微积分 朱来义 第二版答案chapter 8　习题解答.doc

1 写出下列级数的一般项： 解： 2利用下列级数的部分和Sn，求u1,u2和un: 解: 3 判断下列级数是否收敛，若收敛，求其和： 解：因此原级数发散；因此原级数收敛，其和为 因此原级数发散； 因此原级数收敛，其和为1。4设级数满足条件:(1) (2) 收敛，试判断级数是否收敛，并证明你的结论。解: 设级数和部分和为Sn, 则是级数的部分和。由于级数收敛，则存在；又 因此，从而即原级数收敛。5已知级数收敛，判别下列结论是否正确:(1) 与均收敛；(错误) (2) 与至少有一个收敛；(错误)(3) 与同时收敛或同时发散；(正确) (4) (错误) (5) 数列有界； (正确)(6) 当n时，un0,且 vn0. (错误) 6. 已知级数收敛，且和数为S，证明:(1) 级数收敛，且和数为2S-u1-u2; (2) 级数发散。证明: (1) 由于级数收敛且，而因此级数收敛，且和数为2S-u1-u2;(2) 若级数收敛，且和数为S, 则由可知级数收敛，这与调和级数发散矛盾，即假设不成立，因此级数是发散的。7利用无穷级数的性质以及几何级数与调和级数的敛散性，判别下列级数的敛散性： 解: ，即级数收敛；, 因此级数发散；因此级数发散；收敛 ，级数发散，因此发散。，级数发散，因此级数发散。，级数与收敛，因此收敛。由于级数与收敛，因此收敛。，级数收敛，因此收敛。8利用比较判别法或及其极限形式，判别下列级数的敛散性： 解: 级数发散，从而级数发散； 级数发散，从而级数 发散; 由于级数发散，从而级数发散；由于级数收敛，从而级数收敛；由于级数 收敛，从而级数收敛;级数发散；级数发散，级数收敛；由于级数 收敛，从而级数收敛; ，由于级数 收敛，从而级数收敛;，由于级数 收敛，从而级数收敛; 由于级数发散，从而级数发散；级数发散；由于级数收敛，从而级数收敛；当a+b-21,即a+b3时，级数收敛，从而级数收敛；当a+b-21,即a+b3时，级数发散，从而级数发散；9. 设数列，其中，且。试证明: 级数与级数有相同的敛散性。证明: 令 由于，且因此级数与级数有相同的敛散性。10利用比值判别法或根值判别法判别下列级数的敛散性： 解: 因此级数收敛。因此级数收敛。因此级数收敛。因此级数收敛。因此级数 收敛。因此级数收敛；因此级数 收敛。因此级数收敛。，因此级数 收敛。 因此级数收敛。当|x|1时，级数发散；当|x|=1时，原级数变为或均为收敛级数。因此当|x|1时，级数收敛；当|x|1时，级数发散。当2x21时,级数发散；当2x2=1时,原级数变为，该级数是发散的。因此，当2x21时,级数收敛；当2x21时,级数发散；13判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ 解: (1)令 则由于级数发散,因此级数发散，即级数不是绝对收敛的；令 则显然un是单调递减数列，且由莱布尼茨判别法可知级数收敛，即原级数是条件收敛的； (2) 令 则因此级数发散，即级数不是绝对收敛的；令 则un不是单调递减数列，级数不是条件收敛的；(3) 由于级数，因此是条件收敛的。(4) ，由于级数，因此是条件收敛的。(5) 因此级数发散；由于因此级数发散。(6) 因此级数收敛，从而原级数绝对收敛。(7) 由于级数绝对收敛，从而原级数绝对收敛。(8) ，因此级数是绝对收敛的。(9) 由于级数是绝对收敛的，因此原级数 是绝对收敛的。(10)，因此级数是绝对收敛的。(11) 由于级数是绝对收敛的，而级数是条件收敛的，从而原级数是条件收敛的。 (12) 当|a|1时，级数是发散的；当|a|=1时，级数变化为或，均为发散级数。因此，当|a|1时，级数是绝对收敛的；当|a|1时，级数是发散的。15求下列级数是收敛半径，收敛区间和收敛域:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)(10) (11) (12)解: (1)令 则级数的收敛半径收敛区间为 当时，原级数化为此时级数是条件收敛的； 当时，原级数化为此时级数是发散的；因此，级数的收敛域为(2)令 则级数的收敛半径收敛区间为因此，级数的收敛域为。(3)令 则级数的收敛半径收敛区间为 当时，原级数化为此时级数是发散的； 当时，原级数化为此时级数是条件收敛的；因此，级数的收敛域为(4)令 则级数的收敛半径收敛区间为0，级数的收敛域为0。