解答高等代数与解析几何期中试题第一学期.doc

北京科技大学 2011-2012学年 第 一 学期装 订 线 内 不 得 答 题自 觉 遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊 高等代数与解析几何 期中试卷解答(2011级理科实验班用)考试时间：2010.11.12院(系) 数理学院 班级 学号 姓名 题号一二三合计得分说明: 1、要求正确地写出主要计算、证明或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分； 2、班级、学号、姓名均需写全, 不写全的试卷为废卷; 3、涂改学号或姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上答题，写在其它纸张上的解答一律无效.得 分一、填空题（请把答案填在横线上，每小题3分，共15分）1五阶行列式的项的符号是 正 解：，所以的符号是正号. 2已知，则中的系数是 -1 解：含 的项只有，该项符号为负. 又解：计算出即可得到答案. 3已知阶行列式，则 .解： =4. 设是正六边形，则用表示的表达式是 . 5已知三维线性空间的一组基为，则向量在上述基下的坐标为 . 得 分二、选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在题干后的括号内. 多选、错选均不得分. 每小题3分，共15分）6. 设阶行列式=，是中元素的代数余子式，则下列各式中正确的是（c）(a) (b) (c) (d) 解：这道题考查的是行列式的展开定理。7. 设,是齐次线性方程组的一个基础解系，则下列向量组中不再是的基础解系的为（d）(a) ,+,+,+；(b) +,+,+,-；(c) +,-,+,+；(d) +,+,+,+解：首先齐次线性方程组解的线性组合仍是它的解。那么只要考查每一项的线性相关性。若是线性相关的，则不再是基础解系。其中（d）满足是线性相关的。8. 设方程组有无穷多组解，则必有（a）(a) 1 (b) 1 (c) 2 (d) 2解：这时方程组的增广矩阵为当 1时，秩()=秩()=23,此时线性方程组有无穷多个解。9. 设向量组是向量组的线性无关的部分向量组，则（d）(a) 向量组是的极大线性无关组(b) 向量组与的秩相等(c) 当中向量均可由线性表出时，向量组，等价(d) 当中向量均可由线性表出时，向量组，等价10. 设是平行四边形的重心，是任意一点，那么的值为（b） （a） （b） （c） （d） 解：得 分三、计算题与证明题（共70分）11（10分）试证明空间一点到平行四边形所作四向量之和等于该点到对角线交点所作向量的四倍. 证明：已知平行四边形，对角线交点为，为空间任一点，到平行四边形所作四向量分别为、，且所以12（10分）求常数的值，使矩阵的秩最小. 解：所以，时，矩阵的秩最小，. （时）. 13（15分）讨论取何值时，以下方程组有解，并在有解时求解. 解：对增广矩阵作初等行变换因此得到：时，方程组有解. 继续变换得通解为：14（15分）计算阶行列式其中解1：加边法解2：把第一行的倍分别加到其余各行上：再把第列的加到第一列（）：15（20分）已知， ，求（1）的基与维数；（2）的基与维数；（3）及的基与维数. 解：对作初等行变换由此可以看出：（1）线性无关，于是，为的一组基（2）线性无关，于是，为的一组基（3）线性无关，所以是的一组基，且（4）由维