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五年级奥数正式教材老师用 目录目录- 1 -一 数的整除- 2 -二 数字谜- 6 -横式字谜- 6 - 竖式字谜- 8 -三 定义新运算- 11 -四 行程问题- 15 -追击及遇问题- 15 -火车过桥- 19 -五 列方程解应用题- 22 -六 抽屉原理- 27 -七 不规则图形面积计算1- 30 -八 不规则图形面积计算2- 34 -九 逻辑推理- 39 -十 牛吃草- 41 -十一 流水行船- 45 -十二 奇数与偶数- 47 -十三 周期性问题- 52 -十四 植树问题- 56 -十五 有趣的树阵图- 59 -十六 有趣的树阵图练习- 63 -数的整除如果整除a除以不为零数b所得的商为整数而余数为0我们就说a能被b整除或叫b能整除a如果a能被b整除那么b叫做a的约数a叫做b的倍数数的整除的特征1能被2整除的数的特征如果一个整数的个位数字是24680那么这个整数一定能被2整除2能被3或9整除的数的特征如果一个整数的各个数字之和能被3或9整除那么这个整数一定能被3或9整除3能被4或25整除的数的特征如果一个整数的末两位数能被4或25整除那么这个数就一定能被4或25整除4能被5整除的数的特征如果一个整数的个位数字是0或5那么这个整数一定能被5整除5能被6整除的数的特征如果一个整数能被2整除又能被3整除那么这个数就一定能被6整除6能被7或11或13整除的数的特征一个整数分成两个数末三位为一个数其余各位为另一个数如果这两个数之差是0或是7或11或13的倍数这个数就能被7或11或13整除7能被8或125整除的数的特征如果一个整数的末三位数能被8或125整除那么这个数就一定能被8或125整除8能被11整除的数的特征如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差大减小能被11整除那么它必能被11整除例题与方法指导例1 一个六位数2356是88的倍数这个数除以88所得的商是_或_思路导航一个数如果是88的倍数这个数必然既是8的倍数又是11的倍数根据8的倍数它的末三位数肯定也是8的倍数从而可知这个六位数个位上的数是0或8而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数从已知的四个数看这个六位数奇偶位上数字的和是相等的要使奇偶位上数字和差为0两个方框内填入的数字是相同的因此这个六位数有两种可能23 0 56 0 或23 8 56 8 又 23056088 2620 23856888 2711所以本题的答案是2620或2711例2 123456789这个十一位数能被36整除那么这个数的个位上的数最小是_思路导航因为36 94所以这个十一位数既能被9整除又能被4整除因为129 45由能被9整除的数的特征可知之和是00091881277236634554和1899再由能被4整除的数的特征这个数的末尾两位数是4的倍数可知是0004367296这样这个十一位数个位上有026三种可能性所以这个数的个位上的数最小是0例3 下面一个1983位数333444中间漏写了一个数字 方框 已 991个 991个知这个多位数被7整除那么中间方框内的数字是_思路导航333444 991个 991个 333109933410990444 990个 990个 因为111111能被7整除所以333和444都能被7整除所以只要 990个 990个34能被7整除原数即可被7整除故得中间方框内的数字是6例4 有三个连续的两位数它们的和也是两位数并且是11的倍数这三个数是_思路导航三个连续的两位数其和必是3的倍数已知其和是11的倍数而3与11互质所以和是33的倍数能被33整除的两位数只有3个它们是336699所以有当和为33时三个数是101112当和为66时三个数是212223当和为99时三个数是323334所以答案为 101112或212223或323334注三个连续自然数的和必能被3整除可证明如下设三个连续自然数为nn1n2则n n1 n2 3n3 3 n1 所以能被3整除巩固训练有这样的两位数它的两个数字之和能被4整除而且比这个两位数大1的数它的两个数字之和也能被4整除所有这样的两位数的和是_一个小于200的自然数它的每位数字都是奇数并且它是两个两位数的乘积那么这个自然数是_任取一个四位数乘3456用a表示其积的各位数字之和用b表示a的各位数字之和c表示b的各位数字之和那么c是_有01479五个数字从中选出四个数字组成不同的四位数如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来第五个数的末位数字是_1 118符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除而且比这个两位数大1的数如果十位数不变则个位增加1其和便不能整除4因此个位数一定是9这种两位数有3979所以所求的和是3979 118 2 195因为这个数可以分解为两个两位数的积而且1515 225 