（基础数学专业论文）d（kdn）不可约表示.pdf

扬州大学硕士学位论文 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研 究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表 的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律结果由本人承担 学雠二储躲枷珲 签字日期：力年b 月 j 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向 国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。 本人授权扬州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学 技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 虢关移萼 名：榭 签字日期：沙易年b 月1 日签字日期：蜥易月，2 日 ( 本页为学位论文末页。如论文为密件可不授权，但论文原创必须声明。) 吴艳军d ( 栖。) 的不可约表示 中文摘要 设七是一个代数闭域，g = d 。是二面体群( 西| l z e 咖口z 矿。印) 。本文主要研究 h o p f 代数蛾的d r i n f e l dd o u b l ed ( 物。) 的不可约表示。 在第一章中，我们回顾了h o p f 代数的一些背景知识，以及本文所需要的一些 基本概念和基本结论，主要介绍了拟三角h o p f 代数，有限维h o p f 代数日的 d r i n f e l dd o u b l ed ( 日) 等概念及结构，d ( 日) 的模范畴与y e t t e r d r i n f e l d 日一 模范畴的关系等内容。 在第二章中，我们首先介绍了d 。的具体结构，由此研究了在域七的特征 c 办卯七= p ，且p 不整除2 玎的情况下d ( 蛾) 的不可约表示。在同构意义下，我们 给出了所有互不同构的单y d 蛾一模，并给出了所有单y d 蛾一模的结构。从而也 就给出了所有单d ( 加。) 一模及其分类。 在第三章中，我们设，2 为奇数，分别研究了当域七的特征c 办口r 七= 2 或者后的特 征p 为奇数且整除，z 的情况下，d ( 栖。) 的不可约表示。在同构的意义下，我们给 出了这两种情形下的所有互不同构的单蛾一模，并给出了所有单y d 蛾一模的结 构。从而也就给出了所有单d ( 碱) 一模及其分类。 扬州大学硕士学位论文 三 英文摘要 l e t 忌b ea na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l da n dd 。b et 1 1 ed i h e d r a lg r o u po fo r d e r2 船， i n “st l l e s i s ，w ew i l le x 锄i n em ei r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o n so ft h ed 血f e l dd o u b l e d ( a z k ) o fh o p fa l g e b mj 吐) 。 i i lc h a p t e r1 ，、er e c a l lt h eb a c k g r o 伽do fh o p fa l g e b r a s ，a i l dr e v i e ws o m e c o n c e p t sa 1 1 dc o n c l u s i o n sw h i c ha r eu s e dl a t e ri nt ：b j sp 印e r i np a r t i c u l 碣w er e c a l lt 1 1 e q u a s i t r i a n g u l a rh o p fa l g e b r a s ，t l l ed r i n f e l dd o u b l ed ( 日) o f af i n i t ed i m e n s i o n a lh o p f a l g e b r ah a n di t ss t m c t u r e t h er e l a t i o nb e t w e e nm ec a t e g o r ) ro fd ( 日) 一m o d u l ea n d m ec a t i ；g o 巧o fy e t t e r d r i n f e l d 日一m o d u l ei sa l s or e v i e w e d i nc h a p t e r2 ，w ef i r s td e s c r i b et h es 仃u