内蒙古赤峰市宁城县高三第一次统一考试数学(理)试题Word版含解析.doc

流过多少汗，流下多少泪，只为高考这一天；付出多少时间，付出多少努力，只为高考这一刻；高考这条路就算布满荆棘也要披荆而过，请相信天道酬勤，请相信付出一定会有回报，对自己充满信心，加油，祝高考成功顺利。内蒙古赤峰市宁城县2016届高三第一次统一考试数学（理）一、选择题：共12题 1设集合A=x|x2+x-60,集合B为函数y=1x-1的定义域，则A. (1,+)B.(1,3)C.(1,3D.(1,2【答案】D【解析】本题考查集合的基本运算. A=xx2+x-60=x-3x2，B=xy=1x-1=xx1，AB=x10,b0)的一条渐近线方程是y=3x，它的一个焦点坐标为(2,0)，则双曲线的方程为A.x22-y26=1B.x26-y22=1C.x2-y23=1D. x23-y2=1【答案】C【解析】本题考查双曲线的几何性质.由题意知, ba=3，a2+b2=c2=4，因为a0,b0,所以a=1,b=3.所以双曲线的方程为x2-y23=1.故选C. 5某程序框图如图所示,执行该程序,若输入的p为24,则输出的n,S的值分别为A.n=4,S=30B.n=5,S=30C.n=4,S=45D.n=5,S=45【答案】B【解析】程序框图依次执行的结果是:S=3,n=2;S=9,n=3;S=18,n=4;S=30,n=5,结束.故输出的n=5,S=30 6已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(-+)=68.26%,P(-2+2)=95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%【答案】B【解析】本题考查正态分布,意在考查考生的基本运算能力.由已知=0,=3.所以P(36)=12P(-66)-P(-30)上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为A. (x-1)2+(y-2)2=5B. (x-2)2+(y-1)2=5C. (x-1)2+(y-2)2=25D. (x-2)2+(y-1)2=25【答案】A【解析】本题考查直线与圆的位置关系、均值不等式.因为圆的圆心在曲线y=2x(x0)上,所以设圆心坐标为(a,2a)(a0)，又因为圆与直线2x+y+1=0相切,所以圆心 (a,2a)(a0)到直线2x+y+1=0的距离d等于圆的半径r,因为d=2a+2a+1522a2a+15=5，当且仅当2a=2a时,即a=1时等号成立,此时, r=d=5，圆心坐标为(1,2),所以面积最小的圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.故选A. 9设函数f(x)=sin(12x+)-3cos(12x+)(|2)，且其图像关于y轴对称，则函数y=f(x)的一个单调递减区间是A.(0,2)B.(2,)C.(-2,-4)D.(32,2)【答案】C【解析】本题考查辅助角公式、两角差的正弦公式，诱导公式，以及正弦、余弦函数的性质.fx=sin12x+-3cos12x+=2sin(12x+-3), 图象关于y轴对称，-3=k+2,kZ，又2，当k=-1时，=-6满足题意，fx=2sin12x-6-3=2sin12x-2=-2cos12x,由2k-12x2k可得4k-2x4k，函数f(x)的单调递增区间为4k-2，4k，kZ，当k=0时，函数f(x)的一个单调递增区间为-2，0，当k=1时，函数f(x)的一个单调递增区间为2，4，所以A、B、D不正确；C正确， 10P是ABC所在的平面上一点，满足PA+PB+PC=2AB，若SABC=12，则PAB的面积为A.3B.4C.6D.8【答案】B【解析】本题考查平面向量的线性运算.因为PA+PB+PC=2AB，整理可得BC=3AP，即AP=13BC,所以SABP=13SABC=4.故选B. 11如图可能是下列哪个函数的图象A.y=2x-x2-1B.y=2xsinx4x+1C.y=(x2-2x)exD.y=xlnx【答案】C【解析】本题主要考查应用函数的性质确定函数的图象,意在考查考生的推理能力.对于选项A,x=1显然是函数的零点,此外f(4)f(5)0且x1,与图象不符.故选C. 12若函数y=f(x)(xR)满足f(x+2)=f(x)，且x-1,1时，f(x)=1-x2，g(x)=lgx(x0)-1x(x0)，则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间-5,5内的零点的个数为A.5B.7C.8D.10【答案】C【解析】本题考查函数的图像与性质，函数与方程.