（基础数学专业论文）偏微分方程精确可控性的若干研究.pdf

致谢 y ，7 3 8 1 9 6 衷心感谢我的导师t 方道元教授与薛儒英副教授，是他们的谆谆教诲和 辛勤指导使我顺利完成了学业，而且他们严谨的抬学作风和高尚的人格魅力 是我一生中取之不蝎的精神动力 衷心感谢我的师兄，师姐，师弟。师妹感谢他们在我学习，生活上给予 的关心和帮助他们使我的学习进步，给我的生活带来了欢声笑语 衷心感谢我的父母他们辛勤栽培了我这么多年，我所取得得所有成绩 都应该归功于他们 摘要 微分方程的精确可控性在实际问题中有重要的应用，自上世纪8 0 年代 以来微分方程的精确可控性得到了快速的发展，得到了一系列重要的研究结 果，形成许多重要的研究方法 f 铬一：，；1 蠹( d q ( 。，t ) 茜) + c ( z ，t ) 口= 0 ， 扛，t ) q = q x ( o ，? ) ， y = ，( z ，t ) e = f ( 0 ，? ) ， 【v ( z ，o ) = y o ，象( z ，o ) = 9 1 ， n 当变系数a q ( z ，t ) 和c ( 为t ) 满足条件：( 1 ) 屯= 击o u l t ( 0 ，+ o o ；l 。( n ) ) ， n ；工。( q ) ，击( 毛) 工1 ( o ，+ o o ；l 。( n ) ) ，且对t 0 ，卅几乎处处成立 m ，( ，t ) c 1 ( 再) ；( 2 ) 存在$ o 舻及0 d 1 ，使得对任意t ) 0 和 e r n 有( 1 6 ) 啦j ( 。，t ) 6 岛一 巩a u ( z i 一2 ) 白o 时的精确可控性j 用 h i l b e r t 唯一性方法结合不动点定理研究弱耦合非线性波动方程组 当非线性部分为次线性时的精确可控性；利用l i t t m a n 和t a y l o r 3 6 的研究 思想研究k d v - b e n j a m i n - o n o 方程 ia u + a 觎：u ) + a 扣+ 如( u 2 ) = o ，0 ，t ) b ，剜【0 ，卅， u ( a ，t ) = h t ( t ) ，u ( 口，t ) = 2 ( t ) ，“。归，t ) = a 0 ) ，t f 0 ，卅 iu ( z ，0 ) = 妒( z ) ，陋，剜 3 舡船 q 辞竹= 一 酣“ 拈啦 j i ：_ = 裟荨萋龛弑 铬铬舻岫 a b s t r a c t e x a c tc o n t r o l l a b i l i t yf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a sag r e a ta p p l i c a t i o ni nr e a l p r o b l e m s s i n c e1 9 8 0 s ，e x a c tc o n t r o l l a b i l i t yf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a sb e e n d e v e l o p e df a s t m o r e o v e r ，t h e r ea r es o m ei m p o r t a n tr e s u l t ja n dm e t h o d si nt h i s f i e l d s i nt h i sa r t i c l e ，w es t u d yt h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo nt h r e * ec l a s s e so fp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w es t u d yt h ee x a c tc o n t r o l l a b f l i t yo fv a r i a b l ec o e i 丑c l e n t k l e i n - g o r d o ne q u a t i o n l 窘一：州蠹( 蛳扛，t ) 謦) + c 忙，t 冶= 0 ， ( t ) o = n x ( o ，t ) 誊= u ，知，t ) 2 = r x ( 0 ，t ) ， l ，( q0 ) = 矿，鲁( z ，o ) = 口1 ， z n ， w i t hh i l b e r tu n i q u e n e s sm e t h o da n dm u l t i p l i e rt e c h n i q u e s ，w h e r et h ev a n a b l e c o e i 岛c l e n t8 巧扫，t ) a n dc ( $ ，t ) s a t i s f y ：( 1 ) a 0 = 盖8 臼l 1c 0 ，+ o 。