（机械设计及理论专业论文）机械零件对称群分析及其在可制造性设计中的应用.pdf

浙江大学硕士学位论文摘要 摘要 对称性是包含在机械系统中的一种重要特性，而对称群理论是描述这种特性 的一种重要的数学工具，本文旨在借鉴并总结图像对称群的相关规律，发现机械 零件对称群的存在形式及其对零件可制造性的影响，并以此指导零件结构的设 计本文以机械零件结构可作为一种图像为研究出发点，探讨了机械零件结构的 对称群描述方法，探索零件结构中对称基准的作用效果以及机械零件的对称群对 可制造性的影响。 在考虑机械零件的可制造性方面，通过分析零件点群与总对称角之间的联 系，得出了零件点群的总对称角区间分布，并以提高零件的可装配性为设计目标， 提出了考虑可装配性的零件结构对称群优化方法。通过总结各种加工工艺对零件 结构的对称性要求以及对上百个零件的点群分析，考察了相关加工工艺的零件结 构点群的选择特点，并论述了相应的零件结构设计方法同时，通过对同种剪切 件排样图像的分析，得出了实现无废料排样的排样单元外轮廓与排样点阵平移群 之间的关系，进而指导排样的设计，减少钣料的消耗 本文将对称群理论引入机械对称性的研究是对该课题方向研究的新的尝试， 对于其他领域有关机械对称性的研究也具有一定的借鉴意义，同时也可以给设计 者带来一定的启发。 关键词：机械零件；对称群；对称程度；总对称角；可加工性；剪切排样 n 浙江大学硕士学位论文a b s t r a c t a bs t r a c t s ) ，m m e 仃yi so n eo ft 1 1 em o s ti n l p o r t a n tp r o p 鳅i e si nm e c h a n i c a ls y s t e m s ，a i l dt 1 1 e 也e 0 巧o fs ) ，玎m e 仃yg r o l l p si sav e r yu s e f h lm a 也e m 撕c a lt o o lf 0 rs y n 皿e 时a i l a l y s i s w i t l l 跚【加【m a r i z i n gt t l et l l e o r yo fs 炉e 仃yg r o u p so fi m a g e s ，雠s 枷c l ei sf 0 rm e p l l r p l o s eo fs t u d y i i l g 也e 町噬i m e t 呵粤伽p so fm e c h a i l i c a lp a i t s 趾di t se f f b c t0 n m 锄u f k 姚g e v e r ym e c h a n i c a lp a r tc 趴b ec o n s i d e r e d 邪a ni 1 1 1 a g e ，s oi tc a nb e d e s c r i b e d 勰as p e c i a ls y m m e t 叮g r o u p ，t h ea c t i o ne 丘e c t so fs y m m e 订ye l e m e n t si n 也e p a r t sa n d 也ei 1 1 f l u e n c ef - a c t o r so fs 脚e 仃yg r o u p so n 也e 妣h n i c a lp 柏n n a n c eo f m e c h a n i c a lp a i t si ss t u d i e d c o i l s i d e rm em a 肌f a c t u r i n go fm e c h a i l i c a lp a r t s ，w i t hm e 觚a l y s i so f 也e r e l a t i o n s h i pb 咖e t h ep o ms y 删n e 时g r o u p s 雒d t h et o t a l 强g l eo f t a t i o no fp a r t s ， m i sp 印e rd r a w 也ei l l t e r v a ld i s 时b u t i o no f 也ep o i n tg r o u p so fm e c h a n i c a lp a r t s a s 幻 i i i l p r o v e 也ep r o d l i c t 邪s 铡n _ b la _ b i l i 劬am e t h o dh o w t oi m p r o v es m l c m r eo fp a r t sb y c h a n g i n gt 1 1 ep o i n t 毋? o u p si sp r o p o s e d b y 跚衄l i i l a i i z i n gav a r i e 哆o ft t l es 灿e t 