c t u r eo f t h ed i h e d r a lg r o u p 见a i l ds m d y t h ei r r e d u c i l er 印r e s e n t a t i o n so fd ( 七见) ，w h e r epi sn o td i v i s i b l e 2 ，2a n dpi st h c c k u a c t e r i s t i co f 七w ed e s c r i b ea l ls i i n p l ey d 舡一m o d u l e su pt oi s o m o r p m s m ，a n d t 1 1 es t m c t u r e so ft h e s e s h p l ey d 蛾一m o d u l e s t h u sw ec l a s s i f y a l ls i m p l e d ( 意见) - m o d u l e s i nc h a p t e r3 ，u n d e rt h ea s s 啪p t i o n 也a t ，2 i so d d ，w es t u d yt h ei h e d u c i l e r e p r e s e n t a t i o n so fd ( 七d _ ) ，h e r ec 乃口广七= p i se q u a lt o2o rpi so d da n dd i v i s i b l e ，2 w eg i v ea l ls i r n p l ey d 七d 。一m o d u l e su pt oi s o m o 印1 1 i s m ，a i l dd e s c r i b et h es 讯l c t u r e s o ft h e s es i m p l ey d 物。m o d u l e s t h u sw ec l a s s i f ya l ls i m p l ed ( 姻。) - m o d u l e s 吴艳军d ( 肋。) 的不可约表示 d ( 蛾) 不可约表示 第一章引言与预备知识 在本章中，首先对h o p f 代数的背景知识发展过程以及研究价值加以简单的介 绍，同时概述本文的研究目的和思路。为完整起见，我们还对与本文研究有密切 联系的基本知识作了介绍。 1 1 背景知识和研究目的 h o p f 代数起源于二十世纪四十年代，主要由h o p f 对l i e 群的拓扑性质的公理 性研究时而构造的既有代数结构又有余代数结构的代数概念。到二十世纪六十年 代，h o c h s c h i l d m o s t o w 在研究l i e 群的环表示的应用以及后续研究中，发展和丰 富了h o p f 这一代数系统。直到1 9 6 5 年，m i l n o r 与m o o r e 在 4 中将上述概念正式 称为h o p f 代数，m i l n o r 与m o o r e 的这篇开拓性的文章给h o p f 代数的研究奠定了 基础。自此以后，h o p f 代数引起了数学家的广泛重视并取得了丰硕的成果。 我们知道，h o p f 代数是可能使得两个模的张量积仍然是模的那部分代数。同 时，对任意的h o p f 代数，讨论它的两个模的张量积( 在同构意义下) 分解和交换性 是h o p f 代数研究中的重要课题之一。d r i n f e l d 在文献 1 4 中证明了当日是几乎余 交换的h o p f 代数时，它的任意两个模的张量积是可交换的，而辩子h o p f 代数( 又 称为拟三角h 。p f 代数) 是几乎余交换的。详细参阅 1 0 ，2 2 。 拟三角h o p f 代数是d r i n f e l d 在研究量子y a n g b a x t e r 方程时引进的 1 1 ， 通过这类h o p f 代数的表示可为量子y a n g b a x t e r 方程提供解。对于任一有限维 h o p f 代数日，d r i n f e l d 给出了一种方法可以构造一个拟三角h o p f 代数d ( 日) ，现 在一般称d ( 日) 为h o p f 代数日的d r i n f e l dd o u b l e 。有关d ( 日) 的研究非常丰富， 可参阅 1 1 ， 1 5 ， 1 6 等。 在本文中，我们研究h 0 p f 代数蛾的d r i n f e l dd o u b l ed ( 蛾) 的不可约表 示。我们将给出d ( 桕。) 的所有单模的结构及其同构分类。 扬州大学硕士学位论文 4 一 1 2 预备知识 本文中恒设尼是一个固定的代数闭域，我们将在域后上展开讨论，所出现的代 数，余代数，h o p f 代数和模等都是定义在域七上的，h 0 m 。，0 。以及e n d 。等分别 简记为h o m ， 和e n d 。