由f(x+2)=f(x)可得f(x)是周期为2的周期函数；画出函数f(x)与g(x)的图像(如图所示)；它们在区间-5,5内有8个交点，所以函数h(x)=f(x)-g(x)在区间-5,5内的零点的个数为8.故选C.【备注】体会数形结合思想.二、填空题：共4题 每题5分 共20分13甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有_.【答案】30【解析】本题考查排列组合与分类计数原理. 甲乙所选的课程中至少有1门不同的选法包含两类情况,一：甲乙选的两门课程均不同,有C42C22=6种；二：甲乙选的课程只有一门相同,分两步：先从4门中选1门作为相同的课程，甲再从剩余3门中选2门，乙从剩余2门中选1门,所以由分步计数原理,共有C41C31C21=24种.再由分类计数原理, 甲乙所选的课程中至少有1门不同的选法种类有6+24=30种. 14已知(x-2ax)6的展开式中常数项为-160，则常数a= _.【答案】1【解析】本题考查二项式定理.由二项式定理知, -160=C63-2a3，解得a=1. 15已知M(x,y)为由不等式组0x2y2 x2y ，所确定的平面区域上的动点，若点A(2,1)，则z=OMOA的最大值为_.【答案】4【解析】本题考查平面向量的数量积，线性规划问题. z=OMOA=2x+y；画出可行域(如图四边形OABC)；当过点B(2,2)时，z取得最大值22+2=4.【备注】体会数形结合思想.16设数列an的前n项和为Sn.且a1=1,an+an+1=12n(n=1,2,3,)，则S2n+1=_.【答案】43(1-14n+1)【解析】本题考查数列的通项与求和. a1=1；a2+a3=122；a4+a5=124；a2n+a2n+1=122n；所以S2n+1=a1+a2+a3+a2n+a2n+1=1+122+124+122n=1-(14)1+n1-14=43(1-14n+1). 三、解答题：共8题 每题12分 共96分17在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且3a2csin A.(1)确定角C的大小；(2)若c7，且ABC的面积为332，求ab的值.【答案】(1)由3a2csinA及正弦定理得，3sinA2sinCsin A.sinA0，sinC32;ABC是锐角三角形，C3.(2)C3，ABC面积为332，12absin3332，即ab6.c7，由余弦定理得a2b22abcos37，即a2b2ab7.由变形得(ab)23ab7.; 将代入得(ab)225，故ab5.【解析】本题考查正余弦定理，三角形的面积公式. (1)由正弦定理得sinC32，C3. (2)利用三角形面积公式、余弦定理可求解.【备注】正弦定理：asinA=bsinB=csinC；余弦定理：a2+b2-c2=2abcosC；三角形的面积公式：S=12bcsinA.18如图1在RtABC中，C=90，BC=3，AC=6.D、E分别是AC、AB上的点，且DE/BC，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1DCD，如图2.(1)求证：BC平面A1DC；(2)若CD=2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值；【答案】(1)证明： 在ABC中，C=90,DE/BC,ADDE,A1DDE.又A1DCD,CDDE=D,A1D面BCDE.由BC面BCDE,A1DBC.BCCD,CDBC=C, BC面A1DC.(2)如图,以C为原点，建立空间直角坐标系.D(2,0,0),E(2,2,0),B(0,3,0),A1(2,0,4).设n=(x,y,z)为平面A1BC的一个法向量，因为CB=(0,3,0), CA1=(2,0,4)，所以3y=0 2x+4z=0，令x=2，得y=0,z=-1.所以n=(2,0,-1)为平面A1BC的一个法向量.设BE与平面A1BC所成角为，则sin=|cos|=455=45.所以BE与平面A1BC所成角的正弦值为45.【解析】本题考查线面垂直，空间角，空间向量的应用. (1)A1DDE，又A1DCD,A1D面BCDE；A1DBC；而BCCD, BC面A1DC；(2)如图建立恰当的空间直角坐标系；平面A1BC的一个法向量n=(2,0,-1). sin=|cos|=45.【备注】立体几何的相关知识：线面平行与垂直、空间角、空间向量的应用等. 