巧 似l u h m e 觚o f 也ep a ns 呻c t i l r ei np r o c e s s i n g 狃d 趾a l y z i n gh 吼d r e d so fp o m g r i d u p so fp a r t s ，t l l ee l e c 缸v et e n d e n c yo fp o i n tg r i 了u p s i np r o c e s s i n gi ss t u d i e d m e a n w h i l e ，f o r 也el a y o u to fs h e e tm 耐，t l l er e l 撕o n s h i pb e 哪e 既也e0 u 【t l i l l eo f 也e l a y 哪u 血锄dt h e 昀n s l a t i o ng r o u po f 血el a y o u tt oa c h i e v en 0 - w a s t ea r i 弛g e m e n ti s d r a 、玛w h i c hc mp r o 、，i d eg i l i d a n c ef o rl a y o u td e s i 皿 t h i sp a p c ri san e wa t t e m p t ，弱也et h e o r yo fs y m m e 时g r o u p si si n 仃o d u c e dt 0 t l l e s t i l d yo fm e c h a n i c a ls y m m 鼬哆i nt 1 1 i sp a p i ta l s oh 嬲s o m er e f - e r e n c e s i g t l i f i c a n c ef o ro 也e ra r e a so fm e c h a n i c a ls y m m e 勺嘎a n dd e s i g n e f sm a yb ei n s p 心e d 舶m t h i s p a p 既 k e y w o r d s ：m e c h a n j c a lp a r t s ；咖e 时g r o u p ；d e 铲e eo fs ) ，n m e 仃y ；t o t a la n g l eo f r 0 砸o n ；p r o c e s s a b m 够；1 a y o u to fs h e e tm e t a l m 浙江大学硕士学位论文 插图和附表清单 插图和附表清单 图1 1 ：分子的点对称群举例3 图1 2 ：晶体的宏观结构和微观结构一3 图1 3 ：。c 对称和p 对称零件举例4 图1 4 ：机械对称概念集的层次关系。6 图2 1 ：第一类与第二类重合操作举例1 0 图2 2 ：可被三种基本对称操作复原的图像举例1 1 图2 3 ：封闭图像与点阵图像举例1 2 图2 4 ：6 种对称操作的特点1 3 图2 5 ：长方体及其对称基准系1 5 图2 6 ：点阵图像的点阵表示一1 6 图2 7 ：平面图像点群举例1 8 图2 8 ：中心对称的简单图像举例1 9 图2 9 ：某剪切件排样的对称基准及对称操作群2 1 图2 1 0 ：转位式刀片的对称基准及对称操作群2 1 图2 1 l ：拉削孔的对称基准及其对称操作群2 2 图2 1 2 ：零件点群的判定流程方法2 2 图3 1 ：o 【和对称性3 3 图3 2 ：单手易操作零件的手工搬运时间3 3 图3 3 ：零件点群的总对称角区间3 5 图3 4 ：考虑定向效果的零件点群判断3 5 图3 5 ：轴承座销孔的布置3 8 图3 6 ：考虑可装配性的零件结构对称群优化流程3 9 图3 7 ：双头螺柱的对称群优化4 0 图3 8 ：组合件的对称群优化4 1 图4 1 ：机械零件的加工工艺4 3 图4 2 ：冷挤压件的对称形状设计7 2 】4 6 图4 3 ：形状对称与不对称的弯曲件【7 3 1 4 6 v 浙江大学硕士学位论文插图和附表清单 图4 4 ：使焊接整体结构中心对称布型7 4 】4 9 图4 5 ：管材焊接的焊缝布置5 0 图4 6 ：考虑可加工性的零件结构对称群优化流程5 3 图4 7 ：具有花键的小齿轮5 4 图5 1 ：单独冲模的三种冲裁方式5 5 图5 2 ：简单形状剪切件的无废料排样举例5 7 图5 3 ：正六边形和正八边形的排样5 8 图5 4 ：可实现无废料排样的平面排样举例【7 9 1 5 9 v m 浙江大学硕士学位论文插图和附表清单 表1 1 ：对称结构类型j 5 表1 2 ：3 种机械对称性描述6 表2 1 ：三种基本操作的矩阵表示( 采用齐次坐标) 1 1 表2 2 ：三种基本对称操作的组合1 2 表2 3 ：对称基准的对称操作群1 4 表2 4 ：图像的点对称群。