勾股定理的证明方法和相关故事.ppt.ppt

勾股定理的证明方法和相关故事 勾股定理简介 勾股定理是余弦定理的一个特例 这个定理在中国又称为 商高定理 在外国称为 毕达哥拉斯定理 或者 百牛定理 毕达哥拉斯发现了这个定理后 即斩了百头牛作庆祝 因此又称 百牛定理 法国 比利时人又称这个定理为 驴桥定理 他们发现勾股定理的时间都比我国晚 我国是最早发现这一几何宝藏的国家 目前初二学生学 教材的证明方法采用赵爽弦图 证明使用青朱出入图 勾股定理是一个基本的几何定理 它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一 是数形结合的纽带之一 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果用a b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边 那么a 2 b 2 c 2 勾股定理是余弦定理的一个特例 这个定理在中国又称为 商高定理 在外国称为 毕达哥拉斯定理 或者 百牛定理 毕达哥拉斯发现了这个定理后 即斩了百头牛作庆祝 因此又称 百牛定理 法国 比利时人又称这个定理为 驴桥定理 他们发现勾股定理的时间都比我国晚 我国是最早发现这一几何宝藏的国家 目前初二学生学 教材的证明方法采用赵爽弦图 证明使用青朱出入图 勾股定理是一个基本的几何定理 它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一 是数形结合的纽带之一 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果用a b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边 那么a 2 b 2 c 2 勾股数组 满足勾股定理方程a 2 b 2 c 2 的正整勾股定理数组 a b c 例如 3 4 5 就是一组勾股数组 由于方程中含有3个未知数 故勾股数组有无数多组 勾股数组的通式 a m 2 n 2b 2mnc m 2 n 2 m n m n为正整数 勾股定理 定理如果直角三角形两直角边分别为a b 斜边为c 那么a 2 b 2 c 2 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方 古埃及人用这样的方法画直角如果三角形的三条边a b c满足a 2 b 2 c 2 还有变形公式 ab 根号 ac 2 bc 2 如 一条直角边是a 另一条直角边是b 如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形 称勾股定理的逆定理 古埃及人画直角三角形 勾股定理的来源 毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理 传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明 据说毕达哥拉斯证明了这个定理后 即斩了百头牛作庆祝 因此又称 百牛定理 毕达哥拉斯在中国 周髀算经 记载了勾股定理的公式与证明 相传是在商代由商高发现 故又有称之为商高定理 三国时代的赵爽对 周髀算经 内的勾股定理作出了详细注释 又给出了另外一个证明 1 法国和比利时称为驴桥定理 埃及称为埃及三角形 我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾 较长的直角边叫做股 斜边叫做弦 常用勾股数组 3 4 5 6 8 10 5 12 13 8 15 17 7 24 25 有关勾股定理书籍 数学原理 人民教育出版社 探究勾股定理 同济大学出版社 优因培教数学 北京大学出版社 勾股书籍 新世纪出版社 九章算术一书 优因培揭秘勾股定理 江西教育出版社 几何原本 原著 欧几里得 人民日报出版社 毕达哥拉斯树 毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形 又因为重复数次后的形状好似一棵树 所以被称为毕达哥拉斯树 直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方 两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积 利用不等式a 2 b 2 2ab可以证明下面的结论 三个正方形之间的三角形 其面积小于等于大正方形面积的四分之一 大于等于一个小正方形面积的二分之一 毕达哥拉斯树 毕达哥拉斯树 加菲尔德证明勾股定理的故事 1876年一个周末的傍晚 在美国首都华盛顿的郊外 有一位中年人正在散步 欣赏黄昏的美景 他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德 他走着走着 突然发现附近的一个小石凳上 有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么 时而大声争论 时而小声探讨 由于好奇心驱使 加菲尔德循声向两个小孩走去 