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Suihua University Graduation Paper The Mathematical Problem of Change-1 Lunar Exploration ProcessStudent name Student number Major Supervising teacher Suihua University摘 要本文利用牛顿万有引力定律即引力与距离平方成反比关系，建立了行星的运行轨道方程，进而推导出了开普勒定律，证明了“嫦娥一号”在环绕地球的过程中运行轨道是椭圆，且在环绕月球的过程中运行轨道也是椭圆。本文简要阐述了“嫦娥一号”的探月过程以及“嫦娥一号”在飞行过程中主要涉及的数学和物理原理，以及在探月过程中“嫦娥一号”进行了一次远地点变轨，三次近地点变轨，三次近月制动的过程。关键词：椭圆；轨道；万有引力；开普勒定律AbstractUsing Newtons law of gravitational force (gravity is inversely proportional to distance square)，this paper establishes the orbit equation of planet and gets the Kepler LawThis paper also proves that the Change-1 is elliptical in the process of running around the Earth and the orbit of he Change-1 is also elliptical in the process of running around the MoonThis paper briefly describes the Change-1 lunar exploration process and the main mathematical and physical principles of Change-1 in the process of flightIn the course of the lunar exploration Change-1 conducts an Apogee track of changing，three times tracks of changing in near locations，three brakes around the moonKey words：elliptic；orbit；gravitational force；Kepler Law目 录摘要Abstract第1章 “嫦娥一号”探月过程的简述 1第1节 环绕地球运行1第2节 环绕月球运行2第2章 “嫦娥一号”的运行轨道4第1节 圆锥曲线4第2节 径向单位向量和周向单位向量5第3节 速度与加速度6第4节 开普勒定律7第3章 “嫦娥一号”飞行过程中主要涉及的数学原理11参考文献13致谢14绥化学院2009届本科生毕业论文 第1章“嫦娥一号”探月过程的简述2007年10月24日18时05分，长征三号甲运载火箭搭载“嫦娥一号”探月卫星直冲云霄，奔向遥远的月球，成功地进入环绕地球的预定轨道（即16小时轨道）。见图1-1。环月轨道3.5小时轨道12小时轨道116小时地月转移轨道48小时轨道24小时轨道16小时轨道图1-1第1节 环绕地球运行第一次变轨 25日17时55分，北京航天飞行控制中心按照预定计划，向在太空飞行的“嫦娥一号”卫星发出变轨指令，对其实施远地点变轨。指令发出130秒后，卫星近地点高度由约200公里提高到约600公里，变轨圆满成功。这次变轨表明，“嫦娥一号”卫星推进系统工作正常，也为随后进行的3次近地点变轨奠定了基础。这次变轨是“嫦娥一号”卫星在约16小时周期的大椭圆轨道上运行一圈半后，在第二个远地点实施的。第二次变轨 26日17时33分，北京航天飞行控制中心向“嫦娥一号”卫星发出指令，开始实施第二次变轨。这是卫星的第一次近地点变轨。11分钟后，远望三号测量船传来消息，卫星变轨成功。 变轨前，北京飞控中心对轨道参数及控制参数进行了精确计算，随后向在太空飞行了3圈处于近地点的“嫦娥一号”卫星发送了高精度控制指令，卫星主发动机准时点火，使卫星进入24小时周期椭圆轨道，远地点高度由5万多公里提高到7万多公里。这次变轨为卫星在预定时间到达设计的地月转移入口点创造了条件。