1 6 表2 5 ：包含对称中心的点群图像( 立方体群除外) 1 9 表2 6 ：常见立体图像对称程度比较2 0 表2 7 ：常见平面图像对称程度比较2 0 表2 8 ：各类点群零件结构举例2 3 表2 9 ：空间群结构典型实例2 4 表2 1 0 ：单轴群结构举例2 5 表2 1 1 ：双轴群结构举例2 7 表2 1 2 ：旋转对称结构中对称基准的作用2 9 表2 1 3 ：齿轮结构中的对称基准及其作用效果3 0 表3 1 ：零件点群的总对称角( 立方体群除外) 3 4 表3 2 ：考虑定向效果的零件点群的总对称角3 6 表3 3 ：联接接口的对称群与其p 对称性3 7 表3 4 ：考虑装配时间的零件对称群结构改进案例3 8 表3 5 ：不对称程度提高的零件改进举例3 9 表4 1 ：变形成形工艺中的对称性结构设计准则“ 表4 2 ：变形工艺零件点群统计4 4 表4 3 ：冷挤压件截面的对称性与加工难度4 5 表4 4 ：热处理工艺对称性相关零件结构设计举例4 7 表4 5 ：热处理和铸造工艺零件点群统计4 8 表4 6 ：特定工艺中细长结构的截面设计举例4 9 表4 7 ：热应力平衡的焊缝布置举例5 0 表4 8 ：相关工艺零件结构的点群选择5 l 表4 9 ：低对称程度零件整体加工方法举例5 2 表4 1 0 ：小齿轮的工艺过程5 4 i x 浙江大学硕士学位论文 插图和附表清单 表5 1 ：剪切件排样的空间群描述5 6 表5 2 ：无废料排样分析5 7 表5 3 ：平移轮廓边排样单元的排样6 0 表5 4 ：非平移轮廓排样单元的排样改进6 0 表6 1 ：考虑可制造性的零件对称群相关设计取向6 3 x 浙江大学硕士学位论文 符号清单 符号清单 c ，c ( 昂) ：旋转变换矩阵，对忍点进行的旋转变换； 仃，矿( 昂) ：反映面或反映变换矩阵，对昂点进行的反映变换； r ，r ( 咒) ：平移变换矩阵，对r 点进行的平移变换； c ( 彳，口) ：绕a 轴角度为a 的旋转操作； 口，仃( 仃) ：关于平面a 或。的反映操作； r ( i - ) ：以尹为平移向量的平移操作； 瓯：轴次为n 的旋转反映操作； g ( 盯，- ) ：以仃和f 为对称基准的滑移反映操作； 矗( 么，口，f ) ：以a 、o 【和f 为对称基准的螺旋旋转操作； e ：恒等操作； f ，( f ) ：倒反中心( 对称中心) ，关于f 的倒反操作； e ，e ：轴次为n 的旋转对称轴及其旋转操作； c l ，c ，c ，：无轴群 q ，s 2 。，c 疗 ，o ：单轴群； d 。，d 砌，d 耐：双轴群； r ，瓦，乃，d ，d ，j ：立方体群 注：本文对称群符号均采用s c h o 衄n i e s 符号，且为区分起见，对称操作均以粗 体符号表示 浙江大学硕士学位论文 致谢 致谢 时月匆匆，从该论文开始构思至今，已然半年有佘。在此论文即将完稿之际， 谨向我的导师冯培恩教授表示深深的感谢和崇高的敬意冯老师德高望重，其严 谨求实的治学之道指引我在该课题的探索与研究上不断进步，冯老师对该论文所 提意见与建议，无疑对该论文的成形起到了很大的作用 感谢刘伟平同学，同为课题组的一员，平时与其交流颇多刘伟平同学非常 注重机械结构实例的积累，其相关论文及报告材料也是该论文重要的实例来源， 其对于某些实例的分析也给我许多启发。同时也要感谢课题组的其他成员，他们 对于机械对称性的理解与想法带给我许多思考与启发。 感谢浙江大学以及研究所所提供的良好的学习以及科研条件，浙江大学的求 是学风对于我在科研以及为人处事的态度上影响颇深，是者如是，求是而创新。 最后，向所有对该论文的写作提供过帮助的各位老师、同学和亲人朋友们以 及本文的评阅老师致以诚挚的谢意! 马友才 2 0 1 2 年1 月于求是园 浙江大学硕士学位论文第一章绪论 1 绪论 【摘要】介绍了论文研究的背景，有关对称性的含义，对称群理论在物理、 化学等自然科学领域的研究与应用，以及前人在有关机械对称性方面的研究，引 出研究机械零件的对称群及其如何在可制造性设计中应用的必要性。 【关键词】对称性；对称群；机械对称性 1 1 研究背景 机械结构的对称性是我们在进行机械设计时经常遇到的问题，在机械产品中 也存在着众多的对称结构，然而，采用对称的结构对于机械零件的可制造性有怎 样的影响，目前对此还没有一个系统的认识。 