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次弯矩及其对预应力混凝土超静定结构的影响 学科：工程力学 摘要 内外一些有关预应力混凝土的次弯矩、弯矩调幅理 有必要对预应力混凝土超静定结构的次弯矩及其弯 矩调幅作进一步的研究。本文研究的主要目的是：通过计算分析预应力混凝土超静定结 构的次弯矩及其对结构的影响，为今后超静预应力混凝土结构的设计提供理论上的借鉴。 本文从次弯矩计算方法、影响次弯矩的主要因素和预应力超静定结构考虑次弯矩效应的 设计方法一综合内力法三个方面入手，对预应力超静定结构的次弯矩效应进行了系统 的分析与研究，其中主要的内容包括：从次弯矩的基本概念出发，研究次弯矩的间接 计算法一等效荷载法和直接计算法约束次内力法，推导出等截面预应力结构在考 虑有效预应力沿预应力筋全长变化的情况下各种等效荷载和约束次内力的精确计算公式 和实用的近似计算公式；分析不同配筋下次弯矩的分布；对预应力混凝土超静定结构 所产生的次弯矩进行有效利用的研究；分析梁柱间相互作用，计算预应力框架梁结构 中，柱对梁的侧向约束引起的梁中轴向预压应力的损失，提出更有效的减少该损失的措 施：探讨预应力混凝土超静定结构的内力重分布和弯矩调幅；对预应力混凝土超静 定结构的设计提出一些设计建议。得出了以下主要结论： 从理论上推导出不同配筋下连续梁结构的次弯矩。 对次弯矩的合理利用，就要充分考虑预应力束截面偏心距的合理取值，合理布置 预应力束。同时，应尽量提高预应力束的有效应力。 通过侧向约束对预应力框架梁的分析，提出几种减小侧向约束的方法。 总结出影响预应力连续梁弯矩调幅的主要因素，包括支座截面的相对受压区高度、 预应力次弯矩等。其中，预应力次弯矩一方面作为一预先存在的弹性调幅弯矩帮助调幅； 另一方面因降低了支座截面的曲率延性，从而降低了荷载弯矩的调幅能力。 得出统一的弯矩调幅公式。 提出采用经典和统一的设计方法。 关键词：预应力混凝土结构；次弯矩；弯矩调幅；内力重分布：预应力框架；侧向约束 i n f l u e n c eo fs e c o n d a r ym o m e n to np r e s t r e s s e dc o n c r e t e s t a t i c a l l yi n d e t e r m i n a t es t r u c t u r e d i s c i p l i n e ：e n g i n e e r i n gm e c h a n i c s s t u d e n ts i g n a t u r e ： 侈镑 s u p 洲s o r s i g n a t 呲：锄岬哆l a b s t r a c t i nt h ep r e s t r e s s e dc o n c r e t es t r u c t u r a ld e s i g n , t h ed o m e s t i ca n df o r e i g n ，t h es e c o n d a r y m o m e ta n dt h em o m e n ta m p l i t u d em o d u l a t i o nt h e o r ya n dp r o c e s s i n gm e t h o do fs o m er e l a t e d p r e s t r e s s e dc o n c r e t ei t s e l fw a i tf o rt h eu n i f i c a t i o n t h e r e f o r e ，i ti sn e c e s s a r yt od e a lw i t ht h e s e c o n d a r ym o m e n to f p r e s t r e s s e dc o n c r e t ef l a m e sa n dr e s e a r c ht h ea m p l i t u d em o d u l a t i o no f t h e s e c o n d a r ym o m e tf u r t h e r t h i sa r t i c l es t u d i e s t h em a i ng o a l ：t h er e s u l tw i l lp r o v i d es o m e s u p p o r to f t h et h e o r ya n dt h ep r a c t i c ef o rs t a t i c a l l yi n d e t e r m i n a t ep r e s t r e s s e dc o n c r e t es t r u c t u r a l d e s i g nt h r o u g hc o m p u t a t i o na n da n a l y s i s f r o mc o m p u t a t i o n a lm e t h o d ，i n f l u e n c ef a c t o r , a n d d e s i g nm e