2019_2020学年高中数学第五章三角函数5.4.2.2正弦函数、余弦函数的单调性与最值讲义新人教A版.docx

第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值知识点正、余弦函数的图象与性质正弦函数余弦函数图象值域1,11,1单调性在(kZ)上递增，在(kZ)上递减在2k，2k(kZ)上递增，在2k，2k(kZ)上递减最值x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1(1)正、余弦函数的单调性：求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步；单调区间要在定义域内求解；确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意用复合函数法来判断(2)正、余弦函数的最值明确正、余弦函数的有界性，即|sin x|1, |cos x|1；对有些函数，其最值不一定就是1或1，要依赖函数的定义域来决定；形如yAsin(x)(A0，0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令xz，将函数转化为yAsin z的形式求最值教材解难教材P207思考能ysinsin，要求ysin的单调递增区间，即求ysin的单调递减区间令zx，则函数ysin z的单调递减区间为(kZ)由2kx2k，kZ.得4kx4k，kZ.又x2，22x，x2故函数ysin在2，2上的单调增区间是，.基础自测1函数ysin，xR在()A.上是增函数B0，上是减函数C，0上是减函数 D，上是减函数解析：ysincos x，所以在区间，0上是增函数，在0，上是减函数答案：B2下列函数中，既为偶函数又在(0，)上单调递增的是()Aycos|x| Bycos|x|Cysin Dysin解析：ycos|x|在上是减函数，排除A；ycos|x|cos|x|，排除B；ysinsincos x是偶函数，且在(0，)上单调递增，符合题意；ysin在(0，)上是单调递减的答案：C3函数y12cosx的最小值，最大值分别是()A1,3 B1,1C0,3 D0,1解析：1cosx1，1y3.答案：A4比较大小：sin_cos.解析：sinsincos.0，ycos x在0，上递减，coscos，即sincos.答案：题型一正、余弦函数的单调性经典例题例1(1)函数f(x)sin的一个递减区间是()A.B，0C.D.(2)函数ycos的单调递增区间是_【解析】(1)由x，可得x.所以是函数的一个减区间(2)因为2k2x2k，kZ.所以kxk，kZ.【答案】(1)D(2)(kZ)(1)由A，B，C，D中x的范围，求出x的范围，验证是否为减区间(2)将2x代入到2k，2k，kZ中，解出x的范围，即可得增区间方法归纳求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间(2)在求形如yAsin(x)(A0，0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“x”看作一个整体“z”，即通过求yAsinz的单调区间而求出原函数的单调区间求形如yAcos(x)(A0，0)的函数的单调区间同上(3)0后求解；若A0，则单调性相反跟踪训练1(1)下列函数，在上是增函数的是()A.ysin xBycos xCysin 2xDycos 2x(2)求函数y2sin的单调递增区间解析：(1)因为ysin x与ycos x在上都是减函数，所以排除A，B.因为x，所以2x2.因为ysin 2x在2x，2内不具有单调性，所以排除C.(2)由y2sin，得y2sin.要求函数y2sin的单调递增区间，只需求出函数y2sin的单调递减区间令2k2x2k，kZ，解之得kxk，kZ.函数的单调递增区间为(kZ)答案：(1)D(2)(kZ)(1)逐个验证选项把不符合题意的排除(2)首先利用诱导公式化简函数为y2sin，再利用性质求增区间题型二比较三角函数值的大小教材P206例4例2不通过求值，比较下列各组数的大小：(1)sin与sin；(2)cos与cos.解析：(1)因为sin.(2)coscoscos，coscoscos.因为0cos，即coscos.可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小教材反思比较三角函数值大小的方法(1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值(2)不同名的函数化为同名函数(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间跟踪训练2比较下列各组数的大小(1)sin与sin；(2)cos 870与sin 980.解析：(1)sinsinsin，sinsinsin，因为ysin x在上是增函数，所以sinsin，即sinsin.(2)cos 870cos(720150)cos 150，sin 980sin(720260)sin 260sin(90170)cos 170，因为0150170cos 170，即cos 870sin 980.首先利用诱导公式化成同名的三角函数，把角转化为同一单调区间，最后利用函数的单调性比较大小题型三正、余弦函数的最值问题经典例题例3函数y2cos1的最小值是_，此时x_.【解析】当2x2k，kZ，xk，kZ时，ymin213.【答案】3k，kZ观察函数解析式特点，由ycos的最小值，求函数y2cos1的最小值，并求x的取值方法归纳求正、余弦函数最值问题的关注点(1)形如yasin x(或yacos x)的函数的最值要注意对a的讨论(2)将函数式转化为yAsin(x)或yAcos(x)的形式(3)换元后配方利用二次函数求最值跟踪训练3求下列函数的值域：(1)ycos，x；(2)y2sin2x2sin x，x.解析(1)由ycos，x0，可得x，函数ycos x在区间上单调递减，所以函数的值域为.(2)令tsin x，y2t22t221.x，sin x1，即t1，1y，函数f(x)的值域为.(1)先由x的范围求出x的范围，再求值域(2)先换元令tsin x，再利用二次函数求值域一、选择题1已知函数ysin x和ycos x在区间M上都是增函数，那么区间M可以是()A. B.C. D.解析：ysin x在和上是增函数，ycos x在(，2)上是增函数，所以区间M可以是.答案：D2函数y2sin x的最大值及取最大值时x的值为()Aymax3，xBymax1，x2k(kZ)Cymax3，x2k(kZ)Dymax3，x2k(kZ)解析：当x2k(kZ)时，ysin x有最小值1，函数y2sin x有最大值3.答案：C3符合以下三个条件：上递减；以2为周期；为奇函数这样的函数是()Aysin x Bysin xCycos x Dycos x解析：在上递减，可以排除A，是奇函数可以排除C，D.答案：B4下列不等式中成立的是()AsinsinBsin 3sin 2CsinsinDsin 2cos 1解析：因为sin 2coscos，且021cos 1，即sin 2cos 1.答案：D二、填空题5函数ycos的单调递减区间为_解析：ycoscos，由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以函数的单调减区间为(kZ)答案：(kZ)6函数f(x)sin在区间上的最小值为_解析：当0x时，2x，因为函数ysin x在上的函数值恒为正数，在上的函数值恒为负数，且在上为增函数，所以函数f(x)的最小值为f(0).答案：7sin_sin(填“”或“”)解析：sinsinsin，因为0，ysin x在上单调递增，所以sinsin，即sin三、解答题8求下列函数的单调区间：(1)ycos 2x；(2)y2sin.解析：(1)函数ycos 2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：2k2x2k，kZ,2k2x2k，kZ.kxk，kZ，kxk，kZ.函数ycos 2x的单调递增区间为，kZ，单调递减区间为，kZ.(2)y2sin2sin，函数y2sinx的单调递增、递减区间分别是函数y2sin的单调递减、递增区间令2kx2k，kZ.即2kx2k，kZ，即函数y2sin的单调递增区间为，kZ.令2kx2k，kZ.即2kx2k，kZ.即函数y2sin的单调递减区间为，kZ.9比较下列各组数的大小：(1)cos与cos；(2)sin 194与cos 160.解析：(1)coscos，coscoscos，0cos，即coscos.(2)sin 194sin(18014)sin 14，cos