基于小信号提取及放大技术的早期试井项目研究开发报告.doc

基于小信号提取技术早期试井研究报告大庆油田测试技术服务分公司中国科技大学工程软件研究所2008-9-652目录目 录第一章 概论 11.1 项目的来源、目的和意义11.2 主要研制过程21.3 技术成果、创新点和技术突破21.3.1 主要技术成果21.3.2 创新点和技术突破31.4 合同内容的完成情况和总体评价5第二章 国内外研究现状及发展趋势82.1 国内外研究现状8 2.2 发展趋势10第三章 早期试井技术原理123.1 前言 123.2 数学物理模型 123.2.1模型建立的地质条件 123.2.2连续性方程 133.2.3达西定律 133.2.4状态方程 143.2.5单相流渗流力学方程 143.2.6定解条件 153.3 点源（汇）解 163.4 newman乘积原理 203.5 线源解 223.6 格林函数 233.7 方程无量纲化 253.8 早期试井分析 273.8.1提取技术实现新图版 27 3.8.2 典型曲线推导29 3.8.3 特征及适用条件31第四章 早期试井软件的操作及应用 334.1 前言 33 4.2 软件的主界面 33 4.3 油井参数录入 33 4.4 压力数据录入 34 4.5 早期试井分析36 4.6 正确性检验 38 4.7 实例应用40第五章 现场试验 33第一章 概论第一章 概论1.1项目的来源、目的和意义我国每年都有成千上万口油气井需要进行压力测试，分析和解释这些压力资料就是试井分析所要完成的任务。试井分析的结果为开发方案的制定、射孔及压裂效果评估、勘探试油等提供基础数据。新探明石油储量约2/3为低渗透油气田，全国的低渗透井约10万余口，1/3为易开采油气田。以大庆油田为例外围采油厂由于渗透率低，注水受效差，油井产量低，部分井采取提捞式或间歇式采油，而另一部分井即使能够满足连续开采，但产量也较低。据不完全统计大庆油田采油七十厂共有间歇采油井近1000口，提捞井3000多口，并且这些井还有逐年增多的趋势。部分油井虽然进行了压力测试，但没有合理解释手段，只能外报末点压力低产液井有近70的压力恢复试井资料没有出径向流直线段，解释结果多解性强，使得地质开发人员无法准确了解测试井的地层信息，严重影响了资料利用率，采油厂对提捞井或间歇采油井工作制度的制定没有理论指导仅凭经验制定，无法充分发挥这些井的产能。 迫切需要了解地层压力及地层参数，以及合理的工作制度制定方法。如果减少测试时间，相应的增加生产时间，可以提高油井产量；合理的工作制度可以节约能耗，降低开发成本。同时压力资料的试井解释已成为油气田探勘开发中不可缺少的环节，就试井分析方法而言目前只有直线段分析方法及压力与导数拟合方法两种（非线性回归只是用计算机取代人工拟合，实质仍然是曲线拟合法，数值试井只是有别于解析解的无量纲压力计算的一种方法），这两种方法都是适用于时间较长，即压力资料出现径向流后的压力解释。如半对数分析法是根据函数在时间较大时可用对数函数来近似理论得出，导数拟合法也是基于时间较大时井底压力可用对数近似而得到后期出现数值为0.5水平线。随着低渗透油气田的不断开发，有大量的压力测试资料出现不了径向流，虽然国内许多学者开展了基于褶积与反褶积方法直线段分析研究，但由于该方法实质是直线段分析，仍然无法解决这一难题。在油气勘探开发中，建立早期试井资料的分析方法，不仅可以缩短测试时间，节省成本，而且能够减小油藏边界等因素对试井分析的影响。尤其对我国低渗透油气藏，压力测试数十天甚至数月都出现不了径向流（甚至压力资料完全处于井筒存储阶段），且这些井例越来越多，仅大庆油田七到十厂每年有近2000多口井测试压力不出现径向流，对这些井的压力测试没有合理的解释手段，只能外报末点压力。即使勉强做了分析解释，由于没有出现径向流解释结果多解性强，使得地质开发人员无法准确了解测试井的地层信息，严重影响了资料利用率。因此迫切需要一种突破传统的褶积与反褶积方法直线段分析方法的新的早期试井分析方法，解决早期资料的试井分析问题。