；l o 。( n ) ) ， d 0 工( o ) ，百笔( 毛) 1 ( o ，+ o 。；工( n ) ) m o r e o v e r ，d 廿( ，t ) c 1 ( 西) a - e i ni o ，邳；( 2 ) t h e r e 喇8 t 8 一形a n d0 0 ，使得对任意f r “和( z ，t ) q 有 a l j 扛，t ) 6 q | j f | | 2 ；( 3 ) d ：，= 击d 巧l 1 ( 0 ，+ ；l ( n ) ) ，口0 l ( q ) ， 击( 口0 ) 工1 ( o ，+ o 。；工( n ) ) ，且对t 0 ，卵几乎处处成立m j ( ，t ) g 1 ( n ) ； ( 4 ) 存在一舻及0 和任意给定的初值与终值 f ，订，”2 ，醍) ， = ? ，= ，霹，砖) ( l 2 ( n ) x h _ 1 ( n ) ) 2 ， 存在控制函数 l ，也) 仁2 ( e ) ) 2 ，使得耦合系统 ，( z ，曲0 = n 【0 ，t 】 ，( 2 ，t ) v = n f o ，卵 ( 。，t ) = r 【0 ，司， 甜，i = 1 ，2 ， z n 的解“= 挑( 毛t ) “= 1 ，2 ) 满足v i ( z ，t ) = 哿，载( 口，t ) = z “= 1 ，2 ) 在第二部分，我们利用l i t t m a n 和t a y l o r 3 6 】的研究思想，通过证明 k d v - b e n j a m i n - o n o 方程解的光滑性和唯性得到k d v - b e n j a m i n - o n o 方程 的局部边值精确可控性我们的主要结果是 定理4 1 给定t 0 ，s 0 ，陋，卢 c ( a l ，岛) 假设存在e 0 以及一 个函数 叫耋w ( 卫，t ) g ( a i ，风) x ( 一，t + e ) 满足 ， a t 删- b a 7 “( 畿叫) - b 磋叫- i - 也2 ) = 0 ，轴，t ) ( 帆，风) ( 一e ，t + ) 则存在6 0 ，使得对任意满足 l ( - ) 一 ( ，0 ) 1 1 日陋口) 正i 妒( ) 一( ，t ) i i ( 。，鳓s6 ， 的函数，妒日( o ，口) ，可以找到控制函数h l ，h 2 和h a l 2 ( o ，t ) ，使得 k d v - b e n j a n f i n - o n o 方程 i 魂u + 血w ( 醒“) + a ：u + a l “2 ) = 0 ，扫，t ) b ，觑【0 ，刁， u ( n ，) = h i 0 ) ，u ( 口，t ) = 2 ( t ) ，；( 卢，t ) = b ( t ) ，t 0 ，t ， l “( 2 ，0 ) = 4 ( ) ，z 扛，用 6 抛强 i i 虮玑，一嚣蒜蛳蚀一刊一一计铅铬舻地 的解“ee ( 1 0 ，刁；h 。( 口，卢) ) 满足 “( z ，t ) = 中( z ) ，z 【d ，口1 本文以下安排如下：在第二章，主要研究变系数线性k l e i n - g o r d o n 方程 的精确可控性；一类弱耦合非线性波动方程组的边值精确可控性问题安排在 第三章；在第四章研究了一类k d v - b e n j a m i n o n o 方程的局部精确可控性 7 第二章变系数线性k l e i n g o r d o n 方程的精确 可控性 2 1 主要结果 考虑一类变系数非齐次线性k l e i n - g o r d o n 方程 f 貉一0 ；1 击( 叼( 毛t ) 謦) 4 - c ( x ，t ) f = 0 ， ( 。，t ) q = nx ( o ，t ) ， = ，( $ ， ) ee = r ( 0 ，? ) ， 【口臼，o ) = 口o 、是扛，o ) = 0 1 ， ze q ， ( 2 1 ) 在d i r i c h l e t 逝值条件下的精确可控性，其中n 是j 护中的有界开集，且具 有光滑边界r = a n 用i - u l b e r t 唯一性方法结合乘子技巧是偏徽方程精确可控性研究的重要 方法之一。已被用于研究许多重要问题的精确可控性，如变系数波动方程的 内部或边界精确可控性 1 , 2 ，热传导方程的内部或边界精确可控性 12 】 等等。本章主要用h 讧b e r t 唯一蛀方法猎乘子技巧来研究变系数菲齐次线性 k l e i n g o r d o n 方程( 2 1 ) 的边界精确可控性本章的主要结果是： 定理2 1 设系数吣0 ，t ) 和c 0 ，t ) 满足：( 1 ) a i j ( x ，t ) l o o ( o ，t ；w l , 。