200所以其中至少有1个因数小于15而且这些因数均需是奇数但11不可能符合条件因为对于小于200的自然数凡11的倍数具有隔位数字之和相等的特点个位百位若是奇数十位必是偶数所以只需检查13的倍数中小于200的三位数1313 169不合要求1315 195适合要求所以答案应是1953 9根据题意两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能因为3456 3849所以任何一个四位数乘3456其积一定能被9整除根据能被9整除的数的特征可知其积的各位数字之和a也能被9整除所以a有以下八种可能取值918273645546372从而a的各位数字之和b总是9b的各位数字之和c也总是94 901479 21能被3整除从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的四位数能被3整除即有0147或1479两种选择组成四位数由小到大排列为104710741407147014791497所以第五个数的末位数字是9拓展提升1找出四个互不相同的自然数使得对于其中任何两个数它们的和总可以被它们的差整除如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小那么这四个数里中间两个数的和是多少2只修改21475的某一位数字就可知使修改后的数能被225整除怎样修改3500名士兵排成一列横队第一次从左到右123451至5名报数第二次反过来从右到左1234561至6报数既报1又报6的士兵有多少名4试问能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上使得在任何5个相连的数中都至少有两个数可被3整除如果回答可以则只要举出一种排法如果回答不能则需给出说明答案1如果最小的数是1则和1一起能符合和被差整除这一要求的数只有2和3两数因此最小的数必须大于或等于2我们先考察2345这四个数仍不符合要求因为52 7不能被5-2 3整除再往下就是2346经试算这四个数符合要求所以本题的答案是 34 72因为225 259要使修改后的数能被25整除就要既能被25整除又能被9整除被25整除不成问题末两位数75不必修改只要看前三个数字即可根据某数的各位数字之和是9的倍数则这个数能被9整除的特征因为21475 1919 18119 27-8所以不难排出以下四种改法把1改为0把4改为3把1改为9把2改为13若将这500名士兵从右到左依次编号则第一次报数时编号能被5整除的士兵报1第二次报数时编号能被6整除的士兵报6所以既报1又报6的士兵的编号既能被5整除又能被6整除即能被30整除在1至500这500个自然数中能被30整除的数共有16个所以既报1又报6的士兵共有16名4不能假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数我们来按所排列顺序将它们每5个分为一组可得20组其中每两组都没有共同的数于是在每一组的5个数中都至少有两个数是3 的倍数从而一共有不少于40个数是3 的倍数但事实上在1至100的自然数中有33个数是3的倍数导致矛盾数字谜小朋友们都玩过字谜吧就是一种文字游戏例如空中码头打一城市名谜底你还记得吗记不得也没关系想想空中指什么天这个地名第1个字可能是天码头指什么呢码头又称渡口联系这个地名开头是天字容易想到天津这个地名而津正好又是渡口的意思这样谜底就出来了天津算式谜又被称为虫食算意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认需要运用四则运算各部分之间的关系通过推理判定被吃掉的数字把算式还原虫食算主要指横式算式谜和竖式算式谜其中未知的数字常常用等图形符号或字母表示文字算式谜是前两种算式谜的延伸用文字或字母来代替未知的数字在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字相同的数字或字母表示同一个数字文字算式谜也是最难的一种算式谜897在上面的3个方框内分别填入恰当的数字可以使得这3个数的平均数是150那么所填的3个数字之和是多少1503-8-97-5 340所以3个数之和为345 12在下列算式的中填上适当的数字使得等式成立16456 027837 13332 174858 6分析1 610456 109754837 2043 339329 1174846858 146在算式40796 9998的各个方框内填入适当的数字后就可以使其成为正确的等式求其中的除数分析40796102 39998我学数学乐我学数学乐 数数数学数数学学数学在上面的乘法算式中我学数乐分别代表的4个不同的数字如果乐代表9那么我数学代表的三位数是多少 分析学 1我 8数 6 8161981619 6661661161 24在的4个方框内填入4个不同的一位数使左边的数比右边的数小并且等式成立这样我们可以先用字母代替数字原等式写成a bcd a bcd acdb a b c d 当a 1时有682 24893 24当a 2时有493 12684 12896 12所以满足要求的等式有1268 241389 242349 242468 242689 24 5 12 把1至9这9个数字分别填入上面两个算式的各个方框中使等式成立这里有3个数字已经填好分析根据第一个等式只有两种可能78 