（系统理论专业论文）完备格、半格上的数学形态学及其在数字图像处理中的应用.pdf

昆明理t 大学硕士学位论_ ! ： = 摘要 摘要 数学形态学是一门新兴的图像分析学科，它建立在严格的数学理论基 础上，它的基本思想和方法对图像处理的理论和技术产生了重大影响。在 本文中，先对完备格上的数学形态学作了初步介绍。然后在理论上，把数 学形态学从完备格延伸到完备半格，研究了完备半格上的伴随，讨论并证 明了完备半格上数学形态学的一些性质，列出了差分半格和参考半格两个 例子。最后根据完备格、半格上数学形态的基本思想，介绍了数学形态在 数字图像处理中的应用，提出了图像空穴检出、运动物体及快速运动部分 检测、图像边缘检测和图像增强四种新的实用算法。 关键词：数学形态学完备半格 二值图像灰度图像形态学梯度 边缘检测图像增强 昆明理t 大学硕l 学位论文 a b s t r a c t m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g yi san e ws u b j e c td e a l i n gw i t hi m a g ea n a l y s i s a n di sb a s e do ns t r i c tm a t h e m a t i c a lt h e o r y i t sf u n d a m e n t a ll a w sa n dm e t h o d s h a v eg r e a t l yi n f l u e n c e dt h et h e o r ya n d t e c h n i q u e so fi m a g ep r o c e s s i n g t h e e s s a y s t a r t sw i t ht h ei n i t i a li n t r o d u c t i o no fm a t h e m a t i c a l m o r p h o l o g y o n c o m p l e t el a t t i c e s t h e n ，t h e o r e t i c a l l y , m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g yi ss t r e t c h e d f r o m c o m p l e t e l a t t i c e st o c o m p l e t e s e m i l a t t i c e sa n dt h e a d j u n c t i o n o f c o m p l e t es e m i _ l a t t i c e si ss t u d i e d s o m eq u a l i t i e so f m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y o n c o m p l e t e s e m i _ l a t t i c e sa r ed i s c u s s e da n d s u p p o r t e d t w oe x a m p l e so f d i f f e r e n c es e m i _ l a t t i c ea n dr e f e r e n c es e m i - l a t t i c e sa r ea l s o s u p p l i e d f i n a l l y , t h ee s s a yi n t r o d u c e dt h e a p p l i c a t i o no fm a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g yi nd i g i t a l i m a g ep r o c e s s i n ga c c o r d i n gt ot h ee s s e n c eo fm a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g yo n c o m p l e t el a t t i c e sa n dc o m p l e t es e m i - l a t t i c e s f o u ra p p l i c a b l ea l g o r i t h m sa r e a l s op r o v i d e d , n a m e l y , t h ed e t e c t i o no f h o l e s ，t h em o n i t o ro fm o v i n go b j e c t s a n dt h ef a s t m o v i n gp a r t ，t h ea b s t r a c t i o no ft h ee d g eo fi m a g ea n di m a g e e 1 1 h a n c e m e n t k e yw