h o p f 代数( h ，所，占) 是具有代数结构( 日，肌，) 和余代 数结构( 日，占) ，且满足条件： ( 1 ) 和g 是代数同态或m 和是余代数同态， ( 2 ) ( s ( 7 i 1 ) ) = 占( 办) 1 = 缟( s ( 办2 ) ) ，v 力日， 其中s h o m ( 日，日) 是日的反极元( 口挖f d 如) 。对h o p f 代数日我们用记号：对 任意厅日，( 办) = 7 z l 圆办2 。 定义1 2 1 设日是个h o p f 代数，的反极元s 是双射。再设m 是一个左 日一模，同时也是一个右日一余模，称m 是一个y e t t e r d r i n f e l d 日一模( 简称 坳日一模) ，如果下面两个等价的相容性条件成立： ( 1 ) m o 圆厅2 优1 2 ( 乃2 朋) o ( | l z 2 脚) l 红， ( 2 ) ( 元聊) o ( 矗聊) 1 = 吃掰oo 办3 m 1 s - 1 ( 啊) ， 其中j i 2 日，z a ，。 可以看出，如果m 和是两个y dh 一模，则m 也成为y d 日一模，其中左 日一模结构为 乃( 7 卵0 托) = 啊m 珂， 日，朋a ，”， 右冒一余模结构为 p ( 朋0 聆) = m o 嘞圆玎1 优1 ， 聊m ，2 ， 详细可参见 1 4 ，2 3 。 定义1 2 2 设何是一个h o p f 代数，若存在可逆元月= 月1 圆尺2 日0 日， 吴艳军d ( 加。) 的不可约表示 满足下列公理( 厂= r ) ，则称日是一个拟三角h o p f 代数： ( 1 ) ( 灭1 ) or 2 = r 1 圆，1 尺2 ，2 ， ( 2 ) 天1q ( 尺2 ) = r 1 ，10 ，2 r 2 ， ( 3 ) p ( 乃) r = r ( 办) ，v 厅日， 其中即= f 。是h o p f 代数日印的余乘法映射，r 是通常的换位映射( 砌 聊印) ，尺叫做厅的一个拟三角结构。如果r = f ( r ) ，则称r 是一个三角结构， 此时，也称日是一个三角h o p f 代数( 见 1 1 ，2 2 ) 。 引理1 2 3 2 2 1 0 1 2 设日是拟三角h o p f 代数，r 为其拟三角结构。如 果m ，是两个左日一模，则作为左日一模必圆 r 兰p m ，其左日一模同构映射 可定义为 6 ：m 圆n n m 所圆以一r 一10 聊) ，v 聊m ，2 。 定义1 2 。4 设日是任一有限维h 。p f 代数，日叩印日作为向量空间为 日+ 印圆日，则称日。印 日为日的d i n f e l dd o u b l e ，记作d ( 日) ，如果具有下面 的h o p f 代数结构： ( 1 ) ( 扣办) ( 辨) = 厂( _ 9 2 ) ( j ；1 2 卜9 1 ) x ， ( 2 ) l l = 占片o 。1 胃 为d ( 日) 的单位元， ( 3 ) d ( ) ( 扣乃) = ( 厶o 。) p ( z o o 办2 ) ， ( 4 ) s d ( ) = 占唧 = 1 hp ， ( 5 ) d ( 日) 的反极元：s ( 扣办) = ( 触s ( 日) ) ( j s r h 。- 1 ( 厂) o 。1 ) ， 其中厂，g 日+ ，乃，x 日，办_ 厂= 五， 乃卜厂= 办2 。 扬州大学硕士学位论文 6 一 d ( h ) 是拟三角h o p f 代数。若 吃) 是h 的一组基，其对偶基为 吃) ，则拟三角结 构为矗2 ) 圆( 绣+ l ) d ( 日) d ( 日) f 现在设日是有限维h o p f 代数，d ( 胃) = 日+ 印日是日的d r i n f e l dd o u b l e ，则 有两个h o p f 代数的嵌入影射日寸d ( 日) ，办h 锄 和日+ 唧= ( 日妒) 专d ( 日) ， 厅+ h 办o d l 。因此日和( 印) + 可视为d ( 日) 的子h o p f 代数。设m 是左d ( 日) 一模， 则m 成为左日一模：厅加= ( 触乃) m ， 日，肌m 。同时m 也成为左( 日印) 一模： 忍+ m = ( 乃1 ) 朋，乃( 日叩) ，历m 。因此肘是一个右日印一余模( 日一余模) ，余 模结构由下式确定 p ：m 专m 固，所h m ( o ) 圆优( 1 ) 乃+ m = 朋( o ) ， 忍( 日印) ，朋m 。 ( 1 ) 这一余模结构与上面给出的左日一模结构使m 成为一个y d 日一模。反之，m 是一 个y d 日一模，则m 有左( 日印) 一模结构( 1 ) 。从而m 成为一个左d ( 日) 一模，模作用 为 ( j l z 庇) 聊= 乃( j 1 2 ，咒) ，j l z + 日，朋 ，。 这样我们有下面的命题。 命题1 2 5 2 2 ，1 0 6 1 6 设是一个有限维h o p f 代数，则圩y d 兰d ( 日) m 。 设g 是有限群，日：骼是群代数。用k ( g ) 表示群g 的共轭类的集合。