函数的单调性与极值专项训练(假期).doc

一、课内训练：1确定下列函数的单调区间(1)y=x39x2+24x (2)y=xx3(1)解：y=(x39x2+24x)=3x218x+24=3(x2)(x4)令3(x2)(x4)0，解得x4或x2.y=x39x2+24x的单调增区间是(4，+)和(，2)令3(x2)(x4)0，解得2x4.y=x39x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y=(xx3)=13x2=3(x2)=3(x+)(x)令3(x+)(x)0，解得x.y=xx3的单调增区间是(，).令3(x+)(x)0，解得x或x.y=xx3的单调减区间是(，)和(，+)2.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a0)的单调区间.解：y=(ax2+bx+c)=2ax+b, 令2ax+b0，解得xy=ax2+bx+c(a0)的单调增区间是(，+)令2ax+b0，解得x.y=ax2+bx+c(a0)的单调减区间是(，)3.求下列函数的单调区间(1)y= (2)y= (3)y=+x(1)解：y=()=当x0时，0，y0.y=的单调减区间是(，0)与(0，+)(2)解：y=()当x3时，0，y0.y=的单调减区间是(，3)，(3，3)与(3，+).(3)解：y=(+x).当x0时+10，y0. y=+x的单调增区间是(0，+) 4. 确定函数f(x)=x22x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f(x)=(x22x+4)=2x2.令2x20，解得x1.当x(1，+)时，f(x)0，f(x)是增函数.令2x20，解得x1.当x(，1)时，f(x)0，f(x)是减函数. 5. 确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f(x)=(2x36x2+7)=6x212x令6x212x0，解得x2或x0当x(，0)时，f(x)0，f(x)是增函数.当x(2，+)时，f(x)0，f(x)是增函数.令6x212x0，解得0x2.当x(0，2)时，f(x)0，f(x)是减函数. 6. 证明函数f(x)=在(0，+)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2(0，+)设x1x2.f(x1)f(x2)=x10，x20，x1x20x1x2，x2x10， 0f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2) f(x)= 在(0，+)上是减函数.证法二：(用导数方法证)=()=(1)x2=，x0，x20，0. ，f(x)= 在(0，+)上是减函数.点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.7. 确定函数的单调减区间8. 已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.解：y=(x+)=11x2=令0. 解得x1或x1.y=x+的单调增区间是(，1)和(1，+).令0，解得1x0或0x1.y=x+的单调减区间是(1，0)和(0，1)9. 求y=x34x+的极值解：y=(x34x+)=x24=(x+2)(x2) 令y=0，解得x1=2，x2=2当x变化时，y，y的变化情况如下表-2(-2,2)2+00+极大值极小值当x=2时，y有极大值且y极大值=当x=2时，y有极小值且y极小值=510. 求y=(x21)3+1的极值解：y=6x(x21)2=6x(x+1)2(x1)2令y=0解得x1=1，x2=0，x3=1当x变化时，y，y的变化情况如下表-1(-1,0)0(0,1)100+0+无极值极小值0无极值当x=0时，y有极小值且y极小值=011求下列函数的极值.(1)y=x27x+6 (2)y=x327x(1)解：y=(x27x+6)=2x7令y=0，解得x=.当x变化时，y，y的变化情况如下表.0+极小值当x=时，y有极小值，且y极小值=(2)解：y=(x327x)=3x227=3(x+3)(x3)令y=0，解得x1=3，x2=3.当x变化时，y，y的变化情况如下表-3(-3,3)3+00+极大值54极小值-54当x=3时，y有极大值，且y极大值=54当x=3时，y有极小值，且y极小值=54二、课后练习：1函数是减函数的区间为(D). . . .2函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（B ） A () B (,2) C () D (2,3) 3. 设f (x)是函数f(x)的导函数，y=f (x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（ C ）A B C D4函数的单调减区间是（ A ）ABC及D5. 函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ）A1个 B2个 C3个 D 4个解析：函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示，函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A.6函数y= f(x)的图象关于直线x=1对称，则导函数y= f (x)的图象( C ) A. 关于直线x=1对称B. 关于直线x=-1对称 C. 关于点（1，0）对称D. 关于点（1，0）对称7函数y= f(x)在定义域内可导，其图象如图所示记y= f(x)的导函数为y= f (x)，则不等式f (x)0的解集为（ A ）yxO12-13 A BC D8如果函数f(x) = ax3x2 + x5在(, + )上单调递增，则实数a的取值范围是( D )A(0，+ ) B C (，+ ) D 9. 已知函数在处取得极值. （1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程. （1）解：，依题意，即 解得. . 令，得.若，则，故在上是增函数，在上是增函数.若，则，故在上是减函数.所以，是极大值；是极小值.（2）解：曲线方程为，点不在曲线上.设切点为，则点M的坐标满足.因，故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有 化简得，解得.所以，切点为，切线方程为.【点晴】过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.10. 设函数，求a的取值范围，使函数f(x)在区间上是单调函数。解：(1)当时，恒成立， f(x)在区间上是减函数。（2）当时，解不等式得上f(x)是单调递减速函数得上f(x)是单调递增函数综合得：当且仅当a时，f(x)在区间上是单调函数。【点晴】由导数研究函数的单调性在学习中要引起足够的重视11. 设函数f(x)=x3+bx2+cx(xR)，已知g(x)= f(x)- f (x)是奇函数。（）求b、c的值。（）求g(x)的单调区间与极值。【解】：（）f(x)=x3+bx2+cx，f (x)=3x2+2bx+c.从而g(x)= f(x)- f (x)= x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)x3+(