考查空间想象能力与运算求解能力.19汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:(1)从出租天数为3天的汽车(仅限A,B两种车型)中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；(2)根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；(3)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.【答案】(1)这辆汽车是A型车的概率约为出租天数为3天的A型车辆数出租天数为3天的A，B型车辆数总和=3030+20=0.6这辆汽车是A型车的概率为0.6(2)设“事件Ai表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，“事件Bj表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i,j=1,2,3.,7则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为PA1B3+A2B2+A3B1=P(A1B3)+P(A2B2)+P(A3B1).=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)=510020100+1010020100+3010014100=9125该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为9125.(3)设X为A型车出租的天数，则X的分布列为设Y为B型车出租的天数，则Y的分布列为E(X)=10.05+20.10+30.30+40.35+50.15+60.03+70.02= 3.62E(Y)=10.14+20.20+30.20+40.16+50.15+60.10+70.05=3.48一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天，选择A类型的出租车更加合理 .【解析】本题考查古典概型，互斥事件的概率，随机变量的分布列与数学期望. (1)由古典概型可得p=3030+20=0.6；(2)所求概率为PA1B3+A2B2+A3B1=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)=9125；(3)列出分布列并求出均值，选择A类型的出租车更加合理.【备注】统计与概率的相关知识: 独立性检验,古典概型，频率分布直方图，二项分布，随机变量的分布列与数学期望.20已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点，经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点(不同于点E)，直线EA,EB分别交直线x=-2于点M,N.()求抛物线方程及其焦点坐标；()已知O为原点，求证：MON为定值并求出这个定值【答案】()将E(2,2)代入y2=2px，得p=1，所以抛物线方程为y2=2x，焦点坐标为(12,0)，()因为直线l不经过点E，所以直线l一定有斜率设直线l方程为y=k(x-2)，与抛物线方程联立y=k(x-2)y2=2x，消去x，得：ky2-2y-4k=0，则由韦达定理得：y1+y2=2k,y1y2=-4，直线AE的方程为：y-2=y1-2y122-2(x-2)，即y=2y1+2(x-2)+2，令x=-2，得yM=2y1-4y1+2，同理可得: yN=2y2-4y2+2，又OM=(-2,yM),ON=(-2,-4yN)，OMON=4+yMyN=4+2y1-4y1+22y2-4y2+2=4+4y1y2-2(y1+y2)+4y1y2+2(y1+y2)+4=4+4(-4-4k+4)4(-4+4k+4)=0所以OMON，即MON为定值2.【解析】本题主要考查的是抛物线与直线.()把已知点E(2,2)代入抛物线，便可求出抛物线方程和焦点坐标；()利用向量运算求出OMON即得MON为定值2. 21设函数f(x)=x-eax(a0).(1)求f(x)的单调区间；(2)若存在实数x1,x2(x1x2)，使得f(x1)=f(x2)=0，求a的取值范围，并证明：x1x20)，则f(x)=1-aeax.令f(x)=1-aeax=0，则x=1aln1a.故函数f(x)的增区间为(-,1aln1a)；减区间为(1aln1a,+).(2)当x0时，f(x)=x-eax0),当x+时，f(x)0，即a0，由此可得x11a1aln1a1aln1a-1a，即x1-x21a(1-ln1a)，又f(