圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版).doc

圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第 1 页 圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题 高考要求高考要求 1 熟练掌握三种圆锥曲线的定义 标准方程 几何性质 并灵活运用它们解决相关的问题 2 掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略 3 灵活运用教学中的一些重要的思想方法 如数形结合的思想 函数和方程的思想 分类 讨论思想 等价转化的思想学 解决问题 热点透析热点透析 与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决 1 结合定义利用图形中几何量之间的大小关系 2 不等式 组 求解法 利用题意结合图形 如点在曲线内等 列出所讨论的离心 率 a b c 适合的不等式 组 通过解不等式组得出离心率的变化范围 3 函数值域求解法 把所讨论的离心率作为一个函数 一个适当的参数作为自变量 来表示这个函数 通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围 4 利用代数基本不等式 代数基本不等式的应用 往往需要创造条件 并进行巧妙 的构思 5 结合参数方程 利用三角函数的有界性 直线 圆或椭圆的参数方程 它们的一 个共同特点是均含有三角式 因此 它们的应用价值在于 通过参数 简明地表示曲线上点的坐标 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题 6 构造一个二次方程 利用判别式 0 2 解题时所使用的数学思想方法 1 数形结合的思想方法 一是要注意画图 草图虽不要求精确 但必须正确 特别 是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置 二是要会把几何图形的特征用代数方法表示 出来 反之应由代数量确定几何特征 三要注意用几何方法直观解题 2 转化的思想方汉 如方程与图形间的转化 求曲线交点问题与解方程组之间的转 化 实际问题向数学问题的转化 动点与不动点间的转化 3 函数与方程的思想 如解二元二次方程组 方程的根及根与系数的关系 求最值 中的一元二次函数知识等 4 分类讨论的思想方法 如对椭圆 双曲线定义的讨论 对三条曲线的标准方程的 讨论等 题型分析 1 已知双曲线的左 右焦点分别为 抛物线的顶点在原点 22 1 22 1 0 0 xy Cab ab 1 F 2 F 2 C 准线与双曲线的左准线重合 若双曲线与抛物线的交点满足 则双曲线的离 1 C 1 C 2 CP 212 PFFF 1 C 心率为 A B C D 23 2 3 3 2 2 解 由已知可得抛物线的准线为直线 方程为 2 a x c 2 2 4a yx c 圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第 2 页 由双曲线可知 2 b P c a 22 2 4 ba c ac 2 22 2 22 b ba a 2 12e 3e 2 椭圆 的两个焦点分别为 以 为边作正三角形 若椭圆 22 22 1 xy ab 0ab F 2 F 1 F 2 F 恰好平分三角形的另两边 则椭圆的离心率为 B e A B C D 31 2 31 4 23 32 4 解析 设点为椭圆上且平分正三角形一边的点 如图 P 由平面几何知识可得 2112 1 3 2PFPFFF 所以由椭圆的定义及得 c e a 故选 B 12 12 22 31 2 31 FFc e aPFPF 变式提醒变式提醒 如果将椭圆改为双曲线 其它条件不变 不难得出离心率 31e 3 09 浙江理 过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右顶点A作斜率为1 的直线 该直线与双曲线 的两条渐近线的交点分别为 B C 若 1 2 ABBC 则双曲线的离心率是 A 2 B 3 C 5 D 10 解析 对于 0A a 则直线方程为0 xya 直线与两渐近线的交点为 B C 22 aabaab BC ab ababab 22 2222 22 a ba babab BCAB ababab ab 因此 22 2 4 5ABBCabe 答案 C 4 09 江西理 过椭圆 22 22 1 xy ab 0ab 的左焦点 1 F作x轴的垂线交椭圆于点P 2 F为右焦点 若 12 60FPF 则椭圆的离心率为 A 2 2 B 3 3 C 1 2 D 1 3 解析 因为 2 b Pc a 再由 12 60FPF 有 2 3 2 b a a 从而可得 3 3 c e a 故选 B 1 F 2 F x O y P 圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第 3 页 5 5 08 陕西理 双曲线 22 22 1 xy ab 0a 0b 的左 右焦点分别是 12 FF 过 1 F作倾斜角为 30 的直线交双曲线右支于M点 若 2 MF垂直于x轴 则双曲线的离心率为 B A 6B 3C 2D 3 3 6 6 08 浙江理 若双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3 2 则双曲线的离心率是 D A 3 B 5 