t h o do f t h es e c o n d a r ym o m e n t ，s y n t h e s i si n t e r n a lf o r c el a ww ed i s c u s s e ds t a t i c a l l y i n d e t e r m i n a t ep r e s t r e s s e dc o n c r e t ef r u m e s ，m a i n l yi n c l u d i n g ：a sf o rb a s i cc o n c e p to f s e c o n d a r ym o m e n t ，r e s e a r c h i n gi n d i r e c tc o m p u t a t i o nm e t h o d e q u i v a l e n tl o a dl a wa n dt h e d i r e c tc o m p u t a t i o nm e t h o d ，t h a ti st os a y , t h ei n f e r i o rf o r c el a wo fs e c o n d a r ym o m e n t ，i n f e r i n g t h ep r e c i s ef o r m u l aa n dt h ep r a c t i c a la p p r o x i m a t ec a l c u l a t i o nf o r m u l ao ft h ec o 璐t a n ts e c t i o n p r e s t r e s s e ds t r u c t u r ea tt h ee a c hk i n do fe q u i v a l e n tl o a d ；a n a l y z i n gd i s t r i b u t i o no fs e c o n d a r y m o m e n ti nd i f f e r e n ts i t u a t i o n ；t h es e c o n d a r ym o m e n tw h i c ht h ep r e s t r e s s e dc o n c r e t e s t r u c t u r ep r o d u c e sw a st a k e ni n t oa c c o u n te f f e c t i v e l y ( 9 a n a l y z eb e a ma n dc o l u m ns t r u c t u r e i nt h ec o m p u t a t i o no f t h ep r e s t r e s s e df r a m es t r u c t u r e ，t h ec o l u m nw i l lc a u s eb e a m ss t r a i nl o s s ， a n dp r o p o s e st h em o r ee f f e c t i v em e a s u r e st or e d u c e dt h i sl o s s ；a na n a l y s i si sc a r r i e do n s t u d y i n gr e d i s t r i b u t i o no fi n t e r n a lf o r c ea n dm o m e n ta m p l i t u d em o d u l a t i o ni nt h ep r e s t r e s s e d c o n c r e t ef r a m e w o r k 百v es o m ea d v i c et ot h ep r e s t r e s s e dc o n c r e t es t r u c t u r a ld e s i g n h a s d r a w nb e l o wt h em a i nc o n c l u s i o n ： o e d u c et h es e c o n d a r ym o m e n to fc o n t i n u o u sb e a ms t r u c t u r ea td i f f e r e n tc o n c r e t eb a r t h e o r e t i c a l l y t os e c o n d a r ym o m e n tr e a s o n a b l eu s e ，w em u s tt a k ei n t oa c c o u n tc o n f i g u r a t i o no f c o n c r e t eb a r a tt h es a m et i m e ，s h o u l de n h a n c et h ea c t u a ls t r e s s a n a l y z eb e a ma n dc o l u m ns t r u c t u r ea n dg i v es o