本文作者在阅读相当数量的对称性相关文献后，着实感觉到在化学、物理包 括生物领域，对称性相关的研究较多【他8 1 ，也有一定的相关应用，而在工程领域， 特别是作者所学的机械领域，有关对称性的研究却不多，即使有，也不够系统， 即使系统也只是定性研究，与对称性在化学等领域的研究深度不能相比 对称群理论是用于对一个对象的对称性进行描述的一种重要的数学工具，它 已经在包括晶体、分子以及量子力学等领域中有了比较深入的研究2 ”8 1 然而， 在机械领域，虽然j 6 唱b 删c h e e n 在其1 9 9 0 年的博士论文中有过关于机械结 构的对称群的相关论述，但是对于如何应用对称群理论指导考虑机械可制造性的 产品结构设计，却未作进一步的系统阐述【3 9 1 另一方面，在机械装配领域也有 对称群理论的相关应用，但却基本仅限于进行机械结构的计算机辅助对称性识别 及匹配方面，而非系统着眼于机械零件结构的对称群【4 6 】 2 0 0 6 年开始，作者所在的浙江大学机械设计研究所在国家自然科学基金机 械对称性及其在设计中的应用规律研究的支持下，对机械对称性理论做了系统 性的探索研究，而目前的研究还未涉及机械零件的对称群方面【5 “5 1 。 1 2 对称性的含义 通常我们对于“对称”总体上有两种理解，一种理解是，对称表示一种比例 浙江大学硕士学位论文第一章绪论 的协调与匀称，这是在艺术上通常对于对称的一种认识，而这种含义的对称又通 常与“美”联系在一起【1 3 1 。另一种的理解即是左和右的对称性，或称双侧对称 性，这种意义上的对称相比于第一种理解，是一个比较严格的几何概念。 对于对称性的一般性定义，德国数学物理学家魏尔( w b y lh e m 锄) 将其定 义为系统的状态对于某种交换保持不变的性质【。其中，系统是指所考察的对 象，它可以是一种事物或事物的某种性质，而状态是指对系统的一种描述；变换 将系统从一个状态交到另一个状态。可能的变换以及某种不变性是有关对称性的 两个关键因素 5 】，如果系统在一种可能的变换下具有某种不变性，那么就可以称 这个系统关于这一变换是对称的，这个变换就称为这个系统的一个对称操作 一个图像是对称的，是指该图像能经过不改变其中任意两点间距离的操作后 能够复原【3 0 1 ，用更精确的数学语言可以描述为：图像的空间结构在其自同构变 换群( 娜o fa u t o m o 砌c 呦s f o m a t i o 必) 作用下具有不变性。图像的对称所 涉及的对称操作主要是刚体变换，这类对称操作主要有旋转、反映、像转，平移 等等。 1 3 对称群理论 群论( g m u p 也e o 巧) 是代数学的一个分支，对它的研究开始于一百多年前， 目前群的概念不仅是数学及其很多分支中最基本的概念，在物理学和化学中也已 经成为一种不可缺少的重要数学工具【2 9 3 8 】，有关群的定义，可以参考附录a 。 在物理学和化学中，群论的应用是与对称性紧密联系的，由对称操作构成的 群即为对称群，对称群的应用主要有两个方面【3 2 1 ：( 1 ) 通过群论这一工具，可 以将研究对象中存在的对称性与其性质联系起来。只要知道研究体系具有哪些对 称性质，可以不进行与体系的其他具体细节有关的计算，就能得出关于其性质的 结论，且这些结论只与该体系的对称性质有关。( 2 ) 对称群理论的第二个主要应 用是简化计算。运用群论这一工具，可将一些复杂的问题简单化，而且可以区分 出哪些是只由对称性决定的性质，有助于揭示问题的本质 在化学领域中，对称群的应用是与分子的对称性以及晶体点阵结构的对称性 相关联的分子结构的对称群属于点对称群的范畴，而晶体的微观结构则可以采 用空间对称群加以描述。 2 浙江大学硕士学位论文第一章绪论 分子的对称群是化学中最常遇到的对称群，它是由分子的点对称操作构成的 对称群，所以是一种点对称群，简称点群。分子中所包含的对称基准包括旋转轴、 反映面、对称中心以及像转轴，由分子中所包含对称基准的情况，可以得出所存 在的分子对称群的类型是可以进行一定规律性划分的，主要包含有单轴群、双轴 群以及立方体群这三类点群，如图1 1 所示为各类点群的分子结构举例分子的 结构决定了分子的点群，而分子的点群与其某些性质之间存在着某种内在联系， 例如分子偶极矩以及旋光性的有无等等，根据分子的点群即可预测分子的相关性 质陟3 2 1 。 i 弑。承 氮气分子：单轴霹乙烯分子：双面群 甲娩分子：立方体霹 图1 1 ：分子的点对称群举例 晶体在宏观上是一种多面体结构，可以观察到其中所包含的对称基准可以有 对称中心、反映面以及轴次为2 、3 、4 、6 的旋转轴和像转轴，在此基础上可以 推出晶体存在3 2 个点群类型。而在微观上，晶体的结构是一种点阵结构，其对 称群是一种空问群。在点阵结构中，除了以上提到的四种对称基准外，还可以包 含点阵、螺旋轴以及滑移面这三类对称基准，从而可以得出2 3 0 种晶体点阵结构 的空间群【2 9 】【3 3 1 。如图1 2 所示为晶体的宏观结构以及微观点阵结构。 圄妒圆 a ) 晶体的宏观结构b ) 晶体的徽观结构 图1 2 ：晶体的宏观结构和微观结构 普遍意义上，无论是分子的结构还是晶体的结构，都可以描述为一种图像。 对于一个对称图像，首先其是具有一定的操作不变性的，即在某种对称操作之下 可以使图像复原，这个图像中所有不等价对称操作的集合即形成了该图像的对称 群。