2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用复习提升课学案新人教A版.docx

第一章 导数及其应用章末复习提升课变化率与导数问题展示(教材P10习题1.1A组T4)已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比如果车辆启动后车轮转动第一圈需要0.8 s，求转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度【解】设车轮旋转的角度为，时间为t，依题意有kt2(k0)因为车辆启动后车轮转第一圈需要0.8 s，所以2k0.82，k，即t2.(t) t，(3.2)3.220(rad/s)，即车轮转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度为20 rad/s.车轮旋转开始后，多长时间，瞬时角速度可以达到100 rad/s.【解】由(t)t得100t，所以t16 s，即车轮旋转开始后，16 s时瞬时角速度可以达到100 rad/s.若a，b，t均为正值，且ba，求证：时间段a，b内的平均变化率小于时间段at，bt内的平均变化率【证明】由t2知，在时间段a，b与at，bt内的平均变化率之差K1K2t.由于t0，所以K1K20，即K1K2.即在时间段a，b内的平均变化率小于时间段at，bt内的平均变化率导数的几何意义问题展示(教材P18习题1.2A组T6)已知函数yxln x.(1)求这个函数的导数；(2)求这个函数的图象在点x1处的切线方程【解】(1)因为yxln x，所以y(xln x)x(ln x)(ln x)x1ln xxln x1.(2)由导数的几何意义得函数的图象在点x1处的切线斜率ky|x1ln 111.又当x1时，y1ln 10，即切点为(1，0)，所以所求的切线方程为y01(x1)，即xy10.已知曲线yxln x的一条切线方程为xyc0.求切点坐标与c的值【解】因为yxln x，所以y1ln xxln x1.设切点为(x0，x0ln x0)由切线方程xyc0知，切线斜率k1.所以ln x011，即x01，x0ln x00.所以切点为(1，0)，所以10c0，即c1.已知曲线C：yxln x与直线l：yxb(b0)若曲线C上存在点M到直线l的距离的最小值为.求b的值；【解】将直线l平移与C相切于点M时，M即为存在的点，设M的坐标为(x0，x0ln x0)由yxln x得yln x1.所以y|xx0ln x01，因为直线l：yxb的斜率k1.所以ln x011，即x01，故M的坐标为(1，0)由点到直线的距离得，所以b1或b3，已知b0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，求a的值【解】由题意，曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为dxx|a，所以aa2，所以a.在直线l：yx4与抛物线y22x围成的区域内任取一点P，求P点取自x轴上方区域的概率【解】经计算可知，直线l：yx4与抛物线C：y22x围成的区域面积为18，其中位于x轴上方部分的区域的面积为，所以点P取自x轴上方区域的概率为. 1函数f(x)exln x在点(1，f(1)处的切线方程是()Ay2e(x1)Byex1Cye(x1) Dyxe解析：选C.因为f(x)ex(ln x)，所以f(1)e.又f(1)0，所以所求的切线方程为ye(x1)2已知(x2mx)dx0，则实数m的值为()A BC1 D2解析：选B.根据题意有(x2mx)dx|m0，解得m，故选B.3已知函数f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A.因为函数f(x)x42x33m，所以f(x)2x36x2.令f(x)0，得x0或x3.经检验知x3是函数f(x)的最小值点，所以函数f(x)的最小值为f(3)3m.因为不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒成立，所以3m9，解得m.4已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数f(x)满足f(x)f(x)，且f(x2)为偶函数，f(4)1，则不等式f(x)ex的解集为()A(2，) B(0，)C(1，) D(4，)解析：选B.因为函数f(x2)为偶函数，所以函数f(x2)的图象关于直线x0对称，所以函数f(x)的图象关于直线x2对称，所以f(4)f(0)又f(4)1，所以f(0)1.设g(x)(xR)，则g(x).又f(x)f(x)，所以g(x)0，所以函数g(x)在R上单调递减，因为f(x)ex，所以g(x)1.又g(0)1，所以g(x)0.5已知函数f(x)x3ax2x1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是_解析：f(x)3x22ax1.因为f(x)x3ax2x1在R上是单调函数，所以f(x)3x22ax10恒成立，即(2a)2430，解得a.答案：，6已知a0，函数f(x)ax3ln x，且f(1)的最小值是12，则实数a的值为_解析：f(x)3ax2，所以f(1)3a12，即a4.又a0，有a4，所以a4，故a2.答案：27已知函数f(x)x2ex1x3x2.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)x3x2，试比较f(x)与g(x)的大小解：(1)f(x)x(x2)(ex11)，由f(x)0，得x12，x20，x31.当2x0或x1时，f(x)0；当x2或0x1时，f(x)0.所以函数f(x)在(2，0)和(1，)上是单调递增的，在(，2)和(0，1)上是单调递减的(2)f(x)g(x)x2ex1x3x2(ex1x)因为对任意实数x总有x20，所以设h(x)ex1x.h(x)ex11，由h(x)0，得x1，则当x1时，h(x)0，即函数h(x)在(，1)上单调递减，因