5669 54如果为78 56则余下的数字有349显然不行而当69 54时余下的数字有378那么123-7 8或123-8 7都能满足迎迎春春 杯迎迎杯数数学学 数赛赛数春春春春 迎迎赛赛在上面的3个算式中相同的汉字代表相同的数字不同的汉字代表不同的数字如果这3个等式都成立那么迎春杯数学赛等于多少分析考察上面三个等式可以从最后一个等式入手能够满足春春春春 迎迎赛赛 的只有8888 7744于是春 8迎 7赛 4这样不难得到第一个为7788 6776第二个为5599 5445所以迎春杯数学赛 786594 39迎春春 迎春迎杯迎杯 迎杯在上面的两个横式中相同的汉字代表相同的数字不同的汉字代表不同的数字那么迎春杯等于多少分析同样可以从第二个算式入手发现满足要求的只有8181 81于是迎 8这样第一个算式显然只有899 89所以迎春杯 891 18在图4-1所示的算式中每一个汉字代表一个数字不同的汉字代表不同的数字那么喜欢这两个汉字所代表的两位数是多少分析 首先看个位可以得到欢是0或5但是欢是第二个数的十位所以欢不能是0只能是5 再看十位欢是5加上个位有进位1那么加起来后得到的人就应该是偶数因为结果的百位也是人所以人只能是2由此可知喜等于8 所以喜欢这两个汉字所代表的两位数就是85在图4-2所示的竖式中相同的汉字表示相同的数字不同的汉字表示不同的数字如果巧解数字谜 30那么数字谜所代表的三位数是多少分析还是先看个位5个谜相加的结果个位还是等于谜谜必定是50显然可以排出 接着看十位四个字相加再加上进位2结果尾数还是字那说明字只能是6 再看百位三个数相加再加上进位2结果尾数还是数数可能是4或9 再看千位1如果数为4两个解相加再加上进位1结果尾数还是解那说明解只能是95649 2430-24 6巧等于6与字等于6重复不能 2如果数为9两个解相加再加上进位2结果尾数还是解那说明解只能是85698 2830-28 2可以 所以数字谜代表的三位数是965在图4-3所示的加法算式中相同的汉字表示相同的数字不同的汉字表示不同的数字请把这个竖式翻译成数字算式 分析首先万位上华 1 再看千位香只能是8或9那么人就相应的只能是0或1但是华 1所以人就是0 再看百位人 0那么十位上必须有进位否则港人还是港由此可知回比港大1这样就说明港不是9百位向千位也没有进位于是可以确定香等于9的 再看十位回爱 港要有进位的而回比港大1那么爱就等于8同时个位必须有进位 再看个位两数相加至少12至多13即只能是57或67显然港 5回 6归 7 这样整个算式就是95671085 10652图4-4是一个加法竖式其中efinor stxy分别表示从0到9的不同数字且fs不等于零那么这个算式的结果是多少 分析先看个位和十位n应为0e应为5再看最高位上s比f大1千位上o最少是8但因为n等于0所以i只能是1o只能是9由于百位向千位进位是2且x不能是0因此决定了tr只能是78这两个如果t 7x 3这是只剩下了246三个数无法满足sf是两个连续数的要求所以t 8r 7由此得到x 4那么f 2s 3y 6所以得到的算式结果是31486在图4-5所示的减法算式中每一个字母代表一个数字不同的字母代表不同的数字那么dg等于多少分析先从最高位看显然a 1b 0e 9接着看十位因为e等于9说明个位有借位所以f只能是8由f 8可知c 7这样dg有2435和46三种可能所以dg就可以等于68或10王老师家的电话号码是一个七位数把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得9063把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529求王老师家的电话号码分析我们可以用abcdefg来表示这个七位数电话号码由题意知abcdefg 9063abcdefg 2529首先从第一个算式可以看出a 8从第二个算式可以看出d 1再回到第一个算式g 2掉到第二个算式c 7又回到第一个算式f 9掉到第二个算式b 3那么e 6所以王老师家的电话号码是83716923 将一个四位数的各位顺序颠倒过来得到一个新的四位数如果新数比原数大7902那么在所有符合这样条件的四位数中原数最大是多少分析用abcd来表示愿四位数那么新四位数为dcbadcba-abcd 7902由最高为看起a最大为2则d 9但个位上10a-d 2所以a只能是1接下来看百位b最大是9那么c 8正好能满足要求所以原四位数最大是19891已知图4-6所示的乘法竖式成立那么abcde是多少 分析由17的特点易知abcde 428571428573 428571某个自然数的个位数字是4将这个4移到左边首位数字的前面所构成的新数恰好是原数的4倍问原数最小是多少 分析由个位起逐个递推44 16原十位为6461 25原百位为5452 22原千位为2422 10原万位为0 14 4正好所以原数最小是102564在图4-7所示的竖式中相同的汉字表示相同的数字不同的汉字表示不同的数字则符合题意的数迎春杯竞赛赞是多少 分析同第10题一样也是利用17的特点因为每个字母代表不同的数字因此好只有3和6可选好 3则1428573 428571好 6则1428576 