第四章 第二节 平面向量的坐标运算.ppt

第二节平面向量的坐标运算 1 平面向量基本定理条件 e1 e2是同一个平面内的两个 结论 对于这一平面内的任一向量a 实数 1 2使a 其中不共线的向量e1 e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 不共线向量 存在唯一一对 1e1 2e2 基底 2 平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 对于平面内的一个向量a 有且只有一对实数x y 使a xi yj 把有序数对 叫作向量a的坐标 记作a x y x y 3 平面向量线性运算的坐标表示 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x y x2 x1 y2 y1 4 向量平行的坐标表示设a b是非零向量且a x1 y1 b x2 y2 y1 y2 0 则a b 定理1 若两个向量 与坐标轴不平行 平行 则它们相应的坐标 定理2 若两个向量相对应的坐标 则它们平行 x1y2 x2y1 0 成比例 成比例 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内的任何两个向量都可以作为一组基底 2 在 ABC中 向量的夹角为 ABC 3 若a b不共线 且 1a 1b 2a 2b 则 1 2 1 2 4 平面向量的基底不唯一 只要基底确定后 平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示 5 若a x1 y1 b x2 y2 则a b的充要条件可表示成 解析 1 错误 只有不共线的两个向量才能作为平面的一组基底 2 错误 由向量夹角的定义知在 ABC中 向量的夹角为 ABC的补角 3 正确 由 1a 1b 2a 2b 得 1 2 a 1 2 b 0 又a b不共线 故 1 2 1 2 0 从而 1 2 1 2 4 正确 由基底的定义及平面向量基本定理知正确 5 错误 因为x2 y2有可能等于0 所以应表示为x1y2 x2y1 0 答案 1 2 3 4 5 1 若向量a 1 1 b 1 1 c 4 2 则c A 3a b B 3a b C a 3b D a 3b 解析 选B 设c xa yb 则 c 3a b 2 设向量a m 1 b 1 m 如果a与b共线且方向相反 则m的值为 A 1 B 1 C 2 D 2 解析 选A 设a b 0 即m 且1 m 解得m 1 0 m 1 3 设向量a 1 3 b 2 4 若表示向量4a 3b 2a c的有向线段首尾相接能构成三角形 则向量c A 4 6 B 4 6 C 4 6 D 4 6 解析 选C 设c x y 则4a 3b 2a c 0 4 若A 0 1 B 1 2 C 3 4 则 解析 由题意知故答案 3 3 5 已知向量a 2 1 b 1 m c 1 2 若 a b c 则m 解析 a b 1 m 1 a b c 2 1 m 1 0 m 1 答案 1 考向1平面向量基本定理及其应用 典例1 1 下列各组向量 e1 1 2 e2 5 7 e1 3 5 e2 6 10 e1 2 3 能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是 A B C D 2 2013 南昌模拟 如图 在 ABC中 交AC于E BC边上的中线AM交DE于N 设用a b表示向量 思路点拨 规范解答 1 选A 中的两向量不共线 中故两向量共线 中故两向量共线 综上 只有 中的两向量可作为平面的一组基底 2 由 ADE ABC 得 又AM是 ABC的中线 DE BC 又 互动探究 在本例题 2 图中 连接CD交AM于点P 若求 的值 解析 拓展提升 用平面向量基本定理解决问题的一般思路先选择一组基底 并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式 再通过向量的运算来解决 变式训练 如图所示 E F分别是四边形ABCD的对角线AC BD的中点 已知求向量 解析 方法一 连接AF 方法二 可得 又 a b c d 0 考向2平面向量的坐标运算 典例2 1 2013 蚌埠模拟 已知a 3 3 2b a 1 1 则b A 2 1 B 1 2 C 3 2 D 2 3 2 已知点A 2 1 B 0 2 C 2 1 O 0 0 给出下面的结论 直线OC与直线BA平行 其中正确结论的个数是 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 3 已知A 2 4 B 3 1 C 3 4 且则向量 思路点拨 1 利用向量坐标运算的法则求解即可 2 根据向量的共线及向量坐标运算的法则逐一验证即可 3 利用平面向量的基本概念及其坐标表示求解 规范解答 1 选B 设b x y 则2b a 2x 3 2y 3 1 1 故所以故b 1 2 2 选C 由题意得故又无公共点 故OC BA 正确 故 错误 故 正确 故 正确 所以选C 3 A 2 4 B 3 1 C 3 4 答案 9 18 拓展提升 两向量相等的充要条件两向量a x1 y1 b x2 y2 相等的充要条件是它们的对应坐标分别相等 即利用向量相等可列出方程组求其中的未知量 从而解决求字母的取值 点的坐标及向量的坐标等问题 提醒 当向量的起点为坐标原点时 向量的坐标即为终点坐标 反之也成立 变式训练 已知A 2 4 B 3 1 C 3 4 O为坐标原点 设且 1 求3a b 3c 2 求满足a mb nc的实数m n 解析 由已知得a 5 5 b 6 3 c 