第五单元 第15课时 一次函数的应用.ppt

第15课时一次函数的应用 1 甲 乙两人在一次百米赛跑中 路程s m 与赛跑时间t s 的关系如图15 1所示 则下列说法正确的是 A 甲 乙两人的速度相同B 甲先到达终点C 乙用的时间短D 乙比甲跑的路程多 小题热身 图15 1 B 解析 结合图象可知 两人同时出发 甲比乙先到达终点 故甲的速度比乙的速度快 选B 2 如图15 2 甲 乙两人以相同路线前往离学校12km的地方参加植树活动 l甲 l乙分别表示甲 乙两人前往目的地所行驶的路程s km 随时间t min 变化的函数图象 则每分钟乙比甲多行驶 km 图15 2 一 必知2知识点1 用一次函数的性质解决实际问题一次函数在现实生活中有着广泛的应用 在解答一次函数的应用题时 应从给定的信息中抽象出一次函数关系 理清哪个是自变量 哪个是自变量的函数 再利用一次函数的图象与性质求解 同时要注意自变量的取值范围 常见类型有 1 求一次函数的表达式 2 利用一次函数的图象与性质解决某些问题 如求最值等 考点管理 智慧锦囊 一次函数y kx b k 0 的自变量x的取值范围是全体实数 图象是直线 因此没有最大值与最小值 但由实际问题得到的一次函数表达式自变量的取值范围一般受到限制 图象可能为线段和射线 根据函数图象的性质 就存在最大值和最小值了 2 用一次函数的图象解决实际问题一次函数图象的应用是指用一次函数的图象来表示题中数量关系的应用题 解这类题的关键在于弄清横轴 纵轴各表示什么量 图象上的每一点表示什么实际意义 以及图象的变化趋势 倾斜度大小各表示什么含义等 二 必会2方法1 一次函数的性质运用利用一次函数解决实际问题时 首先可以利用图示法或表格法表示各个变量 从而确定所求的一次函数表达式 再运用一次函数的性质分析问题得出结论 2 数形结合思想数形结合是重要的数学思想 利用它可以直观得解决问题 利用函数图象解决实际问题时 要注意仔细分析图象中各点的含义 尤其是图象与图象或与坐标轴的交点 要善于运用数形结合思想从图象中获取有用的信息 此类题目是中考的热点考题 一条直线类 应用问题某商店以40元 kg的单价新进一批茶叶 经调查发现 在一段时间内 销售量y kg 与销售单价x 元 kg 之间的函数关系如图15 3所示 1 根据图象求y与x的函数关系式 2 商店想在销售成本不超过3000元的情况下 使销售利润达到2400元 则销售单价应定为多少 图15 3 解析 1 根据图象可设y kx b 将 40 160 120 0 代入 得到关于k b的二元一次方程组 2 根据每千克的利润 销售量 2400元列出方程 解方程求出销售单价 从而计算销售量 进而求出销售成本 与3000元比较即可得出结论 2 由题意 得 x 40 2x 240 2400 整理 得x2 160 x 6000 0 解得x1 60 x2 100 当x 60时 销售单价为60元 销售量为120kg 则销售成本为40 120 4800 元 超过了3000元 不合题意 舍去 当x 100时 销售单价为100元 销售量为40kg 则销售成本为40 40 1600 元 低于3000元 符合题意 答 销售单价应定为100元 1 在一次蜡烛燃烧实验中 蜡烛燃烧时剩余部分的高度y cm 与燃烧时间x h 之间为一次函数关系 根据图15 4提供的信息 解答下列问题 1 求出蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式 2 求蜡烛从点燃到燃尽所用的时间 图15 4 2 某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元 当该机器生产数量至少10台 但不超过70台时 每台成本y 万元 台 与生产数量x 台 之间是一次函数关系 函数y与自变量x的部分对应值如下表 1 求y与x之间的函数关系式 并写出自变量x的取值范围 2 求该机器的生产数量 3 经市场调查发现 这种机器每月销售量z台与售价a万元 台之间满足如图15 5所示的函数关系 该厂生产这种机器后的第一个月按同一售价共卖出这种机器25台 请你求出该厂第一个 图15 5 月销售这种机器的利润 注 利润 售价 成本 点悟 结合函数图象及性质 弄清图象上的一些特殊点的实际意义及作用 寻找解决问题的突破口 这是解决一次函数应用题常见的思路 图形信息 题是近几年的中考热点考题 解此类问题应做到三个方面 1 看图找点 2 见形想式 