m eg o o dm e a s u r e st o r e d u c et h e r e s t r i c t i o n i nt h i sp a p e r , i tc a nb ef o u n dt h a tt h em a i nf a c t o r sg o v e r n i n gm o m e n tm o d u l a t i o no f p r e s t r e s s e dc o n c r e t eb e a m s i n c l u d e sr e l a t i v eh e i g h to fe q u i v a l e n tc o m p r e s s i o nz o n eo fs u p p o r t s ， p r e s t r e s ss e c o n d a r ym o m e n t o nt h eo n eh a n d t h es e c o n d a r ym o m e n tc a l li m p r o v et o t a l m o m e n tm o d u l a t i o na sai n i t i a le l a s t i cm o m e n tm o d u l m i o n ；o nt h eo t h e rh a n d i tr e d u c e st h e l o a d sm o m e n tm o d u l a t i o nb e c a u s eo f d e c r e a s i n gt h ed u c t i l i t yo f s u p p o r t s t ) d r a wac o n c l u s i o na b o u tm o m e n tm o d u l a t i o n ( 查) p r o p o s e dt h ec l a s s i c sa n d t h eu n i f i c a t i o nd e s i g nm e t h o d k e y w o r d s ：p r e s t r e s s e dc o n c r e t es t r u c t u r e ； r e d i s t r i b u t i o no fi n t e m a lf o r c e j a m b e s e c o n d a r ym o m e n t ；m o m e n tm o d u l a t i o n ； p r e s t r e s s e dc o n c r e t ef r a m e s ；r e s t r i c t i o no f m m 2 ，m m m u m 。 m c m d m d 五 n 口e 岛 口 e 一 ， ，7 d 主要符号表 结构截面的弯矩设计值 预应力次弯矩 构件正截面受弯承载力设计值 按弹性方法计算的弯矩值 由预压应力的减小而引起的附加弯矩 由等效荷载引起的截面弯矩 调幅后的弯矩 支座截面的次内力 有效预应力 偏心距 拐点系数框架柱抗侧刚度影响系数 材料的弹性模量 梁的截面面积 截面的惯性矩 侧向约束影响系数 柱的抗侧刚度 截面的相对受压区高度 1 1 1 学位论文知识产权声明 学位论文知识产权声明 本论文完全了解西安工业大学有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位 期间学位论文工作的知识产权属于西安工业大学。本人保证毕业离校后，使用学位论文 工作成果或学位论文工作成果发表论文时署名单位仍然为西安工业大学。大学有权保留 送交的学位论文的复印件，允许学位论文被查阅和借阅：学校可以公布学位论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存学位论文。 学位论文作者签名： 彩釜 、 指导教师签名： 日期 砌 k 。了 学位论文独刨性声明 学位论文独创性声明 秉承学校严谨的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的学位论文是我个人在导 师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，学位论文中不包含其他人已经发表或撰写过的成果，不包含本人已申请学位 或他人已申请学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 学位论文作者签名： 2 五 指导教师签名： 日期 b _ ，g 1 绪论 1 绪论 1 1 引言 预应力混凝土最早由著名的法国工程师弗来西奈研究成功的。经过数十年的研究开 发与推广应用，取得了很大进展，在房屋建筑、桥梁、水利、海洋、能源、电力及通讯 工程中得到了广泛应用，节约了大量的材料与投资，促进了社会生产的发展。目前，世 界各国都在大力发展预应力混凝土，可以说，预应力混凝土结构作为一种先进的结构形 式，其应用的范围和数量已成为衡量一个国家建筑技术水平的重要指标之一。 日常生活中，应用预应力的例子并不少见。