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2017-2018学年度第一学期线性代数试题卷命题：求是学社线性代数命题研究组填空题1、排列的逆序数等于4，排列的逆序数等于 2、设，而n2为整数，则= 3、 设4阶方阵的伴随矩阵为，若，则= 4、 4、向量组，线性无关，则满足的关系是 5、设四阶矩阵与相似，矩阵的特征值为则行列式= 选择题1、 设都是阶非零矩阵，且，则和( ) A、必有一个等于 B、一个小于，一个等于 C、都小于 D、一个小于，一个大于2、 若向量组线性无关，线性相关，则（ ） A、必可由线性表示 B、必可由线性表示 C、必可由线性表示 D、必可由线性表示3、 设均为阶对称矩阵，则可能不是对称矩阵的是（ ） A、 B、 C、 D、(为正整数）4、 齐次线性方程组有非零解，则（ ） A、或 B、或 B、或 D、或5、 设有向量组，则该向量组的极大线性无关组是（ ） A、 B、 C、 D、计算题1、计算行列式2、设方程组讨论a的取值，使得方程组有唯一解，无解，有无穷多个解。当方程有无穷多个解时，并求出其通解。3、 ，求向量组的一个极大线性无关组与秩，并把其余向量用极大线性无关组线性表示。4、 设，,令2E，求M的特征值与特征向量。5、设A为四阶矩阵，又,求矩阵B。证明题设阶矩阵的伴随矩阵为,证明:(1)若,则;（2）2017-2018学年度线性代数试题卷答案填空题1、2、 3、 当时，于是4、 由线性无关的行列式5、 因为 所以特征值相同 的特征值 选择题：1、 C.当时（都为阶方阵）由定理又都为非零矩阵所以均小于2、 C因为线性相关，所以线性相关（部分相关，整体相关）又线性无关所以为的极大无关组则可由线性表示（向量组的任何一个向量都可以由线性无关组表示）3、 C因为为对称矩阵，所以所以所以是对称矩阵又所以为对称矩阵4、B当，时 仅有零解 时 有非零解当，此时 所以5、B设 极大无关组为于是本题中为注（考试时将向量全部转置为列向量求秩和极大无关组）大题1、解：按最后一列展开 得： 再按第一列展开 得： 再按第一行展开 得： 2、方程组可写为，对增广矩阵()进行初等行变换得 （1）当1且3时，R（A）(),所以方程组有唯一解 （2）当1，R(A)R(),无解（3） 当3，R(A)()=23,有无穷多解()化为行最简型，所以3、把化为行最简型。则向量组的一个最大线性无关组，且4、 =所以A的特征值=1，=7由=1，求解（）=0 所以=1对应的线性无关的特征向量为 =7，求解（）=0 7得=7对应的线性无关的特征向量为 由A的特征值 A对应的线性无关的特征向量为，由得B的特征值7,7,1，对应的线性无关的特征向量为,则2E的特征值为9，9,3，对应的线性无关的特征向量为，5、 ，对于两边右乘A，左乘A得,即,整理得,解得接下来就是求的逆矩阵咯，由。证明题用反证法（2）此时命题成立。所以校内交流，欢迎转载！ 欢迎加入河南工大数学交流与指导
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