3 建模求解 两条直线相交 类应用问题 2017 衢州 五 一 期间 小明一家乘坐高铁前往某市旅游 计划第二天租用新能源汽车自驾出游 图15 6 根据图15 6的信息 解答下列问题 1 设租车时间为xh 租用甲公司的车所需要费用为y1元 租用乙公司的车所需费用为y2元 分别求出y1 y2关于x的函数表达式 2 请你帮助小明计算并选择哪个出游方式合算 解析 1 由图象可知 y1的函数表达式为一次函数过点 0 80 和 1 95 y2的函数表达式为正比例函数 过点 1 30 用待定系数法可以求出表达式 1 2016 滨州 星期天 李玉刚同学随爸爸妈妈回老家探望爷爷奶奶 爸爸8 30骑自行车先走 平均每小时骑行20km 李玉刚同学和妈妈9 30乘公交车后行 公交车平均速度是40km h 爸爸的骑行路线与李玉刚同学和妈妈的乘车路线相同 路程均为40km 设爸爸骑行时间为x h 1 请分别写出爸爸的骑行路程y1 km 李玉刚同学和妈妈的乘车路程y2 km 与x h 之间的函数表达式 并注明自变量的取值范围 2 请在同一个平面直角坐标系中画出 1 中两个函数的图象 3 请回答谁先到达老家 解 1 y1 20 x 0 x 2 y2 40 x 1 40 x 40 1 x 2 2 如答图所示 变式跟进1答图 3 从图象中得出他们同时到达 2 已知甲 乙两地相距90km A B两人沿同一公路从甲地出发到乙地 A骑摩托车 B骑电动车 如图15 7 DE OC分别表示A B离开甲地的路程s km 与时间t h 的函数关系的图象 根据图象解答下列问题 1 A比B晚出发几小时 B的速度是多少 2 在B出发后几小时 两人相遇 图15 7 3 某校实行学案式教学 需印制若干份数学学案 印刷厂有甲 乙两种收费方式 除按印数收取印刷费外 甲种方式还需收取制版费而乙种方式不需要 两种印刷方式的费用y 元 与印刷份数x 份 之间的函数关系如图15 8所示 1 甲种收费方式的函数关系式是 乙种收费方式的函数关系式是 2 该校某年级每次需印制100 450 含100和450 份学案 求选择哪种印刷方式较合算 图15 8 y 0 1x 6 y 0 12x 解 2 由0 1x 6 0 12x 得x 300 由0 1x 6 0 12x 得x 300 由0 1x 6 0 12x 得x 300 由此可知 当100 x 300时 选择乙种印刷方式较合算 当x 300时 选择甲 乙两种印刷方式都可以 当300 x 450时 选择甲种印刷方式较合算 点悟 此类问题一般是一次函数的方案决策题 一般都是利用自变量的取值不同 得到不同的方案 并根据自变量的取值范围确定出最佳方案 方案选择 2016 荆门 A城有某种农机30台 B城有该农机40台 现要将这些农机全部运往C D两乡 调运任务承包给某运输公司 已知C乡需要农机34台 D乡需要农机36台 从A城往C D两乡运送农机的费用分别为250元 台和200元 台 从B城往C D两乡运送农机的费用分别为150元 台和240元 台 1 设A城运往C乡该农机x台 运送全部农机的总费用为W元 求W关于x的函数关系式 并写出自变量x的取值范围 2 现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元 则有多少种不同的调运方案 将这些方案设计出来 3 现该运输公司对A城运往C乡的农机 从运输费中每台减免a元 a 200 作为优惠 其他费用不变 如何调运 使总费用最少 解析 依题意列表如下 表一 运送数量 台 表二 运送费用 元 台 解 1 W 250 x 200 30 x 150 34 x 240 6 x 140 x 12540 x 0 30 x 0 34 x 0 6 x 0 自变量x的取值范围是0 x 30 2 W 16460 140 x 12540 16460 解得x 28 28 x 30 此时整数x 28 29或30 共有3种方案 如下表 3 W 250 a x 200 30 x 150 34 x 240 6 x 140 a x 12540 当0 a 140时 140 a 0 W随x的增大而增大 x 0时 W最小 此时从A城往C乡运0台 从A城往D乡运30台 从B城往C乡运34台 从B城往D乡运6台 当a 140时 W是定值 均是12540 此时各种方案费用一样多 当140 a 200时 140 a 0 W随x的增大而减小 x 30时 W最小 此时从A城往C乡运30台 从A城往D乡运0台 