( o ) ) c ( z ，t ) 工( 0 ) ；( 2 ) 对任意( z ，t ) q 和1 兰i ，jsn ，a l i ( x ，= a j i ( x ，t ) ，且存在常数d 0 ，使得对任意f f p 和( 2 ，t ) 0 有。 d ”( ，t ) 6 岛d l 尸；( 3 )如= 击n 蚶l 1 ( o ，4 - o a ；l ( n ) ) ，0 0 l ( q ) ， 击( ；) el 1 ( o ，+ o 。；工。( n ) ) ，且对t 【0 ，卅几乎处处成立8 0 ( ，t ) c 1 ( 两i ( 4 ) 存在2 0e 卵及0 t o 和任意给定的初值 o ，1 ) f ( n ) x - 1 ( n ) ，存在控制函数 u l 2 ( ) ，使得系统( 2 1 ) 的解”= p ( # ，t ) 满足”忙，t ) = ”。i 而t ) = 0 为了表达方便。我们使用以下几个记号：在这篇文章里重指标代表求和， 定义线性算子a ( t ) 为 罅沁一高) 嚣) 对于r “中的任意给定的一点一，记向量m ( ) 为 m ( 。) = $ 一扩= 扛 一硼) 1 1 鹾。= ( m 女) l s 蜓n 定义集合f o ( x o ) 和o ( 一) 分别为： f o ( x o ) = 。r f m ( 。) p ( 。) 0 ) ，r l ( 窍。) = r r o ； 8 e o ( 一) = f o ( 一) 0 ，卅，e 1 ( z o ) = f i ( x 。) o ，? 】， 其中一( ) 为边羿i 上关于n 的单位外法向量定义双线性形式d 1 ( u ，u ) 为 n 币川= 上。；畿毒d x i vu ，”e 日j ( 吼 最后定义参数卢( t ) 和a ( t ) 为 口( t ) = | | d i ( t ) 忆* ( n ) 上1 ( o ，+ ) ， ( t ) = i i c ( z ，t ) | | l * ( n ) el 。( o ，+ o 。) 2 2 定理2 1 的证明 我们用h i l h l e t t 唯一性方法证明定理2 1 ，首先给出以下定理 定理2 2 对于任意给定的( 妒o ，矿) 冠5 ( n ) p ( n ) ，存在孔 0 及对 任意t 蜀，存在两个正常数c z = c i 似，卢，a ，t ) 0 ，岛= 凸( n ，口， ，t ) o ，使得线性波动方程 黛篇二 等凹( ) 和 其中 白岛s 上。叼地吩( 箬) 1 d 薯茎g 2 岛 ( 2 3 ) 岛= 扣州0 嘲2 ( 引+ i i 谁) ) ， 表示沿方向p 的方向导数。摆= d r d t 为上的侧面测度 为了证明定理2 2 ，我们先给出几个引理 引理2 1 对于系统( 2 2 ) 的弱解妒= 妒( z ，t ) ，有以下等式成立 j 1 正n 玎耽卟( 等m t 以a = ( 一，苦肛；五】1 2 麓一；五m ，蕊o , t 两8 , p 而o h m , + 五叼考罄象一；五老c q ，老骜h + 厶c c 州胁t 啬c “， 其中( h ) 是c 1 ( 硒中单位向量 9 22 口托 盹 一 忙 证明在等式( 2 2 ) t 两边同乘h k 罄，且在口上分部积分可得( 2 4 ) 成 立，证毕 引理2 2 定义能量 e ( t ) = ；上( 2 + 叼扛，站差考) d x 则有 s ( t ) 一e o ( 2 5 ) 证明由定理2 1 的系数条件易推得 曰( o ) 一e o 再由文献【2 】引理3 2 知 壹蝴差“考l 蔓譬叼差老， 及 2 e ( t ) = 2 e ( o ) - 4 - fd ( s ，妒( 8 ) ，妒和) ) 凼一fc 扛，t ) 妒妒d x d t j oj o 则有不等式 e ( t ) se ( o ) + c h ( n ，声， ) 居( 8 ) 出 其中岛= 譬+ 学m 1 ，：) 因此由g r o n w a l l 引理可得 e ( t ) c e ( o ) 同理，类似讨论可得反向不等式，证毕 定理2 2 的证明由文献 1 1 】可知对任意给定的 妒o ，妒1 ) 硪( n ) “ 正2 ( n ) ，系统( 2 , 2 ) 存在唯一解妒满足 p c ( o ，t ；硪( n ) ) n e l ( o ，t ；工2 ( n ) ) 在等式( 2 4 ) 中取向量( h ) 在e 上满足h l t t ，k = 1 ，则利用( 2 5 ) 及h s l d e r 不等式可碍 上。啪岣( 箬) 2 d 兰岛岛 f + a ( t ) o = 0 ，( t ) 口， 口= 0 ，( 。，t ) ee ， i 绗，o ) = 扩，口( 蜀o ) = 妒1 ， f z 1 0 f 竹”+ p ) 叼= 一c 扛，t ) 妒= 一c ( z ，t ) ( 口+ 刁) ， 扛，t ) q ， = 0 ，p ，t ) ， ( 2 ，6 ) iq ( 。