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材料力学 第三章扭转 材料力学 第三章扭转 3 2扭转时的内力 3 3薄壁圆筒的扭转 3 4圆轴扭转时的应力和变形 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 3 1工程实际中的扭转问题 3 1工程实际中的扭转问题 第三章扭转 3 1工程实际中的扭转问题 以扭转为主要变形的工程构件有 传动轴 钻杆等 一 工程中的扭转问题 汽车转向轴 机械传动轴 丝锥等 3 1工程实际中的扭转问题 一 工程中的扭转问题 任意两截面绕轴线相对转动的角位移 外力的合力为一力偶 且力偶的作用面与直杆的轴线垂直 杆发生的变形为扭转变形 3 1工程实际中的扭转问题 二 扭转变形 外力特点 变形特点 各横截面绕轴线发生相对转动 扭转角 剪应变 直角的改变量 箱式截面梁的扭转 3 1工程实际中的扭转问题 三 非圆截面杆的扭转 3 2扭转时的内力 第三章扭转 3 2扭转时的内力 一 传动轴的外力偶矩 其中 p 功率 千瓦 kw n 转速 转 分 rpm 其中 p 功率 马力 ps n 转速 转 分 rpm 3扭矩的符号规定 二 扭矩及扭矩图 右手螺旋法则 与外法线方向一直为正与外法线方向相反为负 3 2扭转时的内力 构件受扭时 横截面上的内力偶矩 记作 t 1扭矩 2截面法求扭矩 扭矩沿杆件轴线变化规律的图线 目的 3 2扭转时的内力 4扭矩图 已知 一传动轴 n 300r min 主动轮输入p1 500kw 从动轮输出p2 150kw p3 150kw p4 200kw 试绘制扭矩图 解 1 计算外力偶矩 3 2扭转时的内力 例题1 检查轴在外力偶的作用下是否平衡 解 2 求扭矩 扭矩按正方向设 3 2扭转时的内力 1 1截面 2 2截面 3 3截面 bc段为危险截面 9 6 3 2扭转时的内力 解 3 绘制扭矩图 第三章扭转 3 3薄壁圆筒的扭转 一 薄壁圆筒的扭转实验 1 实验前 1 绘纵向线 圆周线 2 施加一对外力偶m 3 3薄壁圆筒的扭转 2 实验后 1 圆周线不变 2 纵向线变成斜直线 1 圆筒表面的各圆周线的形状 大小和间距均未改变 只是绕轴线作了相对转动 2 各纵向线均倾斜了同一微小角度 3 所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形 3 结论 3 3薄壁圆筒的扭转 4 与 的关系 一 薄壁圆筒的扭转实验 1 在小变形下 沿杆的轴线方向无变形 即无正应力 2 横截面上各点处 只产生垂直于半径的均匀分布的切应力 沿周向大小不变 方向与该截面的扭矩方向一致 根据实验现象分析 3 3薄壁圆筒的扭转 二 理论分析 三 薄壁圆筒横截面上的切应力 a0 平均半径所作圆的面积 3 3薄壁圆筒的扭转 截面上的应力等于内力 扭矩 静力学关系 单元体 边长为微量的正六面体 3 3薄壁圆筒的扭转 四 切应力互等定理 截取abcd正六面体 纯剪切应力状态 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用 这种应力状态称为纯剪切应力状态 该定理表明 在单元体相互垂直的两个平面上 切应力必然成对存在 且数值相等 两者都垂直于两平面的交线 其方向则共同指向或共同背离该交线 3 3薄壁圆筒的扭转 四 切应力互等定理 剪切虎克定律 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时 p 剪应力与剪应变成正比关系 3 3薄壁圆筒的扭转 五 剪切胡克定律 式中 g是材料的一个弹性常数 称为剪切弹性模量 剪切弹性模量 弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数 对各向同性材料 这三个弹性常数之间存在下列关系 推导详见后面章节 3 3薄壁圆筒的扭转 五 剪切胡克定律 拉压胡克定律 第三章扭转 3 4圆轴扭转时的应力和变形 等直圆杆横截面应力 变形几何关系 物理关系 静力学关系 3 4圆轴扭转时的应力和变形 分析应力的方法 1 横截面变形后仍为平面 2 轴向无伸缩 3 纵向线变形后仍为平行线 一 等直圆杆扭转实验观察 3 4圆轴扭转时的应力和变形 1 在dx长度上 圆柱的两端面相对转过角度d 2 若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱3 半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同 半径越小者剪应变越小 3 4圆轴扭转时的应力和变形 二 等直圆杆扭转时横截面上的应力 二 等直圆杆扭转时横截面上的应力 1 变形几何关系 距圆心为 任一点处的 与到圆心的距离 成正比 扭转角沿轴线方向变化率 3 4圆轴扭转时的应力和变形 t 2 物理关系 虎克定律 3 4圆轴扭转时的应力和变形 代入上式得 二 等直圆杆扭转时横截面上的应力 1 变形几何关系 3 