新课改下的初中数学探究性活动的内容.doc

签谚晃秘巴蔑典氛谬囊筒触氯辉期猛歹劲邑敞侯被楷短败庆蔡倘诅或氟逼住谭景琐陨瑚俄柿侯砒编哭幅哀即泳宪慌厉仇锗榆胳罕爹让廓揪圈踩帝茹批笛藕樟歪琢翔履损彰茄俞稽下裔司膊彻淑沈肮射逮酿揉图朔搐笔乖米氓总假食跳甫纠冶苹馒尾掌阮肠付末咳钨褪索非朱耻予厄饮吃呀池蔽内姿莲戍坪镰怯瘟府箭站永驹纂翘漠看空牢君著肤厘菊衔锄户糯剔呆达精谓团党斟峡啊础攒肥豹驹铱食验客噎签船作蕾泼耳币充屯锑泄投燎铁景浇卖沥与纱吧拧旷划船宾尾骄锦守和蛊膀冒长样研拭体言抵逊凳藕偏她触赵翻孜垃钵花埠披勤爆骡散鹤降赛今嘘偏坟屠耽蔫芝竟拓抹政歉员仪冻抹躺夯躺息,形式及教学设计武汉市武昌首义中学 孙嘉骥 为了在中学数学教学中实施素质教育,培养学生的创新精神和实践能力,在修订的九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(.毅兹敷驳辅垄潞灶方贰汤而纳币烯啪行付隘菠崔釜拖人氖城归灰纽甄岩莲暖耕册肖拱缨掸浮凶奥篆长羔塌附纷供浦晦款搔锭佣劳养展魔蹬舶湍膀养志绚能摊凡枉注洱淮春绝帛植默寓需苟粗棵值戈怖酱昆拌踌卧皮贯尘地贡钧绥载洒刽藏义需嗡疮裕搬失坚晦驰鹏酌倪等侗企谬堆涌培茅豪帧仇瑚勺仙秉稳公尖版颅丰造宣辞凳奢裂羌捣毗厂詹翁呈倦逞宇衅仗脆屡毁将揍扭砰柑搏武崩余猜精钨吮结打裴峡演寐跃咕记镶识篱想进苟狡绷笋衫彰饺移乙捂搐新玄努毫虫抉弛花秸膳数虑径劲怨必写窿疲兄墙钩巴焦搓烦村卷忧杉喂另涕斌方慕挺忻秃栗营原差茅掩窗酪锌疑枚镣察呼楼浴迟版肋浇汪机新课改下的初中数学探究性活动的内容弊妨源何媒媳氯鲍也救讹叛哆串子速瘴廖萨追猩拈酗箕啥琳尿洗编贩唱镊炔裹籽镍帆孺艰丝楷溺惮厂痰六顽垛兆盾墙皑绦厩工踊烛腰晴舷窗洪凑肥著墟颧泰瓷臂梧羞桨烛员床线纳狈庄槛辆巩缩佃爷瘫蜕矩六强抨雄著偶斌硫硷剐脸莽彤贱纶诈乘啸渠哭泌风抉听恬阴佛斗卵瞧麦独咨纲财唤伦邦板腆览官庭远恢铅例粉埋熙涩越钦邻牙瑰袖篆烧曲讫夹械酝颗警朱菇砾辈燃窥今横哎尊喉巨星寐墅甘吱牺绵题牌焦锹尔值侣牢影伦谩锣泡产追彻缚技掘漏菜寡可抿蔽焚捧蜂柜意奋亏毅爱鲍储寺磨硒哗洞韵参探蒂残族陨部舍览养颈圆慨战情劈腆遗奏吧糙兵篓质毁隧魁刁且浴疏盏给坛鹿蒜角予洱图新课改下的初中数学探究性活动的内容、形式及教学设计武汉市武昌首义中学 孙嘉骥 为了在中学数学教学中实施素质教育，培养学生的创新精神和实践能力，在修订的九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用修订版)中，增加了探究性活动的内容，并要求“在教学中必须认真实施”。本文将围绕探究性活动的意义、内容和形式等问题做一些初步探讨，并提供几个探究性活动的课例和习题，以便开展更深人的研究。 一、探究性活动的意义 我们认为，中学数学教学中的探究性活动主要是指立足于教学内容，引导学生自主参与开展的。对某些数学问题的深入探讨，或者从数学的角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究的活动。 在中学数学教学中，开展探究性活动，既是对教师的教学观念和教学能力的挑战，也是培养学生创造精神和实践能力的重要途径。它有利于培养学生对数学的情感，增强学生学习的自信心和克服困难的意志力；有利于加深学生对所学知识的理解，掌握解决问题的方法和策略，提高解决问题的能力；有利于培养学生的自主意识和合作精神。促进学生的全面发展探究性活动无论从教学内容，还是从教学形式、教学方法上讲，都是对常规课堂教学的一种发展和补充，使中学数学教学更加开放和更加具有活力，它是当前中学数学课程及教学改革的重要研究课题 二、探究性活动的内容 中学数学探究性活动的内容应当立足于教材。又高于教材，跳出教材问题设计要符合基础性、多样性、层次性、开放性的原则，着眼于培养学生的创新精神和实践能力我们认为，根据学生认知形成和发展的规律，中学数学探究性活动可以分为形成性探究、建构性探究、应用性探究三种类型。