1.2 主要研制过程本研究从基本的渗流力学方程出发，研究渗流力学方程在时间较小的保留二阶精度的无量纲压力及其导数的表达式，通过对压力表达式的分析，组合出一个新型的替代压力导数曲线拟合图版，并给出试井分析方法及唯一性检验方法，解决不出现径向流直线段的压力资料试井分析方法。针对提出的新型图版开展压力资料解释评价检验工作，从而从实践上验证方法的适用性、适用条件，并提出完善方法。通过大量的测试资料检验，提出压力测试时间间隔及最短关井恢复时间等指导压力测试资料的录取。 在开发过程中，根据使用人员的具体情况，收集了他们不同的专业需求，采用当前主流的软件开发技术，实现了没有出现径向流的压力资料解释问题，特别是缩短了测试的时间，提高了生产效率，更好的为生产研究工作服务。1.3主要技术成果、创新点和技术突破 1.3.1主要技术成果1、针对压力表达式特点建立早期压力的渐进表达式，如均质无限大地层考虑井筒存储与表皮效应的压力表达式为式中 、- 0阶、1阶第一类bessel函数； 、- 0阶、1阶第二类bessel函数；使用第一类和第二类bessel函数有关性质，得到二阶精度下时间较小时的压力表达式；2、对表达式进行分析，得到适合于典型曲线拟合早期试井分析图板，该图板对早期数据敏感，对后期数据不敏感（即不同的组合参数，后期图板可能会成为一条直线）；3、至少提供一种检验方法，以降低曲线拟合可能造成的多解性，使得压力解释可靠性增强；4、对压力恢复数据的解释，从渗流方程出发，采用数学推导，研究生产时间与最大关井时间的关系，指导压力资料的测试；5、从渗流方程出发，研究压力恢复的最短测试时间，并从大量的压力资料中验证理论结果，从而提出修正的公式；6、研究针对早期数据的泄油面积内平均压力的计算方法，给出早期解释结果下的原始地层压力（或称为外推压力）；7、根据理论研究，研制开发相关的试井分析软件；8、使用大量的现场实例检验早期试井分析方法，进一步完善早期试井分析方法及相关的软件。1.3.2创新点和技术突破1.3.2.1 创新点1、采用小信号提取技术，得到二阶精度以上的早期压力表达式，采用对时间、压力及导数的不同组合方式，去除一阶精度的压力表达式，保留二阶精度的压力表达式，采用合适的放大方法，对二阶精度的压力表达式进行放大；2、使用二阶精度的压力表达式代替gringatenbourdet图版中的压力导数，制作不同组合参数下的典型曲线，最终得到一个适用于早期试井分析的组合图版；3、图版检验方法研究，像压力及导数图版拟合一样，一般需要进行无量纲horner检验，从而进一步降低试井分析的多解性，最早期也需要提出一种检验方法或几种检验方法，达到降低试井分析的多解性的目的；4、对压力恢复资料的生产时间修正研究与应用，大多数压力测试都是针对压力恢复资料，一般来说图版都是从压力降落计算得到，需要研究压力恢复测试中生产时间的校正，对于多级流量测试后的关井压力恢复需要采用多级流量校正；5、关井压力恢复的最大测试时间研究，早期试井并非测试几小时的数据就可以使用，需要研究最小关井测试时间；6、早期压力测试时间间隔研究，由于提出的图版针对早期，需要早期的数据点比较密集，从理论与实验研究测试时间间隔；7、实际资料解释结果方法研究，通过大量的实际资料检验，摸索一套解释分析方法，为软件的普及推广服务。1.3.2.2技术突破针对上述研究内容及需要解决的关键，提出以下解决途径1、使用渗流力学方程的解析解，得到二阶以上精度的压力表达式，如均质无限大地层考虑井筒存储与表皮效应的无量纲压力在laplace空间上的表达式为： 式中 、 -分别是零阶、一阶虚宗量bessel函数；利用零阶、一阶虚宗量bessel函数在x较大时的渐进表达式，同时对laplace空间的无量纲压力进行解析反演，得到压力表达式；2、对压力表达式进一步研究，二阶小量的放大方法，通过对压力等不同的组合得到新型图版，为试井分析提供理论基础；3、开展基于压力恢复的渗流力学方程的解析解研究，得到包括生产时间、恢复时间的无量纲井底压力表达式，通过对表达式的分析提出生产时间的修正方法；4、开展基于多级流量的渗流力学方程解析解研究，得到包括流量历史等的无量纲井底压力表达式，通过对表达式的分析提出多级流量的修正方法。