C 3 D 5 7 7 08 全国一理 在ABC 中 ABBC 7 cos 18 B 若以AB 为焦点的椭圆经过点C 则该椭圆的离心率e 3 8 8 8 10 辽宁文 设双曲线的一个焦点为F 虚轴的一个端点为B 如果直线FB与该双曲线的一条渐近线 垂直 那么此双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 31 2 D 51 2 解析 选 D 不妨设双曲线的焦点在x轴上 设其方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 则一个焦点为 0 0 F cBb 一条渐近线斜率为 b a 直线FB的斜率为 b c 1 bb ac 2 bac 22 0caac 解得 51 2 c e a 9 9 10 全国卷 1 理 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点 B 是短轴的一个端点 线段 BF 的延长线 交 C 于点 D 且 2 则 C 的离心率为 BF FD 解析 答案 解析 答案 3 3 如图 设椭圆的标准方程为 1 a b 0 不妨设B为上顶点 F为右焦点 设D x y 由 2 2 x a 2 2 y b 2 得 c b 2 x c y BF FD 圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第 4 页 即 解得 D 2 2 cxc by 3 2 2 c x b y 3 2 c 2 b 由D在椭圆上得 1 e 22 22 3 22 b c ab 2 2 c a 1 3 c a 3 3 解析 1 3 3 如图 22 BFbca 作 1 DDy 轴于点 D1 则由BF2FD uu ruur 得 1 2 3 OFBF DDBD 所以 1 33 22 DDOFc 即 3 2 D c x 由椭圆的第二定义得 22 33 22 acc FDea ca 又由 2 BFFD 得 2 3 2 c aa a 3 3 e 解析 2 设椭圆方程为第一标准形式 22 22 1 xy ab 设 22 D xy F 分 BD 所成的比为 2 22 22 3022333 0 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy 代入 22 22 91 1 44 cb ab 3 3 e 10 07 全国 2 理 设 12 FF 分别是双曲线 22 22 xy ab 的左 右焦点 若双曲线上存在点A 使 12 90F AF 且 12 3AFAF 则双曲线的离心率为 B A 5 2 B 10 2 C 15 2 D 5 解 122 222 12 22 210 2 2 10 AFAFAFa c ae AFAFc 11 椭圆的左焦点为 F 若过点 F 且倾斜角为的直线与椭圆交于 A B 两 22 22 1 0 0 xy ab ab 45o 圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第 5 页 点且 F 分向量 BA 的比为 2 3 椭圆的离心率 e 为 本题通法是设直线方程 将其与椭圆方程联立 借助韦达定理将向量比转化为横坐标的比 思路简单 运算繁琐 下面介绍两种简单解法 解法 一 设点 A B 由焦半径公式可得 AA xy BB xy 3 2 A B aex aex 则 变形 2 3 AB aexaex 2 ABB aexaexaex 所以因为直线倾斜角为 所以有 所以2 ABB e xxaex 45o 22 2 25 eABAB 2 5 e 提示 本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式 借助焦半径公式将向量比转化为横坐标的关系 焦半径 是圆锥曲线中的重要线段 巧妙地运用它解题 可以化繁为简 提高解题效率 一般来说 如果题目中涉及 的弦如果为焦点弦 应优先考虑焦半径公式 解法 二 112 5 BEBFAB ee 113 5 ADAFAB ee 2 2 ACAB ADBEAC 13122 552 ABABAB ee 2 5 e 12 10 辽宁理 20 本小题满分 12 分 设椭圆 C 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为 F 过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A B 两点 直线 l 的倾斜角为 60o 2AFFB 椭圆 C 的离心率 解 设 1122 A x yB xy 由题意知 1 y 0 2 y 0 圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第 6 页 直线 l 的方程为 3 yxc 其中 22 cab 联立 22 22 3 1 yxc xy ab 得 22224 3 2 330abyb cyb 解得 22 12 2222 3 2 3 2 33 b cab ca yy abab 因为2AFFB 所以 12 2yy 即 22 2222 3 2 3 2 2 33 b cab ca abab 得离心率 2 3 c e a 6 分 13 A 是椭圆长轴的一个端点 O 是椭圆的中心 若椭圆上存在一点 P 使 OPA 则椭圆离心率的范围是 2 解析 设椭圆方程为 1 a b 0 以 OA 为直径的圆 x2 ax y2 0 两式联立消 2 2 2 2 b y a x y 得x2 ax b2 0 即 e2x2 ax b2 