，o ) = q ( ，o ) = 0 ， zen 的解，则由文献【2 】引理3 3 知存在蜀 0 及对任意t t o 有，存在常数 q 岛s 上。叼“咋i 器阳上。蜥岣 i 雾2 + l 翥n d - ( 2 7 ) z 。叼竹岣j 象阳e 岛性t 帆m ，( 0 ) ) ( 2 - 8 ) 础，= 孔”饥i + 蛊老灶 等式( 2 6 ) ，两边同乘每，且在q 中分都积分得 熹易( t ) i ! ! 生芋照1 1 1 。( 。) + 马( t ) ”m 圳一( 跏堡生l ! 型盟) ， 已( t ) 岛( n ，卢，a ，t ) | | 妒| | 至- ( o ，丁；工( n ) ) z 。叼地吩l 舄阳zs 川* 怕崆，( 啦( 鲫+ g z l 岛( s ) 幽+ g 玛( t ) 小。：上岛( 棚ss 岛( 即，柚) 圳2 1 ( 0 ( 1 1 ) 即不等式( 2 8 ) 成立因此利用( 2 7 ) ，( 2 8 ) 有 a 岛专q 。n 酊地雌i 笔阳z + 幢邯丑以n 】 ( 2 g ) 1 1 妒1 1 1 l ( 0 删( n 1 11 岛上。玎蚓箬陋 ( 2 1 0 ) 不等式( 2 1 0 ) 用反证法证明，假设不等式( 2 1 0 ) 对任意正常数凸 0 不成 1 胁( d ，t ，l ，( n ) ) = 1 ， vn m ( 2 1 1 ) 1 1 和当n - + 。o 时， z oa i j v i 。 j l 警1 2 d z 扎( z 1 2 ) 利用( 2 9 ) 可知 妒。( 0 ) ，矗( 0 j 是础( p ( q ) 中的有界列，则由文献 1 1 知 铷) 也是l ”( o ，置硪( n ) n w l , o o ( o ，? ；l 2 ( n ) ) 中的有界列 因此可以选取子列( 我们不妨仍记此为 ) 成立 妒。在五( o ，t ；丑苫( n ) 中弱收敛于 文在工。( o ，已丑3 ( n ) 中弱收敛于 因此函数妒l ”( o ，r ；硪( n ) nw 1 o 。( o ，t il 2 ( n ) ) 是系统( 2 2 ) 的弱解，由 紧嵌入 工( o ，t ；硪( n ) nw 1 , o o ( o ，t ；l 2 ( o ) ) l 工1 ( o ，t i 工2 ( n ) ) 及利用( 2 1 1 ) 得 r 0 1 1 l t ( o ，孔口( o ) ) = 1 ( 2 1 3 ) 另一方面，由( 2 ，1 2 ) 知 箬铂 ( 蚶) 旺( 2 “) 利用( 2 1 4 ) 和( 2 2 ) 及h o l m g r e n 唯性定理( 文献 1 4 ) 可褥妒io ( ( z ，t ) 0 ) ，这与( 2 1 3 ) 矛盾即不等式( 2 3 ) 的左边不等式成立，证毕 定理2 1 的证明利用定理2 2 ，我们考虑系统( 2 2 ) 的反馈问题 f 掣”+ a ( 亡) 掣+ c 0 ，t ) 掣= o ，( ，亡) 0 ， 卜 。嘀 iv ( z ，t ) = y 。( 。，t ) = 0 ， 2 n 利用文献 1 1 】及文献【2 】的转置方法可证明系统( 2 1 5 ) 有唯一解”满足 ”c ( o ，t ；口( n ) ) n c l ( o ，d 日一1 ( n ) ) 我幻定义线性算子a 为 a 轳o ，妒1 ) = g ( o ) ，一”( o ) ) ( 2 1 6 ) 因此，算子a 是空间础( n ) l 2 ( n ) 到h “( q ) 口( n ) 的线性连续算子 在等式( 2 2 h 两边同乘y ，且在口上分部积分得 ( a 妒，矿) ， 矿，矿) ) h - x l 2 , a r a 。驴= 正。( a l j * i u i 筹) 2 d 已 v 扩，妒1 ) ( 2 1 7 ) 1 2 另一方面由文献f 1 引理2 2 知 上。叼心吩( 等) 2 a 一上。( 叼以吩筹) 2 a ( z 聃) 利用( 2 3 ) ，( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 及h f l b e r t 唯一性方法知算子a 是从空间 弼m ) l 2 ( f 1 ) 到曰_ 1 ( n ) 厶2 ( o ) 的同构映射，证毕 第三章一类弱耦合非线性波动方程组的 精确可控性 3 1 主要结果 考虑以下一类弱耦合非线性波动方程组d i r i c h l e t 边值问题的精确可控 性： f 一f 1 = ( 掣l ，啦) ， 扛，t ) o = n 【0 ，习， j 铬一x y 2 2 ，2 ( 虬驷) ， ( 州) 0 2 n o ，卅， f 3 1 ) l 扒= 优，i = l ，2 ，扛，t ) = 1 t m 【0 ，卅， 、7 【舛( 2 ，0 ) = 卯，p ：( z ，0 ) = 西， = 1 ，2 ， z n 其中n 是r “中的有界开集，且具有光滑边界r = a n h i l b e r t 唯性方法结合不动点定理是研究非线性偏微分方程精确可控性 简题的重要方法，文献茂2 1 ，2 4 】用它砑究了各种形式韵单十非线性渡韵方程 的精确可控性并且取得了大量的研究成果本章我们甩m l h e r t 唯性方法 结合不动点定理的方法来研究弱耦合非线性波动方程组d i r i c h l e t 边值问题 的精确可控性问题本章的主要结果是： 定理3 1 设 ( 扎y 2 ) = a y l + 蛔2 ，2 ( p 1 ，! ，2 ) = c y l + d y 2 ，其中口，b ，e d c ，则存在t o 充分大对任意给定的t t o 和任意给定的：扔值 嘏，” ，鲥，如) 2 ( n ) xh 一- ( 0 ) ) 2 与终值 2 2 ，z ，：2 ，硅 旺2 ( n ) h _ 1 ( n ) ) 2 ，存在控制函 数 1 ，t j 2 ) ( l 2 ( ) ) 2 ，使得耦台系统( 3 1 ) 的解舭= y i ( x ，t ) a = 1 ，2 ) 满足 聃扛，丁) = z ? ，越扛，t ) = 蠢“= 1 ，2 ) 定理。3 2 设 ( 掣1 ，珈) = a y t + 2 + 甄( 虮，掣2 ) ， ( ，1 ，掣2 ) = q l4 - d 妇+ 珊( 掣1 ，抛) ，其中b ，6 ，c ，d c ，l l m i ，。i + i 粕i - + 番督! 昔= 0 0 = 1 ，2 ) ， a j m ( ，l ，啦) l ”( c 2 ) ( i ，= 1 ，2 ) ，则存在而充分大。对任意给定的t t o 和任意给定的初值与终值 v 2 ，o ，9 2 ，以) ， z ，矗，翘，砖) e 2 ( n ) h “( n ) ) 2 ， 存在控制荫数 ”1 ，啦) ( 驴( ) ) ，使得耦合系统( 3 1 ) 的解挑= 鼽匆，( = 1 ，2 ) 满足玑如，t ) = 哿，盛扛，t ) = 砖g = 1 ，2 ) 为了表达方便，使用以下几个记号；对于r “中的任意给定的一点。o ， 记向量m ( z ) 为 m ( 盂) = z 一2 ：0 = ( 2 t z 2 ) l s s 。= ( t n ) 1 兰 s n 定义集合r o ( z o ) 和z o ( z o ) 分别为 r o ( z o ) = $ r f m ( 。) p ( 2 ) o ) ，r l ( 2 0 ) = r r o 1 4 e o ( 护) = r o ( 一) xi o ，t 】， 1 ( 一) = r l ( z o ) 【o ，q ， 其中v 扛) 为边界r 上关于n 的单位外怯向量令日= p ( n ) ，v = 硪( ( 在 复数域上c 定义) ，在中定义内积为 ( 舭) t ：= 正v ；d x ， 在y 中定义内积为 玑= ) 础= f n v y v j d x ， v 甜，工2 ( n ) v v ，2e 硪( n ) 记知为满足a o l l o l l ，) 兰1 j v 酬b ( n ) 口丑；( n ) ) 的最大正数 3 2 线性情形 由于在定理3 1 的条件下耦合系统( 3 1 ) 为线性波动方程组，不失一般 性假设霹= 矗= 0o = 1 ，2 ) 引理3 1 设0 = o ( x ，t ) 为波动方程初边值问题 f 0 ”一口= 0 ， 0 ，) 口， d = o ，忙，t ) ， l 口( ，o ) = o o ，( z ，o ) = 口1 ，z n ，俨碣( n ) ，0 1el 2 ( n ) 的解，则存在正常数g l ，使得 o 8 0 1 2 d r d t c - ( t t o ) l l o 。l l f n l + | 1 口1 | | 知( n ) ) 证明记 x 邓。( 轴t 等淞 y = ( 日( t ) ，o ( o ) l t 贾- ( m 磐两手 y = 卵( t ) ，0 。( t ) ) 臣 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 取 e ( 目，f ) = ； 1 1 0 ( 圳2 。( n ) + l l v e ( m ) l l , 徊) ) ( 3 4 ) 由能量定义式( 3 4 ) 易推得 冒( 口，t ) = 曰( 日，o ) = ； i i 0 1 | j 2 ，( n ) + l l v o 。| j 2 ，( 。) ) ， ，y = y = 互x f 0 卅( i 翰1 2 一1 w 氇) 1 2 ) d x d t 1 5 在方程( 3 2 ) 两边同乘m 差，且在。