的动量矩 3 质点系的动量矩 4 转动惯量 物体转动时惯性的度量 对于均匀直杆 细圆环 薄圆盘 圆柱 对过质心垂直于质量对称平面的转轴的转动惯量要熟记 动力学 第十章动量矩定理习题课 43 5 刚体动量矩计算平动 定轴转动 平面运动 二 质点的动量矩定理及守恒1 质点的动量矩定理 2 质点的动量矩守恒 若 则常矢量 若 则常量 动力学 44 三 质点系的动量矩定理及守恒1 质点系的动量矩定理 动力学 2 质点系的动量矩守恒 若 则常矢量 若 则常量 四 质点系相对质心的动量矩定理 45 或 动力学 46 六 动量矩定理的应用应用动量矩定理 一般可以处理下列一些问题 对单轴传动系统尤为方便 动力学 1 已知质点系的转动运动 求系统所受的外力或外力矩 2 已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数 求刚体的角加速度或角速度的改变 3 已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数和等于零 应用动量矩守恒定理求角速度或角位移 47 七 应用举例 例1 均质圆柱 半径为r 重量为q 置圆柱于墙角 初始角速度 0 墙面 地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为f 滚阻不计 求使圆柱停止转动所需要的时间 解 选取圆柱为研究对象 注意只是一个刚体 受力分析如图示 运动分析 质心c不动 刚体绕质心转动 动力学 48 将 式代入 两式 有 将上述结果代入 式 有 解得 动力学 49 例2 两根质量各为8kg的均质细杆固连成t字型 可绕通过o点的水平轴转动 当oa处于水平位置时 t形杆具有角速度 4rad s 求该瞬时轴承o的反力 解 选t字型杆为研究对象 受力分析如图示 动力学 由定轴转动微分方程 50 根据质心运动微分方程 得 动力学 51 例3 均质圆柱体a和b的重量均为p 半径均为r 一绳缠在绕固定轴o转动的圆柱a上 绳的另一端绕在圆柱b上 绳重不计且不可伸长 不计轴o处摩擦 求 圆柱b下落时质心的加速度 若在圆柱体a上作用一逆时针转向的转