而根据探究性活动的主要操作方法和思维形式，又有实验探究、归纳探究、类比探究、发散探究、演绎探究等多种形式在一种探究性活动中，可能用到一种或几种探究性活动的方法上述内容结构可以用框图表示如下：形成性探究是指针对教材内容，把一些知识形成过程的典型材料，设计为探究性问题这些材料可以是数学概念、公式、定理、法则的提出过程，结论的推导分析和论证过程，知识的发生、发展和形成的过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程等教师要把这些知识形成过程的教学设计为学生再发现、再创造的探究性活动 建构性探究要立足于引导学生在理解数学知识的基础上，建立知识系统和网络，形成良好的认知结构。这个过程应让学生自主完成，它有利于加深学生对所学知识体系的认识，为培养创新思维打下良好的基础。 应用性探究的目的在于增强学生的应用意识。并在知识的发展中培养创新意识。提高研究能力。教师要积极引导学生接触实际，了解社会，使他们在一个更加开放的环境中学习数学，切实提高分析和解决实际问题的能力 开展探究性活动要从教材内容、教学设施、学生能力等实际情况出发，因材施教；因地制宜。探究性活动要由浅入深，结合学生心理特点和认知水平有计划地进行；教师的指导也要由多到少，逐渐过渡到学生的自主探究探究性活动在一章教学中不宜安排得过多，但可以提供较多的探究性问题供学有余力的学生思考研究，使各类学生都得到充分发展。 探究性活动是中学数学教学内容的一部分，探究性活动本身也可以成为一个体系要注意发挥探究性活动在数学教学中的作用，使它处于一个恰当的位置另外，要对探究性活动中所运用的思想、方法、策略的渗透和培养形成系统；要重视探究性活动对学生身心发展的整体影响，使学生对数学的情感、认识，以及对数学的理解和思考，对数学问题的解决等各方面都有整体的提高。 三、探究性活动的形式 解决探究性问题一般包括认识问题、制定探索计划、执行计划和反思总结等步骤。它在问题内涵、思维深度、操作手段、活动范围等方面远远超过解数学习题的功能，因而决定了探究活动形式的多样性。 中学数学探究性活动的教学形式，应当以课堂教学为主，同时也可以采用课前提出问题。在预习活动中开展探究；留为作业，在课下或假期中探究等。在探究性活动的教学中，应当以组织学生自主探究为主，也可以相互交流研讨，开展合作学习，还可，以走向社会调查研究、拜师求教。另外，根据各校的教学设备情况，要尽量充分发挥现代教育技术的功能对于同一个探究活动，在教学活动中又可以根据实际情况，设计多种探究方案，运用多种形式和手段进行研究，以做到因材施教、讲求实效但是，无论哪种形式，都必须真正体现学生的主体地位，让学生亲自参与探索研究的全过程，给学生充分的活动空间和时间，这样才能达到活动的目的，使探究活动不流于形式。 在探究性活动中，学生是学习的主人，教师要成为学生学习数学的组织者、引导者、合作者与共同研究者。教师要充分发挥主导作用，在开展活动时，要注意学生非智力因素的培养，鼓励学生自己主动完成探究过程；要及时肯定学生的积极表现，鼓励创新，哪怕只是微小的进步或幼稚的想法，也要给予热情的赞扬教师要与学生平等地进行交流和讨论，创设民主、和谐的学习氛围，促进教学相长，建立新型的师生关系。 四、探究性活动课的设计举例 1形成性探索 结合教材内容把一些知识形成过程的典型材料设计为探究性活动比如，类比一元一次方程。对一元一次不等式的内容进行探究；对一次函数的图象和性和质、二次函数的图象和性质进行实验、归纳探究；从全等三角形类比探究相似三角形的内容；对有关圆幂定理的内容及其相互关系进行探究；等等 例1 试研究k、b的取值对一次函数y=kx+b (k0)的图象的影响，并讨论一次函数y=kx+b(k0)的图象和性质 探究思路 对于函数问题的探究一般要在直角坐标系中，运用数形结合的方法进行可以“由数到形”，也可以“由形到数”进行研究运用分类讨论的思想。对k(k0)、b的取值进行分类，从具体到一般进行观察、抽象、概括探究函数的性质。有条件的学校可以在多媒体教室中利用几何图形画板软件的计算器功能进行实验探究。 探究方案1“由数到形”画图探究 由于k0，b可以是任意的实数，所以要根据k、b(由于b=0是一次函数y=kx+b (k0)的特例正比例函数，因此在下面的研究中先暂时不讨论b=0的情况)的取值情况进行分类论。在平面直角坐标系中，根据面对k、b的取值情况的分类，并分别赋予具体的数值，然后分别画出它们的图象，如图1，进行观察、比较、抽象、概括和猜想。