(5) 令 原级数可化为。设则级数的收敛半径从而原级数的收敛半径为收敛区间为 当时，原级数化为此时级数是发散的； 当时，原级数化为此时级数是发散的；因此原级数的收敛域为。(6) 设则级数的收敛半径为收敛区间为 级数的收敛域为。 (7) 令 则级数的收敛半径收敛区间为 当时，原级数化为此时级数是绝对收敛的； 当时，原级数化为此时级数是绝对收敛的；因此，级数的收敛域为。(8) 令 原级数可化为。设则即级数的收敛半径从而原级数的收敛半径为收敛区间为 当时，原级数化为此时级数是发散的； 当时，原级数化为此时级数是发散的；因此原级数的收敛域为。(9) 令 原级数可化为。设则即级数的收敛半径从而原级数的收敛半径为收敛区间为 当时，原级数化为此时级数是绝对收敛的； 当时，原级数化为此时级数是绝对收敛的；因此原级数的收敛域为。(10) 令 原级数可化为。令 则级数的收敛半径则原级数的收敛区间为 当时，原级数化为此时级数是条件收敛的，级数是绝对收敛的，因此当时，原级数收敛；当时，原级数化为此时级数发散，级数是绝对收敛，因此当时，原级数发散；即原级数的收敛域为。(11) 令 则级数的收敛半径收敛区间为 当时，原级数化为此时级数是发散的； 当时，原级数化为此时级数是发散的；因此，级数的收敛域为。(12) 令 原级数可化为。令 则级数的收敛半径则原级数的收敛区间为 当时，原级数化为此时级数是条件收敛的；当时，原级数化为此时级数发散的；因此原级数的收敛域为。16已知级数的收敛半径为为R，求下列级数的收敛半径:(1) (2) (3) (4) 解: 级数的收敛半径为为R，因此，(1) 由可知：当0r x21，即时级数的收敛，其收敛半径为(2)由可知：当0r x21，即时级数的收敛，其收敛半径为(3) 由可知：当0r x21，即时级数的收敛，其收敛半径为(4) 由可知：当0r2|x|1，即时级数的收敛，其收敛半径为17.求下列级数的收敛域以及在收敛域内的和函数:(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解: (1) 由可知级数的收敛区间为(-1,1)，又当x = -1时原级数条件收敛，因此原级数的收敛域为. 设则因此 从而，有 (2) 由可知级数的收敛区间为(-1,1)，又当|x| = 1时原级数发散，因此原级数的收敛域为(-1,1). 设则又 且 因此 (3) 由可知级数的收敛区间为(-1,1)，又当|x| = 1时原级数发散，因此原级数的收敛域为(-1,1). 设 则 由于 因此(4) 由可知级数的收敛区间为(-2,2)，又当|x| = 2时原级数发散，因此原级数的收敛域为(-2, 2), 设 则 因此(5) 由可知级数的收敛区间为(-1,1)，又当|x| = 1时原级数收敛，因此原级数的收敛域为-1,1. 设由， 可知当-1 x 1时有 因此 当x=1时原级数收敛, 和函数S(x)在x=1处连续，从而级数的和函数为 (6) 原级数可化为 级数的收敛区间为级数的收敛区间为因此原级数的收敛区间为又当x = -1/5时原级数收敛，因此原级数的收敛域为. 设由可知 因此 18. 已知级数在x=2处收敛, 讨论在以下各点处的敛散性:(1) x =-1; (2) x =1; (3) x = - 1/2 ; (4) x =3.解: 令y=2x-1, 则级数在y=3处收敛, 由阿贝尔定理可知级数在-3y 3时绝对收敛, 因此(1) x =-1即y = -3时原级数的敛散性不能确定；(2) x =1即y = 1时原级数是绝对收敛的;(3) x =-1/2即y = -2时原级数是绝对收敛的；(4) x =3即y =5时原级数是发散的。19.求幂级数在收敛区间(-1,1)内的和函数; 并求常数项级数的和.解: 设 则 由于 因此因此20. 求幂级数的收敛域、和函数, 并求常数项级数的和。解: 由可知收敛域为。 令x=2t, 则设有由于从而即 易知C=0，因此因此当t 0时，当t=0时，S(0)=1.因此，即21. 利用幂级数求常数项级数的和。解: 设则有因此22. 将下列函数展开成x的幂级数, 并求收敛域：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 解：(1) ;(2) ;(3) (4) (5) (6) (7) (8) 因此23. 将函数展开成x的幂级数, 给出收敛域，并求出级数的和。解: 因此，24. 将函数展开成x的幂级数, 给出收敛