o r d s ：m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y c o m p l e t es e m i l a t t i c e s b i n a r yi m a g e sg r a y s c a l ei m a g e s m o r p h o l o g yg r a d s a b s t r a c t i o no f t h e e d g eo f i m a g ei m a g ee n h a n c e m e n t l i y 6 6 8 2 7 3 昆明理工大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下( 或我个 人1 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢 意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：宅。勇 日期：如。弓年f2 月8 日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解昆明理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的 全部或部分内容，可以采用影印或其他的复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守) 导师签名：判垒主 论文作者签名： 王志秀 日期：如。3 年【2 月8 日 昆叫理工大学硕上学位论文 完备格、半格上的数学形态学及其在数字图像处理中的应用 第一章数学形态学简介 形态学是生物学的一个分支，常用它处理动物和植物的形状和结构。数学形态 学( m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y ) 是一种应用于图像处理和模式识别领域的新方法，形 态学图像处理已成为计算机数字图像处理的一个主要研究领域。这门学科在计算机 文字识别、计算机显微图像分析( 如定量金相分析、颗粒分析等) 、医学图像处理、 工业检测( 如印刷电路自动检测等) 、机器人视觉等方面都取得了许多非常成功的应 用。其影响已涉及到与计算机图像处理有关的各个领域，包括图像增强、分割、恢 复、边缘检测、纹理分析、颗粒分析、特征生成、骨架化、形状分析、压缩、成分 分析及细化等诸多领域1 7 旧i 。 数学形态学诞生于1964 年。当时，法国巴黎矿业学院的马瑟荣( g m a t h e r o n ) 在从事多孔介质的透气性与其几何( 或纹理) 之间关系的研究工作。赛拉( j s e r r a ) 在马瑟荣的指导下从事铁矿核的定量岩石学分析，以预测其开采价值的博士论文研 究工作。在研究过程中，赛拉摒弃了传统的分析方法，动手与克雷( j ck l e i n ) 建立 了一个数字图像分析设备，并将它称为“纹理分析器”。随着实验研究与分析工作的 不断深入，赛拉逐渐形成了击中击不中变换的概念。与此同时，马瑟荣在一个更为 理论的层面上第一次引入了形态学的表达式，并建立了颗粒分析方法。他们的工作 几乎同时奠定了这门学科的理论基础( 击中击不中变换、开闭运算、布尔模型及纹 理分析器的原型等) 。此后，他们共同在法国枫丹白露( 巴黎矿业学院) 建立了枫丹 自露数学形态学研究中心l l l l 。 数学形态学是- - f q 建立在严格的数学理论基础上的学科。数学形态学最初的算 子是面向集合的，要将它们拓宽到其它领域，如对网络、图、数值函数的形态学处 理，在这种情况下，平移或旋转会影响到处理过程，甚至使处理过程无效。一些概 念，如连通性、测地等需要用新的符号来描述。为了使形态学的基本理论具有更广 泛的适用性、更统一的形式和便于新算法的研究，数学形态学基本定理的核心最终 被简化到完备格结构1 7 j 1 1 甜。 数学形态学是种非线性图像( 信号) 处理和分析理论，它具有一套完整的理 论、方法及算法体系。其基本思想是利用一个称作结构元素的“探针”收集图像的 信息，当探针在图像中不断移动时，便可考察图像各个部分间的相互关系，从而了 昆】理丁大学硕士学位论文完备格、半椿上的数学形态学及其在数字图像处理中的应用 解图像的结构特征。数学形态学有四个基本运算，即：膨胀( 或扩张) 、腐蚀( 或侵 蚀) 、开启和闭合。它们在二值图像和灰度( 多值) 图像中各有定义和特点，基于这 些基本运算还可推导和组合成各种数学形态学实用算法。数学形态学的应用可以简 化图像数据，保持它们基本的形状特征，并除去不相干的结构，其算法具有天然的 并行实现的结构1 叭。 无疑，经过几十年的发展，数学形态学无论在理论方面还是在应用方面( 尤其 是在视觉检测方面) 都取得了举世瞩目的成就。然而，作为人工视觉的一种方法， 数学形态学在把握自然景物的含义，以及人类思维的符号描述方面尚显得不够有力， 有待于进一步发展1 7 j 。 