857142两个都能满足所以符合题意的数迎春杯竞赛赞可能是428571或857142行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题不论在奥数竞赛中还是在小升初的升学考试中都拥有非常重要的地位行程问题中包括火车过桥流水行船沿途数车猎狗追兔环形行程多人行程等等每一类问题都有自己的特点解决方法也有所不同但是行程问题无论怎么变化都离不开三个量三个关系这三个量是路程 s 速度 v 时间 t 三个关系1 简单行程 路程 速度 时间2 相遇问题 路程和 速度和 时间3 追击问题 路程差 速度差 时间牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的例有甲乙丙三人同时同地出发绕一个花圃行走乙丙二人同方向行走甲与乙丙相背而行甲每分钟走40米乙每分钟走38米丙每分钟走36米在途中甲和乙相遇后3分钟和丙相遇问这个花圃的周长是多少米这个三人行程的问题由两个相遇一个追击组成题目中所给的条件只有三个人的速度以及一个3分钟的时间第一个相遇在3分钟的时间里甲丙的路程和为40363 228米第一个追击这228米是由于在开始到甲乙相遇的时间里乙丙两人的速度差造成的是逆向的追击过程可求出甲乙相遇的时间为228 38-36 114分钟第二个相遇在114分钟里甲乙二人一起走完了全程所以花圃周长为4038114 8892米我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题使解题思路更加清晰东西两地间有一条公路长2175千米甲车以每小时25千米的速度从东到西地15小时后乙车从西地出发再经过3小时两车还相距15千米乙车每小时行多少千米思路导航 从图中可以看出要求乙车每小时行多少千米关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间解1甲车一共行多少小时153 45小时2甲车一共行多少千米路程2545 1125千米3乙车一共行多少千米路程2175-1125 105千米4乙车每小时行多少千米 105-15 3 30千米答乙车每小时行30千米例3兄妹二人同时从家里出发到学校去家与学校相距1400米哥哥骑自行车每分钟行200米妹妹每分钟走80米哥哥刚到学校就立即返回来在途中与妹妹相遇从出发到相遇妹妹走了几分钟相遇处离学校有多少米思路导航从图中可以看出哥与妹妹相遇时他们所走的路程的和相当于从家到学校距离的2倍因此本题可以转化为哥哥妹妹相距2800米两人同时出发相向而行哥哥每分钟行200米妹妹每分钟行80米经过几分钟相遇的问题解答就容易了解1从家到学校的距离的2倍14002 2800米2从出发到相遇所需的时间280020080 10分3相遇处到学校的距离1400-8010 600米 答从出发到相遇妹妹走了10分钟相遇处离学校有600米巩固训练1两城市相距328千米甲乙两人骑自行车同时从两城出发相向而行甲每小时行28千米乙每小时行22千米乙在中途修车耽误1小时然后继续行驶与甲相遇求出发到相遇经过多少时间 分析如果乙在中途不停车那么甲乙两人从出发到相遇共行路程的和328221 350千米两车的速度和2822 50千米小时然后根据相遇问题路程和速度和 相遇时间得 35050 7小时 解3282212822 35050 7小时解法2328-2212822 30050 6小时61 7小时 答从出发到相遇经过了7小时快车和慢车同时从甲乙两地相对开出已知快车每小时行40千米经过3小时快车已过中点12千米与慢车相遇慢车每小时行多少千米分析 从图中可知快车3小时行的路程403 120千米比全程的一半多12千米全程的一半是120-12 108千米而慢车3小时行的路程比全程的一半还少12千米所以慢车3小时行的路程是108-12 96千米由此可以求出慢车的速度解甲乙两地路程的一半403-12 108千米慢车3小时行的路程108-12 96千米慢车的速度963 32千米答慢车每小时行32千米小华和小明同时从甲乙两城相向而行在离甲城85千米处相遇到达对方城市后立即以原速沿原路返回又在离甲城35千米处相遇两城相距多少千米分析从图上可以看出小华和小明两人第一次相遇时行了一个全程小华行了85千米当小华和小明第二次相遇时共行了3个全程这时小华共行了3个85千米如果再加上35千米相当于小华行了2个全程甲乙两地全长也就可以求出来了解1甲乙出发到第二次相遇时小华共行了多少千米 853 255千米2甲乙两城相距多少千米 255352 2902 145千米答两城相距145千米拓展提升客车和货车同时从甲乙两地相对开出客车每小时行54千米货车每小时行48千米两车相遇后又以原来的速度继续前进客车到达乙站后立即返回货车到达甲站后也立即返回两车再次相遇时客车比货车多行216千米求甲乙两站相距多少千米分析 如图从出发到第二次相遇时客车和货车共行3个全程在这段时间里客车一共比货车多行216千米客车每小时比货车快54-48 6千米这样可以求出行3个全程的时间为2166 36小时由此可求出行一个全程时间363 12小时因而可以求出甲乙两站的距离 解从出发到第二次是两车行驶的时间21654-48 36小时 从出发到第一次相遇所用的时间363 12小时甲乙两站的距离544812 