上分部积分得 x 一五m 象挑一芰筹m x 篆硎t + 五考m t 器批 + q s v o l 2 d 】【出= 。， 同理。对方程( 3 2 ) 先取共轭，再乘以m k 器，且在q 上分部积分得 丈一l 枷筹a x 上要m t 差a r a t + 上著m t 者鼍恻t + 上l 踟1 2 血虻0 将以上两式相加得 ( x + 蜀一五m 一击卅蛐一。上m 蚓器阳f d t + l m 两of 硒0 01 2 删t + ，五i v o l 2 她一。 经过分部积分推出 ( x + 又) + 伽一1 ) 厶( 1 2 一i v 卯) d x d t 一上m - h i 裳1 2 d r d t + l ( , e , f 2 + i v o l 2 ) d x d t = 。- ( 3 ，5 ) 利用目t ) = e ( 0 ，o ) 及式( 3 5 ) 有 一蚺加碟l a d r d t = - ( x 刚p 1 卅小咿d i d t 、 注意到在1 上满足不等式一l t i k ，k 0 记r ( 一) = s u p # rf g k v k ，则由式 ( 3 6 ) 推出 汀即? 0 ) s 网+ 阂+ 一1 ) i y i + 脚。) 厶i 器i d t ( 3 利用式( 3 7 ) 和不等式 惮。( c ) ，孟瓦o a ( t 一) ) l = 鬻，( ) ) f 冗( 硼f i i 纠n ) i l v o l l 硝班r ( 一) 即，o ) t ) ，8 ( t ) ) l 剑吼叩) 触冒( 锄墨意e ( 以o ) ， 五。静诋南口叫鳓鄂蕊 其中t ( 。o ) = 2 r ( z o ) + j 亭，因此式( 3 3 ) 成立，引理3 1 证毕 引理3 2 记t o = 2 _ a ( x o ) + j 亭，则对任意给定的t t o ，存在常数 c 2 = c 2 ( a t ) 0 ，使得波动方程 f 妒”一垆+ & l p = 0 ，( ，t ) q ， l p = 0 ，( ，t ) e ，( 3 8 ) i 妒( z ，o ) = p o 硪( n ) ，妒+ ( 2 ，0 ) = 妒1 工2 ( n ) ， $ n 的解妒= 妒( # ，句满足不等式 m i ( n ) + “纠) s 岛上l 筹阳 ( 3 9 ) 其中d e = d f d t 为的侧面测度，ne c 证明把方程( 3 8 ) 的解妒分解为p = 妒+ 仉其中妒，q 分别为波动方 程 f 币”一妒= 0 ，( 2 ：1 t ) 口， 妒= o ，( t ) ， l 母( z ，o ) = 扩，咖。( $ ，o ) = 妒1 ， z n 和 叼”一叩= 一。妒= 一a ( 廿+ 叶) ，0 ，t ) o ， 口= 0 ，扛，t ) ，( 3 1 0 ) l ( o ) = o ，d ( ，o ) = 0 ， $ en 的解由引理3 1 有 l 矿l ( 嘶+ 1 艟，( n ) s g 五 警阳s e 五 筹 2 + i 嘉| 2 ) d z ，( 3 1 1 ) 取e ( 巩力= i v7 f 2 + j 勖f 2 ) d x 由 d e ( v = m 上一a 衍d 【s 扣i 艮( n ) + f ) l 及g r o n w a l l 引理可得 e 向，曼o f a 妒1 l 知( o ，正，( o ) ) ( 3 t 2 ) 在方程( 3 1 0 ) 两边同乘h 巩日( hec 1 ( n ) 且为实的，当。r 时，h i = 椎) ，对 方程( 3 1 0 ) 先取共轭再乘以k 巩q ，两式相加且在口上分部积分得 上f 等f 2 d = ( ”7 a ”埘+ ( t a 仉”彳+ 五一1 2 象a x d t + 五( 岛一巩日 1 7 + 巩口岛日) 岛h a d x d t - 厶1 v 刊a d k h k d x d t + 五( a l p h 巩日+ a p h 。”) d x d t ( 3 1 3 ) 由式( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) 及h s l d e r 不等式，有 1 1 面“1 1 。( 功g 川吡脚( n ) ) 再利用式( 3 1 1 ) 有 e 删蚓上i 等 2 d z + i i 出f 0 r 脚) ) ) ， ( 3 “) 由式( 3 1 4 ) 利用文献【5 】定理21 中式( 2 9 ) 类似的证法，可得式( 3 9 ) 成 立引理3 2 证毕 定理3 1 的证明先讨论复数域上线性波动方程 f ”“一分+ 扯掣= 0 ，( 譬，t ) o ， l = ，( 。