第二章二值、灰度数学形态学 2 1 基本集合定义【9 | | 2 0 1 1 2 i i l 2 2 l ( 1 ) 集合：具有某种性质的、确定的、有区别的事物的全体( 它本身也是个事 物) 。常用大写字母如a ，b ，表示，如果某种事物不存在，就称这种事 物的全体是空集，规定任何空集都只是同一个集，记为o 。 ( 2 ) 元素：构成集合的每个事物。常用小写字母如a ，b ，表示，任何事物都 不是巾中的元素。 ( 3 ) 子集：当且仅当集合a 的元素都属于集合b 时，称a 为b 的子集。 ( 4 ) 并集：由a 和b 的所有元素组成的集合称为a 和b 的并集。 ( 5 ) 交集：由a 和b 的公共元素组成的集合称为a 和b 的交集。 ( 6 ) 补集：a 的补集，记为a 。，定义为： a 。= 扛l x 芒a ( 7 ) 位移：a 用x = x ，z ：) 位移，记为( a ) 。，定义为： ( a l = 扫i y = 口+ x ，口a ( 8 ) 映像：a 的映像( 也称为映射) ，记为盖，定义为： a “= x ix = 一口，口a 2 ix = 一口，口 ( 9 ) 差集：两个集合a 和b 的差，记为a b ，定义为： 昆明理工大学硕士学位论文完备格、半倍上的数学形态学堪在迥塑堡竺里童塑堕旦 a b = i x l x a ，xg b l = a n b 。 ( 1o ) 幂集：集合a 的所有子集构成的集簇称为集合a 的幂集。 2 2基本运算性质1 9 l 设m o 为数学形态学算符，下面介绍的前3 个性质是运算的基本性质，后3 个 性质是有关逻辑和集合运算的性质。 ( 1 ) 位移不变性( t r a n s l a t i o ni n v a r i a n e e ) ：它指的是位移的结果不因位移的次序而 异，或者说运算的结果与运算对象的位移无关。 ( 2 ) 互换性( c o m m u t i v i t y ) ：它指的是运算过程中改变运算操作对象的先后次序对 结果没有影响。 ( 3 ) 组合性( a s s o c i a t i v i t y ) ：它表示在运算过程中各个运算对象可按不同形式结合 而不对结果产生影响。这个性质在运算的实际实现中对减少运算量是很有意 义的。 ( 4 ) 增长性( i n c 怫a s i n 曲：如果a b ，就有m o ( a ) c m o ( b ) ，则称m o 具有增长 性，也可称m o 具有包含性或m o 具有保持次序的性质。 ( 5 ) 础( i d e m p o t e n c y ) ：如果m o “( a ) = m o ( a ) 成立，就称m o 具有同前性， 即无论m o 运算多少次，其结果与运算1 次相同。 ( 6 ) 外延性( e x t e n s i v e ) 和非外延性( a n t i - e x t e n s i v e ) ：算符外延性的含义是算符对集 合运算的结果包含原集合。如果m o ( a ) ja ，则称m o 具有外延性，如果 m o ( a ) a ，则称m o 具有非外延性。 2 3 二值数学形态学 二值形态学中的运算对象是集合，但实际运算中当涉及两个集合时并不把它们 看作是互相对等的。一般设a 为图像集合，b 为结构元素，数学形态学运算是用b 对 a 进行操作。对每个结构元素，指定1 个原点，它是结构元素参与形态学运算的参 考点。注意原点可以包含在结构元素中，也可以不包含在结构元素中，但两者运算 的结果常不相同。 2 3 1 二值膨胀和腐蚀p l i l 0 1 昆明理_ _ 人学硕l 学位论文 完备格，半格的数学形态学及其在数字图像处理中的应用 1 二值膨胀( b i n a r yd i l a t i o n ) ：a 用b 来膨胀写作a o b ，其定义为： a o b = x i 【( b ) ，n a o 上式表明用b 膨胀a 的过程是：先对b 做关于原点的映射，再将其映像平移z ， 这里a 与b 映像的交集不为空集。换句话说，用b 来膨胀a 得到的集合是b 的位移 与a 至少有1 个非零元素相交时b 的原点位置的集合。 图1 为二值膨胀示意图，由图可见膨胀将图像区域扩大了。 口 aba o b 幽la 用b 膨胀示意图 2 二值腐蚀( b i n a r ye r o s i o n ) ：a 用b 来腐蚀写作a o b ，其定义为： a 固b = 协j ( b ) ，a j 上式表明a 用b 来腐蚀的结果是所有x 的集合，其中b 平移x 后仍在a 中。换句 话说，用b 来腐蚀a 得到的集合是b 完全包括在a 中时b 的原点位置的集合。 图2 为二值腐蚀示意图，由图可见腐蚀将图像区域收缩小了。 口 口 ab a o b 幽2 a 用b 腐蚀示意图 3 二值膨胀和腐蚀的对偶性( d u a l i t y ) 1 9 j 1 6 l 二值膨胀和腐蚀具有对偶性，即1 个运算对图像目标的操作相当于另1 个运算对 图像背景的操作。可表示为： ( 1 ) f a o b l 。= a 6 b ( 2 ) ( a o b ) 。= a 。o b 4 昆明理t 大学硕 学位论文完备格、半格上的数学形态学及其在数字图像处理中的应用 证明( 1 ) ( a o b ) 。