从B城往C乡运4台 从B城往D乡运36台 为了贯彻落实市委市政府提出的 精准扶贫 精神 某校特制定了一系列关于帮扶A B两贫困村的计划 现决定从某地运送152箱鱼苗到A B两村养殖 若用大小货车共15辆 则恰好能一次性运完这批鱼苗 已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱 辆和8箱 辆 其运往A B两村的运费如下表 1 求这15辆车中大小货车各多少辆 2 现安排其中10辆货车前往A村 其余货车前往B村 设前往A村的大货车为x辆 前往A B两村总费用为y元 试求出y与x的函数表达式 3 在 2 的条件下 若运往A村的鱼苗不少于100箱 请你写出使总费用最少的货车调配方案 并求出最少费用 2 由题意 得y 800 x 900 8 x 400 10 x 600 7 10 x 100 x 9400 0 x 8 且x为整数 3 由题意 得12x 8 10 x 100 解得x 5 又 0 x 8 5 x 8 且x为整数 y 100 x 9400 k 100 0 y随x的增大而增大 当x 5时 y最小 最小值为y 100 5 9400 9900 元 答 使总运费最少的调配方案 5辆大货车 5辆小货车前往A村 3辆大货车 2辆小货车前往B村 最少运费为9900元 点悟 利用一次函数进行方案选择时 一般先根据题意建立一次函数关系式 再根据题目要求及实际意义列不等式 组 求出自变量的取值范围 然后根据一次函数的性质及自变量的最大 或最小 整数解来求函数值的最值 从而确定方案 分段函数 2017 绍兴 某市规定了每月用水18m3以内 含18m3 和用水18m3以上两种不同的收费标准 该市的用户每月应交水费y 元 是用水量x m3 的函数 其图象如图15 9所示 1 若某月用水量为18m3 则应交水费多少元 2 求当x 18时 y关于x的函数表达式 若小敏家某月交水费81元 则这个月用水量为多少立方米 图15 9 解 1 由函数图象 该月用水量为18m3 则应交水费45元 2 由81元 45元 得用水量超过18m3 设函数表达式为y kx b x 18 直线经过点 18 45 28 75 1 2016 丽水 2016年3月27日 丽水半程马拉松竞赛 在莲都举行 某运动员从起点万地广场西门出发 途经紫金大桥 沿比赛路线跑回终点万地广场西门 设该运动员离开起点的路程s km 与跑步时间t min 之间的函数关系如图15 10所示 其中从起点到紫金大桥的平均速度是0 3km min 用时35min 根据图象提供的信息 解答下列问题 1 求图中a的值 2 组委会在距离起点2 1km处设立一个拍摄点C 该运动员从第一次 图15 10 过C点到第二次过C点所用的时间为68min 求AB所在直线的函数表达式 该运动员跑完赛程用时多少分钟 解 1 从起点到紫金大桥的平均速度是0 3km min 用时35min a 0 3 35 10 5 km 2 线段OA经过点O 0 0 A 35 10 5 直线OA的函数表达式为y 0 3t 0 t 35 当s 2 1时 0 3t 2 1 解得t 7 该运动员从第一次过C点到第二次过C点所用的时间为68min 该运动员从起点到第二次过C点共用的时间是7 68 75 min AB经过 35 10 5 75 2 1 两点 设AB所在直线的函数表达式是s kt b AB所在直线的表达式为s 0 21t 17 85 该运动员跑完赛程所用的时间即为直线AB与x轴交点的横坐标的值 当s 0时 0 21t 17 85 0 解得t 85 该运动员跑完赛程用时85min 2 甲 乙两人匀速从同一地点到1500m处的图书馆看书 甲出发5min后 乙以50m min的速度沿同一路线行走 设甲 乙两人相距s m 甲行走的时间为t min s关于t的函数图象的一部分如图15 11所示 1 求甲行走的速度 2 在坐标系中 补画s关于t的函数图象的其余部分 3 问甲 乙两人何时相距360m 图15 11 解 1 甲行走的速度为150 5 30 m min 2 补画的图象如答图所示 横轴上对应的时间为50min 3 由函数图象可知 当t 12 5时 s 0 当12 5 t 35时 s 20t 250 当35 t 50时 s 30t 1500 甲 乙两人相距360m 即s 360 解得t1 30 5 t2 38 答 当甲行走30 5min或38min时 甲 乙两人相距360m 变式跟进2答图 点悟 此类问题