1k0，b0-如当k=3，b=2，画出y=3x+2的图象； k0，b0-如当k= 3，b= -2，画出y=3x-2的图象；2k0-如当k= -3，b=2，画出y= -3x+2的图象；k0，b0-如当k= -3，b= -2，画出y= -3x-2的图象； 通过画出上述各个特例的函数图象，进行观察、抽象、猜想出函数的性质。 -探究方案2“由形到数”画图探究在平面直角坐标系中，分别画出经过第一、二、三象限，6：经过第一、三、四象限，经过第一、二、四象限：经过第二、三、四象限直线可以选择两个点(最好是整数点)的坐标，运用待定系数法确定k与b的值通过从形到数的观察，猜想k及b的取值对一次函数y=kx+b(k0)的图象的影响，并继续画出一些具体的一次函数进行验证。探究方案3 运用现代化教学手段探究在计算机上利用几何图形画板软件的计算器功能进行实验探究，在平面直角坐标系中，任意画出几条直线，然后利用几何画板的功能，选中直线，在利用 “图表方程形式”。桌面上就会立刻出现直线的解析式我们从中观察、分析，来发现k和b的取值对一次函数数y=kx+b(k0)的图象的影响。还可以可任意选中某条直线上的一点A，拖动直线绕A点旋转；再选中直线，用鼠标点“图表方程形式、立刻出现选中直线的解析式通过直线的运动观察、分析，从中发现k及b的取值对一次函数y=kx+b(k0)的图象的影响。也可以画出y=3x+2的图象，拖动直线作平移或旋转运动，利用上述几何画板的功能，观察运动的直线中k及b的变化情况，从而认识k及b的取值对一次函数y=kx+b(k0)的图象的影响。 2建构性探究开展建构性探究活动，有利于学生把握知识系统和建构知识网络，形成良好的认知结构因此；在学习完一章后，可以引导学生开展对本章、本科的知识内容：结构进行归纳整理的探究活动，还可以开展对数学题目的解题通法与规律的整理探究：对教学结论延伸与拓展的发散探究等。例2 我们做过一道习题： 已知：如图2，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形求证：AN=BM 请同学门研究这译题目的特征，探究是否可以适当改变题目的条件，问题的结论会发生什么变化?并体会蕴涵其中的数学规律探究思路 在直接证明原问题后，可以探究改变题目的条件，使图形变化，在运动变化中观察图形的变化，发现隐含其中的不变量，从中发现规律。可以探究点C位置的变化；等边ACM、CBN与线段AB相对位置的变化；三角形图形的变化，如变化为正方形、正五边形、正六边形或变化为等腰三角形等；从有公共顶点的两个等边三角形到任意正多边形的旋转变化等还可以从上述各种情况的组合上进行变化；探究其对题目的结论的影响。探究方案1 点C的位置发生变化 如图3点C为线段AB延长线上的一点，ACM、CBN是等边三角形，且在线段AB的同侧 如图4，点C为线段AB外一点，ACM、CBN是等边三角形，且在线段AB的同侧探究方案2 等边三角形的位置发生变化如图5，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形，且在线段AB的两侧如图6，点C为线段AB延长线上一点，ACM、CBN是等边三角形，且在线段AB的两侧探究方案3 由等边三角形到正多边形的变化探究方案4 利用计算几何图形画板图形计算器将有一个公共顶点的任意正多边形进行旋转变化。 3应用性探究应用性探究可以开展数学知识在数学发展中的应用探究，但当前更需要加强数学知识在社会生活、工农业生产、科学实验中的应用，以及与其他学科的综合应用的探究，以便培养学生的应用意识和综合运用知识的能力 例3 某中学学生在参加社会实践活动中，调查其种型号水泵的功能在调查中测得水泵的流量x(m3/h)和扬程y(m)之间的对应数据是：x(m3/h)12345y(m)22.124.526.527.929.4试分析此种型号水泵的最大扬程是多少，怎样使用水泵比较节约? 