= a 。o b 由a 。o b = x l ( b ) ；a c 得( a 。ob ) c = x l ( b ) ，a c ) 。，若( b ) ，a 。，则 ( b ) ，n a = 中，由此有 ( a c 圆台) c = x i ( 台) 。n h = 中 c = x l ( 台) ，n a 。) = a o 矗 即( a 。o b ) 。= a o b ，也就是( a o b ) 。= a 。o 苜 ( 2 ) ( a o b ) 。= a 。o b 由a o b = 扛 ( b ) 。c a )得( a o b ) 。= x l ( b ) ，a ) 。，如果集合( b ) ，a ，则 ( b ) ，n a 。= 中，此时上述公式变为： ( a 固b ) 。= x l ( b ) ，n a 。= 瞄。 但，满足( b ) ，r i i 。= 中的石的集合的补集是满足( b ) ，n a 。o 的集合，因此： ( a o b ) c = x i ( b ) ：v i a 。中 = a c o 2 3 2 二值开启和闭合1 9 1 1 1 0 i 1 二值开启( b i n a r yo p e n ) ：a 用b 来开肩写作a 。b ，其定义为： a o b = ( a b ) o b 图3 为二值开启示意图，由图可见，开启运算结束后原集合a 的凸角都变圆了。 a o b a 。b 图3 a 用b 开启示意图 2 二值闭合( b i n a r yc l o s e ) ：a 用b 来闭合写作a b ，其定义为： a b = ( a o b ) 固b 图4 为二值闭合示意图，由图可见，闭合运算结束后原集合a 的凹角都变圆了。 垦些些三查兰堡圭兰些婆苎 查鱼整：兰塑圭堕塑兰堂查兰垦蔓垄塑! 望堡竺里! ! ! 壁旦 a o b a b 图4a 用b 闭台不意图 3 二值开启和闭合的对偶性6 1 ( 1 ) ( a 。b ) 。= a 。- b ( 2 ) f a 1 3 ) 。= a 。b 汪明( 1 ) ( a 。b ) 。= a 。b ( a 。b ) c = 【( a o b ) e b 】c = ( a o b ) 。圆b = ( a 。o b ) 圆b = a 。b ( 2 ) ( a b ) 。= a 。b ( a b ) 。= ( a o b ) b 。= ( a o b ) 。o b = ( a c 0 b ) o b = a c 。b 2 3 3 四种基本运算的性质9 l 二值膨胀、腐蚀、开启和闭合4 种基本运算的性质见下表 表l二值数学形态学4 种基本运算的性质 、算 膨胀腐蚀开启闭合 性趴 位移( a ) ，o b( a ) ：o b 不变性 = ( 3 ) 令i n v ) ，即届) = ，则屈陋) = 履伍) ) = ：届伍) = 届) = x ， 因此，x i n v 渔) ，即i n v 饵) i n v 皈) 。 ( 3 ) ：，( 1 ) 由展伍) i n v 以) i n v 饵) 得到届伍) = 反协) ) = 卢：崩伍) 卢：伍) 即届反。 命题3 2 5 设s 为完备上半格，屈为闭，f ，则台层也为闭。 证明令2 念矗，由于屈为闭，则是递增、扩展的， 因为2 ，2 群= 屈，所以卢2 台尼= 卢，则2 = ，即满足幂等，因此 、层也闭。 命题3 2 6 完备上半格上的形态学闭是一个代数闭。 证明为完备上半格上的形态学闭， ( 1 ) t i f f ( x ) ：v y i 西8 c x ) ( y 冀= v 】，l 占r ) 占( y ) = 户c x ) ( 2 ) 石s y 兮万伍) s 万( y ) j z l 艿伍) 巧( z ) z f j ( y ) 占( z ) ) = v z 万伍) 6 ( z ) v z l 万( 1 ，) 占( z ) = 似) 卢( y ) ( 3 ) zj 万) 6 ( z ) 2 讧 j v z l j ) 艿( z ) v 讧 ) x 1 4 昆明埋t 大学硕士学位论文完备格、半格h 的数学形态学及其在数字图像处理中的应用 即口满足幂等、递增和扩展，则p 为代数闭。 3 3 完备格上的伴随 定义3 。3 。l 设p 为完备格，p 中的一对算子( 办仃) ，如果满足对所有x ，y 芒p ， 有： x p ( y ) 盯) s y 则称，盯) 是p 中的一个伴随，p 称为c r 的上伴随，盯称为p 的下伴随。 在完备格中，下面的性质成立： 1 如果( a ，盯) 和0 ：，盯) 是伴随，则n = p ：同理，如果，q ) 和，仃：) 是伴随，则 仃。0 2 。 2 算子占是腐蚀当且仅当存在算子占，使得0 ，占) 是伴随；同理，占是膨胀当且仅当 存在算子s ，使得b ，占) 是伴随。 3 腐蚀的下伴随j 是膨胀，即满足：( 1 ) 万( 0 ) = 0 ；( 2 ) 对所有留； p ，万峙x ，j = s ( x ，) 。 4 - 给定腐蚀的伴随膨胀为j ( ) = y p x 万口) ，x p 。 