若 g g ，则用cg ( g ) 表示g 在g 中的中心化子，即 cg ( g ) = ( x gl 醒= 黟) 。 众所周知cg ( g ) 是g 的一个子群。 吴艳军d ( 蛾) 的不可约表示 7 一 设m 是一个y d 桕一模，p ：m 专mp 硒为其余模结构映射，则m 2 品m g 是一个g 一分次空间，其中m g = 聊mp ) = 聊og ) ，坛g 。对于c k ( g ) ， 令m = = 固m9o u g e c 6 引理1 2 6 设m 是一个y d 骼模，则 ( 1 ) 矗m g = m 恸川v g ，乃g 。 ( 2 ) v c k ( g ) ，m c 是m 的y d 硒一子模。 引理1 2 7 设m 是一个y d 腼一模，g g ，则 ( 1 ) m g 是一个慨( g ) 一模， ( 2 ) 若m 是单的，则或者m 9 2 0 或者m g 是单的慨( g ) 一模。 对于任意的c k ( g ) ，取定一个元素g c c ，则fg c c k ( g ) ) 是g 的 共轭类的代表元集，现在设是一个左溉( g c ) 一模，则存在一个左桁一模， 个g = 施 晚( g t ) 。定义映射 p ：n 气6 专n 气g 圆k g g0 胛卜( g 刀) 0g g c g 一1 ，v g g ， ，z 。 直接验证可知p 的定义合理。 引理1 2 8 设是一个左配g ( g c ) 一模，c k ( g ) ，夕和个g 的定义如上， 则( 个g ，p ) 是一个y d 硒一模。 记引理1 2 8 中给出的y d 施一模为d ( ) ，则由定义显然有d ( ) = d ( ) c ，其中 是一个左圮g ( g c ) 一模。下面几个定理是本文的主要理论依据，具体可参见 1 ，2 ， 1 8 。 定理1 2 9 设c k ( g ) ，是一个左托g ( g c ) 一模，则d ( ) 是单的肋硒一 扬州大学硕士学位论文 模，当且仅当是一个单的左j i c g ( g c ) 一模。 定理1 2 1 0 设m 一个单的y d 硒一模，则存在c k ( g ) 使得m 兰d ( m g c ) 。 推论1 2 11 设c k ( g ) ，1 和2 是两个单的妃g ( g c ) 一模，则 d ( 1 ) 兰d ( 2 ) 当且仅当1 兰2 。 吴艳军d ( 蛾) 的不可约表示 竺 一一 第二章d ( 蛾) 一不可约表示 2 1 二面体群或的结构 二面体群见的定义为： 破= 当刀= 2 册+ l 为奇数时，或有册+ 2 个共轭类如下： c l = 1 ) ， 共轭类含有1 个元素，代表元为：l c ，： 6 ，口6 ，口2 6 ，口“6 ，共轭类含有n 个元素，代表元为：6 五= 口，口 ， 共轭类含有2 个元素，代表元为：口 e ： 口z ，口舻2 ， 共轭类含有2 个元素，代表元为：口2 e ，： 口，口一。 ， 共轭类含有2 个元素，代表元为：口 瓦= 口_ ，口一一一 ， 共轭类含有2 个元素，代表元为：口_ 共轭类代表元所在中心化子分别为 c d - ( 1 ) 2 见， c d - ( 6 ) = 1 ，6 ， c d _ ( 口) = l ，口， 口2 ，口”- 1 ) ， v 1 f 班。 当刀= 2 聊为偶数时，见有棚+ 3 个共轭类如下： c 1 = 1 ) ， c ，= 6 ，口2 6 ，口盹6 ， 共轭类含有1 个元素，代表元为： l 共轭类含有m 个元素，代表元为： 6 扬州大学硕士学位论文 c 3 = 动，口3 6 ，日5 6 ，口州6 ) ， 共轭类含有m 个元素，代表元为： 动 日= 口，口”1 ) ， 共轭类含有2 个元素，代表元为： 口 e ：= 口2 ，口州) ， 共轭类含有2 个元素，代表元为： 口2 e = 口，口”。) ， e 川= 口”1 ，口”1 ) ， 共轭类含有2 个元素，代表元为： 口7 共轭类含有2 个元素，代表元为： 口”1 e 。= ( 口”) ， 共轭类含有1 个元素，代表元为： 口用 共轭类代表元所在中心化子分别为 c d 。( 1 ) = d 。， c 巩( 6 ) ： l ，6 ， 口胂，口”6 ) ， c 巩( 动) = 1 ，口6 ，口册，口川6 ， c 巩( 口) = 1 ， 口， 口2 ， 口剃 ) ，v l f 聊一1 。 c 巩( 口删) 2 见。 l o _ 一 2 2d ( 蛾) 的单模结构 在本节中我们设p 不整除2 行，其中c 办卯尼= p ( p 为零或素数) ，恒设缈七是 个刀次本原单位根，我们分两种情形进行讨论。 1 刀= 2 聊+ 1 为奇数的情形 引理2 2 1 设y 是一维j j 一向量空间，定义口，6 在矿上的作用如下： 吴艳军d ( 蛾) 的不可约表示 或者口v = 1 ，6 v = 一v ， 其中，矿，矿关于上述两个作用成为蛾上两个互不同构的一维单模，分别记为 以，正。 证明显然。