第十章 第九节 离散型随机变量的均值与方差.ppt

第九节离散型随机变量的均值与方差 1 离散型随机变量的均值与方差 1 离散型随机变量X的分布列 2 离散型随机变量X的均值与方差 a1p1 a2p2 aipi anpn 中心位置 平均偏离程度 2 二项分布 超几何分布的均值 1 当随机变量X服从参数为n p的二项分布时 其均值EX np 2 当随机变量X服从参数为N M n的超几何分布时 它的均值 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 期望值就是算术平均数 与概率无关 2 随机变量的均值是常数 样本的平均值是随机变量 它不确定 3 随机变量的方差反映了随机变量取值偏离均值的平均程度 方差越小 则偏离变量平均程度越小 4 均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况 因此它们是一回事 解析 1 错误 期望是算术平均值概念的推广 是概率意义下的平均值 反映了离散型随机变量取值的平均水平 2 正确 由于随机变量的取值是确定值 而每一个随机变量的概率也是确定的 因此随机变量的均值是定值 即为常数 而样本数据随着抽样的次数不同而不同 因此其平均值也不相同 3 正确 随机变量的方差反映了随机变量取值偏离均值的平均程度 方差越小 则偏离变量平均程度越小 方差越大 则偏离变量平均程度越大 4 错误 均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况 均值反映了平均水平 而方差则反映它们与平均值的偏离情况 答案 1 2 3 4 1 设投掷1颗骰子的点数为X 则 A EX 3 5 DX 3 52 B EX 3 5 DX C EX 3 5 DX 3 5 D EX 3 5 DX 解析 选B 显然X 1 2 3 4 5 6 P X i i 1 2 3 4 5 6 所以 EX 1 2 3 4 5 6 3 5 DX 1 3 5 2 2 3 5 2 3 3 5 2 4 3 5 2 5 3 5 2 6 3 5 2 2 某街头小摊 在不下雨的日子一天可赚到100元 在下雨的日子每天要损失10元 若该地区每年下雨的日子约为130天 则此小摊每天获利的期望值是 一年按365天计算 A 60 82元 B 68 02元 C 58 82元 D 60 28元 解析 选A 3 设X B 10 则EX的值为 A 10 B C D 5 解析 选D 由已知条件得 4 有10件产品 其中3件是次品 从中任取2件 若X表示取到次品的个数 则EX等于 A B C D 1 解析 选A 离散型随机变量X服从N 10 M 3 n 2的超几何分布 5 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为学校运动会的志愿者 若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数 则数学期望EX 结果用最简分数表示 解析 首先X 0 1 2 P X 0 P X 1 P X 2 答案 考向1离散型随机变量的均值与方差 典例1 1 已知离散型随机变量X的分布列为 则EX DX 2 已知离散型随机变量X的分布列为 则EX E 2X 3 3 2013 海口模拟 高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中 已知第一小组与第二小组各有六位同学 每位同学都只选了一个科目 第一小组选 数学运算 的有1人 选 数学解题思想与方法 的有5人 第二小组选 数学运算 的有2人 选 数学解题思想与方法 的有4人 现从第一 第二两小组各任选2人分析选课情况 求选出的4人均选 数学解题思想与方法 的概率 设X为选出的4个人中选 数学运算 的人数 求X的分布列和数学期望 思路点拨 1 利用期望 方差的公式直接计算即可 2 先由概率分布列的性质求出m值 再利用期望值公式即可得出结论 3 4人分别来自两个不同的小组 因此 从第一 二小组分别选两人是相互独立的事件 从而即可求解 确定随机变量X的取值是关键的一步 然后再计算各个概率值即得分布列 最后计算数学期望 规范解答 1 由已知及期望 方差的公式得 EX 0 4 100 0 2 90 0 4 80 90 DX 0 4 100 90 2 0 2 90 90 2 0 4 80 90 2 80 答案 9080 2 由概率分布列的性质可知 解得 m 因此EXE 2X 3 答案 3 设 从第一小组选出的2人选 数学解题思想与方法 为事件A 从第二小组选出的2人选 数学解题思想与方法 为事件B 由于事件A B相互独立 且所以选出的4人均选 数学解题思想与方法 的概率为 由题意知X可能的取值为0 1 2 3 得P X 0 P X 2 1 P X 0 P X 1 P X 3 X的分布列为 X的数学期望 互动探究 在题 1 中 若条件不变 则E 2X 4 D 2X 