1224千米 答求甲乙两站相距1224千米2甲乙丙三辆车同时从a地出发到b地去甲乙两车速度分别为每小时60千米和48千米有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6小时7小时8小时先后与甲乙丙三车相遇求丙车的速度 分析解答的关键是求出卡车的速度从图上明显看出甲车6小时的行程与乙车7小时的行程差正好是卡车的速度再根据速度和相遇时间和路程三者之间的关系求出丙车速度 解1卡车的速度 606-4877-6 241 24千米ab两地之间的距离60246 504千米丙车与卡车的速度和5048 64千米丙车的速度64-24 40千米小时答丙车的速度每小时40千米两列火车从某站相背而行甲车每小时行58千米先开出2小时后车以每小时62千米才开出乙车开出5小时后两列火车相距多少千米火车过桥 过桥问题也是行程问题的一种首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥列车过桥的总路程是桥长加车长这是解决过桥问题的关键过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系 过桥问题的一般数量关系是因为过桥的路程 桥长 车长 所以有通过桥的时间 桥长 车长车速车速 桥长 车长过桥时间公式的变形 桥长 车速过桥时间 车长车长 车速过桥时间 桥长后三个都是根据第二个关系式逆推出的火车通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的也要通过上面的数量关系来解决例题与方法指导例1一列客车经过南京长江大桥大桥长6700米这列客车长100米火车每分钟行400米这列客车经过长江大桥需要多少分钟思路导航 从火车头上桥到火车尾离桥这之间是火车通过这座大桥的过程也就是过桥的路程是桥长 车长通过过桥的路程和车速就可以求出火车过桥的时间 1过桥路程6700 100 6800米 2过桥时间6800400 17分 答这列客车通过南京长江大桥需要17分钟 例2一列火车长160米全车通过440米的桥需要30秒钟这列火车每秒行多少米思路导航 要想求火车过桥的速度就要知道过桥的路程和过桥的时间 1过桥的路程160 440 600米 2火车的速度60030 20米 答这列火车每秒行20米例3某列火车通过360米的第一个隧道用了24秒钟接着通过第二个长216米的隧道用了16秒钟求这列火车的长度思路导航 火车通过第一个隧道比通过第二个隧道多用了8秒为什么多用8秒呢原因是第一个隧道比第二个隧道长360216 144米这144米正好和8秒相对应这样可以求出车速火车24秒行进的路程包括隧道长和火车长减去已知的隧道长就是火车长 1第一个隧道比第二个长多少米 360216 144米 2火车通过第一个隧道比第二个多用几秒 2416 8秒 3火车每秒行多少米 1448 18米 4火车24秒行多少米 1824 432米 5火车长多少米 432360 72米答这列火车长72米巩固训练 1某列火车通过342米的隧道用了23秒接着通过234米的隧道用了17秒这列火车与另一列长88米速度为每秒22米的列车错车而过问需要几秒钟思路导航通过前两个已知条件我们可以求出火车的车速和火车的车身长 3422342317 18米车速 1823342 72米 车身长 两车错车是从车头相遇开始直到两车尾离开才是错车结束两车错车的总路程是两个车身之和两车是做相向运动所以根据路程速度和 相遇时间可以求出两车错车需要的时间 72 8818 22 4秒 答两车错车而过需要4秒钟一列火车全长265米每秒行驶25米全车要通过一座985米长的大桥问需要多少秒钟 265 98525 50秒 答需要50秒钟一列长50米的火车穿过200米长的山洞用了25秒钟这列火车每秒行多少米 200 5025 10米 答这列火车每秒行10米拓展提升1一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥从车头上桥到车尾离桥用了1分钟求这座桥长多少米 1分 60秒 3060240 1560米答这座桥长1560米2一列货车全长240米每秒行驶15米全车连续通过一条隧道和一座桥共用40秒钟桥长150米问这条隧道长多少米 1540240150 210米答这条隧道长210米3一列火车开过一座长1200米的大桥需要75秒钟火车以同样的速度开过路旁的电线杆只需15秒钟求火车长多少米 12007515 20米 2015 300米答火车长300米4在上下行轨道上两列火车相对开来一列火车长182米每秒行18米另一列火车每秒行17米两列火车错车而过用了10秒钟求另一列火车长多少米 18 1710182 168米答另一列火车长168米列方程解应用题同学们在解答数学问题时经常遇到一些数量关系较复杂的或较隐蔽的逆向问题用算术方法解答比较困难如果用方程解就简便得多它可以进一步培养我们分析问题和解决问题的能力抽象思维能力列方程解应用题一般分为五步一审题弄清已知数和未知数以及它们之间的关系二用字母表示未知数通常用x表示三根据等量关系列出方程四解方程求出未知数的值五验算并答题一例题与方法指导例1 