想搞清楚两个小孩到底在干什么 只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形 于是加菲尔德便问他们在干什么 那个小男孩头也不抬地说 请问先生 如果直角三角形的两条直角边分别为3和4 那么斜边长为多少呢 加菲尔德答道 是5呀 小男孩又问道 如果两条直角边分别为5和7 那么这个直角三角形的斜边长又是多少 加菲尔德不加思索地回答到 那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方 小男孩说 先生 你能说出其中的道理吗 加菲尔德一时语塞 无法解释了 心里很不是滋味 加菲尔德不再散步 立即回家 潜心探讨小男孩给他出的难题 他经过反复思考与演算 终于弄清了其中的道理 并给出了简洁的证明方法 如下 解 在网格内 以两个直角边为边长的小正方形面积和 等于以斜边为边长的的正方形面积 勾股定理的内容 直角三角形两直角边a b的平方和等于斜边c的平方 a 2 b 2 c 2 说明 我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为 勾 较长直角边为 股 斜边称为 弦 所以把这个定理称为 勾股定理 勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系 举例 如直角三角形的两个直角边分别为3 4 则斜边c的平方 a的平方 b的平方 9 16 25即c 5则说明斜边为5 证明方法1 这个定理有许多证明的方法 其证明的方法可能是数学众多定理中最多的 路明思 elishascottloomis 的pythagoreanproposition 毕达哥拉斯命题 一书中总共提到367种证明方式 有人会尝试以三角恒等式 例如 正弦和余弦函数的泰勒级数 来证明勾股定理 但是 因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理 所以不能作为勾股定理的证明 参见循环论证 证法1作四个全等的直角三角形 设它们的两条直角边长分别为a b 斜边长为c 把它们拼成如图那样的一个多边形 使d e f在一条直线上 过点c作ac的延长线交df于点p d e f在一条直线上 且rt gef rt ebd egf bed egf gef 90 bed gef 90 beg 180 90 90 又 ab be eg ga c abeg是一个边长为c的正方形 abc cbe 90 rt abc rt ebd abc ebd ebd cbe 90 即 cbd 90 又 bde 90 bcp 90 bc bd a bdpc是一个边长为a的正方形 同理 hpfg是一个边长为b的正方形 设多边形ghcbe的面积为s 则a 2 b 2 c 2 证明方法2 作两个全等的直角三角形 设它们的两条直角边长分别为a b b a 斜边长为c 再做一个边长为c的正方形 把它们拼成如图所示的多边形 使e a c三点在一条直线上 过点q作qp bc 交ac于点p 过点b作bm pq 垂足为m 再过点f作fn pq 垂足为n bca 90 qp bc mpc 90 bm pq bmp 90 bcpm是一个矩形 即 mbc 90 qbm mba qba 90 abc mba mbc 90 qbm abc 又 bmp 90 bca 90 bq ba c rt bmq rt bca 同理可证rt qnf rt aef 即a 2 b 2 c 2 证明方法3 作两个全等的直角三角形 设它们的两条直角边长分别为a b b a 斜边长为c 再作一个边长为c的正方形 把它们拼成如图所示的多边形 分别以cf ae为边长做正方形fcji和aeig ef df de b a ei b fi a g i j在同一直线上 cj cf a cb cd c cjb cfd 90 rt cjb rt cfd 同理 rt abg rt ade rt cjb rt cfd rt abg rt ade abg bcj bcj cbj 90 abg cbj 90 abc 90 g b i j在同一直线上 a 2 b 2 c 2 证明方法4 作三个边长分别为a b c的三角形 把它们拼成如图所示形状 使h c b三点在一条直线上 连结bf cd 过c作cl de 交ab于点m 交de于点l af ac ab ad fab gad fab gad fab的面积等于 gad的面积等于矩形adlm的面积的一半 矩形adlm的面积 同理可证 矩形mleb的面积 正方形adeb的面积 矩形adlm的面积 矩形mleb的面积 即a 2 b 2 c 2 证法5 欧几里得的证法 几何原本 中的证明在欧几里得的 几何原本 一书中提出勾股定理由以下证明后可成立 设 abc为一直角三角形 其中a为直角 从a点划一直线至对边 使其垂直于对边上的正方形 此线把对边上的正方形一分为二 其面积分别与其余两个正方形相等 在正式的证明中 我们需要四个辅助定理如下 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等 则两三角形全等 