例如，旋紧自行车的辐条，可使车轮的 辐条在受力后仍处于受拉状态而不弯曲；在木桶或木盘干燥时用几道铁箍箍紧，盛水后， 木材膨胀但受到铁箍的约束，接缝被挤紧，木桶或木盘就不会漏水。概括地说，预应力 可以简单地解释为：在结构承受使用荷载之前，预先加载应力，用这种方法来改善其使 用性能。虽然预加应力的原理和技术已经应用于多种材料建造的结构中，但是最多的是 用于设计混凝土结构。如果预加应力被用于钢筋混凝土结构，这就是预应力钢筋混凝土 结构，简称预应力混凝土结构。由于预应力结构具有跨越能力大、受力性能良好、使用 性能优越、耐久性高、轻巧美观等优点，已成为当代工程建设的重要结构之一，并有良 好的应用和发展前景。 近年来，我国已建成不少预应力混凝土结构工程。这些预应力混凝土结构工程的成 功建成，进一步推动了我国预应力混凝土结构的应用和发展，但在预应力混凝土结构的 设计和应用过程中，仍有一些需要解决的问题。其中主要有：超静定预应力混凝土结构 中对次弯矩的考虑还不够成熟，预应力框架梁结构中，柱对梁的侧向约束引起的梁中轴 向预压应力的损失以及超静定结构内力重分布计算中弯矩调幅值的确定等等。 1 2 国内外研究的现状 i 2 1 次弯矩计算方法的研究 国内外在进行预应力混凝土超静定结构受力性能的研究中，较多关注的是次弯矩的 计算问题，因此用于求解次弯矩的方法比较多，其中等效荷载法是最为常用的计算方法。 近年来，随着计算机技术的发展及推广应用以及人们对次轴力、次扭矩和次剪力的关注， 等效结点荷载法和约束次内力法也不断地被应用于求解复杂的超静定预应力混凝土结构 的次内力上。 1 2 2 考虑次弯矩影响的结构设计理论和方法的研究 次弯矩对结构的影响主要考虑正常使用极限状态和承载力极限状态，但不可忽略实 际施工方案的不同对结构实际次弯矩建立的影响。国内外对次内力影响的研究主要集中 1 两安t 业大学硕+ 学何论文 在次弯矩的影响上。一般认为，在正常使用极限状态抗裂验算中，应计及次弯矩对支座 有利、不利的影响，但是次弯矩对承载力影响的看法尚不一致。主要存在三种观点： ( 1 ) 认为弹塑性阶段次弯矩继续存在且保持不变的观点；( 2 ) 认为次弯矩随外荷载的增加而 减少，以至结构形成机构并破坏时，次弯矩完全消失的观点；( 3 ) 认为次弯矩不太重要， 其存在与否完全取决于所选用的计算模式的观点。 1 2 3 国内外的试验研究现状 国外集中在5 0 年代至l j 7 0 年代完成了一批预应力连续梁和预应力框架试验。试验主要 研究预应力超静定结构的极限承载能力，以及采用简化塑性理论计算此极限承载力的准 确性，其判断标准为结构能否完成充分的内力重分布。与此同时，预应力次弯矩问题得 到了相应的重视，次弯矩对超静定结构极限承载能力的影响也被列入研究范围。 虽然国外进行了大量的包括预应力连续梁和预应力框架在内的试验研究，但以预应 力连续梁的试验研究居多，其中影响较大的有t y l i n 、g m a g n e l 和y g u y o n 等人的试验， 而对预应力框架的试验研究却不多，且受当时理论水平的限制，试验目的比较单一，直 接以研究预应力次弯矩为目的而进行的预应力框架试验极其少见。随着计算机的高速发 展，使得以往许多实验室的工作得以在计算机中完成，因此近二十年来国外的试验研究 则要少得多。 上世纪八十年代初，我国对普通钢筋混凝土结构的研究已经较为成熟，其试验研究 和理论研究成果已经列入教材。在此基础上，同时借鉴了国外研究的经验，我国在预应 力超静定结构的研究方面取得了较大的进步。近二十年来，包括东南大学、重庆建筑大 学、福州大学等高校和科研机构，针对国内外争论的预应力超静定结构的次弯矩及塑性 内力重分布问题，进行了大量的试验研究工作，也取得了一定的试验研究成果。近年来 有这样一种观点，认为p p c ( 即部分预应力混凝土) 超静定结构进入弹塑性阶段后，结构 的整体刚度发生变化，次反力随刚度变化而变化，但仍缺乏足够的依据。因此，各国的 设计规范对此问题存在着很大的争论。 1 2 4 部分国家规范中有关预应力超静定结构的调幅计算的规定 关于预应力次弯矩对结构两类极限状态设计的影响问题，国内外许多规范都有具体 的规定，简单介绍如下： 1 ) 国外的设计规定 美国规范a c l 3 1 8 9 5 规定：在使用荷载条件下，预应力超静定结构的内力按弹性方法 确定，结构内力中应包括预应力次弯矩。在承载力极限状态计算时仍应考虑预应力次弯 矩，此时预应力次弯矩须考虑内力重分布的影响。 英国规范b s 8 1 1 0 8 9 规定：在正常使用极限状态下采用弹性分析方法确定结构内力， 在承载能力极限状态下利用弹性方法得到的结构内力应考虑内力重分布，但该规范没有 明确提及预应力次弯矩，因此上述重分布的内力应是指直接荷载产生的内力。 2 西安t 业大学硕十学位论文 澳大利亚规范n a a s r a 一8 8 和a s 3 6 0 0 8 8 中有关预应力次弯矩的规定与美国规范 a c l 3 1 8 9 5 中的规定类似。 欧洲模式规范m c 9 0 规定：在正常使用极限状态下预应力次弯矩的荷载分项系数为 1 0 ，但在承载能力极限状态设计时，可以进行内力重分布，此时的内力包含预应力次弯 矩，而且应根据预应力次弯矩的有利和不利作用，荷载分项系数分别取1 o 和1 1 。 