4 解析 由 1 知EX 90 DX 80 因此 E 2X 4 2EX 4 2 90 4 184 D 2X 4 4DX 4 80 320 答案 184320 拓展提升 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 1 理解X的意义 写出X可能的全部值 求X取每个值的概率 写出X的分布列 由均值的定义求EX 由方差的定义求DX 2 若X是离散型随机变量 则aX b a b是常数 且a 0 也是离散型随机变量 且E aX b aEX b 变式备选 在一次电视节目的抢答中 题型为判断题 只有 对 和 错 两种结果 其中某歌唱家判断正确的概率为p 判断错误的概率为q 若判断正确则加1分 判断错误则减1分 现记 该歌唱家答完n题后总得分为Sn 1 当p q 时 记X S3 求X的分布列 数学期望及方差 2 当时 求S8 2且Si 0 i 1 2 3 4 的概率 解析 1 X S3 的取值为1 3 p q 故所以X的分布列为 2 当S8 2时 即答完8题后 回答正确的题数为5题 回答错误的题数是3题 又已知Si 0 i 1 2 3 4 若第一题和第二题回答正确 则其余6题可任意答对3题 若第一题和第三题回答正确 第二题回答错误 则后5题可任意答对3题 此时的概率为 考向2与二项分布有关的期望与方差 典例2 1 某同学参加科普知识竞赛 需回答4个问题 每一道题能否正确回答是相互独立的 且回答正确的概率是 若回答错误的题数为X 则EX DX 2 2012 天津高考 现有4个人去参加某娱乐活动 该活动有甲 乙两个游戏可供参加者选择 为增加趣味性 约定 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏 掷出点数为1或2的人去参加甲游戏 掷出点数大于2的人去参加乙游戏 求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率 用X Y分别表示这4个人中去参加甲 乙游戏的人数 记 X Y 求随机变量 的分布列与数学期望E 思路点拨 1 依题意先判断随机变量服从二项分布 再直接用公式解答 2 先确定随机变量 再判断其是否服从二项分布 依据公式直接得出结论 先分析该事件的构成 然后解答得出结论 先确定随机变量的取值 再分别求出概率 最后求出分布列及期望 规范解答 1 由题意知 随机变量X服从二项分布 所以答案 2 依题意 这4个人中 每个人去参加甲游戏的概率为 去参加乙游戏的概率为设 这4个人中恰有i人去参加甲游戏 为事件Ai i 0 1 2 3 4 则 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 设 这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数 为事件B 则B A3 A4 由于A3与A4互斥 故所以 这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 的所有可能取值为0 2 4 由于A1与A3互斥 A0与A4互斥 故P 0 P A2 P 2 P A1 P A3 P 4 P A0 P A4 所以 的分布列是随机变量 的数学期望 拓展提升 与二项分布有关的期望 方差的求法 1 求随机变量X的期望与方差时 可首先分析X是否服从二项分布 如果X B n p 则用公式EX np DX np 1 p 求解 可大大减少计算量 2 有些随机变量虽不服从二项分布 但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布 这时 可以综合应用E aX b aEX b以及EX np求出E aX b 同样还可求出D aX b 提醒 E aX b aEX b 但注意D aX b aDX b D aX b aDX 变式训练 今天你低碳了吗 近来 国内网站流行一种名为 碳排放计算器 的软件 人们可以由此计算出自己每天的碳排放量 例如 家居用电的碳排放量 千克 耗电度数 0 785 汽车的碳排放量 千克 油耗公升数 0 785等 某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查 若生活习惯符合低碳观念的称为 低碳族 否则称为 非低碳族 这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下 1 如果甲 乙来自A小区 丙 丁来自B小区 求这4人中恰有2人是 低碳族 的概率 2 A小区经过大力宣传 每周 非低碳族 中有20 的人加入到 低碳族 的行列 如果2周后随机地从A小区中任选25人 记X表示25人中 低碳族 人数 求EX 解析 1 记这4人中恰有2人是 低碳族 为事件A 2 设A小区有a人 2周后1人是 非低碳族 的概率2周后1人是 低碳族 的概率依题意X B 所以EX 考向3均值与方差的实际应用 