0 该方程有一解 x2 一解为 a 由韦达定理 2 22 a ba x2 a 0 x2 a 即 0 a a e 1 2 e a 2 e a 2 2 答案 e 1 2 2 14 在椭圆上有一点 M 是椭圆的两个焦点 若 22 22 1 0 xy ab ab 12 F F 2 2 1 2MFMFb 椭圆的离心率的取值范围是 解析 由椭圆的定义 可得 又 所以是方 2 1 2MFMFa 2 2 1 2MFMFb 2 1 MFMF 程的两根 由 可得 即 22 220 xaxb 22 2 4 20ab 22 2ab 所以 所以椭圆离心率的取值范围是 222 2 aca 2 2 c e a 2 1 2 15 08 湖南 若双曲线 a 0 b 0 上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线 22 22 1 xy ab 3 2 a 的距离 则双曲线离心率的取值范围是 A 1 2 B 2 C 1 5 D 5 圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第 7 页 解析 由题意可知即解得故选 B 22 33 22 aa aea cc 331 1 22 e e 2e 16 07 北京 椭圆的焦点为 两条准线与轴的交点分别为 22 22 1 0 xy ab ab 1 F 2 FxMN 若 则该椭圆离心率的取值范围是 12 MNFF 1 0 2 2 0 2 1 1 2 2 1 2 解析 由题意得 故选 D 2 2 2 2 a c c 2 2 e 17 07 湖南 设分别是椭圆 的左 右焦点 若在其右准线上存在 12 FF 22 22 1 xy ab 0ab 使线段的中垂线过点 则椭圆离心率的取值范围是 P 1 PF 2 F A B C D 2 0 2 3 0 3 2 1 2 3 1 3 分析 通过题设条件可得 求离心率的取值范围需建立不等关系 如何建立 2 2PFc 解析 线段的中垂线过点 又点 P 在右准线上 1 PF 2 F 2 2PFc 2 2 a PFc c 即 故选 D 2 2 a cc c 3 3 c a 3 1 3 e 点评 建立不等关系是解决问题的难点 而借助平面几何知识相对来说比较简便 18 08 福建理 双曲线 a 0 b 0 的两个焦点为F1 F2 若 P 为其上一点 且 22 22 1 xy ab PF1 2 PF2 则双曲线离心率的取值范围为 B A 1 3 B C 3 D 1 3 3 分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系 题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲 线第一定义 如何找不等关系呢 利用第二定义及焦半径判断 0 xa 解析 PF1 2 PF2 PF1 PF2 PF2 PF2 即 2aca 2aca 3ac 所以双曲线离心率的取值范围为 故选 B 13e 圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第 8 页 解 2 如图 2 所示 设 2 PFm 12 0 FPF 222 2 4cos2 54cos 2 mmmc e am 当点 P 在右顶点处有 1cos1 1 3e 选 B 小结 本题通过设角和利用余弦定理 将双曲线的离心率用三角函数的形式表示出来 通过求角的余弦 值的范围 从而求得离心率的范围 点评 本题建立不等关系是难点 如果记住一些双曲线重要结论 双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小 于 则可建立不等关系使问题迎刃而解 ca 19 19 08 江西理 已知 1 F 2 F是椭圆的两个焦点 满足 12 0MF MF 的点M总在椭圆内部 则椭圆离 心率的取值范围是 C A 0 1 B 1 0 2 C 2 0 2 D 2 1 2 解 据题意可知 M是直角 则垂足 M 的轨迹是以焦距为直径的圆 所以 1 F 2 F 又 所以 选 C 22222 1 2 cbcbace 0 1 e 2 2 0 e 小结 本题是最常见的求离心率范围的问题 其方法就是根据已知条件 直接列出关于 a b c 间的 不等量关系 然后利用a b c 间的平方关系化为关于a c 的齐次不等式 除以即为关于离心率 e 的一 2 a 元二次不等式 解不等式 再结合椭圆或双曲线的离心率的范围 就得到了离心率的取值范围 20 04 重庆 已知双曲线的左 右焦点分别为 点 P 在双曲线的右支 22 22 1 0 0 xy ab ab 12 F F 上 且 则此双曲线的离心率 e 的最大值为 12 4 PFPF A B C D 4 3 5 3 2 7 3 PF1 4PF2 PF1 PF2 3 PF2 PF2 即 2aca 2 3 aca 5 3 ac 所以双曲线离心率的取值范围为 故选 B 5 1 3 e 21 已知 分别为 的左 右焦点 P 为双曲线右支上任一点 若 1 F 2 F 22 22 1 xy ab 0 0 ab 圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第 9 页 的最小值为 则该双曲线的离心率的取值范围是 A B C D 2 1 2 PF PF 8a 1 2 1 3 2 3 3 解析 欲使最小值为 需右 2 2 2 122 2 222 2 4 42 448 PFaPFa PFaaaa PFPFPF 8a 支上存在一点 P 使 而即所以 2 2PFa 