1第三次变轨 29日18时01分，“嫦娥一号”卫星成功实施第三次变轨，这也是卫星入轨后的第二次近地点变轨。“嫦娥一号”卫星在24小时轨道飞行第3圈时，远望三号测量船在近地点顺利发现目标，把相关数据传送到北京航天飞行控制中心，同时把有关指令发至“嫦娥一号”卫星。实行这次近地点变轨后，卫星由24小时周期轨道进入48小时周期椭圆轨道，远地点高度将由7万多公里提高到12万多公里。“嫦娥一号”卫星进入48小时周期轨道后，先后开启太阳风离子探测器和太阳高能粒子探测器，进行数据采集和环境探测。 31日17时15分，“嫦娥一号”卫星接到指令，发动机工作784秒后，正常关机。17时28分，“嫦娥一号”在48小时周期轨道上运行1圈后，成功实施了第三次近地点变轨，顺利进入地月转移轨道，开始飞向月球。这也是卫星入轨后的第四次变轨。进入地月转移轨道后，“嫦娥一号”卫星在地月转移轨道只进行了一次中途修正，就直飞月球捕获点。第2节 环绕月球运行 第一次制动 11月5日11时37分，北京航天飞行控制中心对“嫦娥一号”卫星成功实施了第一次近月制动，顺利完成第一次“太空刹车”动作，月球捕获卫星，卫星成功进入12小时绕月椭圆轨道。这次制动的目的是降低“嫦娥一号”卫星的飞行速度，以防逃逸月球。第二次制动 11月6日11时35分，北京航天飞行控制中心对“嫦娥一号”卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5小时的环月小椭圆轨道。第二次近月制动主要目的是使“嫦娥一号”进一步降低飞行速度，使其进入“过渡”轨道，从而为卫星最终进入工作轨道做准备。第三次制动 11月7日8时24分，“嫦娥一号”卫星主发动机点火，实施第三次近月制动。8时35分，“嫦娥一号”卫星主发动机关机，第三次近月制动结束。“嫦娥一号”卫星从近月点高度212公里、远月点高度8617公里的椭圆轨道，成功调整到周期127分钟、高度200公里的极月椭圆形轨道，从而正式进入科学探测的工作轨道。至此，“嫦娥一号”经过长途跋涉，耗时13天14小时30分钟终于成为月球的一颗“人造卫星”。2当“嫦娥一号”完成绕月计划后，需要脱离月球的束缚，返回地球。这时就可以再次点燃发动机，给“嫦娥一号”加速，提高其绕月环绕高度，直至脱离月球的吸引，奔向地球。在“嫦娥一号”飞向地球的过程中也需要调整其飞行速度，改变其航向，直至被地球俘获，继而成为地球的一颗“人造卫星”。在“嫦娥一号”环绕地球运行过程中，继续实施变轨，降低绕行速度，选择适当位置，最后在发动机制动及降落伞的作用下安全着陆到地球。3第2章 “嫦娥一号”的运行轨道“嫦娥一号”环月卫星与行星的运行轨道一样，都是椭圆形，这正是开普勒第一定律（椭圆定律）。开普勒定律是万有引力定律的推论，为了看清楚这一点，下面就从引力与距离平方的反比规律来推导开普勒定律。第1节 圆锥曲线椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线。在极坐标系中按照“焦点准线”定义圆锥曲线最为简单。见图 21。 Q图21定义：如果一个点到焦点与到准线 之间的距离之比为一常数，那么，这个点的轨迹就是一条圆锥曲线。在地面抛出去的石块的运动轨迹是一条抛物线；太阳系中的行星围绕太阳运动的轨道就是椭圆（圆是一种特殊的椭圆）；从太阳系以外飞过来，然后永远地离开太阳系的行星的运动轨道就是一条双曲线。 用数学表达式表示为 =常数，其中 为正常数，是圆锥曲线的离心率。设为极坐标的极点，为点的极坐标，如图21有，4，其中为半正焦弦。所以，圆锥曲线的极坐标方程为，或，也可表示为 ， （1）如果，这个圆锥曲线是椭圆；如果，这个圆锥曲线是抛物线；如果，这个圆锥曲线是双曲线。第2节 径向单位向量和周向单位向量 以表示径向的单位向量，见图22，有 ， （2）图22其中表示方向的单位向量，表示方向的单位向量，表示周向的单位向量（垂直于径向方向），则有 （3）5由（2）和（3）知道单位向量和的方向是变化的，对极角进行微分，有 （4） （5）第3节 速度与加速度在极坐标系中，质点的位置向量为 ， （6）它是关于时间变量的两个参数方程，即 ，对求导得到速度向量 （7）速度图23速度向量再对时间求导得到加速度向量6 （8）加速度图24第4节 开普勒定律 下面首先推出开普勒第二定律由于万有引力是中心力，引力的大小与距离平方成反比关系，引力的方向是沿着径向的。若单位质量的质点受到的径向力记为，有， （9）中心力场没有周向力，即 （10）（9）和（10）就是行星运动的轨道微分方程。