2 ) 我国的设计规定 a 我国无粘结预应力混凝土结构技术规程( j g j t 9 2 9 3 ) 无粘结预应力混凝土结构技术规程( j g j 厂r 9 2 9 3 ) 中规定，预应力次弯矩直存 在并保持不变，因此，在承载能力极限状态设计以及在正常使用极限状态时均应考虑预 应力次弯矩的影响。承载能力极限状态下的计算公式为： 负弯矩截面：l m | - i m ：峰m 。 正弯矩截面：l m i + l m ：峰m 。 式中m 结构截面上的弯矩设计值，不包括预应力次弯矩； 埘z 预应力次弯矩，超静定结构由于预应力主弯矩引起的变形受到约束产生的弯 矩： 朋。构件正截面受弯承载力设计值。 上述规定仅适用于正、负弯矩截面均承受正号的预应力次弯矩。 b 我国混凝土结构设计规范( g b 5 0 0 1 0 2 0 0 2 ) 后张法预应力混凝土超静定结构，在进行正截面受弯承载力计算及抗裂验算时，在 弯矩设计值中次弯矩和次轴力应参与组合；在进行斜截面受剪承载力计算及抗裂验算时， 剪力设计值中次剪力应参与组合。对承载能力极限状态，当预应力效应对结构有利时， 预应力分项系数应取1 0 ；不利时应取1 2 。对正常使用极限状态，预应力分项系数应取1 0 。 1 3 本文研究的目的及主要内容 在预应力混凝土结构设计中，国内外一些有关预应力混凝土的次弯矩、弯矩调幅理 论和处理方法本身有待统一。因此，有必要对预应力混凝超静定结构的次弯矩及其弯矩 调幅作进一步的研究。 鉴于上述研究现状，本文研究的主要目的是：通过计算分析预应力混凝土超静定结 构，为今后超静预应力混凝土结构的设计提供借鉴作用。 从次弯矩计算方法、影响次弯矩的主要因素和预应力超静定结构考虑次弯矩效应的 设计方法一综合内力法三个方面入手，通过定量和定性分析，对预应力超静定结构的 次弯矩效应进行了全面的分析与研究，其中主要的内容包括： ( 1 ) 从次弯矩的基本概念出发，研究次弯矩的间接计算法等效荷载法和直接计算 法约束次内力法，推导出等截面预应力结构在考虑有效预应力沿预应力筋全长变化 的情况下各种等效荷载和约束次内力的精确计算公式和实用的近似计算公式。 两安t 业大学硕十学何论文 ( 2 ) 对预应力混凝土超静定结构所产生的次弯矩进行有效利用的研究。 ( 3 ) 分析梁柱间相互作用，计算预应力框架梁结构中，柱对梁的侧向约束引起的梁中 轴向预压应力的损失，提出有效的减少该损失的措施。 ( 4 ) 探讨预应力混凝土超静定结构的内力重分布和弯矩调幅。 ( 5 ) 对预应力混凝土超静定结构的设计提出一些设计建议。 4 2 预应力混凝十超静定结构中的次弯矩 2 1 概述 2 预应力混凝土超静定结构中的次弯矩 2 1 1 超静定预应力混凝土结构的特点 超静定预应力混凝土结构的优点是：对于给定的跨度和荷载，其跨中设计弯矩比静 定结构的小，且结构内力在跨中与支座处的分布较为均匀，刚度增大，挠度减小。在超 载的情况下进行内力重分配，能提高受弯承载力。当在几个跨度上采用连续的后张法预 应力钢筋时，可使预应力钢筋变成波浪形，这样同一根预应力钢筋既可用作正弯矩筋又 可用作负弯矩筋，不但受力合理，且只需要较少的锚具，张拉的施工费用也大大减少。 整体性好，且具有较好的抗震性能。 超静定预应力混凝土结构的缺点是：连续结构中的多次反向曲线的预应力钢筋，其 摩擦损失值较大。通常可采用超张拉、两端张拉或无粘结预应力技术，来减少摩擦损失。 连续结构中同一截面可能存在正、负交变弯矩，有时支座最大负弯矩控制预应力钢筋数 量等，使预应力钢筋较难布置。一般可增配普通钢筋来解决。施加预应力时，连续梁将 产生轴向压缩变形，可能对与它相连的具有约束作用的支撑构件产生较大的附加弯矩。 其改进措施为将梁设计成在支承处能移动或使柱子能自由变形。预应力连续结构的设计 计算比较复杂，需要考虑由预应力在结构内产生的次弯矩的影响，有时尚需考虑由混凝 土收缩、徐变、温度变化及支座下沉等所引起的次弯矩。 2 1 2 次弯矩产生的机理 当一个偏心张拉力作用在一根静定梁上时，就将引起大小等于该力乘以钢筋重心轴 与混凝土形心轴之间距离的弯矩，该弯矩在超静定梁中称为基本弯矩， 又称主弯矩； 该弯矩作用在超静定梁上将会在支撑系统中引起赘余力，该力称为次反力；该力在结构 中引起的弯矩称为二次弯矩，又称次弯矩；主弯矩与次弯矩之和称为综合弯矩，又称总 弯矩。次弯矩对结构在使用荷载下的应力分布和变形计算及极限荷载有较大的影响。 下面用图2 1 所示的双跨连续梁来说明由于预应力所产生的主弯矩、次弯矩和综合 弯矩。图2 1 ( b ) 为由直线预应力筋在连梁中产生的主弯矩，它为一常量“一“。在“一。o 作用下，梁将产生反拱变形，如果撤去中间支座b ，则b 处的反拱最大，但由于b 处的 铰支座阻止梁自由地向上反拱，而在b 支座处产生一个向下的附加约束反力，这就是次 反力，次反力使b 处的反拱为零，次反力对梁引起的弯矩称为次弯矩。 ( a ) 直线配筋的两跨连续梁 两安t 业大学硕+ 学何论文 ( b ) 由预应力引起的主弯矩 ( c ) 由预应力引起的次反力 3 n * e o 2 ( d ) 由预应力引起的次弯矩 k 乜m b 亡= 一兰苫堑 ( c ) 由预应力引起的综合弯矩 图2 - 1 次反力的概念 显然，从支座b 处的位移为零的条件，可求出次反力。