金台小学学生参加申奥植树活动六年级共植树252棵比五年级植树总数的倍少8棵五年级植树多少棵思路导航六年级比五年级植树总数的倍少8棵就是六年级的倍的数少8等于六年级植树的总数等量关系是五年级的倍8六年级的植树总数 解设五年级植树x棵根据题意列方程得 验算把代入原方程 左边 右边252 左边右边 是原方程的解 答五年级植树208棵 例2 一瓶农药700克其中水比硫磺粉的6倍还多25克含硫磺粉的重量是石灰的2倍这瓶农药里水硫磺粉和石灰粉各多少克思路导航这是道比较复杂的和倍应用题硫磺粉和水有直接关系硫磺粉和石灰也有直接关系因此应设未知数硫磺粉为x克水的重量是硫磺的6倍还多25克也就是6x25克石灰的重量就是硫磺粉的重量除以2也就是克等量关系式表示为 水硫磺粉石灰农药重量 解设硫磺粉的重量是x克那么水的重量是克石灰重量是克根据题意列方程解 验算把代入原方程 左边 右边700 左边右边 是原方程的解 例3 两袋米同样重第一袋吃去18千克第二袋吃去25千克余下的第一袋刚好是第二袋的2倍两袋原来各有多少千克思路导航题中告诉我们原来两袋大米同样重解答时可以设两袋大米原来各重x千克第一袋剩下的则是千克第二袋剩下的则是千克根据题意第一袋剩下的大米是第二袋剩下的2倍也就是说如果把第二袋剩下的扩大2倍就和第一袋剩下的相等 解设两袋大米原来的重量各为x千克根据题意列方程得 验算左边 右边321814 左边右边 x32是原方程的解 答两袋大米原来各重32千克巩固训练1李红看一本小说上午看了60页相当于下午看的页数的又4页李红这天共看了多少页小说思路导航这道题和求的问题是这一天共看了多少页小说题目中已知上午看了60页所以只要求出下午看的页数就可以了题目中明确告诉了我们等量关系即上午看了60页相当于下午看的页数的又4页 等量关系下午看的页数4上午看的页数 解法一设下午看了x页 6064124页 答这天共看了124页 解解法二这一天共看了x页 答这一天共看了124页 2 已知一个长方形的长是20米如果把它的宽减少4米新得到一个长方形它的面积想法于原来长方形的面积的原来长方形的周长是多少思路导航这道题的所求问题是求原来长方形的周长而题目中明确告诉了我们等量关系即新得到的长方形的面积相当于原来长方形面积的如果没有原来长方形的宽为x米原来长方形的面积就是20x平方米新的长方形的宽就是x4米新的长方形面积就是平方米 等量关系原长方形面积新长方形面积 解设原长方形的宽是x米 根据题意列方程得 答原来长方形的周长是68米 3 两根绳共长90米已知第一根绳长的等于第二根绳长的求两根绳各长多少米思路导航解答时首先抓住题目中的等量关系第一根绳长的等于第二根绳长的再根据第一根绳长为90x米就可以列出方程 等量关系第一根绳长第二根绳长 解设第一根绳长x米第二根绳长米根据题意列方程得 905040 答第一根绳长50米第二根绳长40米拓展提升 1 甲乙两个粮仓共有粮食55万千克如果甲仓运出乙仓运出6万千克则甲乙两仓存粮相等甲乙两仓原来各存粮多少万千克 解设甲仓原有粮食有x万千克则乙仓原有粮食万千克根据题意列方程得 553520 答甲仓原有35万千克乙仓原有20万千克 2 用5千克含盐20的盐水如果把它稀释为含盐15的盐水需要加水多少千克 解设需要加水x千克 答需要加水千克 3 有甲乙两筐苹果如果从甲筐取10千克放入乙筐则两筐相等如果从两筐中各取出10千克这时甲筐余下的比乙筐余下的多5千克求两筐苹果原来各多少千克 解设乙筐原有苹果x千克 402060 答甲筐原有苹果60千克乙筐原有40千克 4 同学们到郊区野炊一个同学到老师那里去领碗老师问他领多少他说领55个又问多少人吃饭他说一人一个饭碗两人一个菜碗三人一个汤碗算一算有多少人吃饭 解设参加野炊活动的人数为x人 答参加野炊活动的有30人抽屉原理如果将5个苹果放到3个抽屉中去那么不管怎么放至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个道理很简单如果每个抽屉中放的苹果都少于2个即放1个或不放那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3这与有5个苹果的已知条件相矛盾因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个同样有5只鸽子飞进4个鸽笼里那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子以上两个简单的例子所体现的数学原理就是抽屉原理也叫鸽笼原理抽屉原理1将多于n件的物品任意放到n个抽屉中那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件说明这个原理是不难的假定这n个抽屉中每一个抽屉内的物品都不到2件那么每一个抽屉中的物品或者是一件或者没有这样n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件这与有多于n件物品的假设相矛盾所以前面假定这n个抽屉中每一个抽屉内的物品都不到2件不能成立从而抽屉原理1成立从最不利原则也可以说明抽屉原理1为了使抽屉中的物品不少于2件最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入1件物品共