类似于分子和晶体的对称群，图像的对称群也可以进行类似的划分，详见第 3 浙江大学硕士学位论文第一章绪论 二章所述。机械零件结构在某种程度上也可以描述为一种图像，所以也可以进行 对称群的描述与分析，这是本文的研究基础。 1 4 前人在机械对称性研究方面的探索 在机械结构的对称性及其应用的研究方面，在t r i z 理论以及工程设计学等 各种系统化设计方法中常有零碎描述【4 7 5 0 1 ，例如t r i z 理论的第4 条发明原理： 不对称一一将物体的形状由对称变为不对称，如果物体是不对称的，增加其不对 称的程度。这一条发明原理为产品的创新设计提供了一种可能设计方向，而这里 所提的对称不仅指结构上的对称，更是一种广义意义上的 在面向装配的设计( d f a ) 中，gb o o 也r o y d 等比较系统地研究了零件的对 称性对零件装配时间的影响，并按照装配操作的不同，定义了零件的两种对称性： o 【对称和d 对称，通过大量实验与尝试，认为最有用的参数是这两种对称性的和， 称为总对称角( t o t a la n 9 1 eo fr o t a t i o n ) ，且总对称角越小，零件的装配时间越短 【5 1 巧3 1 ，相关内容本文将在第四章中具体论述。与此同时，qb o o 缸o y d 等人已经 注意到了零件中可以包含多个旋转轴，且这些旋转轴不是独立存在的【5 2 1 ，可以 将零件中的旋转轴分为主轴和横轴，主轴一般为装配的插入轴。如果一个零件关 于一个横轴具有1 8 0 。的旋转对称，则称这个零件是o 【对称的，如果一个零件关 于主轴不需要定向，则称这个零件是d 对称的，如图1 3 所示。 零件 瑚 图1 - 3 ：仅对称和6 对称零件举例 用对称群来描述机械结构较早见于德国学者j 6 略b a r r e n s c h e e n 题为对称在 设计中的系统应用的博士论文中，该论文较系统地论述了机械对称结构的一些 具体形式，并结合工程设计学中的有关设计原则以及案例，较全面地阐述了 4 浙江大学硕士学位论文第一章绪论 对称性在产品设计中的应用【4 1 1 。在该博士论文中，作者根据结构的内部关系是 否相同，将主要的机械对称结构总体上分为等距对称结构( i s o m 缸e n ) 和相似 对称结构( h o m 6 0 m e t r i e n ) ，如表1 1 所示，并对等距对称结构中的点对称结构 ( y n m 嘶e n ) 进行了比较细致的描述，通过对众多机械对称结构的点对称 群分析，给出了特定点群结构中所包含对称基准的一些基本作用，并进一步给出 了基于这种机械结构点对称群分析的对称性结构设计流程方法。本文主要讨论机 械领域中能以对称群表达的等距对称结构。 表1 1 ：对称结构类型 序 对称类型举饲 号 镜射对称 1 j 穹c 二二y 。 点对称旋转对称 2 一& ：圈卧 旋转夹曼 等距对称 旋转镜射 囝 对称 3 平移对称 4 厂 鼍片 蛋磁髓谍礤褥辩l 善臻 相似平移对称 5 曩孔拉刀 相似对称 相似旋转对称 6 国内对于机械结构的对称性及其应用方面的研究报道较少，苏州大学的钟康 明等人研究了机械布局的对称性及其对技术性能的影响，并对在机械结构设计中 的应用有过一定的思考，但仅停留在思考以及基于对称美的启发上，未有具体且 进一步的研究5 5 1 浙江大学硕士学位论文第一章绪论 。1 5 课题组研究现状 课题组在国家自然科学基金的资助下，研究了各种结构对称在机械中的作用 机理，并采用本体论方法建立了机械对称概念体系，同时创新性地提出了机械功 能以及原理对称性的概念5 “3 1 。对于机械设计，其中可能涉及的对称性主要包括 了机械结构的对称性、原理的对称性以及功能的对称性等相关方面，由1 2 节有 关对称性的描述，从变换不变性的角度出发，其所包含的对称性可以描述为如表 1 2 所示。 表1 2 ：3 种机械对称性描述 机械对称性可能的变换不变性 机械结构对称性空间变换结构状态不受影响 机械原理对称性实现原理的结构方案的改变实现功能的原理不变 机械功能对称性实现功能的原理方案的改变功能不受影响 结构对称c l 机械对称c 。h 原理对称c p j 功能对称c f 功能交换对称 功能选择对称c i 图1 4 ：机械对称概念集的层次关系 在总结对称性在生物、物理等学科概念及其作用的基础上，课题组提出了适 用于一般系统的对称性本体框架，同时，通过研究相当数量的机械对称实例，提 出了按结构对称、原理对称以及功能对称进行区分的机械对称性本体体系，如图 1 4 所示另一方面，也探讨了机械结构对称、原理对称以及功能对称在改进可 创新产品中的应用方法 6 一一一一一一一一一一一一一一一一一 浙江大学硕士学位论文第一章绪论 同时，文献 6 4 】通过对具有镜射对称的机械实例的分析，总结出镜射对称可 以强化功能、提高性能，以及满足时间连续性等设计要求。