典例3 1 两台相互独立工作的电脑产生故障的概率分别为a b 则产生故障的电脑台数的均值为 A ab B a b C 1 ab D 1 a b 2 2013 鹰潭模拟 一个盒子中装有大小相同的10个小球 其中2个红球 4个黑球 4个白球 规定 一次摸出3个球 如果这3个球是同色的 就奖励10元 否则罚款2元 若某人摸一次球 求他获奖励的概率 若有10人参加摸球游戏 每人摸一次 摸后放回 记随机变量X为获奖励的人数 求P X 1 及这10人所得钱数的期望 结果用分数表示 参考数据 思路点拨 1 产生故障的电脑台数的均值为其期望值 可由期望公式解决 2 本题为等可能事件的概率 属于古典概型 显然随机变量服从二项分布 运用二项分布的知识解决即可 规范解答 1 选B 因为产生故障的电脑台数的均值为其期望值 由期望值公式可得 所求均值为a b 2 由已知得 摸一次球获奖励的概率为 由题意 X B 10 则P X 1 1 P X 0 P X 1 设Y为一人在一局中的输赢 则 E 10Y 10EY 10 12 拓展提升 均值与方差的实际应用 1 DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度 DX越大表明平均偏离程度越大 说明X的取值越分散 反之 DX越小 X的取值越集中在EX附近 统计中常用来描述X的分散程度 2 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平 方差反映了随机变量稳定于均值的程度 它们从整体和全局上刻画了随机变量 是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据 一般先比较均值 若均值相同 再用方差来决定 变式训练 某保险公司新开设了一项保险业务 若在一年内事件E发生 该公司要赔偿a元 设一年内事件E发生的概率为p 为使公司收益的期望值等于a的10 公司应要求投保人交的保险金为 元 解析 设要求投保人交x元 公司的收益额 作为随机变量 则P X x 1 p P X x a p 故EX x 1 p x a p x ap x ap 0 1a x 0 1 p a 答案 0 1 p a 满分指导 概率分布列及其期望值 方差综合题的求解 典例 12分 2012 辽宁高考改编 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况 随机抽取了100名观众进行调查 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为 体育迷 1 根据已知条件完成下面的2 2列联表 并据此资料你是否认为 体育迷 与性别有关 2 将上述调查所得到的频率视为概率 现在从该地区大量电视观众中 采用随机抽样方法每次抽取1名观众 抽取3次 记被抽取的3名观众中的 体育迷 人数为X 若每次抽取的结果是相互独立的 求X的分布列 期望EX和方差DX 附 思路点拨 规范解答 1 由频率分布直方图可知 在抽取的100人中 体育迷 有25人 从而2 2列联表如下 2分将2 2列联表中的数据代入公式计算 得 因为3 030 3 841 所以没有理由认为 体育迷 与性别有关 6分 2 由频率分布直方图知抽到 体育迷 的频率为0 25 将频率视为概率 即从观众中抽取1名 体育迷 的概率为 8分由题意X B 3 从而X的分布列为 10分EX 11分DX 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 淮北模拟 设X为随机变量 X B n 若随机变量X的数学期望EX 2 则P X 2 等于 解析 选D X B n EX 2 n 6 P X 2 2 2013 咸阳模拟 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18 19 20层停靠 若该电梯在底层有5个乘客 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 用X表示5位乘客在20层下电梯的人数 则随机变量X的期望EX 解析 选C 依题意 该问题可看作是5次独立重复试验 X B 5 3 2013 九江模拟 一支足球队每场比赛获胜 得3分 的概率为a 与对手踢平 得1分 的概率为b 负于对手 得0分 的概率为c a b c 0 1 已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1 则的最小值为 解析 选A 显然a b c 1 得分的期望是3a b 1 当且仅当时 成立 4 2013 抚州模拟 某射手射击所得环数X的分布列如下 已知X的期望EX 8 9 则y的值为 解析 依题意有 解方程组得 答案 0 4 1 已知抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴在y轴的左侧 其中a