sas定理 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积 据辅助定理3 证明的概念为 把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形 再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形 其证明如下 设 abc为一直角三角形 其直角为cab 其边为bc ab 和ca 依序绘成四方形cbde bagf和acih 画出过点a之bd ce的平行线 此线将分别与bc和de直角相交于k l 分别连接cf ad 形成两个三角形bcf bda cab和 bag都是直角 因此c a和g都是线性对应的 同理可证b a和h cbd和 fba皆为直角 所以 abd等于 fbc 因为ab和bd分别等于fb和bc 所以 abd必须相等于 fbc 因为a与k和l是线性对应的 所以四方形bdlk必须二倍面积于 abd 因为c a和g有共同线性 所以正方形bagf必须二倍面积于 fbc 因此四边形bdlk必须有相同的面积bagf ab 2 同理可证 四边形ckle必须有相同的面积acih ac 2 把这两个结果相加 ab 2 ac 2 bd bk kl kc 由于bd kl bd bk kl kc bd bk kc bd bc由于cbde是个正方形 因此ab 2 ac 2 bc 2 此证明是于欧几里得 几何原本 一书第1 47节所提出的 证法6 欧几里德 euclid 射影定理证法 如图1 rt abc中 abc 90 bd是斜边ac上的高 通过证明三角形相似则有射影定理如下 1 bd 2 ad dc 2 ab 2 ad ac 3 bc 2 cd ac 由公式 2 3 得 ab 2 bc 2 ad ac cd ac ad cd ac ac 2 图1即 ab 2 bc 2 ac 2 这就是勾股定理的结论 证法七 赵爽弦图 在这幅 勾股圆方图 中 以弦为边长得到正方形abde是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的 每个直角三角形的面积为ab 2 中间懂得小正方形边长为b a 则面积为 b a 2 于是便可得如下的式子 4 ab 2 b a 2 c 2 化简后便可得 a 2 b 2 c 2 亦即 c a 2 b 2 1 2勾股定理的别名勾股定理 是几何学中一颗光彩夺目的明珠 被称为 几何学的基石 而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用 正因为这样 世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究 因此有许多名称 我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一 我国古代数学家称直角三角形为勾股形 较短的直角边称为勾 另一直角边称为股 斜边称为弦 所以勾股定理也称为勾股弦定理 在公元前1000多年 据记载 商高 约公元前1120年 答周公曰 故折矩 以为句广三 股修四 径隅五 既方之 外半其一矩 环而共盘 得成三四五 两矩共长二十有五 是谓积矩 因此 勾股定理在我国又称 商高定理 在公元前7至6世纪一中国学者陈子 曾经给出过任意直角三角形的三边关系即 以日下为勾 日高为股 勾 股各乘并开方除之得邪至日 在法国和比利时 勾股定理又叫 驴桥定理 还有的国家称勾股定理为 平方定理 在陈子后一二百年 希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理 因此世界上许多国家都称勾股定理为 毕达哥拉斯 定理 为了庆祝这一定理的发现 毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵 因此这个定理又有人叫做 百牛定理 证法8 达芬奇的证法 达芬奇的证法三张纸片其实是同一张纸 把它撕开重新拼凑之后 中间那个 洞 的面积前后仍然是一样的 但是面积的表达式却不再相同 让这两个形式不同的表达式相等 就能得出一个新的关系式 勾股定理 所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点 观察纸片一 因为要证的事勾股定理 那么容易知道eb cf 又因为纸片的两边是对称的 所以能够知道四边形abof和cdeo都是正方形 然后需要知道的是角a 和角d 都是直角 原因嘛 可以看纸片一 连结ad 因为对称的缘故 所以 bad fad cda eda 45 那么很明显 图三中角a 和角d 都是直角 证明 第一张纸片多边形abcdef的面积s1 s正方形abof s正方形cdeo 2s bco of 2 oe 2 of oe第三张纸片中多边形a b c d e f 的面积s2 s正方形b c e f 2 c d e e f 2 c d d e 因为s1 s2所以of 2 oe 2 of oe e f 2 c d d e 又因为c d cd oe d e af of所以of oe c d d e