由于主弯矩 1 作用下在 b 处产生的向上位移为，而这一位移与有次反力产生的位移应该数值相等，但方向相反， 根据这一条件可求得： r：=a 3 n v , e o 2 l ( f ) 耻半 r：=c 3 n v , , e o 2 1 ( t ) i f 一3 n e om = 型 在支座b 截面引起的次弯矩为 2 ，对这一结构，支座b 处的次弯 矩是主弯矩的1 5 倍。综合弯矩为主弯矩和次弯矩的叠加如图2 1 ( e ) 。 2 1 3 次弯矩的特点 任何预应力连续梁的次弯矩都仅仅是作用在支座处的次反力所产生的，故这 些次弯矩在支座之间一定呈直线变化。 在任意己知情况下，次弯矩的大小取决于具体选择的预应力筋形状，在特殊 情况下，次弯矩为零，但通常不为零。虽然称之为次弯矩，但它与基本弯矩相比 往往不相上下，而且在许多情况下还会大于基本弯矩。 基本弯矩是与张拉力成正比的；张拉力引起的反力，以至于次弯矩也正比于 两安r 业大学硕十学位论文 张拉力，所以综合弯矩也正比于张拉力。次弯矩随着张拉力的增大而增大；通常 情况下。预应力筋不会布置成吻合束，故它也随着钢筋重心轴至压力中心之间的 距离的增大而增大。 总之，次弯矩的大小一般取决于预应力钢筋形状、预应力筋面积、控制应力、 截面高度及偏心矩等因素。 从以上的讨论我们可以看出，次弯矩的影响不能忽略，因此研究次弯矩的影 响就成为必然。从美国的h 尼尔森、林同炎开始，经过许多学者的研究对次弯矩 有了更深刻的认识；但还有许多问题没有解决。其中，对次弯矩的重要性越来越 引起许多学者的注意。对次弯矩的作用机理还在进行深一步的研究，重庆建筑大 学的研究者把次弯矩当作是一种调幅，进行了一系列的研究。 2 2 等效荷载法 2 2 1 等效荷载法定义 对预应力引起的混凝土的应力和变形分析，可以用预应力钢筋对混凝土构件 产生的力等效荷载来分析，这就是等效荷载分析法。 2 2 2 直线预应力筋的等效荷载 直线预应力筋的等效荷载最为简单，如图2 2 。 n e m 七 图2 - 2 直线预应力筋的等效荷载 2 2 3 折线预应力筋的等效荷载 n c 、。 7 卜m 图2 - 3 ( a ) 所示为配置折线形预应力筋简支梁，预应力筋的两端通过混凝土截 面的形心，其斜率为q ，0 2 即预加力。与梁轴的倾角为q ，0 2 。从力的平衡可 见，预应力钢筋在两端张力。作用下，在跨中折点处将对梁体混凝土产生一个向 上的竖向分力( 等效荷载) n 。( s i n 0 i + s i n 占：) 。注意到预应力筋的斜度不大， s i n o , = t g e , ，s i n 0 2 = 辔岛，所以，折线预应力筋在点处的等效荷载为： n p ( t g o , + t g 岛) = n p ( 二+ ) 口d ，d 在两端锚具处对混凝土端面各产生一个向下的竖向分力n 。s i n 0 1 = ”，z ， ，s i n 0 2 = ”9 和一个水平压力pc o s 口, a n pc o s 0 2 = n p ，如图2 - 3 ( b ) 所示，均 7 两安t 业大学硕士学位论文 为等效荷载。如果张拉端作用力不在梁轴线上而与梁轴线有偏心e ，则梁端等效荷 载中尚产生一个弯矩。8 。 p n o n o a c b ( a ) 梁的立面图 a c b ( b ) 等效而载幽 图2 - 3 折线预应力筋的等效荷载 2 2 4 曲线预应力筋的等效荷载 下面以梁长为，配置抛物线形预应力钢筋，跨中偏心距为e ，梁端偏心距为 零的简支梁为例说明如下。 由于预应力的配筋形式是抛物线型的，所以可得抛物线型的曲线方程是： y = 4 e 【毒一( 季) 2 】 4 i v p 则离左端j 处的弯矩值为：m ( x ) = 二( ，一石h 将m 对x 求二次导数，既可得出弯矩引起的等效荷载q ，即 g = 岩一半 g 3 万一亍 故曲线筋的等效荷载为向上的均布荷载，如图2 - 4 ( c ) 所示。 由于曲线筋的垂度相对于跨度，甚小，故曲线筋在端部的斜率亦较小，可以近 似取t 9 0 * s i n 0 ，c o s 9 。1 0 ，而留口z 4 形。由此，曲线预应力筋在构件端部锚固 处的作用力近似取为：水平作用力为n ，c o s 9 z - n p ，竖向作用力为n ，s i n 9 z4 彳， 如图2 - 4 ( c ) 。水平作用力对梁体混凝土为一轴向压力，使梁全截面产生纵向预压应 两安t 业大学硕十学位论文 力；而端部的竖向作用力直接传入支承结构，可不予考虑。 由上述分析可见：由预应力钢筋引起的等效荷载由两部分组成：一部分为锚 固区的压力。和弯矩m 。对于斜向锚固的预应力钢筋，通常压力。分解为水平 向n 。c o s 0 和竖向n 。s i n p 两个分力，锚固区的弯矩m 主要由不通过梁轴线的张拉 力引起；另一部分由预应力钢筋曲率引起的垂直于预应力钢筋中心线的横向分布 力q 和预应力钢筋转折引起的横向集中力。这些横向力的方向一般都是根据梁 受力的特点，由预应力钢筋的配置形式决定的，并一般和梁承受的荷载方向相反， 可抵抗作用在结构上的外荷载，因此也称为反向荷载。