3 4 完备半格上的伴随 定义3 4 1 “1 设s 为上半格，称 从= 秘c - s i 0 s i r o x ，v s ) 为s 的下界子集。 即心包含了s 中有极小元k 的所有子集，则下确界为： a b = v ，r e s i y x ，v r b ，其中b ，。 定义3 4 2 “1 占为完备上半格s 上的算子，s 的占一有界元素集& 定义为： s ；= r s l ( j z s | y 占( z ) ) 定义3 4 3 设s 为完备上半格，考虑两个算子p ：s - - + s ，盯；s 。- - s ，如 果，盯) 满足对所有工s p , y s ，有 j p ( y ) 舒盯伍) r 1e 昆明理t 大学硕士学位论文 完各恪、半格上的数学形态学及其在数字图像处理中的应用 则称d ，盯) 满足为从s 到e 的伴随。 命题3 4 1 设s 为完备上半格，占为s 上的膨胀，定义：s 。- + s 为 岛伍) = v ys i x 5 ( r k x 凡) 则( 岛，j ) 是从砖到s 的伴随为方便起见，记岛为占。 证明x 占( r ) j 占口) = v z s i x 巧( z ) v z s l 万( y ) 占( z ) = ( 1 ，) 】， 即x j ( y ) ；占x ) y f ) l ，j 括口) 艿( y ) ；巧( r ) v p ( z ) s l x 占( z ) x 即4 x ) - y j j 口) 兰 所以s ( ) y 铮占( r ) z ，即0 ，6 ) 是从品到s 的伴随。 命题3 4 2 如果( 占- ，j ) 和0 ：，占) 是从砖到s 的伴随，则占= s ：。 证明对所有x s d ，有 毛防) 占；) x 瑟。伍) 营占：伍) 毛) 占：) e 2 似) 营x ：陋) 铮q ) 占：伍) 因此，占l = s 2 。 命题3 4 3 g ，占) 是从& 到s 的伴随，则下列性质成立 ( l ) d ( 】，) y ，瑟) sx ； 0 2 1 6 s = 6 = 6 ( 3 ) 占伍) = v y s l 占( 1 ，) j l j ( y ) = n x s 。ij ，s ( x ) 。 证明设( 占，占) 是从品到s 的伴随，鲫j a f t ) _ x 营y _ ，8 1 v 、x ，) 营4 4 v 。x ，j j 了x 。v 妇p 【v 置j j z 营弘万i v 五j 艿陇) j ( v 置) 丫北) v 砸r ) y 占芦，? v 拈【v j ( 置) j 置占b 占( 置) j 丫置 营y 8 ，) 6 【v 置) 因此，占i v z ) = y 占( 一) ，即占是膨胀。 命题3 4 6 如果 五 从且拿 置 e 砖，则仑占( 置) 存在且占b 五j = 仑占陇) 。 证明先证 占( z ) 存在性， “ix s a ；v ，仝盖。 _ 8 ( t o ) = v r o ，i ，x 。 _ 8 ( t o ) = v r o ，i ，ks 占( 五) ； 占( _ ) 以 即，、s 暖，) 存在。 下面证明s i _ j = 仝占阮) ， 置，占【 x ，j s ( x ，j 铮仑置曲【人五j v f ，置曲【 置j 营v 妇) 2 占【 置j 占伍，) 占b x ，j v f ，占阮) a ；) v f ，x ，j ( 占似f ) j 仑x ，万【 s 伍f ) j 营占l x ，) 仝占陇) 因此，s 【 ，j - 仝占伍，) 。 命题3 4 7 对所有z s ，有伍) = 巧( ) 。 昆 | j ；| 理工大学硕十学位论文完蔷格、半恪t 的数学形态学及其在数字图像处理中的应用 证明s 巧( ) = v z i j ( ) 占( z ) = a ( x ) 。 3 5 两个半格例子n 1 i 差分半格 如果一个集合s 满足：( 1 ) 集合s 是函数厂的合成函数，其中f ：ejr ，r 为欧 几里德空间或它的一个子集，r 在连续情况下为r u - m ，m ，在离散情况下为 z u 一。，m ) ；( 2 ) 偏序关系由下面给出，f 、占为半格上的函数， 厂g v x ， ；譬；i ；凄；i 呈翥羹；苌；： 则称集合s 为差分半格。 在个差分半格中，o ( x ) = 0 ，算子，、定义如下： f m i n 厂g l g g ) ，如罘厂g ) g g ) 0 ， f a g x x ) = m a x f ( x ) ，g ( x ) ，如果，_ 0 l g g ) 0 ， 1 0 ， 其它。 算子v 满足如下形式： f m a x f ( x ) ，g ( x ) ，如舄啦) ，9 0 ) 0 ， ( i v g x x ) = m i n ( ，g l g g ) ) ，如果州b ) ，g g ) o ， 【不存在， 其它。 腐蚀定义为： k k ) = a f ( x + z ) 式中，b ( 称为结构元) 是欧几里德空间中的点集，b c e 。容易证明， 4 - s ) = 一占驴) ，即正、负部分均可用相同的方法进行处理。 伴随定膨胀义为： p ( 厂骶) = ，b z ) 距d 注意，只有被腐蚀的函数有界才能被膨胀。 