蛾上互不同构的一维单模只有这两个。 引理2 2 2 设矿是单的蛾一模且d 妇y 1 ，则d i m y = 2 ，且存在y 的一组 七一基 v 1 ，v 2 及正整数，l 2 r 所，使得口，6 在矿上的作用为 口甜一0 盼( 甜 6 甜盼。 记这样的2 维单蛾一模为矿( 2 ，) ，则在同构的意义下矿( 2 ，1 ) ，矿( 2 ，2 ) ，矿( 2 ，聊) 是蛾上全部维数大于1 的互不同构的单模。 证明设m 是一个单蛾一模，且d i m m 1 。记c 。= 为d 。的由口生成的 子群，则c 。司见。由于e 为船阶循环群，后为代数闭域且特征p 不整除，2 ，所 以蛾是半单代数且每个单瞩一模必是一维的。因此，存在互异的，2 次单位根缈， 缈2 ，q 使得 m = m 娃。固m 。2q 固m 现， 其中m 弛= x ，l 口x = 哆x ) o ，f = 1 ，2 ，。 任取o 石m 姊，l f j ，则口( 6 x ) = 6 ) 戈= ( 施一1 ) x = 勿- ( 口- 。x ) = ，一1 6 x ，所以6 x m 出，川因此6 m q = m 劬一假设，= 缈，则，2 = l 。由于 扬州大学硕士学位论文 彩，是靠次单位根且刀= 2 朋+ l 为奇数，所以国，= 1 ，从而6 m 卿= m 嘶。于是存在 o x m 弛使得6 x = x 或者6 x = 一x ，这样缸是m 的一个一维蛾一子模，矛盾。 故缈，娥，江1 ，2 ，。因此，= 2 ，为偶数，且适当标号后可设q + ，= q ， f = 1 ，2 ，f 。于是m = m m 。o om q 0 m q 一，o 0m q 一，o 注意到m 甜。0m 脚。一， 是m 的一个蛾一子模，所以f = 1 ，即m = m qom 弛，。任取0 z m q ，则由 上面的说明可知印口 x ，6 x ) 是m 的一个蛾一子模， 故 m = m q o m 魏一。2 印以，z x ，6 x ) 。由于铂是玎次单位根且缈1 1 ，存在1 z 朋使 得国1 = 国。或者缈1 = 缈7 。令1 ，l = x 且v 2 = 6 x ，或者v 1 = 6 z 且v 2 = x ，便得相应 的距阵表示为口专( ：，) ，6 寸( 宇三 。证毕。 结合定理1 2 9 ，定理1 2 1 0 ，推论1 2 1 l 和上面的引理2 2 1 ，引理2 2 2 便得如下定理。 定理2 2 3 1 ) 蛾一模，圪和y ( 2 ，f ) 是单的y d 蛾一模，其余模作用是平 凡余作用，即 p ：矿专矿0 趔九，p ( v ) = v0 1 ， 其中y 为以，圪，y ( 2 ，f ) 之一，f _ 1 ，2 ，脚。 2 ) 在同构的意义下，以，e 和y ( 2 ，f ) ，f - l ，2 ，聊，是全部互不相同的具 有平凡余作用的单y d 蛾一模。 引理2 2 4 在同构的意义下，肥岛( 6 ) 有且仅有两个单模u + ，u 一，它们都 是维的，其模作用为 6 “= “，“u 。 证明因为配见( 6 ) = 1 ，6 为二阶循环群且c 乃口r 露= p 2 ，所以引理成立。 吴艳军d ( 蛾) 的不可约表示 再由定理1 2 9 得 定理2 2 5 蛾一模蛾 ( u + 和蛾 ( 6 ) u 一构成两个互不同构的聆 维单y d 蛾一模，其余模结构为 p ：蛾圆。( 6 心一蛾o ( 6 ) u 圆蛾 p ( 口0 “) = ( 口1o “) 口2 7 6 ， 其中0 f 刀一1 ，“以，分别记上述两个y d 蛾一模为u ( ，z ，+ ) ，u ( 刀，一) 。 以下设e = 为q 的由口生成的子群，则c 。为，z 阶循环群且c 。司d 。由 c 忍口r 七= p 不整除，2 立得下述引理。 引理2 2 6 1 ) 在同构的意义下，杞。有且仅有以个互不相同的单模u 。， u ：，u ，它们都是一维的，其模作用为 口“2 7 “， “【厂， 歹= 1 ， 2 ， ，z 。 2 ) 对任意的1 s ，z ，q 导出一个2 维的蛾一模u ( ) ：2 蛾。惦。取定 o “，则u ( ) 有七一基 1o “，6p 材) 。 定理2 2 7 1 ) 对任意的1 ，z ，桕。一模u ( ) 有聊个互不同构的y d 蛾一 模结构，分别记作u ( ，1 ) ，u ( ，2 ) ，u ( ，m ) ，其余模作用为 岛u ( ，f ) 一u ( ，f ) 0 蛾 1 0 甜jh ( 1 0 “) 0 口7 ， 6 0 “jh ( 6 p “j ) 口卜。 2 ) u ( ，f ) 是”珑个互不同构的单的y d 蛾一模，1 ，z ，l f 聊。 证明。由引理2 2 6 ，定理1 2 9 和推论1 2 1 l 立即得出。 综合上述结论和定理1 2 9 ，定理1 2 1 0 和推论1 2 1 1 便得如下定理。 扬州大学硕士学位论文 1 4 - 一 定理2 2 8 设，z = 2 明+ 1 为奇数，则在同构的意义下，集合 一，旷，y ( 2 ，f ) ， v ( 咒，十) ，u ( 玎，一) ，u ( ，圳1 行，1 f 脚) 给出了全部互不相同的单的y d 蛾一 模。