，t ) ，( 3 1 5 ) l ”( $ ，0 ) = o ，y j ( z ，0 ) = v 1 ， z n 的精确可控性定义线性算子 a 矿，妒1 = f ，( o ) ，一口( o ) ) ，( 3 1 6 ) 其中妒是系统( 3 8 ) 的解，口= 0 ，t ) 是非齐次波动方程初边值问题 fy ”一锄+ a y = 0 ， ( 孔t ) 口， ”= 器， ( 乱t ) ， ( 3 1 7 ) ly ( o ，t ) = 扩( 2 ，t ) = 0 ， z n 的解在方程( 3 1 7 ) 的两边同乘9 且在q 上分部积分 蛳。) ， 以门) v 姐= 上l 等陋d e v 门e 矿日 j z “” ( 3 - 1 8 ) 根据l - i i l b e r t 唯一性方法( 文献【12 ) 知，由式( 3 9 ) 和( 3 1 8 ) 可推出线性 波动方程( 3 1 5 ) 的精确可控性成立，且算子a 是从空间础( n ) l 2 ( n ) 到 h - 1 ( n ) 2 ( n ) 上的同构映射 对于耦合系统( 3 1 ) ，记矩阵 = a ：) 当一d ) 2 + 4 b c 0 时，由线性代数知识知存在可逆矩阵p ，使得 一。1 ( 吉：) 只 其中a t ，b 为矩阵a 的特征值记 则珩及斑满足 ( 塞) 一y 1 ) ( 3 1 9 ) 其中式( 3 2 0 ) 的初边值条件是由式( 3 1 ) 的和边值条件经过如式( 3 1 9 ) 相 应的线性变换得到，且耦合系统( 3 1 ) 与耦合系统( 3 2 0 ) 的精确可控性是等 价的而耦合系统( 3 2 0 ) 关于函数疥，蠡是独立的，这样已经证明耦合系统 ( 3 2 0 ) 是精确可控的，因此耦合系统( 3 1 ) 也是精确可控的 当0 一d ) 2 + 4 b e = 0 时，由线性代数知识可知存在可逆矩阵p 1 ，使得 a 卅( 戳) 马 其中a l ，沁为矩阵a 的特征值记 ( 妻) = 只( ：) ( 3 2 1 ) f 西一甄= l 斑+ 碗， ( 毛t ) 口， 萎二挈= 2 t 置出6 e 置 c 唧， l 磊= 祝，i = ，2 ，扣，t ) ， _ 。 l 蟊( z ，0 ) = g ? ，越0 ，0 ) = 讲，i = 1 ，2 ，。n 其中式( 3 2 2 ) 的初边值条件是由式( 3 1 ) 的初边值条件经过如式( 3 2 1 ) 相应 的线性变换得到，且耦合系统( 3 1 ) 与耦合系统( 3 2 2 ) 的精确可控性是等价 的关于系统( 3 ，2 2 ) 对函数蟊是精确可控的，即对任意给定的t 1 t ( 一) ， 存在控制函数玩o l 2 ( nx 【0 ，n 1 ) ，使得弱缸，乃) = 2 扛，a ) = 0 因 此，可取 一j 诜o ， ( 丑t ) n 0 ，丑】， 也2 1o ，( 蚶) n m ， 则 彘( $ ，t ) 兰0 ，v ( z ，砷en 【噩，。卜 1 9 幻 印印臼一 时”d 一 k k 儿袭淼蛳舷坛虻 一 一 1 i ：玑百扎们烈 fp ? 一正= a l 疥， ( t ) n m ，t 7 ， 疥= 佤， ( t ) ef m ，t j ， i 斑杠，置) = 历( 五) ，”i ( 。，t 1 ) = 霸 霸) ， 。n ， 因此存在控制函数诅o 三2 ( n m ，2 n 】) ，使得蟊( $ ，2 噩) = 矿1 0 ，2 n ) = 0 取 玩： f l , ( 2 ，t ) n 【0 ，丑 j 【祝o ，( t ) n m ，2 列， 则当t 蜀= 2 t ( x o ) 时，存在矾及玩使得豇( 2 ，t ) = f i ( z ，t ) = o “： l ，2 ) 由等价性鄂证明了藕合系统( 3 1 ；当t 蜀时是精确可控的。定理 3 1 证毕 3 3 次线性情形 定理3 2 的证明只考虑( 口一d ) 2 + 4 6 c 0 情形，当( 口d 】2 + 4 6 c = 0 时可类似证明取可逆矩阵p 使 ( ：) 一1 ( 苫：) 只 记 ( 妻) = p ( ) ， 则耦合系统( 3 1 ) 的精确可控性等价于系统 + f 矿一承= 五( 玑，弱) = 入玩+ 氯( 甄，访) ，i = l ，2 ， ( 工，t ) q ， 孤= 玩，i = 1 ，2 ，0 ，t ) ， i 甄扛，0 ) = 鳄，1 0 ，0 ) = 刃，f = 1 ，2 ， 口n f 3 2 3 的精确可控性只要证明系统( 3 2 3 ) 的精确可控性构遣非线性算子 p f 妒2 ，妒j ，垆2 ，妒； = 矿。( o ) ，一 1 ( o ) ，孑。( o ) ，一驺( o ) ) ，( 3 2 4 其中玩= 玩( z i t ) a = l ，2 ) 是系统 2 0 = 1 ，2 ，( 茁，t ) q 岳n 渤 丑 |妻缸i+ 曲； 垤臻 = f 1 鬻舭“=1彬 = ；种q 玑 ，| | 心喾研 箸讹 的唯一解，而怫= 怫( 。，t ) 0 = 1 ，2 ) 是系统 i 妒? 一妒。