放入n件物品此时再放入1件物品无论放入哪个抽屉都至少有1个抽屉不少于2件物品这就说明了抽屉原理1例题与方法指导例1某幼儿园有367名1996年出生的小朋友是否有生日相同的小朋友分析与解1996年是闰年这年应有366天把366天看作366个抽屉将367名小朋友看作367个物品这样把367个物品放进366个抽屉里至少有一个抽屉里不止放一个物品因此至少有2名小朋友的生日相同例2在任意的四个自然数中是否其中必有两个数它们的差能被3整除分析与解因为任何整数除以3其余数只可能是012三种情形我们将余数的这三种情形看成是三个抽屉一个整数除以3的余数属于哪种情形就将此整数放在那个抽屉里将四个自然数放入三个抽屉至少有一个抽屉里放了不止一个数也就是说至少有两个数除以3的余数相同这两个数的差必能被3整除例3在任意的五个自然数中是否其中必有三个数的和是3的倍数分析与解根据例2的讨论任何整数除以3的余数只能是012现在对于任意的五个自然数根据抽屉原理至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数于是可分下面两种情形来加以讨论第一种情形有三个数在同一个抽屉里即这三个数除以3后具有相同的余数因为这三个数的余数之和是其中一个余数的3倍故能被3整除所以这三个数之和能被3整除第二种情形至多有两个数在同一个抽屉里那么每个抽屉里都有数在每个抽屉里各取一个数这三个数被3除的余数分别为012因此这三个数之和能被3整除综上所述在任意的五个自然数中其中必有三个数的和是3的倍数巩固训练1有苹果和桔子若干个任意分成5堆能否找到这样两堆使苹果的总数与桔子的总数都是偶数分析与解由于题目只要求判断两堆水果的个数关系因此可以从水果个数的奇偶性上来考虑抽屉的设计对于每堆水果中的苹果桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能所以每堆水果中苹果桔子个数的搭配就有4种情形奇奇奇偶偶奇偶偶其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性第二个字表示桔子数的奇偶性将这4种情形看成4个抽屉现有5堆水果根据抽屉原理可知这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形由于奇数加奇数为偶数偶数加偶数仍为偶数所以在同一个抽屉中的两堆水果其苹果的总数与桔子的总数都是偶数2用红蓝两种颜色将一个25方格图中的小方格随意涂色见右图每个小方格涂一种颜色是否存在两列它们的小方格中涂的颜色完全相同分析与解用红蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色只有下面四种情形将上面的四种情形看成四个抽屉根据抽屉原理将五列放入四个抽屉至少有一个抽屉中有不少于两列这两列的小方格中涂的颜色完全相同在上面的几个例子中例1用一年的366天作为366个抽屉例2与例3用整数被3除的余数的三种情形012作为3个抽屉例4将一条线段的10等份作为10个抽屉例5把每堆水果中苹果数与桔子数的奇偶搭配情形作为4个抽屉例6将每列中两个小方格涂色的4种情形作为4个抽屉由此可见利用抽屉原理解题的关键在于恰当地构造抽屉 3在长度是10厘米的线段上任意取11个点是否至少有两个点它们之间的距离不大于1厘米分析与解把长度10厘米的线段10等分那么每段线段的长度是1厘米见下图将每段线段看成是一个抽屉一共有10个抽屉现在将这11个点放到这10个抽屉中去根据抽屉原理至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点包括这些线段的端点由于这两个点在同一个抽屉里它们之间的距离当然不会大于1厘米所以在长度是10厘米的线段上任意取11个点至少存在两个点它们之间的距离不大于1厘米拓展提升1有5个小朋友每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子请你证明这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的分析与解答 首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况可以有3黑2黑1白1黑2白3白共4种配组情况看作4个抽屉把每人的3枚棋作为一组当作一个苹果因此共有5个苹果把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉由于有5个苹果比抽屉个数多所以根据抽屉原理至少有两个苹果在同一个抽屉里也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的一副扑克牌去掉两张王牌每人随意摸两张牌至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的分析与解答 扑克牌中有方块梅花黑桃红桃4种花色2张牌的花色可以有2张方块2张梅花2张红桃2张黑桃1张方块1张梅花1张方块1张黑桃1张方块1张红桃1张梅花1张黑桃1张梅花1张红桃1张黑桃1张红桃共计10种情况把这10种花色配组看作10个抽屉只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以有题目所要的结果所以至少有11个人3从24630这15个偶数中任取9个数证明其中一定有两个数之和是34分析与解答 