文献【6 5 】提出了工艺 对称性的概念，构建了由工艺方法对称性、工艺过程对称性以及工艺设备对称性 组成的多层次分类体系，并举例说明了工艺对称在提高机械制造工艺水平以及施 工设计水平中的应用。然而，这些方面的研究主要通过对机械实例的总结得出， 而未采用一种更精确的数学工具辅助研究。 1 6 研究内容及意义 1 6 1 研究内容 本文针对机械零件结构所具有的对称群及其在可制造性设计中的应用，主要 的研究内容可以归结为： ( 1 ) 机械零件的对称群类型与特点； ( 2 ) 机械零件总对称角的取值分布特点以及影响零件可装配性的对称群因素； ( 3 ) 机械零件结构工艺性的对称性要求以及具体工艺的零件点群选型原则； ( 4 ) 考虑零件可装配性以及可加工性的对称群相关结构设计方法； ( 5 ) 同种剪切件排样的对称群表达方式及其相关的无废料或少废料排样方法 1 6 2 研究意义 本文借鉴对称群理论中图像对称群的相关规律，发现机械零件对称群的存在 形式及其对零件可装配性和可加工性等方面所带来的影响，探讨零件结构对称群 的基本类型，以及机械对称结构中所包含对称基准的基本作用效果。通过对零件 结构点对称群的分析，得出机械零件可能存在的对称性总角度取值特点，以及影 响零件可装配性的对称群相关因素，同时通过对机械加工过程中毛坯或工件结构 对称群的分析，获取有关机械零件的可加工性与其对称群之间的相关联系。在此 基础上，可以得到面向零件可装配性的与可加工性的机械结构对称群设计方法 本文将对称群理论引入机械对称性研究的尝试，可以对其他领域有关机械对称性 的研究提供一定的借鉴意义，同时也可以在一定程度上给设计者带来启发 7 浙江大学硕士学位论文 第一章绪论 1 7 论文体系结构 本文围绕着机械零件结构的对称群及其对产品可制造性的影响，具体的论文 结构安排如下： 第一章主要介绍论文研究的背景，有关对称性、对称群理论的研究与应用现 状，以及前人在有关机械对称性方面的研究成果，引出研究机械结构的对称群及 其如何在考虑可制造性设计中应用的必要性 第二章主要总结了图像对称群的基本原理，空间群以及点群图像的特点，论 述了机械零件对称群的确定方法以及各类对称群结构的特点，并举例说明了机械 结构中的对称基准对零件结构技术性能的影响，继而引出后续章节的内容 第三章主要论述了零件装配的总对称角与零件装配搬运时间的关系，零件点 群的总对称角的主要影响因素及其取值区间，并由此得出考虑可装配性的零件结 构对称群优化方法。 第四章主要总结了各加工工艺对零件结构的对称性要求，尤其在变形加工工 艺和涉及热应力的工艺这两个方面，由此概括出各类加工工艺所适合的零件点群 形式以及考虑可加工性的零件结构设计方法。 第五章主要论述了同种剪切件排样的对称群分析方法，得出了可实现无废料 排样的排样单元需要满足的对称群相关条件，继而给出了以省料为目的的剪切件 排样设计方法。 第六章为对本文主要结论的总结，考虑可制造性的零件对称群相关设计取 向，以及本课题的研究展望。 本论文的总体框架如图1 5 所示。 浙江大学硕士学位论文第一章绪论 第六章 r、 总结和展望1 l j 介介介 r、r、 第四章第五章 机械零件的对称群与i机械零件的对称群与零件剪切排样的对称1 可装配性 i 可加工性群与捧样设计 ljl一j 图1 5 ：论文研究总体框架 9 浙江大学硕士学位论文第二章机械零件的对称群 2 机械零件的对称群 【摘要】介绍了图像的对称基准系，对称群的基本划分，论述了机械零件结 构的对称群描述方法和零件点群的确定方法，机械零件点群结构的基本特点，以 及零件结构的对称基准与其技术性能的关系 【关键词】对称基准；对称群；对称程度；机械零件；技术性能 2 1 图像的对称群 2 1 1 对称操作 所谓图像具有某种对称性，是指能对图像进行某种操作使图像各点在空间的 位置改变，但任何一点都占有操作以前图像某点的位置，且任意两点间的距离保 持不变，即能使图像复原，这种操作叫做对该图像的对称操作。 重合操作是指使一个图像与另一个相等的图像在不改变图像内部任何两点 间距离的情况下互相重合的操作这里，两个相等的图像既可以是两个互相叠合 的相同图像，也可以是两个像左手和右手那样互为镜像的对映图像【3 0 1 这样， 可以将重合操作分为两大类：第一类重合操作是将两个相同图像叠合的操作，而 第二类重合操作是使两个对映图像重合的操作，如图2 1 所示为两种重合操作的 举例。从性质上说，对称操作属于重合操作的范畴，因此，对称操作也有第一类 对称操作和第二类对称操作的区分 、， 辽磐 屯l e 陟 ) 第一类重合操作b ) 第二类重合操作 图2 1 ：第一类与第二类重合操作举例 所有对称操作均可由三种基本的操作组合而成，这三种操作是：绕着某一 个轴旋转一定的角度( 旋转) ；对某一个平面取镜像( 反映) ；沿某一个方向 l o 浙江大学硕士学位论文第二章机械零件的对称群 移动一定距离( 平移) 。