由于是二阶微分方程，所以要在 为已知的情况下才能求解。 4.1 开普勒第二定律 将（10）乘以，得 ， （11）即，故7 ， （12）其中是常数，代表质点的单位质量的角动量。 在极坐标系中，面积元素的表达式为 ，由（12）得 （13）这就是开普勒第二定律的表达式，即从太阳到行星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，它与的具体形式无关。4.2 开普勒第一定律 用（12）式将（9）式改写为 （14）下面作一个代换，令 ，现在（12）式变为 （15）质点速度的径向分量为 。 （16）径向加速度为 （17）8代入（14）得 （18）如果引力与距离的平方成反比，即， （19）其中是常数代入（18）式得 ， （20）这个微分方程的通解为 ， （21）其中和是任意常数与（1）式相比较得， ，即 （22）这是圆锥曲线方程，其中是圆锥曲线长轴与轴的夹角，如图 25。 图259这就是说，行星运行的轨道是以某个恒星为焦点的椭圆、抛物线或双曲线。如果轨道为有界，即位移向量不出现的情况时，行星的轨道是以该恒星为焦点的椭圆。这就是开普勒第一定律。 4.3 开普勒第三定律 对（13）式进行积分得到行星围绕太阳运行一周扫过的面积 ， （23）其中是行星围绕太阳运行一周所用的时间（一个周期），而是椭圆轨道的面积。由于椭圆的面积公式为，其中是椭圆轨道的长半轴， 是椭圆轨道的短半轴。由（23）式，得 （24）又椭圆的半正焦弦 及 ，所以，由此可见 正比于这就是开普勒第三定律，即行星运动周期的平方正比于椭圆长轴的立方。 10第3章 “嫦娥一号”飞行过程中主要涉及的数学原理“嫦娥一号”的整个飞行过程是很复杂的，其中涉及到许多科学原理和科学技术问题，这里难以一一列出，现就其中的主要数学原理分析如下。在“长三甲”运载火箭将“嫦娥一号”送入太空的过程中，要求其发射速度至少到第一宇宙速度。由于卫星飞离地球时有一定的高度，即距离地心的距离要大于地球的半径，因卫星要飞离地球其速度要大于第一宇宙速度。只有这样才能保证“嫦娥一号”不至被火箭“抛出”后落回地面。运载火箭上升过程中所遵从的物理原理是我们所熟知的动量定理（近似情况下，可视整个系统的动量守恒），即火箭在氢气燃料燃烧后向下喷出火焰所施加的持续反冲力作用下，加速上升，由于“长三甲”是捆绑式分级火箭，每当抛出一级火箭后，整个运载火箭的质量就大大减小，这样就能获得更大的加速度（物体在一定力的作用下，其质量越小，所能获得的加速度就越大牛顿第二定律），直至将“嫦娥一号”的速度提升到发射速度。火箭在大气层内运动的过程中，与大气的摩擦力是很大的，摩擦力作功会使大量的机械能转化为热能，导致火箭表面的温度到达很高。因此，火箭、卫星外层要用由耐高温材料制作的防护罩来保护。“嫦娥一号”在环绕地月运行过程中，分别以地球与月球所施加的万有吸引力为其做圆周运动的向心力，飞行的高度不同，其运行的速度不同。根据开普勒第二定律（即在相等的时间内扫过的面积相等），在近地、月点运行的速度快，而在远地、月点运行的速度慢（即卫星离地、月的距离越远其运行的速度就越小）。在“嫦娥一号”数次变轨（绕地、月）的过程中，由于其距离地、月表面的高度不同，其绕行的速度也就不一样。要实现卫星着陆地球，就要使其运动速度小于环绕地球运行的最小速度（即第一宇宙速度）。因此，在卫星装备着陆时需要进一步地降低运动速度。而在其下落过程中，由于受地球引力的作用，其运动速度会不断增大，若不采取措施，落地的速度就会很大。因此，在其下落过程中又要采取降速的措施，即通过制动以及降落伞为返回的卫11星减速，以便安全着陆。在“登月车”着陆月球时，原理大致相同。当然，关于“嫦娥一号”的实际探月过程，要比我们这里分析的复杂得多。这是因为我们在分析的过程中未考虑地球和月球的自传以及地球与月球之间的相互作用，事实上，“嫦娥一号”的运行过程涉及到的是三体（地球、月球、卫星）问题，而不是我们这里予以简化的两体（卫星与地球或月球与卫星）问题。虽然三体运动问题的实际情况要比两体的复杂许多，但无论哪种情况，所遵从的基本数学原理是一样的。 