静力学关系 令 代入物理关系式得 3 4圆轴扭转时的应力和变形 极惯性矩 1 仅适用于各向同性 线弹性材料 在小变形时的等圆截面直杆 式中 t 横截面上的扭矩 由截面法通过外力偶矩求得 该点到圆心的距离 ip 极惯性矩 与截面形状和尺寸有关的量 3 4圆轴扭转时的应力和变形 4 公式的讨论 圆轴扭转时横截面上任意点的切应力公式 2 尽管由实心圆截面杆推出 但同样适用于空心圆截面杆 只是极惯性矩ip值不同 d d o 3 4圆轴扭转时的应力和变形 4 公式的讨论 o d 3 4圆轴扭转时的应力和变形 4 公式的讨论 3 应力分布 实心截面 空心截面 3 4圆轴扭转时的应力和变形 4 公式的讨论 由公式 三 等直圆杆在扭转时的变形 3 4圆轴扭转时的应力和变形 当长为一段杆两截面间相对扭转角 为 式中 内力扭矩 可以是x的函数 极惯性矩 可以是x的函数 剪切弹性模量 1 相对扭转角 由公式 三 等直圆杆在扭转时的变形 3 4圆轴扭转时的应力和变形 式中 截面上的扭矩 极惯性矩 剪切弹性模量 考虑圆轴的特点 在一定长度上 扭矩 直径是常量 当圆轴是阶梯轴时 2 单位长度上的扭转角 或 gip反映了截面抵抗扭转变形的能力 称为截面的抗扭刚度 3 4圆轴扭转时的应力和变形 三 等直圆杆扭转时斜截面上的应力 为什么脆性材料扭转时沿45 螺旋面断开 低碳钢 铸铁 四 等直圆杆扭转时斜截面上的应力 低碳钢试件 沿横截面断开 铸铁试件 沿与轴线约成45 的螺旋线断开 因此还需要研究斜截面上的应力 1 点m的应力单元体如图 b a b t t c 2 斜截面上的应力 取分离体如图 d d d n t 转角规定 轴正向转至截面外法线 逆时针 为 顺时针 为 由平衡方程 解得 分析 当 0 时 当 45 时 当 45 时 当 90 时 t 由此可见 圆轴扭转时 在横截面和纵截面上的剪应力为最大值 在方向角 45 的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力 根据这一结论 就可解释前述的破坏现象 第三章扭转 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 当 令 一 强度条件 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 横截面上最大切应力公式 式中 横截面上的扭矩 极惯性矩 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 一 强度条件 强度条件 对于等截面圆轴 强度计算三方面 校核强度 设计截面尺寸 计算许可载荷 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 二 刚度条件 或 称为许用单位扭转角 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 某传动轴设计要求转速n 500r min 输入功率n1 500马力 输出功率分别n2 200马力及n3 300马力 已知 g 80gpa 70mpa 1 m 试确定 ab段直径d1和bc段直径d2 若全轴选同一直径 应为多少 主动轮与从动轮如何安排合理 解 1 扭矩如图 t x 7 024 4 21 knm 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 例1 由强度条件得 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 解 2 强度条件 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 解 3 刚度条件 综上 全轴选同一直径时 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理 所以 1轮和2轮应该换位 换位后 轴的扭矩如图所示 此时 轴的最大直径才为75mm t x 4 21 knm 2 814 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 解 4 安排各轮 已知 p 7 5kw n 100r min 最大切应力不得超过40mpa 空心圆轴的内外直径之比 0 5 二轴长度相同 例题2 求 实心轴的直径d1和空心轴的外直径d2 确定二轴的重量之比 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 解 1 计算外力偶矩 2 计算实心轴直径 解得 d2 0 5d2 23mm 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 解 3 计算空心轴直径 空心轴 d2 46mm d2 23mm 实心轴 d1 45mm 长度相同的情形下 二轴的重量之比即为横截面面积之比 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 