一共有两个互不同构的一维单y d 蛾一模，聊，z + 肌个互不同构的二维单y d 蛾一 模，两个互不同构的，2 维单y d 蛾一模。 2 以= 2 肌为偶数的情形 引理2 3 1 设y 是一维j j 一向量空间，定义口，6 在矿上的作用如下： 口v = v ，6 1 ，= v ，或者a v = v ，6 v = 一1 ， 或者口v = 一y ，6 v = v ，或者口v = 一v ， 6 v = 一1 ， 其中v y ，矿关于上述四个作用成为蛾上四个互不同构的一维单模，分别记为 矿( + ，+ ) ，y ( + ，一) ，矿( 一，+ ) ，矿( 一，一) 。 证明显然。蛾上互不同构的单模仅有这四个。 引理2 3 2 设y 是单的蛾一模且d i m 矿 1 ，则d i m 矿= 2 ，且存在y 的一组 后基 1 ，l ，v 2 ) 及正整数，1 z 所一1 ，使得口，6 在矿上的作用为 口份一默州麓) ， 6 份盼。 记这样的2 维单蛾一模为矿( 2 ，) ，则在同构的意义下y ( 2 ，1 ) ，y ( 2 ，2 ) ，矿( 2 ，聊一1 ) 是蛾上全部维数大于1 的互不相同的单模。 证明类似于引理2 2 2 的证明。 吴艳军d ( 肋。) 的不可约表示 结合定理1 2 9 ，定理1 2 1 0 ，推论1 2 1 1 和上面的引理2 3 1 ，引理2 3 2 便得如下定理。 定理2 3 3 1 ) 蛾一模矿( + ，+ ) ，y ( + ，一) ，y ( 一，+ ) ，矿( 一，一) 和y ( 2 ，f ) 是单的 y d 蛾一模，其余模作用是平凡余作用，即 p ：y 专矿 殷九，p ( v ) = v0 1 ， 其中y 为y ( + ，+ ) ，矿( + ，一) ，矿( 一，+ ) ，矿( 一，一) ，矿( 2 ，f ) 之一，f = l ，2 ，聊一1 。 2 ) 在同构的意义下，矿( + ，+ ) ，矿( + ，一) ，y ( 一，+ ) ，y ( 一，一) 和矿( 2 ，f ) ，江1 ，2 ， 聊一1 ，是全部互不相同的具有平凡余作用的单y d 蛾一模。 3 ) 设y 为引理2 3 1 和引理2 。3 2 中给出的单蛾一模之一，若定义矿的蛾一余 模结构为 p ： y y 0 栖。，户( v ) = v 圆口”， 则矿成为单的蛾一模。分别记为圪。( + ，+ ) ，圪。( + ，一) ，圪，( 一，+ ) ，圪，( ，一) 和 吃。( 2 ，f ) ，f _ 1 ，2 ，聊一1 。 引理2 3 3 在同构的意义下肥珥( 6 ) 有且仅有四个单模( + ，+ ) ，( + ，一) ， u 。( 一，+ ) ，巩( 一，一) ，它们都是一维的，其模作用分别为 6 “= “， 口”“= 甜， “u 6 ( + ，+ ) ， 6 “= “，口”“= 一“， “u 6 ( + ，一) ， 6 “= 一“，口”“= “， “u 6 ( 一，+ ) ， 6 “= 一“，口”“= 一“， 甜c 厂6 ( 一，一) 。 证明 因为c 巩( 6 ) 2 l ，6 ， 口”，口”6 ) 由6 和臼”生成且如甜尼= p 2 ，所 以引理成立。 堑型奎堂堡主堂垡笙茎一竺 - - - - ，_ - _ - _ _ - _ - _ - _ _ _ _ _ - ，_ - 一一 再由定理1 2 9 得 引理 2 3 4 蛾一模桕。 圮“( 6 ) 巩( + ，+ ) ，加。 ( ”巩( + ，一) ， 加。固。( 6 ) 巩( 一，+ ) 和尬。圆配。( 6 ) u b ( 一，一) 构成四个互不同构的聊维单y d 蛾一模， 其余模结构为 p ：u 寸u 加。 p ( 口o 甜) = ( 口 甜) 0 日2 6 ， 其中0 f 朋一l ，u 为蛾o ( 6 ) u 6 ( + ，+ ) ，蛾0 ( 玩( + ，_ ) ， 蛾p 昭“( 6 ) 巩( 一，+ ) 和蛾 ( 。) 巩( 一，一) 之一，“u ( ，) 。分别记上述四个 y d 翘九一模为u 6 ( 聊，+ ，+ ) ，u 6 ( m ，+ ，一) ，u 6 ( 聊，一，+ ) ，u 6 ( m ，一，一) 。 引理2 3 5 在同构的意义下托d 。( 口6 ) 有且仅有四个单模u 曲( + ，+ ) ， u d 6 ( + ，一) ，u 曲( 一，+ ) ，( 一，一) ，它们都是一维的，其模作用分别为 以6 “= 甜，口朋+ 1 6 “= 扰，“u 。 ( + ，+ ) ， a 6 “：甜， 口研+ 1 6 “= 甜， “u 曲( + ，一) ， 口6 材：一“， 口”+ 1 6 “= 甜， “u 口6 ( 一，+ ) ， 口6 甜= 一“， 口”州6 “= 一“， “u 曲( 一，一) 。 