2 PFca 2aca 13e 22 已知椭圆右顶为 A 点 P 在椭圆上 O 为坐标原点 且 OP 垂直于 PA 椭圆的 22 22 1 0 xy ab ab 离心率 e 的取值范围是 解 设 P 点坐标为 则有 00 xy 22 00 22 22 000 1 0 xy ab xaxy 消去得若利用求根公式求运算复杂 应注意到方程的一个根为 a 2 0 y 222322 00 0abxa xa b 0 x 由根与系数关系知由得 222 00 2222 a bab axx abab 0 0 xa 2 1 2 e 23 椭圆 的两焦点为 椭圆上存在点使G 22 22 1 0 xy ab ab 12 0 0 FcF c M 求椭圆离心率的取值范围 12 0FM F M e 解析 设 222 12 0M x y FM F Mxyc 将代入 得 求得 2 222 2 b ybx a 22 22 2 a b xa 22 0 xa 2 1 2 e 点评 中 是椭圆中建立不等关系的重要依据 在求解参数范围问题中 22 22 1 0 xy ab ab xa 经常使用 应给予重视 24 06 福建 已知双曲线的右焦点为 F 若过点 F 且倾斜角为的直线与 22 22 1 0 0 xy ab ab 60 双曲线的右支有且只有一个交点 则此双曲线离心率的取值范围是 A B C D 1 2 1 2 2 2 解析 欲使过点 F 且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 则该直线的斜率的绝对值小于60 圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第 10 页 等于渐近线的斜率 即即 即故选 C b a b a 33ba 222 3caa 22 4ca 2e 25 04 全国 设双曲线 C 相交于两个不同的点 A B 求1 0 1 2 2 2 yxlay a x 与直线 双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 解析 由 C 与 相交于两个不同的点 故知方程组l 有两个不同的实数解 消去 y 并整理得 1 1 2 2 2 yx y a x 1 a2 x2 2a2x 2a2 0 所以解得 2 422 10 48 1 0 a aaa 021 aa 且 双曲线的离心率 2 2 11 1 a e aa 021 aa 且 6 2 2 ee 且 所以双曲线的离心率取值范围是 6 2 2 2 总结 在求解圆锥曲线离心率取值范围时 一定要认真分析题设条件 合理建立不等关系 把握好圆锥曲线 的相关性质 记住一些常见结论 不等关系 在做题时不断总结 择优解题 尤其运用数形结合时要注意焦 点的位置等 26 设 12 FF 分别是椭圆 22 22 1 xy ab 0ab 的左 右焦点 若在其右准线上存在 P使线段 1 PF的中垂线过点 2 F 则椭圆离心率的取值范围是 D A 2 0 2 B 3 0 3 C 2 1 2 D 3 1 3 2 2 3 23 23 a c a c cce c 27 09 重庆卷文 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 0 0 FcF c 若椭 圆上存在一点P使 1221 sinsin ac PFFPF F 则该椭圆的离心率的取值范围为 答案 21 1 圆锥曲线的相关离心率问题 共 12 页 本页为第 11 页 解法 1 因为在 12 PFF 中 由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 则由已知 得 1211 ac PFPF 即 12 aPFcPF 设点 00 xy由焦点半径公式 得 1020 PFaex PFaex 则 00 a aexc aex 记得 0 1 1 a caa e x e cae e 由椭圆的几何性质知 0 1 1 a e xaa e e 则 整理得 2 210 ee 解得2121 0 1 eee 或 又 故椭圆的离心率 21 1 e 28 10 四川理 椭圆 22 22 1 xy ab ab 的右焦点F 其右准线与x轴的交点为 A 在椭圆上存 在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点F 则椭圆离心率的取值范围是 A 2 0 2 B 1 0 2 C 2 1 1 D 1 1 2 解析 由题意 椭圆上存在点 P 使得线段 AP 的垂直平分线过点F 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而 FA 22 ab c cc PF a c a c 于是 2 b c a c a c 即 ac c2 b2 ac c2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又 e 0 1 故 e 1 1 2 答案 D 29 已知梯形 ABCD 中 AB 2 CD 点 E 满足 双曲线过 C D E 三点 且以 A B 为焦 ECAE 点 当时 双曲线离心率 e 的取值范围是 4 3 3 2 分析分析 显然 我们只要找到 e 与的关系 然后利用解不等式或求函数的值域即可求出 e 的范围 解解 如图 4 建立坐标系 这时 CD y 轴 因为双曲线经过点 C D 且以 A B 为焦点 由双曲线的对称性知 C D 关于 y 轴对称 依题意 记 A C 0 C h E x0 y0 其中 c 为双曲线的半焦距 h 是梯形的高 2 C 2