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义务教育课程标准实验教科书 SHUXUE九年级下 湖南教育出版社 第3章圆 3 2 3三角形的内切圆 3 2 3三角形的内切圆 想在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板 应当怎样剪 探 究 如图 为了使圆形纸板的最大 这个圆应当与三角形的三条边都尽可能贴近 C A B l C A B 由此猜想 这个圆应当与三角形的三条边都相 切 因此圆心O是 A的 与 B的 的 点 与三角形的三条边都相切的圆存在吗 如果存在 那么如何画出这样的圆 如果与 ABC的三条边都相切 那么圆心O到三条边的距离都等于 从而这些距离相等 我们已经知道 到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 半径 角平分线 交 C A B l 角平分线 O 以点O为圆心 OM为半径作圆 如何画一个圆与三角形的三条边都相切 如图 已知 ABC 作 A B的平分线AD BE 它们相交于点O 过点O作AB的垂线 垂足为M 圆O就是所求的圆 A B C M 类似地 BC与圆O相 上面所作的圆O真的与 ABC的三条边都相切吗 由于圆心O到AB的距离等于OM的长 即等于半径 因此AB与圆O相 由于圆心O在 BAC的平分线上 从而也等于 所以AC与圆O相 因此圆心O到AC的距离与O到AB的距离 切 切 相等 半径 切 与三角形的三条边都相切的圆有且只有一个 与 ABC的三条边都相切的圆有几个 其圆心是 A的平分线与 B的平分线的交点O 根据 第个问题的结论 与 ABC的三条边都相切的圆 其半径等于O到AB的距离 因此与 ABC的三条边都相切的圆只有一个 结合第 个问题的画法得出 从而圆心O在 ABC的每个内角的 上 三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆 内切圆的圆心叫作三角形的内心 这个三角形叫作圆的外切三角形 设点O是 ABC的内心 由于AB BC AC都与圆O相切 因此圆心O到AB BC AC的距离都等于 半径 平分线 C A B O 设 ABC的内切圆的半径为r ABC的周长为l 求的面积S rl 例6 连结OD OE OF OA OB OC 解如图 的三边AB BC CA分别与圆O相切于点D E F 据切线的性质定理得 OD AB OE BC OF AC 从而 OAB的面积为AB OD AB r 同理 OBC OBC OCA 的面积 S AB r BC r CA r r AB BC CA A O B C D F E 练习 1 画一个三角形 然后画它的内切圆 2 一个三角形的一个角的平分线与对边的交点是不是这条边与边内切圆的切点 答 不是 C A B I D M N r 2 一个三角形的一个角的平分线与对边的交点是不是这条边与边内切圆的切点 答 不一定是 3 等边三角形的一个角的平分线与对边的交点是不是
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