2019届高考数学复习解析几何考查角度3双曲线的标准方程与几何性质突破训练文.docx

考查角度3双曲线的标准方程与几何性质分类透析一双曲线的定义与应用例1 过双曲线x216-y29=1左焦点F1的直线与左支交于A,B两点,且弦AB长为6,则ABF2(F2为右焦点)的周长是().A.16B.19C.22D.28解析 由双曲线的定义知|AF2|-|AF1|=8,|BF2|-|BF1|=8,两式相加得|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=|AF2|+|BF2|-|AB|=16,从而有|AF2|+|BF2|=16+6=22,所以ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=22+6=28.答案 D方法技巧 与焦点有关的三角形周长问题,常借助双曲线的定义解决,注意解决问题时的拼凑技巧.分类透析二双曲线的标准方程求解与应用例2 设A、B分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3,则双曲线的标准方程为.解析 由题意知a=23.双曲线的一条渐近线为bx-ay=0,|bc|b2+a2=b=3.双曲线的标准方程为x212-y23=1.答案x212-y23=1方法技巧 关于双曲线的标准方程的确定问题,常用的方法有待定系数法和几何法等,对于待定系数法,需要建立关于a,b,c的等式,然后确定其焦点位置,从而写出其标准方程.分类透析三双曲线的几何性质及应用例3 已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则该双曲线离心率的取值范围为.解析 因为|PF1|=4|PF2|,点P在双曲线的右支上,所以设|PF2|=m,则|PF1|=4m.由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=4m-m=2a,所以m=23a.又|PF1|+|PF2|F1F2|,即4m+m2c,所以m25c,即23a25c,所以e=ca53.又e1,所以双曲线离心率的取值范围为1,53.答案1,53方法技巧 求解双曲线的离心率问题,是高频考点,建立关于a,b,c的等量关系式,是解决此类问题的关键.本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量a,c的不等关系,使问题得以巧妙地转化、获解.1.(2018年全国卷,理11改编)已知双曲线x29-y2b2=1(b0)的左顶点为A,虚轴长为8,右焦点为F,且以F为圆心的圆与双曲线的渐近线相切,若过点A作该圆F的两条切线,切点分别为M,N,则|MN|=().A.8B.42C.23D.43解析2b=8,b=4,c=5,A(-3,0),F(5,0),点F到双曲线的渐近线的距离为b,F:(x-5)2+y2=16.设MN交x轴于点E,在RtAMF中,|FE|=|MF|2|AF|=423+5=2.|AE|=8-2=6.又|ME|2=|AE|EF|=12,|MN|=2|ME|=43,选D.答案 D2.(2018年全国卷,文6改编)若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为.解析 双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=bax,由渐近线过点(3,-4),可得-4=-3ba,即b=43a.又c=a2+b2=a2+169a2=53a,所以双曲线的离心率e=ca=53.答案533.(2016年全国卷,理11改编)已知F1、F2是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直且交双曲线于点N,MF2N为等边三角形,则E的离心率为().A.2B.32C.3D.2解析 由题意知,|MN|=2|MF1|=2b2a.因为MF2N为等边三角形,所以322b2a=2c,解得3e2-2e-3=0,即e=3或e=-33(舍去),故选C.答案 C4.(2018年江苏卷,8改编)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点A(a,0)到一条渐近线的距离为32b,则双曲线离心率为.解析 由题意知,双曲线的一条渐近线方程为y=bax,即bx-ay=0,则点A到该直线的距离d=abb2+(-a)2=32b,即abc=32b,所以e=ca=233.答案2331.(河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测)中心在原点,焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(-2,4),则它的离心率为().A.52B.3C.2D.5解析 由题意可知,双曲线的渐近线方程为y=abx,则渐近线y=-abx过点(-2,4),即a=2b.又c=a2+b2=5b,所以e=ca=5b2b=52.故选A.答案 A2.(辽宁省凌源市2018届高三毕业班一模考试试题)已知双曲线C的中点在原点O,焦点F(-25,0),点A为左支上一点,满足|OA|=|OF|且|AF|=4,则双曲线C的方程为().A.x216-y24=1B.x236-y216=1C.x24-y216=1D.x216-y236=1解析 设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),A(x0,y0),因为左焦点坐标为F(-25,0),所以OF=c=25.因为|OA|=|OF|,|AF|=4,所以x02+y02=25,(x0+25)2+y02=4,解得x0=-655,y0=855或x0=-655,y0=-855.结合题意可得365a2-645b2=1,a2+b2=20,解得a2=4,b2=16,所以双曲线C的方程为x24-y216=1.故选C.答案 C3.(东北三省三校2018届高三第二次模拟考试试题)双曲线C:x2-y23=1的左顶点为A,右焦点为F,过点F作一条直线与双曲线C的右支交于点P,Q,连接PA,QA,分别与直线l:x=12交于点M,N,则MFN=().A.6B.3C.2D.23解析 由双曲线的方程可知双曲线的焦点坐标为F(2,0),设过焦点的直线方程为x=my+2,点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),联立直线方程与双曲线方程消去x可得(3m2-1)y2+12my+9=0,由题意可知3m2-10,则y1+y2=-12m3m2-1,y1y2=93m2-1.由A(-1,0),P(x1,y1)可得直线AP的方程为y=y1x1+1(x+1).