（基础数学专业论文）关于局部对称的伪黎曼流形中的极大类空子流形.pdf

致谢 玲s 5 2 1 9 9 本文在导师白正国教授和沈一兵教投的悉心指导下完成的，在此谨向导师致以 衷心的感谢! 在两年半的求学生涯中也得到了盛为民老师和张希老师的关心和指导， 在此谨向他们致以诚挚的谢意! 同时也向帮助过我的各位老师、师兄、师姐以及各位朋 友表示感谢! 正是在这样一个良好的环境里才使我的学习和生活变得更加丰富多彩， 并促成本文的顺利完成。 同时还要感谢我的父母，正是他们十几年谆谆教导才使我今天迈入了科学的殿 堂，谢谢他们的支持和帮助l 关于局部对称的伪黎曼流形中的极大类空子流形 管+ ，为n + p 维局部对称的完备单连通伪黎曼流形，它的截面曲率硒v 满足 c 1 k n c 2 m “为孑+ 中的极大类空子流形本文给出了吖”完备或紧致情 况下它的第二基本形式模长平方s 的估计 定理1 口+ p 为n + p 维局部对称的伪黎曼流形，它的截面曲率k n 满足c l k n c 2 阳，c 2 为实数若m “为极大完备类空子流形，则 s = 0 或0 s r i p ( c 2 2 c 1 ) + i 8 ( p 一1 ) ( n 1 ) ( c 2 一c l 咖 定理2w + 为n + p 维局部对称完备的伪黎曼流形，它的截面曲率k n 满 足c 1 k n c 2 ，c 1 ，c 2 为实数若m “为极大紧致类空子流形，则 ( 1 ) 若c 2 5 c l ( 1 + i _ 兰_ 一) ，则s = 0 ，m 全测地 ；( p 一1 ) ( n 一1 ) 十冗 确( 1 + 寿l 那麓舞r 。1 净池- c 1 ) _ ( 2 c 1 -c 2 ) n 】 。 m 上至9 有圭镌j 药段 这些分别推广了i s h i h a r a 和宋卫东的结论。 3 o nm a x i m a l s p a c e l i k es u b m a n i f o l d si nl o c a l l y s y m m e t r i cp s e u d o - r i e m a n n i a ns p a c e s a b s t r a c t l e t ；”b e a l o c a l l ys y m m e t r i c ，s i m p l y c o m p l e t ea n d c o n n e c t e d p s e u d o - r i e m a n n i a n m a n i f o l d ，w h o s es e c t i o n a lc u r v a t u r ek ns a t i s f i e s 。l 兰k nsc 2 l e tm ”b e am a x i m a l s p a c e - l i k es u b m a n i f o l di nn ；札i nt h i sp a p e r w eg i v ea x le s t i m a t ef o rt h es q u a r eo ft h el e n g t ho f t h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r mo fm “w h e nm “i sc o m p l e t eo rc o m p a c t t h e o r e m1l e t n ；pb ea l l ( n + p ) - ( 1 i m e n s i o n a ll o c a l l ys y m m e t r i cp s e u d o - r i e m a n n i o n m a n i f o l d ，w h o s es e c t i o n a lc u r v a t u r ek s a t i s f i e sc l k 啦s u p p o s et h a tm “i sac o m - p l e t em a x i m a ls p a c e l i k es u b m a n i f o l di nw 押，t h e n s = 0 。r 0 0 ，| z m ，使得在。处 | | v ，| | 一e ，i n f f s ，( z ) i n f f + 有 引理2 1 管+ 为n + p 维伪黎曼流形，对z i | i ，有o k nsb ，则在口处 ( i ) i k a g 酬；( b - a ) ，a # b ， ， ( i i ) i k a b c d i ；d o ) ，( a ，b ，c ，d 互不相等) o 证明： 取叼押上的局部伪黎曼幺正标架场 e ) ( i ) 令a b c 则对任意实数f ，q ，截面曲率 9 一( e e a + l e b , e c ) = 焉篆舞蒜， = ! 墨墨g 三! 墨! ! 生三三! ! ! 曼三! 翌兰生! 旦生翌! 墨堡垒三! 里：! 星三s ! 对a ，b ，c 的取值范围分别讨论 ( 2 + r 1 2 ) ( a ) 1 a ，b ，g n 或n + 1s a ，b ，c sn + p ， 一( e a + , e b , e c ) = 垫型譬产 因为o k n s6 ，有 ( c 一凸) 2 + 2 f , t k a c b c + ( k b c 一口) 叩2 0 ， ( b k a c ) f 2 2 f r l k a c b c + ( b k b c ) t 1 2 0 由于f ，叩为任意实数i k a c b c l 茎( k a c - - a ) ( k b c - a ) l k a c b c l 茎( b - k a c ) ( b - k b c ) ， 又, ( k a c - a ) ( k s c - a ) _ ；( 鳓c + g 一2 0 ) i 、( b - k a c ) ( b - - k b c ) p i s 2 ， 等号成立当且仅当& = 昂，v q ，卢 对于固定的n ，令屿= 婶如，1 i ，j n 由引理2 1 、 4 虼觥 0 喝 ，j ，口 从而 又 = 4 口：碍 盏 i , k ，卢 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 2 4 ；( c 2 一c 1 ) l a ? i 皂i 女，卢( o ) 一4 ；( c 2 一c 1 ) ( n 一1 ) ( 盘) 2 + ( n 1 ) 一( a ? ) 2 】 l 七，卢( a ) 。 