1.4 合同内容的完成情况及总体评价合同内容主要为针对不出现径向流直线段的压力资料，开展时间较小时的渗流力学求解方法研究，提出一种新的试井分析方法，得到新的试井分析图版，研制开发相应的试井分析软件；开展针对不出现径向流直线段压力资料的应用研究，使得试井分析软件能对压力恢复资料、多级流量资料进行解释分析，并得到地层原始地层压力（或称为外推压力）及泄油面积内的平均压力。针对以上合同内容，项目进度安排如下：1、2006年7月-9月现场收集资料及调研：通过对现场资料的收集有针对性地开展不出现径向流直线段试井分析软件的调研工作，主要包括（1）、调研整理现有文献所有试井分析方法从中筛选出适用于不出现径向流直线段试井分析方法；（2）、通过调研分析已有不出现径向流直线段试井分析方法的适用范围及适用条件。2、2006年10-12月开展渗流力学方程求解的基础研究：不出现径向流直线段试井分析一直没有突破，主要缺乏针对早期压力特征研究，需要从渗流力学基础理论开展研究，分析早期压力特征，通过对压力的组合得到替代压力导数的新型图版，采用新型图版拟合分析不出现径向流的早期压力数据。3、2007年16月算法的编程与调试：对理论研究成果进行分析，设计开发出相关的计算方法，对计算方法进行编程得到用于早期试井分析的新型图版；开展新型图版的检验及程序调试工作；通过调试完善计算程序，同时开展早期新型图版拟合及试井分析工作。4、2007年7-12月软件的需求分析、概要设计、详细设计及软件编程：针对大庆油田的早期压力测试资料进行软件的需求分析，同时完成软件的概要设计及详细设计；根据软件的详细设计进行软件的编程研制开发早期试井分析软件，软件主要采用控件机制；完成软件的组装并对各控件的接口处进行软件测试，完善软件。5、2008年16月对软件的现场及实例测试：使用标准实例测试用于检验方法的正确性；使用现场实测数据进行测试，测试软件中隐含的bug，同时检验新型图版的正确性；提出软件修改完善之处，供软件开发人员参考；提出早期压力测试资料的规范要求，为大面积的软件推广做准备。6、2008年78月整理材料准备鉴定：整理相关的技术开发文档，软件测试报告、软件使用报告等。经过组织专家技术鉴定，项目的成果 早期试井软件产品（包括技术文档、操作说明等）各项指标复合合同技术要求，具体如下。1、针对不出现径向流直线段的压力资料，通过新的试井分析方法，能够得到地层渗透率、井筒存储、表皮因子、探测半径、外推压力及探测半径内的平均地层压力。2、通过30口井次的不出现径向流直线段的压力资料解释，实现地层渗透率的相对误差小于10%，表皮因子绝对误差为3、研制开发的不出现径向流直线段试井分析软件功能齐全，具有较好的容错功能，不正常死机率小于1%。总体评价良好。第二章 国内外研究现状及发展趋势第二章 国内外研究现状及发展趋势2.1 国内外研究现状自从gladtrelter等人于1955年提出了校正压力恢复数据的方法以来，国内外很多人都对早期试井分析进行了研究。国外提出了分析适用于早期的试井分析方法，如kucuk1,3等提出褶积（卷积）方法，whitson4,5等提出反褶积方法，这些方法成为早期试井分析方法的理论基础。国内开展了大量早期试井分析方法的应用研究，其基本理论都是基于褶积与反褶积方法直线段分析方法。唐仁选6，7等在1994年对根据续流特征直线的经验方程和利用常规方法求取表皮系数的关系式，推导出利用早期压恢资料求解油藏渗透率k和表皮系数s的方法进行了改进，但需要预先知道地层压力是其不足之处。李笑萍等对于低渗透油田,在通常的关井压力恢复测试中,油井测压资料不能出现径向流直线段,针对这种情况建立了一种用早期续流段试井资料解释地层参数的实用方法,通过计算续流量利用褶积分析方法解释早期试井资料,可对实测压力数据点落在半对数直线段上方和下方的两种情况都收到较理想的解释效果,能解释出比较可靠的地层参数.这种新的解释方法大大提前了半对数直线段出现时间,缩短了关井时间。尹洪军8等提出了校正恢复曲线续流段数据的求解精度和求解速度方面的改进方法。