令x=12,可得y=3y12(x1+1),即M12,3y12(x1+1),同理可得N12,3y22(x2+1),结合点F的坐标F(2,0)可得MF=32,-3y12(x1+1),NF=32,-3y22(x2+1),则MFNF=94+94y1y2(x1+1)(x2+1),其中(x1+1)(x2+1)=(my1+3)(my2+3)=m2y1y2+3m(y1+y2)+9=9m23m2-1-36m23m2-1+9=-93m2-1,据此可得MFNF=94+9493m2-13m2-1-9=0,故MFNF,MFNF,故MFN=2,故选C.答案 C4.(四川省绵阳市南山中学2018届高三二诊热身考试)如图,F1、F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,过F1(-7,0)的直线l与双曲线分别交于点A,B,若ABF2为等边三角形,则双曲线的方程为().A.5x27-5y228=1B.x26-y2=1C.x2-y26=1D.5x228-5y27=1解析 由双曲线的定义,可得|AF1|-|AF2|=2a.ABF2是等边三角形,即|AF2|=|AB|,|BF1|=2a.又|BF2|-|BF1|=2a,|BF2|=|BF1|+2a=4a,在BF1F2中,|BF1|=2a,|BF2|=4a,F1BF2=120,|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|BF2|cos 120,即4c2=4a2+16a2-22a4a-12=28a2,解得c2=7a2.又c=7,a2=1,b2=6,双曲线的方程为x2-y26=1,故选C.答案 C5.(河南省2018届高三4月普通高中毕业班高考适应性考试)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2的最小内角的大小为30,则双曲线的渐近线方程是().A.x2y=0B.2xy=0C.x2y=0D.2xy=0解析 假设点P在双曲线的右支上,由题意得|PF1|+|PF2|=6a,|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=4a,|PF2|=2a.|F1F2|=2c2a,最短边是PF2,最小角为PF1F2.由余弦定理得4a2=16a2+4c2-24a2ccos 30,c2-23ac+3a2=0.e2-23e+3=0,e=3,ca=3,c2=3a2,a2+b2=3a2,b2=2a2.ba=2,故双曲线的渐近线方程为2xy=0,故选B.答案 B6.(安徽省黄山市2018届高三一模检测)若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与直线y=3x无交点,则离心率e的取值范围是().A.(1,10)B.(1,10C.(1,5)D.(1,5解析 双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线为y=bax.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与直线y=3x无交点,则ba3.又离心率e=ca=1+ba210,所以e(1,10.故选B.答案 B7.(广西防城港市2018届高中毕业班1月模拟考试)已知双曲线x2-y2b2=1的左、右焦点分别为F1、F2,过点F2的直线交双曲线右支于A、B两点,若ABF1是等腰三角形,A=120,则ABF1的周长为().A.2(2-1)B.433+4C.833+4D.833+8解析 由题意知,双曲线的焦点在x轴上,则a=1,2a=2.设|AF2|=m,由双曲线的定义可知|AF1|=|AF2|+2a=m+2.由题意可得|AF1|=|AB|=|AF2|+|BF2|=m+|BF2|,据此可得|BF2|=2.又|BF1|-|BF2|=2,|BF1|=4.在ABF1中,由正弦定理得|BF1|sin120=|AF1|sin30,则|BF1|=3|AF1|,即4=3(2+m),解得m=433-2,ABF1的周长为4+2(2+m)=4+833.答案 C8.(广西梧州市2018届高三3月适应性测试(二模)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点为M,离心率为3,过点M与点(0,-2)的直线与双曲线的一条渐近线平行,则双曲线的方程为().A.x24-y22=1B.x24-y23=1C.x22-y24=1D.x22-y2=1解析 由e=ca=3,a2+b2=c2,得b=2a,所以双曲线的渐近线方程为y=2x.由0-(-2)a-0=2,得a=2,所以双曲线的方程为x22-y24=1,故选C.答案 C9.(河南省新乡市2018届高三第二次模拟考试试题)设双曲线:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左顶点、右焦点分别为点A、F,以线段AF为底边作一个等腰AFB,且AF边上的高h=|AF|.若AFB的垂心恰好在的一条渐近线上,且的离心率为e,则下列判断正确的是().A.存在唯一的e,且e32,2B.存在两个不同的e,且一个在区间1,32内,另一个在区间32,2内C.存在唯一的e,且e1,32D.存在两个不同的e,且一个在区间1,32内,另一个在区间2,52内解析 由题意可设A(-a,0),F(c,0),Bc-a2,c+a,可得AFB的垂心Hc-a2,c+a4.AFB的垂心恰好在的一条渐近线上,c+ac-a=2ba,4(e-1)3-e-1=0,令f(x)=4(x-1)3-x-1(x1).f(1)0,f320,当x32时,f(x)=12(x-1)2-10,存在唯一的x,且x32,2,当1x32时,f(x)0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左支交于点A,与右支交于点B,若|AF1|=2a,F1AF2=23,则SF1BF2=().A.6B.62C.63D.12解析 由双曲线的定义,得|AF2|-|AF1|=2a.又|AF1|=2a,所以|AF2|=4a.在AF1F2中,|AF1|=2a,|AF2|=4a,|F1F2|=2c,F1AF2=23,由余弦定理得4c2=4a2+16a2+22a4a12,即c2=7a2,即a2+6=7a2,解得a=1.因为|BF1|-|BF2|=2,且|BF1|-|BA|=2,所以|BA|=|BF2|.又F2AB=3,所以BAF2为等边三角形.因为|AF2|=4,|AF1|=2,F1AF2=23,所以SBF1F2=SABF2+SAF1F2=124232+122432=63.答案 C11.(上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控(二模)双曲线x2a2-y29=1(a0)的渐近线方程为3x2y=0,则a=.解析 双曲线x2a2-y29=1(a0)的渐近线为y=3ax,因为y=3ax与3x2y=0重合,所以a=2.答案 212.(山西省2018届高三第一次模拟考试)过双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,且斜率为2的直线与E的右支有两个不同的交点,则双曲线离心率的取值范围是.解析 由双曲线及其渐近线可知,当且仅当0ba2时,直线与双曲线的右支