值得注意的是：当计算预 加力对梁截面引起的总应力时，一定要包括上述两部分等效苟载引起的应力。 n l j ( a ) 梁立面图 n ( b ) 主弯矩图 w = 8 n - e l 4 n ，i 1 4 n j ，i ( c ) 等效荷载图 图2 4 配置抛物线筋的简支粱 2 2 5 次弯矩的计算方法 次弯矩是超静定预应力混凝土结构设计的项重要内容，因而关于次弯矩的 计算。各国学者提出了多种方法，其中常用的是弯矩一面积法，等效荷载法。下面 用一个例题来说明这两种方法。 例：有两跨连续梁，矩形截面尺寸为3 0 e r ax6 0 c m ，配置连续曲线预应力筋，为 对称的抛物线，其偏心距如图2 - 5 ( a ) 所示。有效预应力为1 0 0 0 k n ，并假定其沿梁 全长是相等恒定的。求其主弯矩、次弯矩、综合弯矩。 ( 1 ) 弯矩一面积法 9 塑窒些查兰堡兰堡丝奎 _ _ 目e _ l _ - l - i _ _ - _ l _ l l _ - _ e e = = = = = ；= = = = ，_ l ；2 5 。1 。一 预应力值与其偏心距的乘积即为主弯矩，如图2 - 4 ( a ) 所示结构为一次超静定， 故可令中间支座为多余约束，当移去b 支座后，在预应力引起的主弯矩作用下梁 将向上位移以。；而b 支座处的次反力将使梁向下位移屯；因b 支座的位移实际 为零，故瓯。= 瓯， 一 咖云恪o o z “加o o x 爿 3 3 3 3 3 3 e 屯= 去h j l 圳孚) = 1 1 6 6 r 6 7 心 由于以。+ = 0 ，所以r = - 2 0 删 故在该连续梁中。次弯矩图为2 - 4 ( d ) 。将次弯矩与主弯矩叠加后得到综合弯矩 图。 ( 2 ) 等效荷载法 尽管弯矩面积法计算次弯矩的概念比较清晰，但当主弯矩图形较复杂及超静 定次数较多时，用弯矩面积法计算次弯矩是很麻烦的，而用等效荷载的计算相对 比较简单。对此例的求解如下： 求等效荷载预应力束为中间对称的两段抛物线，则等效荷载根据理论推算 出的公式可求得： d ：型亟：8 x 1 0 0 0 x ( 0 2 + 0 2 2 ) 2 4 k n m 9 2 1 尹5l o z “ 用弯矩分配法求等效荷载作用下连续梁的综合弯矩为： m 。2 i 1g ，28 1 。- - x 2 4 1 0 2 = 3 0 0 k n 。坍 预应力值n ，与偏心距的乘积即为主弯矩；由综合弯矩减去主弯矩即得次弯 矩。所得出的结果与弯矩一面积法的结果一致a ( a ) 预应力筋布置图 l o 西安下业大学硕十学位论文 ( c ) 单位力作用下弯矩图 l l n m ( d ) 次弯矩图 2 3 约束次弯矩法 ( e ) 综合弯矩图 图2 - 5 等效荷载法计算次弯矩图 2 3 1 约束次弯矩法的原理 结构在预应力作用下，都会产生变形，由预应力对结构作用( 即主弯矩的 作用) 引起的结构变形受到约束时，即产生了次弯矩( m 。) 。也就是说，在 超静定结构中，在m 。的作用下，结构受到超静定约束的后果，即伴随着次弯 矩的产生。 根据结构力学的原理，可将任一超静定结构离散为若干单元杆件，通常可 离散为如下三种单元杆件，如图2 - 6 所示。 ( a ) 端固支一端滑动支承的约束粱 两安t 业火学硕十学位论文 ( b ) 两端固支粱 ( c ) 一端简支一端固支粱 图2 - 6 杆件单元的约束形式 若能分别求出图2 - 6 所示各结构单元在受预应力作用( m 。作用时) ，由 超静定约束产生的次弯矩( 简称约束次弯矩) ，则可将各离散杆件单元利用结 构力学的方法还原成原结构，并利用约束次弯矩直接计算原结构在预应力作用 ( m + 作用) 下产生的次弯矩。通常可以采用弯矩分配或通过求解节点平衡的 线性方程组即可计算出结构的最后次弯矩。此方法的优点：直接体现了次弯 矩的产生是由于预应力对结构的作用( 即主弯矩的作用) 引起的结构变形受到 超静定约束所导致，其物理概念明确；不需计算等效荷载和综合弯矩，用于 组合结构的计算比现有计算方法更简捷明了。 2 3 2 约束次弯矩法的公式推导 对图2 - 6 所示的三种结构单元，受预应力作用( m + 作用) 下，由于超 静定的约束而产生的约束次弯矩，本文采用结构力学中常用的力法来推倒。以 图2 - 7 ( a ) 所示的结构：一端简支，一端固支梁( 杆) 单元受预应力( m 。) 作 用，杆件e i 为常量，预应力沿预应力筋为p ( x ) ，预应力筋偏心距为“工) 。 ； k 夕r ： 萃 图2 7 一端简支一端固支梁 则m = p ( z ) p ( 工) ，主弯矩图如图2 - 7 ( b ) 所示。由图2 - 7 ( a ) 根据前面分析可知， 主弯矩作用受到超静定约束则在a 端产生约束次反力( 即约束次弯矩) 。设该 约束次弯矩为x ，用力法即可求解： 1 2 两安t 业大学硕士学位论文 4 1 x + a l 。= 0 ( 2 1 ) 式中：磊t = 面1j 彤- - 砺蕊2 击 ( 2 2 ) a l p = 击r m 主砌= 去心一 ( 2 3 ) 其中( 2 3 ) 式中：s 。