利用最优化方法编制成计算机程序，对续流量满足双曲线函数，调和函数计指数递减规律的压力恢复曲线进行解释效果较好。汤文玲等认为由于油藏低渗透或存在井网、多层等干扰,大量油井的压力恢复曲线难以出现径向流直线段,有的井甚至不存在径向流动段.这些测试资料不能用常规试井分析方法解释,用其它试井方法解释也具有多解性.通过对油井实测续流资料的研究分析,认为用续流资料进行试井解释的新方法,对实测压力数据点落在半对数直线段上方和下方的两种情况的解释效果都较理想.这种新的试井解释方法大大提前了半对数直线段出现时间,缩短了关井时间。郭康良9，10等用所求地层压力作控制点，控制真实曲线与理论图版的匹配，进而求解地层参数，解决了非常规压力恢复曲线无法解释的矛盾。陆建林11等利用基于van enverdingen 和hurst 的叠加函数理论，分析了受续流影响的早期试井资料的特点，提出了更能有效地对早期资料进行续流和表皮效应校正的新方法和新的表皮系数计算公式，给出了新的早期资料解释方法，得到与horner 法相似但比该法有更长直线段和更准确斜率的曲线及新的表皮系数计算公式，能同时对续流和表皮效应进行校正。对短期资料校正的关键就是对续流量的校正。要对续流量进行校正，必须要有续流史数据;而由于难以获得直接测量的续流量数据，因此续流的计算就成为短期资料校正的关键。除了进行续流量校正外，用反卷积方法求得常产量压力。李笑萍等12通过计算续流量利用褶积分析方法解释早期试井资料，对实测压力数据点落在半对数直线段上方和下方的两种情况进行了解释，得出比较可靠的地层参数。另外，刘通9等通过校正续流段压力数据，使用了考虑嘴损的早期试井方法进行解释，同时反求出续流量，计算出地层参数。1993年卢德唐、郭冀义13等提出脱离褶积与反褶积方法直线段分析概念的新方法，但该方法由于没有提供一个检验其唯一性的方法，也没有得到很好应用。雷霆等提出改进的极值拟合法，方法能够根据实测压力导数曲线的极大值直接计算出与其匹配的理论曲线的cde2s值,从而简化了曲线拟合工作.该方法不需要径向流段数据,所以能够处理未出现径向流段的试井资料,提高了资料利用率.另外,对于均质油藏,用该方法解释资料不需要长时间关井等待出现径向流,因此能够缩短试井时间,提高油田产量,具有很好的经济效益，但理论模型的推导在实际应用中存在着局限性。黎福长，王刚则分析了常见的早期压力恢复曲线的形态特征，并研究了早期试井曲线偏离径向流量论直线的原因，推导出了相应的确定并筒和地层参数的公式。针对在关井后续流量随时间的不同变化规律，论述了几种校正压力恢复曲线早期段的试井分析方法，文中给出实例，利用分析早期曲线可以获得井筒储存常数等井筒附近的信息。如果选择合理的压力恢复校正方法，还可以获得可靠的渗透率、表皮因数等地层参数，但没有得出一个能够普遍应用的早期试井模型。程博等根据凝析气在多孔介质中渗流时的相变特征,推导出凝析油-气渗流方程,并引入凝析油-气两相拟压力函数使渗流方程线性化、实用化;建立了井筒与地层内存在反凝析现象的凝析气井试井数学模型,确立了凝析气井压力恢复试井资料的解释方法;在实测资料的试井解释过程中,首先根据凝析油-气的流体相态和凝析气田相对渗透率计算出气井压力恢复所对应的拟压力,再对拟压力做半对数、双对数分析,可计算出气藏渗透率、地层系数、气井表皮因数.孙贺东等认为由于气体性质是压力的函数,气井试井与油井相比更加复杂.通过定义合适的拟压力和拟时间,微可压缩流动问题的解就可以应用到气井试井分析中.有三种定义拟变量的方法:压力平方法过于简单,因此在现代试井分析中很少应用;拟压力法从20世纪70年代得以广泛的应用,但是近年有被标准化拟变量取代的趋势;标准化拟变量方法更适合于现代试井分析.文章在标准化拟变量基础上,提出了分析气井早期受井筒储存影响的模拟反卷积方法,该方法通过反复试算方法逐步消除井筒储存的影响,卷积后的数据可用常规的半对数直线段或典型曲线进行分析.最后,用油田实例证明了此方法的正确性,同其他方法相比,本方法计算迅速、准确、容易应用.