高中数学第2章数列2.3.2等比数列的前n项和（第2课时）等比数列前n项和的性质及应用学案新人教B版.docx

第2课时等比数列前n项和的性质及应用学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等比数列前n项和的性质的应用(重点)2掌握等差数列与等比数列的综合应用(重点)3能用分组转化方法求数列的和(重点、易错点)1.通过等比数列前n项和性质的学习，体现了学生的逻辑推理素养2借助等差、等比数列求和的综合应用，考查学生的数据分析素养.等比数列前n项和的性质性质一：若Sn表示数列an的前n项和，且SnAqnA(Aq0，q1)，则数列an是等比数列性质二：若数列an是公比为q的等比数列，则SnmSnqnSm.在等比数列中，若项数为2n(nN)，则q.Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列1已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于()A31B33C35D37B根据等比数列性质得q5，25，S1033.2已知等比数列an的公比q，则_.3q，3.3等比数列an的前5项和S510，前10项和S1050，则它的前15项和S15_.210法一：由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，故(S10S5)2S5(S15S10)，即(5010)210(S1550)，解得S15210.法二：设数列an的首项为a1，公比为q，显然q1，则由得1q55，所以q54，代入得，所以S15(143)210.等比数列前n项和Sn的函数特征【例1】设f(n)2242723n1(nN)，则f(n)等于()A(8n1)B(8n11)C(8n21)D(8n31)解析f(n)2242723n1(8n11)答案B数列是一个特殊的函数，数列的通项公式和数列前n项和公式都是关于n的函数所以利用函数的思想解题，是解决数列问题的基本方法1若an是等比数列，且前n项和为Sn3n1t，则t_.显然q1，此时应有SnA(qn1)，又Sn3nt，t.等比数列前n项和性质的应用【例2】已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：SSSn(S2nS3n)证明法一：设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q1时，Snna1，S2n2na1，S3n3na1，SSn2a4n2a5n2a，Sn(S2nS3n)na1(2na13na1)5n2a，SSSn(S2nS3n)当q1时，Sn(1qn)，S2n(1q2n)，S3n(1q3n)，SS2(1qn)2(1q2n)22(1qn)2(22qnq2n)又Sn(S2nS3n)2(1qn)2(22qnq2n)，SSSn(S2nS3n)法二：根据等比数列性质，有S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn，SSSSn(1qn)2S(22qnq2n)，Sn(S2nS3n)S(22qnq2n)SSSn(S2nS3n)运用等比数列的前n项和公式要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元2在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.解法一：因为S2n2Sn，所以q1，由已知得得1qn，即qn，将代入得64，所以S3n6463.法二：an为等比数列，显然公比不等于1，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列，(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，S3nS2n6063.等差、等比数列的性质应用对比探究问题1已知an为等差数列，且a36，a66，则an_；若将an改为等比数列，则an_.提示法一：若an为等差数列，则解得a114，d4，所以an4n18，若an为等比数列，则解得a16，q1，所以an6(1)n16(1)n.法二：若an为等差数列，由663d得d4，所以an6(n3)4，即an4n18.若an为等比数列，由6(6)q3得q1，所以an(6)(1)n36(1)n.2在1和16之间插入三个正数a，b，c使1，a，b，c,16成等比数列，则abc_，abc_，若将“等比数列”改为“等差数列”又应如何求解？提示若1，a，b，c,16成等比数列，则1，b,16成等比数列，所以b4；1，a，b与b，c,16也都成等比数列，所以a2，c8，故abc14，abcb364；若1，a，b，c,16成等差数列，用类似的方法求abc及abc3若Sn为等差数列an的前n项和，已知S21，S43，则S6_，若将“等差数列”改为“等比数列”结果又是多少？提示若 an为等差数列，则S2，S4S2，S6S4也为等差数列，即1,2，S63成等差数列，所以S6314，则S66；若an为等比数列，则1,2，S63成等比数列，所以S634，则S67.【例3】设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1.(1) 求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足1，nN，求bn的前n项和Tn.思路探究(1)解决an的通项公式关键是利用方程(组)的思想求a1，d(2)解决本小题关键是认识到是数列的前n项和求解时先利用“Sn与an的关系”求出的通项，再求出bn，进一步求和解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d由S44S2，a2n2an1，得解得因此an2n1，nN.(2)由已知1，nN，当n1时，；当n2时，1.所以，nN.由(1)知an2n1，nN，所以bn，nN.所以Tn，Tn.两式相减，得Tn，所以Tn3.1本题对于1式的处理运用了和式的思想，这也是求数列通项公式的基本方法2求解数列综合问题的步骤(1)分析题设条件(2)分清是an与an1的关系，还是an与Sn的关系(3)转化为等差数列或等比数列，特别注意anSnSn1(n2，n为正整数)在an与Sn的关系中的应用(4)整理求解3数列an的前n项和记为Sn，a11，an12Sn1(nN)(1)求an的通项公式；(2)等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，求Tn.解(1)由an12Sn1，可得an2Sn11(n2)，两式相减，得an1an2an，an13an(n2)又a22S113，a23a1.故an是首项为1，公比为3的等比数列，an3n1.(2)设bn的公差为d，由T315，得b1b2b315，可得b25，故可设b15d，b35d又a11，a23，a39，由题意可得(5d1)(5d9)(53)2.解得d12，d210.等差数列bn的各项为正，d0，d2.Tn3n2n22n.1本节课的重点是等比数列前n项和的性质2本节课应重点掌握的规律方法(1)数列an为公比不为1的等比数列，Sn为其前n项和，Sn0，则Sn，S2nSn，S3nS2n，仍构成等比数列(2)若an是公比为q的等比数列，则SnmSnqnSm(n，mN)(3)若an是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和，则()在其前2n项中，q；()在其前2n1项中，S奇S偶a1a2a3a4a2na2n1(q1)3错位相减法适用于anbn形式(其中an代表等差数列，bn代表等比数列)的数列的求和，即一个等差数列和一个等比数列的积构成的数列求和可以采用错位相减法当公比q不确定时，要注意对q1与q1分开讨论1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)等比数列an共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q2.()(2)已知等比数列an的前n项和Sna3n11，则a1.()(3)若数列an为等比数列，则a1a2，a3a4，a5a6也成等比数列()(4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列()解析(1).因为由等比数列前n项和的性质q，得q.(2).因为由Snqn，知在Sna3n113n1中1，故a3.(3).因为a3a4q2(a1a2)，a5a6q4(a1a2)，所以a1a2，a3a4，a5a6成等比数列(4).因为在等比数列中Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，故S3，S6S3，S9S6成等比数列答案(1)(2)(3)(4)2等比数列1，a，a2，a3，(a0)的前n项和Sn()ABCDC当a1时，Snn；当a1时，Sn.3在数列an中，an1can(c为非零常数)，且前n项和为Sn5nk，则实数k_.1法一：当n1时，a1S15k，当n2时，anSnSn1(5nk)(5n1k)5n5n145n1.由题意知an为等比数列，a15k4，k1.法二：由题意，an是等比数列，a15k，a2S2S120，a