我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉凡是抽屉中有两个数的都具有一个共同的特点这两个数的和是34现从题目中的15个偶数中任取9个数由抽屉原理因为抽屉只有8个必有两个数在同一个抽屉中由制造的抽屉的特点这两个数的和是34不规则图形面积计算1我们曾经学过的三角形长方形正方形平行四边形梯形菱形圆和扇形等图形一般称为基本图形或规则图形我们的面积及周长都有相应的公式直接计算如下表实际问题中有些图形不是以基本图形的形状出现而是由一些基本图形组合拼凑成的它们的面积及周长无法应用公式直接计算一般我们称这样的图形为不规则图形那么不规则图形的面积及周长怎样去计算呢我们可以针对这些图形通过实施割补剪拼等方法将它们转化为基本图形的和差关系问题就能解决了一例题与方法指导例1如右图甲乙两图形都是正方形它们的边长分别是10厘米和12厘米求阴影部分的面积思路导航阴影部分的面积等于甲乙两个正方形面积之和减去三个空白三角形abgbdeefg的面积之和例2如右图正方形abcd的边长为6厘米abeadf与四边形aecf的面积彼此相等求三角形aef的面积 思路导航abeadf与四边形aecf的面积彼此相等四边形 aecf的面积与abeadf的面积都等于正方形abcd的在abe中因为ab 6所以be 4同理df 4因此ce cf 2ecf的面积为222 2所以saef s四边形aecf-secf 12-2 10平方厘米例3两块等腰直角三角形的三角板直角边分别是10厘米和6厘米如右图那样重合求重合部分阴影部分的面积思路导航在等腰直角三角形abc中ab 10ef bf ab-af 10-6 4阴影部分面积 sabg-sbef 25-8 17平方厘米例4如右图a为cde的de边上中点bc cd若abc阴影部分面积为5平方厘米求abd及ace的面积思路导航取bd中点f连结af因为adfabf和abc等底等高所以它们的面积相等都等于5平方厘米acd的面积等于15平方厘米abd的面积等于10平方厘米又由于ace与acd等底等高所以ace的面积是15平方厘米二巩固训练1如右图在正方形abcd中三角形abe的面积是8平方厘米它是三角形dec的面积的求正方形abcd的面积解过e作bc的垂线交ad于f在矩形abef中ae是对角线所以sabe saef 8在矩形cdfe中de是对角线所以secd sedf2如右图已知sabc 1ae edbd bc求阴影部分的面积解连结dfae edsaef sdefsabe sbed 3如右图正方形abcd的边长是4厘米cg 3厘米矩形defg的长dg为5厘米求它的宽de等于多少厘米解连结ag自a作ah垂直于dg于h在adg中ad 4dc 4ad上的高sagd 442 8又dg 5sagd ahdg2ah 825 32厘米de 32厘米4如右图梯形abcd的面积是45平方米高6米aed的面积是5平方米bc 10米求阴影部分面积解梯形面积 上底下底高2即45 adbc6245 ad1062ad 4526-10 5米ade的高是2米ebc的高等于梯形的高减去ade的高即6-2 4米5如右图四边形abcd和defg都是平行四边形证明它们的面积相等证明连结ceabcd的面积等于cde面积的2倍而 defg的面积也是cde面积的2倍 abcd的面积与 defg的面积相等不规则图形面积计算2不规则图形的另外一种情况就是由圆扇形弓形与三角形正方形长方形等规则图形组合而成的这是一类更为复杂的不规则图形为了计算它的面积常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割拼补旋转等手段使之转化为规则图形的和差关系同时还常要和容斥原理即集合a与集合b之间有sabsasb-sab合并使用才能解决例题与方法指导例1如右图在一个正方形内以正方形的三条边为直径向内作三个半圆求阴影部分的面积解法1把上图靠下边的半圆换成面积与它相等右边的半圆得到右图这时右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样因此它们的面积相等所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半解法2将上半个弧边三角形从中间切开分别补贴在下半圆的上侧边上如右图所示阴影部分的面积是正方形面积的一半解法3将下面的半圆从中间切开分别贴补在上面弧边三角形的两侧如右图所示阴影部分的面积是正方形的一半例2如右图正方形abcd的边长为4厘米分别以bd为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆求阴影部分面积解由容斥原理 s阴影s扇形acbs扇形acd-s正方形abcd例3如右图矩形abcd中ab6厘米bc4厘米扇形abe半径ae6厘米扇形cbf的半cb 4厘米求阴影部分的面积例4如右图直角三角形abc中ab是圆的直径且ab20厘米如果阴影的面积比阴影的面积大7平方厘米求bc长分析