2019_2020学年高中数学第2章概率2.1随机变量及其概率分布讲义苏教版.docx

2.1随机变量及其概率分布学 习 目 标核 心 素 养1.了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列刻画随机现象的重要性，会求某些简单离散型随机变量的分布列(重点、难点)2掌握离散型随机变量分布列的性质，掌握两点分布的特征(重点)1.通过对离散型随机变量的学习，提升数学抽象素养2借助随机变量的分布列，提升逻辑推理素养.1随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母，)等表示思考1：随机变量是自变量吗？提示不是，它是随试验结果变化而变化的，不是主动变化的思考2：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？提示不一定离散型随机变量的取值可以一一列举出来，所取值可以是有限个，也可以是无限个2概率分布列假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，xn，且P(Xxi)pi，i1,2，n，则称为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列称表Xx1x2xnPp1p2pn为随机变量X的概率分布表，它和都叫做随机变量X的概率分布显然，这里的pi(i1,2，n)满足条件：pi0(i1,2，n)；p1p2pn1.思考3：在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数吗？提示错误每一个可能值对应的概率为0,1中的实数思考4：离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1吗？提示不可以由离散型随机变量的含义与分布列的性质可知不可以思考5：离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的吗？提示是离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是彼此互斥的3两点分布如果随机变量X的分布表为X10Ppq其中0p1，q1p，这一类分布称为01分布或两点分布，并记为X01分布或X两点分布1掷均匀硬币一次，随机变量为()A掷硬币的次数B出现正面向上的次数C出现正面向上的次数或反面向上的次数D出现正面向上的次数与反面向上的次数之和B掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量，的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的概率的和必是1，对应的是必然事件，所以不是随机变量2设离散型随机变量的分布列如下：10123P0.100.200.100.200.40则P(1.5)_.040P(1.5)P(1)P(0)P(1)0.100.200.100.40.3设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验成功与否(记X0为试验失败，记X1为试验成功)，则P(X0)等于_设试验失败的概率为p，则2pp1，p.随机变量的概念【例1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由(1)北京国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量；(2)2019年1月1日至5月1日期间所查酒驾的人数；(3)2019年6月1日济南到北京的某次列车到北京站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长思路探究利用随机变量的定义判断解(1)旅客人数可能是0,1,2，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量(3)列车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量随机变量的辨析方法(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同(2)随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量1(1)下列变量中，是随机变量的是_(填上所有正确的序号)某人掷硬币1次，正面向上的次数；某音乐网站歌曲小苹果每天被点播的次数；标准大气压下冰水混合物的温度；你每天早晨起床的时间(2)一个口袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X，则X的可能取值构成集合_事件Xk表示取出_个红球，_个白球，k0,1,2,3,4.(1)(2)0,1,2,3,4k4k(1)中每个事件的发生是随机的，具有可变性，故是随机变量；标准大气压下冰水混合物的温度为0 ，是必然的，不具有随机性(2)由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,4.Xk表示取出的4个球中含k个红球，4k个白球随机变量的分布列及应用【例2】一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量的概率分布思路探究由本例中的取球方式可知，随机变量与球的顺序无关，其中球上的最大号码只有可能是3,4,5，可以利用组合的方法计算其概率解随机变量的可能取值为3,4,5.当3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两只球的编号只能是1,2，故有P(3)；当4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只，故有P(4)；当5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只，故有P(5).因此，的分布列为345P利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的(2)不仅要注意i1，而且要注意pi0，i1,2，n.2设随机变量的概率分布为Pak(k1,2,3,4,5)求：(1)常数a的值；(2)P；(3)P.解题目所给的的概率分布表为Pa2a3a4a5a(1)由a2a3a4a5a1，得a.(2)PPPP或P1P1.(3)因为，所以，.故PPPPa2a3a6a6.随机变量的可能取值及试验结果探究问题1抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果这种试验结果能用数字表示吗？提示可以用数字1和0分别表示正面向上和反面向上2在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？提示X0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为，则“4”表示的随机事件是什么？提示“4”表示出现的点数为4点，5点，6点【例3】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和思路探究 解(1)设所需的取球次数为X，则X1,2,3,4，10,11，Xi表示前i1次取到红球，第i次取到白球，这里i1,2，11.(2)设所取卡片上的数字和为X，则X3,4,5，11.X3，表示“取出标有1,2的两张卡片”；X4，表示“取出标有1,3的两张卡片”；X5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两张卡片”；X6，表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”；X7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”；X8，表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”；X9，表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”；X10，表示“取出标有4,6的两张卡片”；X11，表示“取出标有5,6的两张卡片”用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果3写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)在2018年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用表示解(1)X可能取值0,1,2,3,4,5，Xi表示面试通过的有i人，其中i0,1,2,3,4,5.(2)可能取值为0,1，当0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当1时，表明该射手在本次射击中击中目标1本节课重点是随机变量的概念及随机变量的分布列及其性质，以及两点分布，难点是随机变量的取值及概率2判断一个试验是否为随机试验，依据是这个试验是否满足以下三个条件：(1)试验在相同条件下是否可以重复；(2)试验的所有可能结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；(3)每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果3本节课的易错点：在利用分布列的性质解题时要注意：Xxi的各个取值所表示的事件是互斥的；不仅要注意i1，而且要注意0pi1，i1,2，n.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个()(2)在概率分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数()(3)概率分布列中每个随机变量的取值对应的概率都相等()(4)在概率分布列中，所有概率之和为1.()解析(1)因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个(2)因为在概率分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在0,1范围内(3)因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件(4)由分布列的性质可知，该说法正确答案(1)(2)(3)(4)2下列叙述中，是随机变量的为()A某人早晨在车站等出租车的时间B把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度C射击十次，命中目标的次数D袋中有2个黑球，6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性C根据随机变量的含义可知，选C.3随机变量的分布列如下：123456P0.2x0.350.10.150.2则x_，P(3)