证明因为c n ( 口6 ) = 1 ，柏， 口”，口”+ 1 6 ) 由幻和口朋生成且c | l z 胛后2p 2 ， 所以引理成立。 再由定理1 2 9 得 定理2 3 6 加。一模蛾0 。( 曲) u 曲( + ，+ ) ，蛾圆。( 曲) u 砷( + ，一) ， 蛾 。( 曲) u 曲( 一，+ ) 和蛾 盯( 曲) u 曲( 一，一) 构成四个互不同构的聊维单y d 蛾一 模，其余模结构为 吴艳军d ( 柚。) 的不可约表示 p ：uju 圆k d n 1 7 一 p ( 口7 “) = ( 口70 “) 0 口2 。+ 1 6 ， 其中o f ，船一1 ， u 为惫见固桕( 口6 ) u 口6 ( + ，+ ) ，尼见0 配“( 曲) u 动( + ，一) ， 蛾0 ( a 6 ) u 动( 一，+ ) 和蛾 妃( 动) u 曲( 一，一) 之一，“u ( ，) 。分别记上述四个 y d 蛾一模为( 朋，+ ，+ ) ，u 曲( 珑，+ ，一) ，u 神( 聊，一，+ ) ，u 曲( 胴，一，) 。 以下设c 。= 为d 。的由口生成的子群，则c 。为，z 阶循环群且c 。司d 。由 c 乃七= p 不整除刀立得下述引理。 引理2 3 7 1 ) 在同构的意义下，瞩有且仅有 个互不相同的单模u 。， u ：，u 。，它们都是一维的，其模作用为 口材2 缈7 甜， “u j ， _ ，= l ，2 ， ， ，z 。 2 ) 对任意的1 ，z ，u ，导出一个2 维的蛾一模u ( ) ：2 蛾0 蛾u 。取定 0 “，u ，则u ( ) 有七一基 1p “，6 “) 。 定理2 3 8 1 ) 对任意的1 刀，蛾一模u ( _ ) 有m 一1 个互不同构的 y d 蛾一模结构，分别记作u ( ，1 ) ，u ( ，2 ) ，u ( ，所一1 ) ，其余模作用为 夕，f ：u ( ，i ) 一u ( ，f ) 峨 l “h ( 1 0 “) 0 口， 6 “jh ( 6 “j ) 口”。 2 ) u ( ，f ) 是，z 一1 ) 个互不同构的单的y d 蛾一模，1 力，1 f 聊一1 。 证明由引理2 3 7 ，定理1 2 9 和推论1 2 1 1 立即得出。 综合上述结论和定理1 2 9 ，定理1 2 1 0 和推论1 2 1 l 便得如下定理。 定理2 3 10 设，z = 2 m 为偶数，则在同构的意义下，集合 矿( + ，+ ) ，y ( + ，一) ， 扬州大学硕士学位论文 矿( 一，+ ) ，y ( 一，- ) ，圪。( + ，+ ) ，匕。( + ，一) ，圪。( 一，+ ) ，圪。( 一，一) ，y ( 2 ，f ) ，匕。( 2 ，f ) ， ( ，”，+ ，+ ) ， u 6 ( 聊，+ ，一) ， u 6 ( ，胛，一，+ ) ， ( ，卵，一，一) ，u 柏( 聊，+ ，+ ) ，u 厶( 小，+ ，一) ， u 曲( 聊，一，+ ) ，u 曲( 脚，一，一) ，u ( ，f ) i1 ，刀，1 f 川一1 ) 给出了全部互不相同的 单的y d 蛾一模。一共有8 个互不同构一维单y d 蛾一模，( 加一1 ) 研+ 2 ) 个互不同构 二维单y d 碱一模，8 个朋维互不同构单y d 蛾一模。 吴艳军d ( 加。) 的不可约表示 第三章d ( 蛾) 一不可约表示( 续) 本章中恒设，z = 2 聊+ 1 为奇数，尼为一个固定的代数闭域，c j l z 甜七= p ，且p 整 除2 刀，下面我们分两种情形讨论。 3 1c 办口，后= 2 的情形 本节中，我们恒设c 办七= 2 ，缈是后中的一个九次本原单位根。 引理3 1 1 在同构的意义下，平凡蛾一模后是唯一的一维单模，蛾在后上 的作用为 g 口= 口，d 。，口后。 证明显然。 引理3 1 2 设y 是单的蛾一模且d i m 矿 1 ，则d i m 矿= 2 ，且存在矿的一组 七一基 v 1 ，v 2 ) 及正整数，1 z m ，使得口，6 在y 上的作用为 口份( ：7 默州甜 6 份盼卧 记这样的2 维单蛾一模为矿( 2 ，) ，则在同构的意义下，矿( 2 ，1 ) ，矿( 2 ，2 ) ，矿( 2 ，垅) 是坳：。上全部维数大于l 的互不相同的单模。 证明类似于引理2 2 2 的证明。 定理3 1 3 1 ) 忌和矿( 2 ，f ) 是单的y d 蛾一模，其余模作用是平凡余作用， 即 p ：矿专yo 殷九，p ( v ) = v 0 1 ， 其中y 为七，矿( 2 ，f ) 之一，f = 1 ，2 ，聊。 2 ) 在同构的意义下，尼和y ( 2 ，f ) ，f _ l ，2 ，聊，是全部互不相同的具有平 凡余作用的单y d 蛾一模。 引理3 1 4 在同构的意义下，施玩( 6 ) 有且仅有一个单模u + = 后，其模作用 为 6 “= “，甜u i 。 证明因为( 6 ) = 1 ，6j 为二阶循环群且c 办口，七= 2 ，所以引理成立。 