国外试井理论方面的研究进行的较早，但是对与低渗透的油田不出现径向流的压力资料解释研究的不多，因为开发的成本较高，经济效益不明显。22 发展趋势综上所述，国内虽然有大量早期试井分析的文章（数量多达50多篇），但都是基于褶积与反褶积直线段分析理论，只是对续流量进行了不同的假设，因此，不可能解决早期不出现径向流的试井分析。因此随着国内低渗油田的不断开发和投产，对于没有出现径向流的压力资料进行解释就显得尤为迫切，如果能够通过有限的压力资料得到可靠的试井结论，将给生产带来极大的经济效益和生产效率。这就要求试井理论有所突破，只有理论创新才能解决目前生产中遇到的技术难题，试井理论的发展趋势就是解决早期不出现径向流的试井分析。同时，对于复杂边界和地质条件的油藏和复杂井型的大规模投入使用，用传统试井理论的解析模型不能得到准确的试井结论，而用现代的计算技术，采取数值试井技术则可以解决试井问题，这也是试井技术发展的一个趋势，在此不做具体阐述。第三章 早期试井技术原理第三章 早期试井技术原理3.1 前言试井理论经过几十年的发展，在油田的勘探开发领域取得了长足的进步，为石油的生产和科研带来理论的飞跃，随着经典试井理论在生产中遇到的难题，需要有新的发展。传统试井方法需要油（气）井的压力资料出现径向流，也就是在图版上出现直线段后才能准确的试井结论，但对于压力测试时间较短，或者压力测试资料很难出现径向流的油藏，则“手足无措”，国内外针对此也进行了许多研究，但都是基于褶积与反褶积直线段分析理论，只是对续流量进行了不同的假设，因此，不可能解决早期不出现径向流的试井分析。早期试井理论从渗流方程出发，利用小信号的提取和放大技术，很好的解决了这个技术难题，在实际生产中得到了很好的应用，现将气原理总结如下。3.2 数学物理模型3.2.1 模型建立的地层条件在均质无限大地层中，假设地层及地层中的流体满足如下条件 1）油藏水平各向同性、均匀且等厚度； 2）地层中的流体及岩石为微可压缩的； 3）多孔介质中的流体满足达西流动； 4）考虑表皮因子和井筒存储；5）没有源汇，忽略重力的影响；6）油井以定产量q生产且开井前地层压力为原始地层压力pi这些条件，在一般的工程问题中是成立的。3.2.2 连续性方程 流体在多孔介质中流动，它的质量既不会增加也不会减少，即保持质量守恒,这个质量守恒所满足的微分方程即为连续性方程。 (3.1)方程(3.1)即为单相流体的连续性方程，其中是源汇项，若油藏中没有源汇的话，则为零。对于多相流体，其连续性方程就要复杂一些,在此不再给出。3.2.3 达西(darcy）定律 在介绍达西定律之前，首先需要引进渗流速度概念。渗流速度是因为在多孔介质中引进连续性假设而得到的。假想流体充满着全部颗粒及孔隙所占的空间，而通过任意截面的流量仍假定保持原来的实际流量不变，从而可以像通常流体力学那样去定义流体在每一点的速度，这个速度即为渗透速度。通过孔隙介质的线性流符合达西定律，它反映了压力梯度与流体流速的关系。这个定律首先是法国工程师达西（darcy）从实验中总结出来的。他利用水通过砂过滤层的实验，得到水压头梯度与流速的定量关系。这个定律后来被推广到其他流体渗过多孔介质上去。达西定律的一般形式是指通过多孔介质的流体的流量与压力梯度成正比，而与流体的粘度成反比。即 (3.2) 如果不考虑重力项、则达西定律的微分形式方程为 (3.3) 对各向异性介质，达西定律可表示成 (3.4)3.2.4 状态方程状态方程是指多孔介质或流体在压缩或膨胀过程中，其所受的压力，密度，温度或其它热力学参数之间的关系。对于一般的液体，它的压缩性可用类似于胡克（hooke)定律来描述，即对于承受一定压力的液体，液体体积的相对变化率与压力变化成正比，即 (3.5)对式（3.5）积分得到 (3.6)3.2.5 单相流渗流力学方程对各向同性的均质地层，可以引用类似于(3.5)的状态方程形式来描述多孔介质和流体共同存在时的状态方程 (3.7)假定,是常数，且很小，方程（3.7）可近似写成 (3.8)将式(3.8)代入连续性方程(3.1)得到 (2.9)将达西定律(3.3)代入方程(3.9)得到 (3.10)由于液体的压缩性较小，因而r可以认为不变，如果假定为常数，式(3.10)变成 (3.11) 如果研究区域内无源，方程（3.11）可化简成 (3.12)方程（3.12）微可压缩流体在多孔介质中所满足的渗流力学方程。