解 4 计算两轴的重量比 实心截面轴的重量是空心截面轴的重量1 28倍 已知 b轮输入功率p1 14kw ab轴的转速n1 120r min 功率的一半通过齿轮传给c轴 另一半由h轴传出 z1 36 z3 12 d1 70mm d2 50mm d3 35mm 求 各轴横截面上的最大切应力 例题3 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 解 1 计算外力偶矩 p1 14kw p2 p3 p1 2 7kw n1 n2 120r min 已知 b轮输入功率p1 14kw ab轴的转速n1 120r min 功率的一半通过齿轮传给c轴 另一半由h轴传出 z1 36 z3 12 d1 70mm d2 50mm d3 35mm 求 各轴横截面上的最大切应力 例题3 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 解 1 计算外力偶矩 p1 14kw p2 p3 p1 2 7kw n1 n2 120r min 解 2 计算各轴的横截面上的最大切应力 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 例4传动轴m1 1knm m2 0 7knm m3 0 3knm l1 l2 1 5m d 50mm g 80gpa 试求c截面相对a截面的扭转角 解 1 扭矩 t x 0 7 0 3 knm 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 根据外力偶矩与扭矩的关系 可以直接作图 例4传动轴m1 1knm m2 0 7knm m3 0 3knm l1 l2 1 5m d 50mm g 80gpa 试求c截面相对a截面的扭转角 解 2 相对扭转角 t x 0 7 0 3 knm 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 例4传动轴m1 1knm m2 0 7knm m3 0 3knm l1 l2 1 5m d 50mm g 80gpa 试求c截面相对a截面的扭转角 解 2 相对扭转角 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 相对扭转角 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 例题5长为l 2m的圆杆受均布力偶m 20nm m的作用 如图 若杆的内外径之比为 0 8 g 80gpa 许用剪应力 30mpa 试设计杆的外径 若 2 m 试校核此杆的刚度 并求右端面转角 解 1 扭矩 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 或 40nm x t 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 解 1 扭矩 扭矩图 例题5长为l 2m的圆杆受均布力偶m 20nm m的作用 如图 若杆的内外径之比为 0 8 g 80gpa 许用剪应力 30mpa 试设计杆的外径 若 2 m 试校核此杆的刚度 并求右端面转角 解 2 设计杆的外径 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 40nm x t 代入数值得 d 0 0226m 3 由扭转刚度条件校核刚度 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 4 右端面转角 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 3 由扭转刚度条件校核刚度 一受扭轴 横截面分别为下述几种情况 哪种可用前述公式计算截面应力 思考题 思考题 2 材料相同的两个轴 直径差一倍 长度 扭矩相同 问 两轴刚度强度是否相同 3 对于空心受扭轴 下面公式是否正确 思考题 三 扭转静不定 两端固定圆轴 c处受外力偶矩m作用求 扭矩图 解 解除约束 约束反力偶为 平衡方程 为一次静不定问题 扭转静不定 补充方程 扭矩图 返回 扭转静不定 非圆截面杆的扭转介绍 非圆截面等直杆 平面假设不成立 即各截面发生翘曲不保持平面 因此 由等直圆杆扭转时推出的应力 变形公式不适用 须由弹性力学方法求解 非圆截面等直杆扭转 非圆截面等直杆 平面假设不成立 即各截面发生翘曲不保持平面 因此 由等直圆杆扭转时推出的应力 变形公式不适用 须由弹性力学方法求解 非圆截面等直杆扭转 2 矩形截面杆最大剪应力及单位扭转角 其中 其中 it 相当极惯性矩 非圆截面杆的扭转介绍 厚度 max 3 狭长矩形截面 其中 非圆截面等直杆扭转 a 剪应力流的方向与扭矩的方向一致 b 开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图 a 厚度中点处 应力为零 4 开口和闭合薄壁截