12参考文献1 余东，尚莹，“嫦娥一号”全解读 J，环球人物，2007，202 卜月华，中学数学建模教与学 M，东南大学出版社，（2002）3 李鹏，中国探月计划出台始末揭密 J，课外阅读，2007，014 程守诛，江之永，普通物理学 M，北京：高等教育出版社，(1998）5 王高雄，周之铭，常微分方程 M，北京：高等教育出版社，(1978)6 (罗）迪亚库，（美）霍尔姆斯，王兰宇译，天遇 M，上海：上海科技教育出版社（2005）7 齐民友，从遨游太空到嫦娥奔月 R，华东师范大学：华东师范大学数统学院研究生会，20078 同济大学应用数学系，微积分 M，北京：高等教育出版社，（2000）13绥化学院本科毕业论文创作声明本人郑重声明：此处所提交的毕业论文 ，是本人在导师指导下，在绥化学院学习期间独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明的部分外不包含他人已发表或撰写的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。作者签名： 日期：年月日绥化学院本科毕业论文使用授权书 系本人在绥化学院学习期间在导师指导下完成的本科毕业论文。本论文的研究成果归绥化学院所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。 本人完全了解绥化学院关于保存、使用学位论文的规定，同意学院保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权绥化学院, 可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。作者签名： 日期：年月日导师签名： 日期：年月日致 谢本论文是在我的导师教授的亲切关怀和悉心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。从课题的选择到项目的最终完成，刘教授都始终给予我细心的指导和不懈的支持。这半年多来，刘教授在学业上给我以精心指导，在此谨向刘教授致以诚挚的谢意和崇高的敬意。 其次要感谢绥化学院所有曾经为2004级数学与应用数学专业授课的老师，老师们教会我的不仅仅是专业知识，更多的是对待学习、对待生活的态度，这将使我受益终身。 在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!14毕业论文（设计）任务书 题 目 专 业 姓 名 指导教师姓名 指导教师职称 论文提纲及基本要求 主要参考资料指导教师签字: 年 月 日本科毕业论文（设计）指导教师意见学生姓名学号教学单位专业年级指导教师姓名学位职称论文（设计）题目字数指导教师评语：指导教师意见： 指导教师签字： 年 月 日指导教师评价表（理论类）学生姓名： 总分： 指导教师： 评价项目分值具 体 要 求得 分ABCDE文献调研 15全部阅读了教师指定的参考资料；15131197能独立查阅文献和从事其他调查研究；资料占有量大，对课题的发展动态清楚。外语水平5外语摘要书写规范、准确、流畅；54321能够阅读外文文献。工作态度10按期完成规定的任务；109876工作努力，严谨务实。论证能力25立论新颖，论点鲜明，论据确凿；2522191613数据、材料翔实可靠，有说服力；有较强的分析能力和概括能力。逻辑结构10论文结构合理，条理清晰，逻辑性强。109876撰写规范15语句通顺，无错别字；15131197数据、图表规范，技术或专业用语准确；论文格式符合撰写规范。学术创新10有独特见解，对前人工作有改进或突破。109876学术价值10成果突出，有一定的理论或应用价值。109876指导教师评价表（实验类）学生姓名： 总分： 指导教师： 评价项目分值具 体 要 求得 分ABCDE文献调研10能独立查阅文献和从事其他调查研究；108642有收集、加工各种信息及获取新知识的能力。外语水平5外语摘要书写规范、准确、流畅。54321能够阅读外文文献。实验方案10能周密、合理地设计实验方案。109876实验能力10有较强的实际动手能力和计算机应用能力。109876工作态度10按期完成规定的任务；108642遵守纪律，严谨务实，未出现任何事故；撰写质量20结构严谨，逻辑性强，论述清晰；2018161412文字通顺，无错别字，技术用语准确；数据、图表规范，论文格式符合撰写规范。综合能力20能运用所学知识和技能解决实际问题；2018161412能对课题进行理论分析，得出正确结论；能正确处理实验数据。学术创新5有创新意识，对前人工作有改进或突破。54321成果价值10成果突出，有一定的理论或应用价值。109876毕业论文（设计）答辩评分表（理论类）学生姓名： 答辩成绩： 评价内容分值 具 体 要 求评 分ABCDE背景阐述10问题的产生、意义、研究状况等阐述清晰；108642文献内容、作者、年