通常情况下，格上的形态学开常用于图像的滤波。这里，半格上的形态学开也 被用于滤去差分图像中小的、细的元素，即除去正的( 明亮的) 和负的( 暗的) 元 素。 2 参考半格 如果一个集合s 满足：( 1 ) 集合s 是函数厂的合成函数，其中，：e 斗月，r 为欧 昆明理工人学硕上学位论丈完备格、半格上的墼堂壁查堂壑茎堡塑主里堡竺堡! 竺壁旦 几里德空间或它的一个子集，r 在连续情况下为r u _ 。，o o ，在离散情况下为 z u - o 。，m l ：( 2 ) 偏序关系由下面给出，其中，r ( x ) 称为参考函数， 心一楼矧糍搿 在s ，中，最小元就是参考函数r ( x ) ，下确界定义如下： f r a i n f ( x ) ，g ( 工) ，如果厂( ，g ( x ) r ( 曲， ( ， g ) ( x ) = m a x f ( x ) ，g ( x ) k立另v ( x ) ，g ( x ) r ( x ) ， 1 r ( x ) ， 其它。 在参考半格中，下确界等同于形态学运算中的中心核。通常，中心核在设计对 偶形态学滤子时非常有用。特别地，对于参考半格，s ，中的厂n g 等于f ，g ，的中心 核。 在参考半格中，上确界满足如下形式： f m a x 沙( 工) ，g ( x ) 如：；民厂( x ) ，g ( 功r ( x ) ， ( ，vg ) ( 工) = m i n 驴( z ) ，g ( x ) ， 如；睦厂( z ) ，g ( x ) s ，( x ) ， l 不存在， 其它。 注意到，如果r ( x ) = 0 ，则参考半格便是差分半格。因此，差分半格是参考半格 的特例。 第四章数学形态学在数字图像处理中的应用 4 1 数字图像的基本知识1 1 3 | 【1 5 1 所谓图像，就是视觉景物的某种形成的表示和记录。人眼看到的任何自然界的 图像都是连续的模拟图像，其形状和形态表现由图像各位置的颜色决定。当我们从 某一点观察景物时，物体所发出的光线进入人眼，在人眼的视网膜上成像，该像反 映了客观景物的亮度和颜色随空间位置的变化，因此它是空间坐标的函数。 一幅平面图像所包含的信息首先表现为光的强度，它是随空间坐标0 ，y ) ，光线 的波长u 和时间r 而变化的，因此图像函数可以表示为： i = ，t x ，y ，u ，f ) 垦望些三查鲎堡! 兰堡垒兰 塞鱼坚：圭堕! 竺墼兰兰查兰墨茎至望羔堡坐垫坚塑塑! 生旦 若只考虑光的能量而不考虑它的波长，在视觉效果上只有黑白深浅之分，而无 彩色变化，这时称为灰度图像，则图像模型可表示为： ，= 厂( x ，_ y ，) 2if ( x ，y 儿t ) v ( u ) d u 其中，矿( “) 为相对视敏函数。 当考虑不同波长光的彩色效应，则为彩色图像。根据三基色的原理，任何- - ； e e 彩色可分解为红、绿、蓝三种基色。所以彩色图像可表示为： i = r ( x ，y ，) ，g ( x ，y ，f ) ，b ( x ，y ，f ) ) 其中， r ( x ，y ，f ) 2i 厂( x ，y ，“，t ) r ( u ) a u g ( x ，y ，r ) 2if ( x ，y ，虬t ) g ( u ) d u b ( x 川y ) 2l 厂( x ，y ，“，t ) b ( u ) d u r ( u ) 、g ( “) 、占( “) 分别为r 、g 、b 三基色的视敏函数。 当图像内容随时间变化时，称为时变图像或运动图像。当图像内容不随时间变 化时，称为静止图像。对灰度图像而言，其函数为： i = f ( x ，y ) 由于人眼和其它成像系统视野有限，因此图像在空间上是有界的，其取值区域 通常定义为矩形，即： 0 茎工m，0 j ，s m 图像函数在某一点的值常称为强度或灰度，它与图像在该点的亮度相对应，并 用正实数表示，而且这个数值的大小是有限的，即： 0 f ( x ，y ) b 其中，b 表示最大亮度。 由于计算机仅能处理离散的数据，所以如果要用计算机来处理图像，则连续的 图像函数必须转换为离散的数据集，这一过程叫做数字图像采集。数字图像采集由 图像采集系统完成，经过成像、采样、和量化得到数字图像。其中，采样是对空间 坐标的量化过程，量化则是对图像函数值的离散化过程。采样和量化统称为数字化。 昆明理t 大学硕士学位论文完备格、半格上的数学形态学及其在数字图像处理，自! 蜜用 数字化后的图像可以使用一个( 或多个) 矩阵来表示，矩阵中的每个元素表示 图像中的一个像素的灰度值。灰度图像可用一个矩阵来表示，彩色图像要用组矩 阵来表示。矩阵的行数是垂直分辨率，列数是水平分辨率，矩阵元素是彩色分量的 灰度值。数字图像的属性有：分辨率( 图像大小) 、分量的数目、彩色空间( r gb 、 hsv 、cm y 、cm yk 、yuv 、ciexyz ) 、每个像素分量的位数、物理 分辨率( x 方向、y 方向、单位：d p i ) 、彩色表结构等。 在数字图像处理中，常用到以下几个基本术语。 像素( p i x e l ) ：当把个监视的图像输入到视频监视系统时，将每个连续图像描述为 n m 矩阵的形式，矩阵的每一个元素称之为像素p ( i ，_ ，) ，它是一个非负值标量， 因为图像光强没有负值。