以对空间某点忍( ，y 。，气) 进行的变换为例，以上三种 操作可以用矩阵的形式加以表达，如表2 1 所示 表2 1 ：三种基本操作的矩阵表示( 采用齐次坐标) 操作示意图变换矩阵 对点昂的变换结果 说明 ff 2 c o s 矽一s i n 矽o0 旋转 走y c = s i n 9c o s 护o 0 c ( 只) = c ( ，y o ，：o ，1 ) 7 此处，旋转轴 i 一斗：00l0 = ( x oc o s 口一y os i n 只工os i n 口+ j ，o c o s 口，z o ，1 ) r 为z 轴，旋转 7 峨寸。 0o0l 角度为e 2 1oo0 p 。 olo0 此处，反映面 反映 夕 i 仃2 似只) = 仃，y o ，z o ，1 ) 7 = ，屹o ，1 ) 、七 oolo 为x o y 平面 彳 l p o oo1 l0of lz 此处，按向量 平移 i ，p 。，p丁= oloo 刊x o olo “昂) = r ( 而，j ，o ，z o ，1 ) = ( 工o + f ，y o ，：o ，1 ) f = ( f ，o ，o ) 进 oo ol 行平移 在对图像进行基本操作时，旋转和反映这两种操作保持图像中至少有一点不 动，称为点操作；平移操作则使图像的任何一点都移动了，称为空间操作，严格 意义上，空间对称操作只能复原相同单元无限重复的点阵图像对称操作都是对 于一定的几何元素来进行的，例如，旋转是绕某一旋转轴进行的，反映是对某个 反映面进行的，平移是沿某一矢量进行的等等，这种对称操作据以进行的几何元 素称为图像的对称基准( s 脚e n ye l 锄e n t ) 如图2 2 所示，图中的正四棱锥、 以等腰三角形为底的三棱锥以及平面装饰画的图像分别可以被相应的旋转、反映 和平移操作所复原 q f i - ) 正四棱锥b ) 三棱镶c ) 装饰萄 图2 2 ：可被三种基本对称操作复原的图像举例 由上述的三种基本操作，通过它们之间的组合可以导出其它对称操作。将操 l l 浙江大学硕士学位论文 第二章机械零件的对称群 作的组合定义为相继进行操作，可以用操作的乘积来表示，即可以表示成其变换 矩阵的相乘，且采用左乘形式，乘积的先后不影响组合结果，三种基本操作之间 的组合原理可以参考附录b ，表2 2 为对三种基本对称操作组合的归纳。 表2 2 ：三种基本对称操作的组合 操作组合 组合前提 乘积表示 组合结果操作类型 旋转+ 旋转 两旋转轴重合或相交 c ( b ，) c ( 彳，口) = c ( c ，y ) 反映+ 反映两反映面重合或相交 仃b 盯一= c ( d ，2 口) 旋转 第一类对 平移向量与旋转轴垂直 c ( 彳，a ) r ( r 上) = c ( b ，口) 平移+ 旋转 称操作 平移向量与旋转轴平行 c ( 彳，口) ，( 力) = 露( 彳，口，f ，) 螺旋旋转 平移+ 平移 r ( t ) r ( 瓦) = 丁( 瓦) 平移 平移向量与反映面垂直 仃( 仃) 丁( 上) = 盯( 盯) 反映 平移+ 反映 第二类对 平移向量与反映面平行 盯( 盯) r ( 1 ) = g ( 仃，f ，) 滑移反映 称操作 旋转+ 反映旋转轴与反映面垂直 吼cn = s ， 旋转反映 由各种操作组合的特点，可知表2 2 中已经包含了所有可能的对称操作类型， 而倒反操作( 见附录b ) 是旋转反映的一种特殊形式。同时，由各种操作之间组 合的性质，可以得出，第一类对称操作都可以归结为一个螺旋旋转操作，而第二 类对称操作都可以归结为滑移反映操作或旋转反映操作f 3 0 】。表2 2 中的旋转、平 移以及反映为三种基本的对称操作，而通过这三种基本操作组合得到的另外三种 新的对称操作，包括螺旋旋转、滑移反映以及旋转反映，可以称为复合对称操作。 平面田形 a ) 封闭圈像 l 妙 - 。 装饰i昌体点阵 b ) 点阵图像 图2 3 ：封闭图像与点阵图像举例 1 2 臻骖 祭豢骛秸米獭 浙江大学硕士学位论文第二章机械零件的对称群 由对称操作对图像变换结果的特点，旋转，反映和旋转反映是点操作，而平 移、螺旋旋转和滑移反映是空间操作。在进行一种点操作时，图像中至少有一个 点是不动，而在进行一种空间操作时，图像中每个点都要移动。由此可知，能为 任何空间操作复原的图像，一定是一个由无数个相同单元组成的点阵图像，而封 闭图像就只能被点操作所复原，如图2 3 为封闭图像和点阵图像举例。同时，旋 转、平移和螺旋旋转为第一类对称操作，而反映、旋转反映和滑移反映为第二类 对称操作，图像进行第一类对称操作后得到的是相同图像，而进行第二类对称操 作后得到的是像左右手那样的对映图像。