一扣咱) ( n _ 1 ) 5 互、t r 娣一j 4 ( c 2 咱) ( n - 1 ) ( p _ 1 ) 打蛾 。 卢( o ) ” 善。4 胁i o 毛一；( c 2 - c 1 ) ( n - 1 ) ) s i j 1 七，n 卢 ” 嚣( j t n k 让 南+ k 。巧 象b ) = ；( ? 一 2 ) 2 j 舀磕 t j ，e ，ml ， 1 3 ( 1 4 ) 从而 c l i l ( 碍 i , k = n c l t r h ：， 2 嚣( j r 。 让 + k k i j 女 篇 ) 2 n c l s ， ，m ，o 又 玩槲 嚣 0 = 嘶& 口一c 2 n s a l ，j ，k ，卢 ，卢 从而 慨 嚣 g 一c 2 n s 幻i ，n ，芦 由( 1 2 ) 一( 1 5 ) 式得 s 一i 8 ( c 2 一c 1 ) ( n 1 ) ( p 一1 ) s + 2 n c l s c 2 n s + ；1 。2 ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 定理1 的证明： 由假设c 1 k n s c 2 ，( 5 ) 式得r i c m m 一1 ) c l ，即r i c c i 曲率有下界 令，= l 板再i ，其中a 为任一正常数，则，为m 上有下界的0 0 。函数 v ，= 一i 1 ，3 v s ， a f = 一互1 ，3 s + ；，5 i v s l 2 ( 1 8 ) 令为任一正数，由定理2 1 ，j z m ，使得在髫处 ；，6 i v s l 2 气i n f f ，( z ) i n f f + e ( 1 9 ) 由( 1 8 ) ，( 1 9 ) 式得 ；，4 s e ( i n f f + e ) + 3 e ( 2 0 ) 把( 1 7 ) 式代入( 2 0 ) 式得 i 而s 严 ( c 2 - 2 c 1 ) 一p 1 s + ；( c 2 - - c 1 ) 如- 1 ) ( n 叫 】叫i n f ，删咄， ( 2 1 ) 当e _ + 0 ，( 。) 达到下界，即s 达到上界由( 2 1 ) 式知函数s 在m 上有界，且e - 0 时右边趋于零故 1 4 若g o ，则s c l ( 1 + 甄葡暑焉。 当s 堇p ；( p 1 ) ( n 一1 ) ( c 2 一c 1 ) 一( 2 c 1 一c 2 ) 叫 o 时， 则由( 2 2 ) 式得；s 20 由m 为紧致及h o p f 极大原理，s 为常数，故a s = 0 不等式均取等号，则 = 0 ， v o ，i ，j ，k ， 嚣= 0 ， 且( 2 2 ) 式取等号，即 嚣蝎= s ( 一i 8 加叫( n 一1 ) ( c 2 - c 1 ) + ( 2 c l - c 2 ) n + ；s ) 因此( 1 4 ) 一( 1 6 ) 均取等号，令 c = ( 款) 2 一e h 嚣( k a k p z j + 玩玎 女) - 由于j v 了+ p 局部对称，由( 8 ) ，( 2 3 ) 及( 1 4 ) ( 1 6 ) 中取等号，得 c = ( 3 k ) 2 + ( 3 k 二口捕 嚣 乞+ 玩 p 嚣 0 ) + ( j r 山让 嚣 勃+ k m o k h i j h m k ) = ( e l c 2 ) n + 2 ( p 一1 ) ( n 一1 ) ) s 另一方面，由( 2 3 ) 式 c = ( 嚣) 2 + ( ，灯 一v t 。h l j w ) 一d i v w = 一d i v w ， 其中，u 定义为【5 】 u = ( k 唧, j h i k + 玩玎女 嚣) “珐， d i v w 为u 的散度，即 d i v w = e v k ( 如垛+ k 。q k h i a j ) 由( 2 5 ) ，( 2 6 ) 式 d i v w = ( c 2 一。1 ) ( n + 2 ( p 1 ) ( n 一1 ) ) s 应用g r e e n 散度定理，得0 = k 。( c 2 一c 1 ) ( n + 2 ( p 一1 ) ( n 一1 ) ) s ， 故c j = c 2 1 6 以上 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 又此时，一；( p 一1 ) 协一1 ) 池一c 1 ) + ( 2 c l 一也) n o ，即c l o ， 故孑+ p 为负常曲率空间日孑却( c 1 ) ( 2 5 ) 式归结为 峰 嚣= s ( c l n + i s ) = 0 ， 因此，s = - - p n c l ，由文献f 1 】知，m 为日孑+ ( c 1 ) 中风，( c 1 ) 其中凰，k ，+ ，( c 1 ) = 日h ( 詈) 日b ”( 暑告) ，喜砖= m 而负常曲率空间必为完备非紧的，与m 的紧 致性矛盾所以只暇o s s p 嗤。一1 ) m 一1 ) ( c 2 一c 1 ) 一( 2 c l c 2 ) n 定理2 得证。 朋e 至蝣圭点缟疋 1 7 参考文献 1 i s h i h a r at m a x i m a ls p a c e l i k es u b m a n i f o l d so fap s e u d 0 一r i e m a n n i a ns p a c eo fc o n s t a n t c u r v a t u r e j m i c h i g a nm a t hj ，1 9 8 8 ，3 5 ：3 4 5 3 5 2 【2 1 宋卫东，关于局部对称空间中的极小子流形 j 数学年刊，1 9 9 8 ，1 9 a ( 6 ) ：6 9 3 6 9 8 f 3 】o m o r ih i s o m e t r i ci m m e r s i o n so fr i e m a n n i a nm a n i f o l d s j jm a t h s o cj a p a n ，1 9 7 6 1 9 ： 2 0 5 2 1 4 4 y a ust h a r m o n i cf u n c t i o n so nc o m