= i _ m 主- x d x 即为主弯矩对y 轴的面积矩，y 轴取 自杆左端( 柱取杆下端) 。显然计算主弯矩( m + ) 图围成的面积杆件上为正， 杆件下为负。从后面例题的计算中可知：当预应力沿预应力筋不变时，其弯矩 图面积直接由预应力筋杆件截面重心轴的偏心距围成的面积乘以有效预应力 p 即可得到，这样选择的方向更为方便实际设计计算。将( 2 2 ) 、( 2 3 ) 式代 如( 2 1 ) 式整理后可得： x 一扣 ( 2 4 ) 式( 2 4 ) 即为图2 7 ( a ) 所示杆单元a 端的约束次弯矩的计算公式。 同理，对于图2 - 8 ( a ) 所示的两端固支约束杆，日为常量，预应力沿预应 力筋为p ( x ) ，预应力筋偏心距为p ( 石) ，则m ；= p ( x ) p ( 石) ，主弯矩图2 8 ( b ) 所示：分别设杆件0 、a 两端受约束次弯矩为j 。、蜀，则可求得： 撕- 1 m m 图2 - 8 两端固支粱 ( 2 5 ) 式中：_ = f m d x ，即主弯矩图面积；以= f m 主x d x ，即主弯 矩图对杆左端( 柱下端) 的面积矩。同理，对于图2 - 9 ( a ) 所示的一端固支、一端滑 动支承约束杆，e ，为常量，预应力沿预应力筋为p ( 工) ，预应力筋偏心距为e ( x ) 。 q 曲 以 6一r6一r 一 一 4 彳 4一2一三 = i i 五 毛 西安丁业大学硕十学位论文 则m 主= p ( j ) “j ) 主弯矩图如图2 9 ( b ) 所示 可求得： x ：一a 三 设杆件d 端的约束次弯矩为x ，则 式( 2 6 ) 为图2 - 8 图( a ) 所示结构单元d 端的约束次弯矩， 得出一端的约束次弯矩为一兰。 ( 2 6 ) 由结构力学的原理很容易 ( d ) 图2 - 9 一端固支一端滑动支承的约束粱 以上采用力法原理分别求得图2 - 6 所示三种结构单元杆件受预应力作用下的 约束次弯矩公式。采用上述公式计算结构约束次弯矩时，对于预应力筋对截面重 心的偏心作用围成的面积，取重一i i , 轴下为正、上为负，这样很方便实际设计计算。 最后得到的杆端弯矩：顺时针为正：截面弯矩：上侧受拉为正。将公式列表2 1 如下： 表2 - 1 有效预应力作用下杆端的约束次弯矩公式 杆件单元约束形式 m i 朋 批i e 44 利眵 工三 爿e 爿眵 上， 可6 s l a 6 s e v 眵 o x = - 3 s j 功 注：表2 - 1 中m “、m j i 分别为杆单元左端与右端由于预应力作用产生的约束次弯矩 2 3 3 应用实例 有一预应力混凝土双跨连续梁，左跨配置折线形预应力筋，右跨配置单段二 1 4 两安丁业大学硕十学位论文 次抛物线形预应力筋，几何形状如图2 1 0 所示。假定最后建立在预应力筋中的有 效预应力沿预应力筋不变，且等于1 5 0 0 k n ，试计算预应力混凝土连续粱中由预应 力引起的次弯矩。 * o 图2 - 1 0 配置单段二次抛物线形预应力筋粱 解：( 1 ) 计算各跨由预应力引起的约束次弯矩( 面次) 。 一口跨：配：丢o 7 x 1 8 1 5 0 0 坚半一1 8 1 5 0 萼：7 0 2 0 0 k n 耐 _ f 1 1 ( 2 - 4 ) 式可得：瓦次2 一旁以= 一素。7 0 2 0 0 = - 6 5 0 枷m 占c 跨：影= 扣删。+ 争x 萼 x 1 8 x 1 5 0 x2 x ，1 8 = 8 9 1 0 0 k 7 耐 f l t ( 2 4 ) 式可得：矾c 次2 旁吼2 素。8 9 1 0 0 = 8 2 5 k n 朋 注：对照公式( 2 4 ) 时，应对c 端求面积及m b c 次反号 ( 2 ) 计算预应力结构中产生的次弯矩 用弯镇分配法计簋如下： 4bc 弯矩分配系数 o 5 o 5 结点约束次弯矩6 5 08 2 5 分配传递8 7 58 7 5 次弯矩 一7 3 7 5 7 3 7 5 2 4 预应力混凝土超静定梁的预应力筋布置分析 目前，超静定结构中的预应力筋均采用后张法沿梁长度方向曲线或折线布置，通常 跨中截而布置于梁下部，支座截面布置于梁顶面，如图2 1 i 所示，从受力角度分析。预 应力筋布置曲线与弯矩图一致时效果最佳，且预应力筋愈靠近受拉区，对混凝上产生的 预压力愈大。但同时相应的预拉区产生的预拉力亦愈大，由此可能造成预拉区混凝上开 裂，从而不满足使用要求。下面，讨论预应力连续梁在张拉预应力筋时预拉区混凝上满 足规范抗裂要求 9 1 的前提下，预应力筋的布置。 两安t 业大学硕十学位论文 图2 一l l 超静定粱预应力筋布置 2 4 1 均布荷载作用下超静定梁预应力筋优化布置分析 图2 1 2 ( a ) 为均布荷载作用下超静定梁预应力筋布置。假设预应力筋布置曲线与均布 荷载作用下的弯矩分布图一致，e ，、e ，p ，。分别表示连续梁跨中截面及支座截面 处的预应力筋距梁截面的偏心距：。为预应力筋的预压合力，因此，满足正常使用荷载 作用下梁产生的弯矩与预应力合力产生的弯矩n 。e 之差处处相等。众所周知，偏心 距愈大，所产生的预压应力愈大，相应预拉区应力亦愈大；常常导致张拉钢筋时跨中截 面预拉区混凝上