1 8 1 3a b 3c 3 5 5 6 3 3 1 8 15 6 3 15 3 24 6 42 2 mb nc 6m n 3m 8n 5 5 解得 考向3平面向量共线的坐标表示 典例3 1 2013 芜湖模拟 已知向量a 1 1 b 2 x 若a b与4b 2a平行 则实数x的值是 A 2 B 0 C 1 D 2 2 已知a 1 0 b 2 1 当k为何值时 ka b与a 2b共线 若且A B C三点共线 求m的值 思路点拨 规范解答 1 选D a b 3 1 x 4b 2a 6 4x 2 又a b与4b 2a平行 3 4x 2 6 1 x 解得x 2 2 ka b k 1 0 2 1 k 2 1 a 2b 1 0 2 2 1 5 2 ka b与a 2b共线 2 k 2 1 5 0 即2k 4 5 0 得 方法一 A B C三点共线 即2a 3b a mb 解得方法二 A B C三点共线 8m 3 2m 1 0 即2m 3 0 拓展提升 1 向量共线的两种表示形式 a b a b b 0 a b x1y2 x2y1 0 至于使用哪种形式 应视题目的具体条件而定 一般情况涉及坐标的用 2 两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线 平行 可解决三点共线的问题 另外 利用两向量共线的充要条件可以列出方程 组 求出未知数的值 变式训练 1 若向量a 1 x 与b x 2 共线且方向相同 则x 解析 a 1 x 与b x 2 共线 1 2 x x 0 x a与b方向相同 答案 2 若三点A 2 2 B a 0 C 0 b ab 0 共线 则的值为 解析 由条件得根据三点共线得 a 2 b 2 4 整理得2 a b ab 所以即答案 易错误区 忽视分类讨论致误 典例 2013 合肥模拟 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为 1 0 3 0 1 5 求第四个顶点的坐标 误区警示 1 解答此题时容易出现的错误是思维定势 认为平行四边形只是如图1所示的一种情形 从而忽视了另外的两种情形 2 若已知平行四边形ABCD的三个顶点A B C的坐标 则点D的坐标只有一种情形 而此题中给出了平行四边形的三个顶点 并没有给出顺序 故应存在三种可能 规范解答 如图2所示 设A 1 0 B 3 0 C 1 5 D x y 1 若四边形ABCD1为平行四边形 则而 解得 D1 3 5 2 若四边形ACD2B为平行四边形 则而 解得 D2 5 5 3 若四边形ACBD3为平行四边形 则而 解得 D3 1 5 综上所述 平行四边形的第四个顶点的坐标为 3 5 或 5 5 或 1 5 思考点评 1 注意转化与化归思想的利用求点的坐标可转化为求向量的坐标 通过设出所求点的坐标 进而求得向量的坐标 利用向量的共线或向量的相等建立方程 或方程组 进而求得点的坐标 2 注意分类讨论思想的运用由于平行四边形的形状不确定 故应进行分类讨论 将平行四边形的各种情况考虑全 以免漏解 1 2012 广东高考 若向量 2 3 4 7 则 A 2 4 B 2 4 C 6 10 D 6 10 解析 选A 2 2013 宿州模拟 a m 1 b 1 n 1 其中m n为正数 若a b 则的最小值是 A B C D 解析 选C a b m 1 n 0 即m n 1 当且仅当即时上式取等号 3 2013 金华模拟 已知A 3 0 B 0 2 O为坐标原点 点C在 AOB内 且 AOC 45 设则 的值为 A 1 B C D 解析 选D 如图 过C作CE x轴于点E 则 OE CE 2 所以即所以 2 0 3 0 故故选D 4 2013 南昌模拟 已知向量a 1 3 b m 2m 3 若对于平面内任意一向量c 都存在唯一实数对 使c a b 则实数m的取值范围是 A 2 3 B 3 C 3 3 D 2 3 解析 选C 对于平面内任意一向量c 都存在唯一实数对 使c a b 故向量a 1 3 和b m 2m 3 是两个不共线的向量 1 2m 3 3m 0 m 3 故实数m的取值范围是 3 3 5 2012 山东高考 如图 在平面直角坐标系xOy中 一单位圆的圆心的初始位置在 0 1 此时圆上一点P的位置在 0 0 圆在x轴上沿正向滚动 当圆滚动到圆心位于 2 1 时 的坐标为 解析 设圆心运动到C时 圆与x轴的切点为D 则弧PD的长为2 所以 PCD 2 点P的横坐标为2 cos 2 2 sin2 点P的纵坐标为1 sin 2 1 cos2 所以点P的坐标为 2 sin2 1 cos2 即的坐标为 2 sin2 1 cos2 答案 2 sin2 1 cos2 1 在平面直角坐标系中 若O为坐标原点 则A B C三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数 使得成立 此时称实数 为 向量关于和的终点共线分解系数 若已知P1 3 1 P2 1 3 且向量与向量a 1 1 垂直 则 向量关于和的终点共线分解系数 为 A 3 B 3 C 1 D 1 解析 选D 由与向量a 1 1 垂直 可设 t t t 0 由得 t t 3 1 1 1 3 4 1 3 2 两式相加得2 2 0 1 2 在平面直角坐标系中 O为坐标原点 设向量其中a 3 1 b 1 3 若且0 1 C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是 解析 选A 由题意知取特殊值 0 0 知所求区域包含原点 取 0 1 知所求区域包含 1 3 从而选A 3 对于n个向量a1 a2 an 若存在n个不全为零的实数k1 k2 kn