从实际图像转变为矩阵的关系时常把图像z ，y 的坐标原 点设在左下角，而像素的数f ，_ ，则通常是从矩阵的左上角开始。这样z 与i 有着 对应关系，而y 则与舛目反。 直方图( h i s t o g r a m s ) ：直方图是图像各种光强出现次数的图形表示方法。直方图的横 坐标是灰度值，纵坐标是具有该灰度值的像素数目。直方图不给出具有某一灰 度像素的位置信息，只给出其概率密度。直方图的形状将提供图像的特征信息。 灰度图像( g r a y - s c a l ei m a g e s ) ：是指只含亮度信息，不含色彩信息的图像。因此，要 表示灰度图，就需要把亮度值进行量化。通常划分成0 到255 共256 个级 别，0 最暗( 全黑) ，255 最亮( 全自) 。 二值图像( b i n a r yi m a g e s ) ：是指那些灰度只取两个可能值的图像，这两个灰度值通常 取为0 和l 。习惯上认为取值为l 的点对应于景物中的物体，而取值为0 的点 构成背景。 4 2 图像空穴的检出 视觉系统对景物认识的初级阶段是其形状，物体的形状是一个赖以分辨和识别 的重要特征。任何一个物体的形状特征均可由其几何属性如长短、面积、距离、凸 凹等，统计属性如投影和拓扑属性如连通、欧拉数进行描述。 在图像上，区域骨架提供了形状信息。对于区域内部或边界来说，由于我们只 关心它们的形状特征，其灰度信息往往可以忽略，只要能将它与其他目标或背景区 2 l 昆明理工大学硕：e 学位论文完备格，半格i ：的数学形态学及其在数字图像处理中的应用 分开来即可，所以往往把区域内部或边界的像素赋予“1 ”值，而背景和其它不感 兴趣的目标像素赋予“0 ”值，形成二值图像。 空穴是由白色背景区域包围起来的一个黑区域，是图像形状的一个重要特征。 然而，在图像的采集、获取、编码和传输过程中，图像往往会受到不同程度噪声“污 染”。噪声源包括电子噪声、光子噪声、斑点噪声和量化噪声。如果信噪比低于一定 水平，噪声逐渐变成可见的颗粒形状，就会导致图像质量下降，以至无法识别空穴。 在本节中，正是基于这种情况，根据数学形态原理，用不同结构元的形态学算子对 一幅受到各种不同噪声污染的图像成功地检出空穴，并与阈值面积区域消去法进行 了比较。 4 2 1阈值面积区域消去法 阈值面积区域消去法是图像空穴检出的一种有效方法，其算法的基本思想如下： 1 将所有的白色像素( 背景) 赋0 ，所有黑色像素( 空穴所在) 赋一i ，空穴数 置0 ： 2 寻找一个空穴的开始像素( 值为一i ) ，并将其值改为当前空穴数，存储，空穴 数增加： 3 所有像素的正向搜索。找到值为一l 的像素( 表示没有被搜索过) ，正向搜索其 周围有没有值为当前空穴数的像素。如果有，将当前像素值赋以空穴数的值； 4 所有像素的反向搜索。找到值为一1 的像素( 表示没有被搜索过) ，反向搜索其 周围有没有值为当前空穴数的像素。如果有，将当前像素值赋以空穴数的值： 5 如果正向和反向都没有像素，表示当前空穴所有像素已被遍历，转步骤( 2 ) ； 6 如果步骤( 2 ) 中没有寻找到开始像素，表示所有的空穴已被遍历； 7 然后检查每个空穴的面积，如果小于阈值，就将当前空穴所有的像素赋以背景 值，进行消去。 该方法在进行空穴检出时，需设定阈值。 4 2 2数学形态学方法 数学形态学的基本思想是用具有定形态的结构元素去量度和提取图像中的对 应形状以达到对图像分析和识别的目的。数学形态学的数学基础和所用语言是集合 论。数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特征，并除去不相 干的结构。数学形态学的算法具有天然的并行实现的结构。在形态学算法设计中， 昆i 啊理工大学硕l 学位论文完备格，半格上的数学形态学厦其诅：数字图像处理中的应用 结构元的选择十分重要，其形状、尺寸的选择是能否有效地提取信息的关键。一般 情况下，结构元的选择应本着如下两个原则进行1 1 1 i ： 1 结构元必须在几何上比原图像简单，且有界。当选择性质相同或相似的结构元 时，以选择极限情况为益； 2 结构元的凸性非常重要，对非凸子集，由于连接两点的线段大部分位于集合的 外面，故用非凸子集作为结构元将得不到什么信息。 数学形态学的基本运算有4 个：膨胀、腐蚀、开启和闭合，在二值图像中的定 义见2 3 i 。 膨胀具有扩大图像的作用，可对图像外部作滤波处理；腐蚀具有收缩图像的作 用，可对图像内部作滤波处理；开启可以平滑边界，切断细长的搭接，消除突刺； 闭合可以平滑边界，连接短的间断，填充小孔。因此，可以采用下述算法，根据不 同的噪声污染，选择适当的结构元素，便可以达到消除噪声污染，检出空穴，获得 优质图像的目的1 9 1 “1 1 3 2 i 。 1 对图像进行变结构元的闭合； 2 对闭合后的图像进行变结构元的开启： 3 对开启后的图像进行变结构元的n 次腐蚀( n 视具体情况而定，以消除污染为准) ； 4 对腐蚀后的图像进行变结构元的n 次膨胀( n 值与3 同) 。 