很明显方程（3.12）是扩散型或热传导方程。 如果流动是定常或流体和地层等不可压缩，于是式（3.12）变成laplace方程 (3.13)在各向异性介质中，如果取坐标轴与介质的主轴一致，这时渗透率的张量是对角线型的，于是渗流力学方程可写成 (3.14) 如果，和都是常数，且在研究区域上无源或汇，令(i=1,2,3),于是方程（3.14）可写成 (3.15)3.2.6定解条件渗流力学方程是扩散型方程，要最终得到它的解，必须要给出渗流力学方程所满足的初始条件和边值条件，其中边值条件至少要知道两个边值。、初始条件 (3.16)式中 . 是一个已知函数、边值条件边值条件可分为内边界和外边界条件，在外边界上一般采用定压和封闭两种外边界条件。(1) 外边界条件定压条件一般形式为 (3.17)式中 . 是如图3.1所示的外边界， . 是已知的函数;封闭条件的一般形式为 (3.18)根据达西定律,边界条件(3.18)可写成压力的表达式 (3.19)因此有 (3.20) 井 图3.1 井外边界示意图 图3.2 井结构及外边界图(2) 内边界条件内边界一般为井壁，在井壁上，每单位时间的流量为 (3.21)对于平面径向流，井壁上的流量又可表示成 (3.22)至此，得到了地层中的流体流动完整的数学物理模型，由渗流方程及其定解条件组成了一个封闭的方程组，就可以求解油层中的压力分布，进而求得井底压力随时间的变化，但对于在不同的边界条件会有不同的压力解析解。3.3 点源（汇）解在渗流力学中，瞬时平面电源定义为：在=的瞬间向饱和的多孔介质内一点注入微量流体，其体积为，质量为，而在时刻之前和之后以及点之外均不注入流体。类似地，若将上述改为抽出，则称瞬时平面点汇。为此，首先介绍一下函数。 在物理学中经常遇到的物理量都是一些连续分布的量（例如质量、热量等），这些连续量可用密度函数来表示（例如质量分布密度，热源强度分布等）。除了连续的分布量以外，有时还会遇到集中分布的物理量（例如质点、点电荷、点热量、集中力等）。函数就是一个描述集中分布的物理量的数学工具。如果要在数学上用一个函数来描述这些集中分布的物理量，它就要满足以下两个要求： (1) (3.23)(2) (3.24) 函数的一个重要性质就是：对于任意的连续函数都有 (3.25) 函数的另一个重要性质就是对称性即 (3.26) 因此可以用 函数来描述渗流力学中的瞬时点源解。对无限大平面的微可压缩流体的渗流，压力与密度之间线性关系由式(3.6)给出，因此关于压力的扩散方程可以改写成关于密度的相同形式的方程。若时刻在点处注入质量为的流体，则密度所满足的方程及其定解条件为用积分变换法求解多维非稳态渗流微分方程，可逐次对其中的一个空间变量进行积分变换，从而逐次消除方程中对空间变量的偏导数，最后给出多次变换函数对时间求导的一阶线性常微分方程。解出多次变换函数后再逐次进行反变换，即得压力函数分布。0xyabld图3.3 矩形油藏中的一口井考察一个矩形地层，面积为，井位于，其点汇强度为常数，如图3.3所示。讨论边界条件为定压和封闭两种情况下的压力分布函数。这种流动的定解问题有两种提法，第一种提法是把井最为点汇列入方程，使其成为非其次方程并使用于整个矩形，边界条件之考虑四周边界。第二种提法是对井立一内边界条件，方程中不含源汇项因而是齐次的，它适用于去掉井点的复连通区域，另外还有外边界条件。根据这种定解问题两种不同的提法，式(3.27)(3.29)也可以写成如下的定解问题。通过对空间坐标和函数傅立叶变换和反变换，可以得到其密度函数(3.32)式中. 是待定常数，它与注入量有关；根据质量守恒定律，在的任意时刻，（单位厚度）介质中流体的质量增加应为 式(3.32)代入(3.33)得： 作变量变换，令 ， 代入式(3.34)，则有 由此定出系数，代入(3.32)得到瞬时电源诱导的密度为 再利用状态方程密度与压力之间的线性关系(3.8)，以及，式(3.37)可以改写成 式(3.38)就是瞬时点源解的压力表达式，也就是说，若在无限大平面多孔介质中在点处施加一个压力脉冲，则在任意场点处压力将按上述规律变化。