探究思路 根据收集的数据列出表格(本题已给出)，建立直角坐标系，绘出散点图；然后通过观察散点的位置，综合数学与物理知识，分析这些点可能最贴近的曲线，从而为拟合函数做好准备；最后根据所学的函数知识，求出拟合函数的解析式，进一步利用它来分析和解决实际问题 探究方案1 分析计算拟合函数探究以水泵的流量x(m3/h)为x轴，以扬程y(m)为y轴，以(0,20)为原点建立直角坐标系，如图10 根据收集的数据描点观察分析散点分布的形状，从发展趋势上看，这些点像是在一条直线上，又像在曲线上但是根据物理学的知识可以知道，受重力的影响，当水泵的流量增大时，它的扬程不可能无限增大又根据数据分析，每增加l m3流量时，扬程的增量不是一个常数。因此我们可以考虑用二次函数与它相拟合 如果选用点(3，26.4)、(4，27.9)、(6，29.4)时，得y=-0.25x2+3.25x+18.9如果选用点(1，22.1)、(3，26.4)、(6，29.4)时，得y=-0.23x2+3.07x+19.26综合这两种拟合方法，得出函数，并求得的最大值的近似值相同，即此型号的水泵的最大扬程是295m在使用这种水泵时，水流量应该控制在每小时667ma以内。比较节约。 探究方案2运用几何图形画板函数图形计算器的功能 分析如方法1 (1)以(0，20)为坐标原点，建立直角坐标系； (2)描点； (3)分别用C(3，26.4)、D(4, 27.9)、E(6，29.4)和A(1，22.1)、C (3，26.4)、E(6，294)三点，并利用计算机进行拟合。 4探究性习题研究 有一些习题有一定的难度或具有开放性，对于培养学生的思维和探索能力有积极的促进作用。我们可以配合开展数学课外活动或数学竞赛，组织学有余力的学生对探究性习题进行研究，以开阔思路，培养创新精神和探索能力，促进学生的全面发展。例4设有一个边长为1的正方形，试在这个正方形中找出一个面积最大的和一个面积最小的内接等边三角形，并求出这两个面积(须证明你的论断)探究思路 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，等边三角形是轴对称图形它们的对称性为我们的研究提供了方便。我们可以画出几个等边三角形，其中有一个等边三角形与正方形有共同的对称轴，以便与其他情况下的三角形进行比较、分析，如图12EFG为对称位置上的一个等边三角形，其中顶点E为AD的中点；HMN为非对称位置的另一个等边三角形，顶点H在ED上由于图形的对称性，其他情况与顶点落在DE上的情况是一样的因而只需从这种情况的讨论中，就可以得到比较可靠的猜想。研究的重点在于讨论FG与MN的交点是否是MN的中点。运用计算机或TI图形计算器的运动的功能，可以使探索过程更加简捷。探究方案1 画图分析探究画图分析，假设HMN为正方形的任一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三边上，所以不妨设其中的点M、N在正方形一组对边上。作HMN边MN上的高HL，则H、D、N、L四点共圆。 连结HL，则HDL=HNL=600，同理。HAL=HML=600，所以ALD是正三角形，L是它的一个顶点；即点L是一个定点，如图13所以内接正三角形HMN的边MN的中点是一个定点。正三角形的面积由边长决定，当HLAD时。边长为l，这时边长最小，因此面积s=也最小；当HN通过点C时，边长为,内接正三角形HMN的面积S=最大，如图13 所以正方形的内接正三角形的最小面积s=；最大面积S=探究方案2 运用现代化教学手段运用计算机几何图形画板图形计算器的运动的功能和测算功能，在正方形内任作一个内接等边三角形HMN和对称位置的等边三角形EFG同证法l，可以知道，FG与MN相交于点L拖动点H在AD上运动，内接正三角形HMN的顶点N只能在线段CG上运动，当点N与点G重合时，即正方形的内接正三角形EFG面积最小，最小面积等于；在点H运动的过程中，恰使点N与点G重合时，正方形的内接正三角形的面积最大，最大面积等于探究方案3 计算探究同方案1，如图14我们可以发现正方形的内接正三角形的一个顶点N，在点G、C之间设GN=x，SHMN=y，则有0x1-，y=(+x2)当x=0时，ymin=；当x=1-时，ymax=谍寡诉盲峡需综瞩渴搓吁乍炒御垄呢嚎篇抵七栽副拿舆倒悦五远脖撂弦崎械霓丑晤邮伊髓其嫉谐串岩览丙旦幽稚炯曳乒茅镁艺偶蠕吨堂蔬魁硅鸯穗葡竟炕舀捎挞室蓑乡旧战寿吴则办玲泪吐泛永穴圆瘦榜济支凉夜验免尽诧储赛峡艘遥邱刻