一九妒= 0 ， = 1 ，2 ，( z ，t ) 口， 怅= o ，i = 1 ，2 ，( z ，t ) ， i 张0 ) = 秘，试( 毛0 ) = 妒i ，i = 1 ，2 ， g q 的唯一解先说明算子p 从空间( 喇( q ) 上2 ( n ) ) 2 到2 ( n ) 日一1 ( n ) ) 2 定义是有意义的事实上，记承= 甄( ，t ) “= l ，2 ) 为 轨= + 埘。十以，i = 1 ，2 ， ( 3 - 2 5 ) 其中司= 盈( z ，t ) ，弘o = s ，i o ( z ，t ) 及啦= 也知，t ) o = 1 ，2 ) 分别为下列系统 fz ? 一苁一气= o ，i = 1 ，2 ，( 2 ，1 ) q ， 。t = 0 ，i = 1 ，2 ，( z ，站e ，( 3 。2 6 ) i ( ，t ) = 器，z 扫，t ) = ，i = 1 ，2 ，2 n ， f “：一，m a ，i o = 0 ，i = 1 ，2 ，忙，t ) o ， 甜铀= 静，t = 1 ，2 ，( q t ) e ， ( 3 2 7 ) i 玑。仁，t ) = 如扛，t ) = 0 ，t = 1 ，2 ，$ n ， f 一中i = 五( 甄，蟊j 一 ( 盏+ 扒o ) = 钰 j + 磊( # 1 + 虮o + 妒1 ，匏+ 啦o + 惦) i = 1 ，2 ， ( z ，t ) 0 ， 1 讥= o ，i = 1 ，2 ，( 。，t ) e ， 【诎( $ ，t ) = t f l ：( $ ，t ) = 0 ，i = i ，2 ， z n ( 3 2 8 ) 的解系统( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 为线性波动方程，由文献【5 1 知它们的解是适定的 魂，瓠o g ( f 0 ，列，工2 ( n ) ) n c l ( i o ，刁，日一1 ( n ) ) ， i = 1 ，2 且对任意给定的t 晶，存在正常数c = g ( q ，t ) 0 ，使得 i i 五| | 二( o r ：l ，( n ) ) + i i = ：i i l ( o ，丁；日一t ( n ) 】c i l 哿，霹) i i 工( n ) x 日一，( o ) ，i = 1 ，2 ( 3 、2 9 ) i l 掣i i l ( o ，t ；l ， n ) ) + i l u 毛i i l - ( o ，? ；日一- ( n ) ) 茎g l i 四，妒i ) i | h j ( n ) l 。( n ) ，i = i ，2 ( 3 3 0 ) 而对系统( 3 2 s ) 有( 证明见后面 引理3 3 对任意 褚，p ，国，妒；) ( 硪( 霸xp ( ) 。i 霹，霹，霹，霹) ( ( n ) 日- 1 ( n ) ) 2 ，系统( 3 2 8 ) 存在唯一解 讥c ( 0 ，卅，硪( n ) ) n c l ( o ，t 】，l 2 ( n ) ) ，i = 1 ，2 ( 3 3 1 ) 且对任意s 0 ，存在正常数g ( e ) 0 ，使得 t f l l ，讥) ( 上- 帆正删( n ) ) 】，+ 讧，以) ( l 曲( o ，f ；l 。( n ) ) ) ，s 妒2 ，妒i ，鹋，妒 川( 础( o ) 。l 。( n ) ) 。 2 1 + | | 霜，霹，霹) j f ( l ，( o ) 。h 一- ( n ) ) ， + c 仁) ( 3 3 2 ) 为了证明定理3 2 ，只须证p 是满射即可对任意 钟，妒 ，础，谚) ( 础( n ) xl 2 ( n ) ) 2 ，由式( 3 2 4 ) 及( 3 2 5 ) 有 p 错，节：，旌，审：】= 币；( o ) ，一讪l ( o ) ，中：( o ) ，一母2 ( o ) ) + t o ( o ) ，一v l o ( o ) ，v ：o ( o ) ，一，：o ( o ) ) + z i ( o ) ，一= 。( o ) ，z ：( o ) ，一施( o ) ) ， 即 p f 硝，妒 ，识，戎= k f 镀，妒；，鹋，妒；) + 湖，矗，鹋，垆；) + = ：( o ) ，一f , 1 ( o ) ，= ：( o ) 。一句( o ) ) 其中a 如式( 3 1 6 ) 定义，算子k 定义为 k 。 妒? ，妒 ，四，l p i = 妒i ( o ) ，一妒- ( o ) ，以( o ) ，一中。( o ) 注意到算子a ：( 硪( n ) l 2 ( o ) ) 2 ( 日_ 1 ( n ) 工2 ( n ) ) 2 是同构映射，因此 a - 1 k 埘，垆 ，学2 ，如) + 驴2 ，妒：，砖，妒；) + a - i = ：( o ) ，一z i ( o ) ，= ：( o ) ，一。2 ( o ) ) = a 一1 ( l