如果不是注入流体，而是采出流体，即介质中增加一个负的，则有瞬时点汇压力解。在实际生产中的渗流问题总是从某一时刻开始持续一段时间进行注入和采出，作为点源成为持续点源。由于方程、边界条件和初始条件都是线性的，它的解在时间和空间上可以进行叠加。若所讨论的点源在处从（通常取）持续到不断注入，对单位厚度的地层而言提及流量为则可以写成 瞬时源解(3.38)对时间从到的积分给出持续点源压力解得一般表达式如(3.41) 3.4 newman乘积原理对于齐次热传导型方程，在齐次边界条件下，如果方程的初始条件也可写成单个空间变量的乘积，那么可以用一维解的乘积构成多维空间上的解。例如压力差的两个一维问题 (3.42) (3.43) (3.44) (3.45) (3.46) (3.47) (3.48) (3.49)如果上述两方程的解分别为和，那么一定是下述问题的解 (3.50) (3.51) (3.52) (3.53) (3.54) (3.55)用直接代入法就可以加以验证，乘积解应用于渗流力学方程，但渗流力学方程的内边界条件必须假定为瞬时点源，于是定流量的井底压力可以通过对瞬时点源解积分,所以一个多维非稳态渗流的解简单地用多个以为非稳态渗流解的乘积给出，但需要满足以下条件：1）微分方程是齐次的；2）边界条件是齐次的；3）初始压力是常数（其特殊情形时零），或者是每个空间变量的乘积，即初始函数可写： 实际上，无论对三维或二维，有限或无限区域，只要对每一方向求出特征函数、范数（以及特征值）且满足该方向初始条件，则其解可以用三个方向的一维的解乘积得到，这就是称之为newman乘积原理，因此在求得了一维有限区域无源汇流动的特征参数、特征值和范数以后，研究多维问题就容易多了。3.5 线源解对于一些较为复杂的情形需要研究源汇的连续分布，这就可以用式(3.40)或(3.41)表示的瞬时点源解对源汇分布区的空间变量进行积分而求得，有了无限大平面中的解以后，对于更复杂的多维问题，可以用newman乘积原理求得解答。无限大平面中直线源可以看作是无限空间的平面源。设在瞬时沿直线的单位长度上采出液量为，它是二级小量。沿整条直线的流量 是一级小量。考虑随变化的一般情形，将式 (3.39)对积分给出瞬时直线源的压力为 若沿直线是均匀分布，即与无关，则上式可写成 根据高斯积分公式 式(3.58)积分结果为 对源汇从时间到任意时刻的持续源，且与时间有关的一般情形，令 则得到持续源的压力分布 在以上的推导中、的量纲分别为和，而。 3.6 格林函数格林（green）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念，由英国人green于1828年引入格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和初始条件下所产生的场知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一，不仅限于解稳态的边值问题，而且也用来解非稳态的边值问题或混合问题，这种方法也广泛用于解各类非齐次定解问题油藏中一般的情形是源汇的分布、边界条件均为非其次的，这时再应用点源和乘积原理时就不能得到满意的结果，格林函数可以很好的解决渗流力学中边界条件和源汇均为非齐次的情况。针对油藏中的渗流力学问题，给出用格林函数形式的一般问题的压力表达式。1）三维问题的压力表达式2）二维问题压力表达式3）一维问题的压力解其中众所周知，格林函数求解一般问题的主要困难在于对于一个给定的定解问题如何寻求一个适合的格林函数，一般用分离变量法比较方便，在此结合油藏工程中渗流力学方程的特点给出用格林函数求解非齐次非稳态渗流问题的方法和步骤：第一步，先用分离变量法求解与非齐次相应的齐次问题；第二步，用代替在第一步求得的中的，即得非其次定解问题的隔离函数；第三步，将求得的格林函数按问题的维数代入解式(3.64)(3.66)，即得用格林函数表示的压力解；第四步，检验。