4 2 3 实例分析与结论【1 9 | 【2 0 l f 4 1 l ，一 j 。l ? 、 、l 、_ 、i 、- 幽l 轻厦噪音污染的二值图像 图2 闽值面积区域消去法 图3 数学形态学方法 图l 为一幅受轻度噪声污染的二值图像，对其进行分析，发现其中的噪声污染 大多为圆形和方形，故设计出的数学形态学算法为：( 1 ) 对原图进行3 次腐蚀( 结构 元分别为3x3 圆形，3x3 方形，3x 3 方形) ；( 2 ) 对腐蚀后的图像进行3 次膨胀 ( 结构元分别为3x3 圆形，3x3 方形，3x 3 方形) 。得到如图3 所示结果，图 2 为阈值面积区域消去法的结果，可见，两种方法所得结果完全一致。 昆i j 理t 大学硕e 学位论文完备倍、半格上的数学形态学及“在数字图像处理中的应用 一j v jj j s - 。繁芽| 簟+ 攀专暌? ， 霉i 鬈墓陵；、i 囊曩i 螨 。、- “l | = i 囊? i 毫萎 ， 、l 。、_ 倒4 傲盐噪音污染的二值图像 图5 闺值血积区域消去法图6 数学形态学方法 图4 为加了椒盐噪声污染的二值图像，图5 为阈值面积区域消去法的结果，图 8 为采用上述数学形态学算法所得结果。对比发现，图5 中空穴局部有毛刺，说明 椒盐噪声污染未完全消除；而图6 中空穴清楚，图像清晰，与图2 、图3 完全一致。 削7 卷积模糊和噪音污染的二值图像目8 闽值面积区域消去法 图9 数学形态学方法 图7 为加了卷积模糊和噪声污染的二值图像，由于空穴内部也有了噪声污染， 所以先对图7 进行1 次水平方向( 结构元为扁平结构元) 的闭合和开启，然后采用上述 数学形态学算法，得到如图9 所示结果，图8 为闽值面积区域消去法的结果。一i 者 比较可看出，图8 虽然检出空穴，但无法消除空穴内部的噪声污染；图9 完全消除 了噪声污染，与图2 、图3 、图6 完全一致。 i ， j v 。i ，、- 一 、i 、- 、l 。、- | 璺| 1o 迂滤坡退化的二值图像 图1l 阑值面积区域消去法图12 数学形态学方法 图1o 为逆滤波退化的二值图像，图l1 为阈值面积区域消去法的结果，从中 看出，污染并未完全消除；图12 为上述数学形态学算法所得结果，我们发现，与 图2 、图3 、图6 、图9 完全一致。 为了验证本文提出的方法的有效性，对多幅二值图像进行了空穴检出，均取得 了令人满意的效果。实践证明，该方法具有以下优点： 垦堕堡王查兰堕兰兰堡笙壅 塞墨堡：兰坚占塑堑兰兰查兰墨基查墼兰里堡竺些! 塑生旦 ( 1 ) 准确性高在对同一幅受到轻度噪声污染的图像处理来看，与阂值面积区域消去 法取得了一致的结果。 ( 2 ) 灵活性大对受不同噪声污染的图像，只要根据噪声污染的特点，选取适当的结 构元，便可轻易达到去噪目的而又不改变空穴形状。 ( 3 ) 实用性强阈值面积区域消去法只能处理受到轻度噪声污染的图像，而当图像受 到多种噪声( 如椒盐噪声、卷积模糊、逆滤波退化等) 污染时，阈值面积区域消 去法往往达不到目的。相反，如果采用数学形态学的方法，则会取得理想的效果。 总之，数学形态学方法具有准确性高、灵活性大、实用性强等优点，对图像的 空穴检出来说是一种很好的方法，与闽值面积区域消去法相比，该方法灵活、实用、 简单。 4 3 运动物体及快速运动部分的检测 运动信息是生活中一个重要的信息来源，随着计算机处理能力的提高，利用计 算机来分析、模拟人体运动也受到越来越多的注意。人体运动分析遇到的第一个问 题就是运动检测。基于视频或者图像的人体运动目标检测或识别，目前已经在多种 多样的场合得到应用，如在监控系统中对某个目标进行运动检测，进而分析运动目 标的一些特征等。对目标跟踪将会节省大量的人力物力。更为重要的是，有些场所 由于客观原因，人类可能不方便或者根本不可能亲自到现场进行查看，这时，只有 通过其它方式，如用计算机进行实时监视来完成需要的工作。 常用的运动物体检测方法是先恢复背景，然后通过当前帧的信息，分割出所有 运动目标的近似区域。在本节中，根据格、半格上数学形态原理，提出了一种运动 物体及快速运动部分检测的新方法。在静止背景下，与帧问变化检测法进行了比较， 并在随机抽取的视频图像上做了实验检测。与常用的帧间变化检测法相比，该法不 仅能检测出静止背景下的运动物体，而且还能检测出复杂背景下的快速运动物体， 并能提供运动方向的信息。 4 3 1 帧间变化检测、法【1 4 1 1 1 5 j 对于静止背景下的运动检测，可以采用帧间变化检测法【3 】【4 】。其基本流程如下图 所示： 昆! j j 理工大学碗上学位论文 完备格、半格上的数学形态学及其在数字图像处理中的应用 预处理：目的是在分割前除去噪声的影响。去除噪声的方法有很多种，例如各种平 滑操作。 背景恢复：视频序列帧间具有很强的相关性，仅仅利用单帧的信息进行处理容易产 生错误，更好的方法是联合多帧信息进行分析。基于这一思想，可以根 据各个坐标处像素值在整个序列中的统计信息对运动场景的背景进行恢 复。 定义图像序列为i ( x ，y ，i ) ，其中x ，y 代笔空间坐标，f 代表帧数( i = l ，2 ，n ) ，n 为