如图2 4 为对以上所述6 种对称操作的 特点归纳 点操作 空问操作 第一类第二类 对称操作对称操作 旋转 反映 旋转 反映 平移 滑移 镖旋 反映 旋转 基本对称操作 复合对称操作 图2 4 ：6 种对称操作的特点 2 1 2 图像的对称基准与对称群 对于某个图像中的一个对称基准占，关于这个对称基准的所有对称操作中， 必然存在一个基本操作x ，而其他对称操作均为该基本操作的迭代，印图像连 续进行任意次的x 操作应当能够复原，如果该对称基准的全部不等效对称操作 为：e ，x ，x 2 ，x ”1 ，其中，层为恒等操作，即不做任何操作，这n 个不等效 的对称操作所组成的集合称为这个对称基准占的对称操作群，这是一个n 阶的循 环群，同时也是一个阶数有限的群 对于包含平移操作的各种对称基准，它们的对称操作可以表示为： ，x - 2 ，x 一，e ，x ，x 2 ，都不等效，其对称操作群是一个阶数无限的群，x 为 相应对称基准的基本操作具有平移操作的对称基准只能存在于一个由无限个相 等的单元组成的点阵图像中。如表2 3 为各种对称基准的对称操作群 1 3 浙江大学硕士学位论文 第二章机械零件的对称群 表2 3 ：对称基准的对称操作群 。 对称基准 基本操作对称操作群群的阶数 对称中心ff ( f ) 征，f 2 反映面盯仃( 仃) 拉，仃) 2 有 旋转轴c c 。恼，c 。，饼，掣 疗 限 ”为奇数 忙，g ，c ，c ：，吒掣，c ， 群 像转轴最 s 。= o 。 豫 以为偶数忙，c ，e ，q ，矸2 ， 一维“厅) p ( 厅) r = 趴加) ，p = ，一1 ，o ，l ， 点 二维 丁( a ) r ( 6 ) 防( 历) r 防( 云) r = 丁( 庳+ g 云) ，p ，g = ，一l ，o ，l ， 阵 三维 r ( 厅) r ( 6 ) 、r ( 孑) p ( 历) r p ( 云) r 防( 石) 】，= r + 和+ 尼) ，p ，仍，= ，一1 ，o ，l ， 无限群 螺旋轴灭( 厶堡，于) ：g r ( f ) 肌，和卜， 吡 玎 滑移面g ( 仃，f ) = 仃( 盯) r ( f ) 【g ( 口，f ) r ，p = ，一1 ，o ，l 对称基准的对称操作群是图像对称操作群的基础，当一个图像中只有一个对 称基准时，这个对称基准的对称操作群即为这个图像的对称操作群；而当图像拥 有多个对称基准时，如果我们把这些对称基准按照它们存在于图像中的方式全部 抽取出来，就可得到该图像的对称基准系。如图2 5 所示，长方体包含三个二重 旋转轴c 2 、c 2 以及c 2 ”，三个反映面o ，、o ，和口h ，以及一个对称中心i ，将 这些对称基准全部抽取出来，即形成长方体的对称基准系能使对称图像复原的 全部不等效的对称操作的集合，称为这个图像的对称操作群，简称对称群。图像 对称群中所包含对称操作的数目即为该对称群的阶数，以n 表示。一个对称图像 的对称性决定于这个图像是由多少个相同的单元以及按照什么方式组成的，而这 样的特征又决定于图像的对称操作群或对称基准系 1 4 浙江大学硕士学位论文第二章机械零件的对称群 l c 2 i ，少o y 厂一：可一r 7 l i 岭旌三蓑 - ，l i j l ；# ：一j 长方体及其对称基准长方体的对称基准系 图2 5 ：长方体及其对称基准系 2 1 3 空问对称群与点对称群 图像的对称群中，若包含平移操作，则该对称群称为空间对称群，简称空间 群，若只包含点对称操作，则这样的对称群称为点对称群，简称点群。 一个图像若能为任何空间操作复原，其一定是能为一个平移群复原的点阵图 像。点阵图像的对称群中，一定包含有一个子群是平移群，但其中也可以包含点 操作，这里，子群是指由原群中部分元素构成的群。螺旋旋转和滑移反映作为空 间操作，能为其复原的图像也一定是一个点阵图像，而且在螺旋轴或滑移面的对 称群中，一定有一个子群是平移群点阵图像的对称群为空间群，点阵图像的对 称性决定于它的空间群，而一个空间群可以通过它的对称基准系和等效点系( 点 阵) 来表示【2 ”o 】 点阵是在空间任何方向上均为周期排布的无限个等同点的集合，点阵可以有 一维、二维和三维点阵之分。任何点阵，总是一组按连接其中任何两点的向量进 行平移后而能复原的点。能完全确定一个点阵的一组向量叫做该点阵的素向量， 若历、舌、石为一个三维点阵的素向量，则该三维点阵的平移群可以表示为： 防( 历) 】p 防( 云) r 防何) 】r = r ( 朋+ 扣+ 厅) ，其中p ，g ，r = ，一1 ，o ，l ， 同理，可以得出一维以及二维点阵的平移群如图2 6 为对一装饰图案的二维点 阵表示，其中，t 和f ，为该点阵的一对素向量，该点阵的平移群可以表示为： 防( 瓦) r 防( 乞) r = r ( p 气+ g 乞) ，其中p ，g = ，一1 ，o ，l ，