这样用分离变量法求得的结果有时在某些点上并非一致收敛，所以要检查由第三步得出的解是否满足边界条件或初始条件。如果不满足，应将包括边界条件或初始条件的积分项进行分步积分，并将所得的积分表达式用它的封闭形式代替，也就是解决了所谓的gibbs现象。3.7 方程无量纲化为了求解问题的方便，采用无量纲形式的方程和定解条件，得到在均值无限大地层中的数学物理模型。根据附录一定义的无量纲参量，渗流力学方程及其定解条件为： (3-67) (3-68) (3-69) (3-70) (3-71) 在上述方程中，有关参量的定义及其所用的单位，请参阅附录无量纲量的定义及符号说明。对上述方程及其定解条件进行laplace变换 (3-72) (3-73) (3-74) (3-75)式中 - laplac空间上的无量纲压力，且 u - laplace变换中的变量；对laplace空间上的方程及其定解条件进行求解，即求解方程(3-72)，最后得到laplace空间上的井底压力的表达式 (3-76)式中、 -分别是零阶、一阶虚宗量bessel函数；通过对式(3-76)进行laplace解析反演，即用围道积分法求式(3-76)的反演，最后得到无量纲井底压力的表达式为：(3-77)式中、- 0阶、1阶第一类bessel函数； 、- 0阶、1阶第二类bessel函数；如果将井看成线源，那么在 处的压力分布即为井底压力。则考虑和s后，在laplace空间上的井底压力为 (2-78)根据bessel函数的性质可知：当u很小时，乘积趋近于1。因此，当u很小时，方程(2-76)也就变成方程(2-78)。方程(3-78)的反演积分为 (3-79)方程(3-76)的另外一种形式的解，即井底压力的积分解为 (3-80)3.8早期试井分析3.8.1提取技术实现新图版对于均质无限大地层，井底无量纲压力是的函数，它的函数形势非常复杂下图为时的典型曲线图3.4典型曲线图版当时间较大时，无量纲压力可近似常数和一个小量之和，有公式（1）所示 （3-81）对公式（3-81）的求导数，可以得到 （3-82） 由公式（3-82）可以看出，导数的实质就是对小量的导数，由于公式（3-82）数值太小，它与时间乘积后就等于对小量的放大。 （3-83）但公式（3-83）仅对时间较大时成立，于是就可生成导数图版。如果时间较小，根据渗流方程及边界条件可以得到 （3-84）它的导数也可以近似成 （3-85） 利用方程（3-84）和方程（3-85）是否可以重新组合一个新图版？回答是肯定的3.8.2典型曲线推导对均质无限大地层，都采用laplace变换得到办解析解，在laplace空间上，井底无量纲压力可以表示成 （3-86） 如果时间t较小，laplace变量z较大，于是 （3-87） （3-88）略去3阶以上的高阶小量，方程（3-87）和方程（3-88）可以近似成 （3-89） （3-90）将公式（3-89）和公式（3-90）代入公式（3-86），最终得到 （3-91）它的一阶导数可以表示成 （3-92）方程（3-91）与方程（3-92）相减得到 （3-93）根据上述推导可以得到各种不同的典型曲线图3.5 组合参数典型曲线图版对图版作进一步的组合可以得到，以下的图版图3.6 组合参数典型曲线图版3.8.3 特征及适用条件这种图版有别于压力与导数双对数图版，压力与导数双对数图版适用于时间较大的情况，而图2和图3的图版是从时间较小的渐进解中推导出来的，这些图版由以下的特点：1 图版早期曲线分开，后期曲线重合，表明这种图版适合解释早期的压力数据；2 和图3.6的图版随着不同的值新型图版的数值不同，我们可以从物理机理上解释这一现象，对于定井筒存储情形，井底压力是由表皮s和渗流联合贡献，所以最先对井底压力产生贡献的是表皮s，之后才是地层渗流即渗透率k，所以早期图版不同的值其曲线是分开的如图3.7所示。图3.7 表皮及渗流对井底压力的影响因此这种图版的适用条件为：1、该图版仅适合于低渗透