再由定理1 2 9 得 定理3 1 5 蛾一模蛾 ( u + 构成一个船维单y d 蛾模，其余模结构 为 p ：蛾0 ( 6 ) u + 一蛾圆。( 6 ) u + 0 肋。 p ( 口p “) = ( 口圆“) 口2 。6 ， 其中0 f ，z 一1 ，“q ，记这个y d 蛾一模为u ( ，z ，+ ) 。 以下设q = 为域的由口生成的子群，则g 为聆阶循环群且c 。q 见。由 c 办卯后= 2 且，2 为奇数立得下述引理。 引理3 1 6 1 ) 在同构的意义下，坂有且仅有甩个互不相同的单模u ， u ：，u 。，它们都是一维的，其模作用为 口“2 彩7 甜， 以己0 ， = l ，2 ， ，z 。 2 ) 对任意的1 ，z ，u 导出一个2 维的蛾一模u ( - ，) ：= 蛾圆虹。取定 o 甜q ，则u ( ) 有后一基 1 “，6o “) 。 定理3 1 7 1 ) 对任意的l ，z ，蛾一模u ( ，) 有聊个互不同构的y d 加。一 模结构，分别记作u ( ，1 ) ，u ( - ，2 ) ，u ( ，m ) ，其余模作用为 吴艳军d ( 蛾) 的不可约表示 2 l 乃j ：u ( ，f ) 专u u ，f ) 蛾 1 0 甜h ( 1 “) 0 口。， 6 0 甜，h ( 6 p 甜) 0 口州。 2 ) u ( 歹，f ) 是力聊个互不同构的单的y d 蛾一模，l 刀，l ，所。 证明由引理3 1 6 ，定理1 2 9 和推论1 2 1 1 立即得出。 综合上述结论和定理1 2 9 ，定理1 2 1 0 和推论1 2 1 1 便得如下定理。 定理3 1 8 设疗= 2 m + 1 为奇数，咖，七= 2 ，则在同构的意义下，集合 七， 矿( 2 ，f ) ，u ( 以，+ ) ，u ( ，f ) ll 刀，l ，册 给出了全部互不相同的单的y d 蛾一 模。一共有一个一维单y d 蛾一模，册甩+ 册个互不同构的二维单y d 蛾一模，一个力 维单y d 蛾一模。 3 2 p 为奇数的情形 本节中恒设c 枷七= p 整除刀，且刀为奇数，不妨设刀= p ( 2 s + 1 ) ，其中p 不 整除2 s + l ，r o 。并设国七为知+ 1 次本原单位根。 首先给出一个很有用的引理。 引理3 2 1 2 0 ，2 1 】方程工”= l 与x 2 1 = l 在域七中同解。 引理3 2 2 设y 是一维七一向量空间，定义口，6 在y 上的作用如下： 口v 2 ，6 v2 ， 或者口1 ，= ， 厶 ，= 一， 其中，y ，y 关于上述两个作用成为蛾上两个互不同构的一维单模，分别记为 圪，圪。 扬州大学硕士学位论文 证明显然。蛾上互不同构的一维单模只有这两个。 引理3 2 3 设矿是单的蛾一模且d i my 1 ，则d i m 矿= 2 ，且存在矿的一组 七一基 1 ，。，v 2 ) 及正整数，l z s ，使得口，6 在矿上的作用为 口甜洲州麓 ， 6 份盼 记这样的2 维单蛾一模为y ( 2 ，z ) ，则在同构的意义下y ( 2 ，1 ) ，y ( 2 ，2 ) ，矿( 2 ，s ) 是蛾上全部维数大于1 的互不同构的单模。 证明利用引理3 2 1 ，类似于引理2 2 2 可得证。 定理3 2 4 1 ) 蛾一模，矿和y ( 2 ，f ) 是单的y d 蛾一模，其余模作用是平 凡余作用，即 夕：y y 触九，p ( v ) = v 1 ， 其中y 为以，k ，y ( 2 ，f ) 之一，f = 1 ，2 ，j 。 2 ) 在同构的意义下，k ，矿和y ( 2 ，f ) ，汪1 ，2 ，占，是全部互不相同的具 有平凡余作用的单y d 蛾一模。 引理3 2 5 在同构的意义下，圮研( 6 ) 有且仅有两个单模u + ，u 一，它们都 是一维的，其模作用为 6 甜= “， “u 。 证明因为c 见( 6 ) = 1 ，6 ) 为二阶循环群且c 办刃七= p 为奇数，所以引理成立。 再由定理1 2 9 得 定理3 2 6 桕。一模蛾0 ( 6 ) u + 和蛾。柑“( 6 ) u 一构成两个互不同构的，2 吴艳军d ( 加。) 的不可约表示 维单y d 蛾一模，其余模结构为 p ：蛾 圮( 6 ) uj 蛾圆( 6 以。蛾 p ( 口p “) = ( 口0 甜) 0 口2 7 6 ， 其中o f ，z 一1 ，扰玑，分别记上述两个y d 蛾一模为u ( + ) ，u ( ，z ，一) 。 以下设g = 为或的由口生成的子群，则g 为刀阶循环群且qq 见。 引理3 2 7 1 ) 在同构的意义下，瞩有且仅有2 s + 1 个互不相同的单模u ， ，州，它们都是一维的，其模作用为 口“2 彩“， 甜己0 ， = 1 ，2 ， ，2 j + 1 。 2 ) 对任意的1 2 j + 1 ，q 导出一个2 维的蛾一模u ( ) ：2 蛾p 惦q 。取 定0 “u j ，则u ( 歹) 有七一基 1 “，60 “j ) 。 定理3 2 8 1 ) 对任意的1 2 s + 1 ，蛾一模u (