（基础数学专业论文）关于局部对称共形平坦黎曼流形中的紧致子流形.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 本文研究了当外围空间为局部对称共形平坦时，具有平行单位平均曲率向 量的紧致子流形的余维数可约化问题文章分两个部分，第一部分研究了外围空 间截面曲率满足1 2 万k 1 的情形，第二部分研究了外围空间硒c c i 曲率有界 的情形，得到了两种情况下各自的余维数可约化的条件这些条件在某种意义下 是最佳的 文章的第一，第二章为准备工作，在第三章中，我们讨论了截面曲率满足 三 万k 1 的局部对称共形平坦黎导流形中具有平行单位平均曲率向量子流 形的可约化问题，优化了文献【3 】中的结论。我们得到： 定理l ：设n 肿，是n + p 维局部对称共形平坦空间，其截面曲率满足 丢 ，岛= 3 i t i 巧k j ，乏，c ， k 分别是n 肿p 的r i c c i 曲率上、下确界和数量曲率 则 ( 1 )m ”是舯p 中某一个n + 1 维全测地子流形肘1 的超曲面；或者 n = p = 2 ，i l i u m 2 是s 4 ( 西k ) 中的c l i 肋订极小曲面 在本文的第五章，我们给出了一个例子，说明定理2 的拼挤常数在刀8 时是最好的。 关键词：局部对称共形平坦平行单位平均曲率向量第二基本形式模长平方 一l l 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h ep r o b l e mo nt h er e d u c t i o no fc o d i m e n s i o n sf o r c o m p a c ts u b m a n i f o l d si nl o c a l l ys y m m e t r i ca n dc o n f o r m a l l yf i a tr i e m a n n i a n m a n i f o l d sw i t hp a r a l l e lu n i tm e a nc u r v a t u r ev e c t o rf i e l d s o m ep i n c h i n gc o n s t a n t s f o rt h er e d u c t i o no fc o d i m e n s i o na r eo b t a i n e d t h ea r t i c l eh a sf i v es e c t i o n s t h ef i r s ta n dt h es e c o n ds e c t i o n sm a yb ev i e w e d a sp r e l i m i n a r ys e c t i o n s i nt h es e c t i o nt h r e ew e s t u d yt h es u b m a n i f o l d si nl o c a l l y s y m m e t r i ca n dc o n f o r m a l l yf l a tr i e m a r m i a nm a n i f o l d so fw h i c ht h es e c t i o n a l 1 c u r v a t u r ei ss a t i s f i e d 专 万k 1 ，a n d i m p r o v et h ew o r ko fc a iy a nd i di n 【3 】o u r t h e o r e ms t a t e st h a t ： t h e o r e m1 l e tn ”pb ea n + p ( p 2 ) d i m e n s i o n a ll o c a l l ys y m m e t r i ca n d c o n f o r m a l l yf l a tr i e m a n n i a nm a n i f o l d ，o fw h i c ht h es e c t i o n a lc u r v a t u r es a t i s f y 1 寺 万k 1 l e t m ”b ea c o m p a c ts u b m a n i f o l di n n 斛pw i t hp a r a l l e lu n i tm e a n c u a v t u r ev e c t o r i ft h el e n g t ho ft h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r mo fm ”s a t i s f i e d ： s ( 2 8 - 1 ) n m w h e r em = 一 赤，1 + 三1 s g i l ( p - 2 ) t h e ne i t h e r ( 1 ) m ”i sah y p e r s u r f a c eo fn 肿1 ，w h i c hi sat o t a l l yg e o d e s i cs u b m a n i f o l d i n ”p o r ( 2 ) 咧，m 2 i sac l i f f o r dm i n i m a ls u r f a c ei nc o n s t a n tc u r v e dm a n i f o l d n 4 i nt h ef o r t hs e c t i o n ，w es t u d yt h es u b m a n i f o l d si nl o c a l l ys y s m m e t r i ca n d c o n f o r m a l l yf l a tm a n i f o l dw h i c hh a sb o u n d e dr i c c ic u r v a t u r e ，a n di m p r o v ez h a n g s t h e o r e m si n 2 】w eg e t ： t h e o r e m2 l e tn 肿，b ea n + p ( p 2 ) d i m e n s i o n a ll o c a l l ys y m m e t r i ca n d c o n f o r m a l l yf l a tm a n i f o l dw h i c hh a sb o u n d e dr i c c ic u r v a t u r e l e tm ”b eac o m p a c t 。1 1 1 。 浙江大学硕士学位论文 s u b m a n i f o l di nn 斛，w i t l lp a r a l l e lu n i tm e a nc u a v t u r ev e c t o r i f t h el e n g t ho f t h e s e c o n df u n d a m e n t a lf o r mo fm ”s a t i s f i e d ： s m ( n + p - 2 ) w h e r e m = 一 赤，1 + 丢s g n ( p - 2 ) ，= 3 f c 一乏一j 丽k ，乏a n df ca r e r e s p e c t i v e l yt h eu pa n db o u n do ft h er i c c ic u r v a t u r eo fn 肘，ki st h es e a l o r c u r v a t u r eo fn ”p t h e n ，e i t h e r ( 1 ) m ”i sah y p e r s u r f a c eo fn 肿1 ，w h i c hi sat o t a l l yg e o d e s i cs u b m a n i f o l d i n ”p o r ( 2 ) n - p = 2 ，m 2i sac l i f f o r dm i n i m a ls u r f a c ei nc o n s t a n tc u r v e dm a n i f o l dn 4 ， i nt h es e c t i o n5 , w eg i v ea ne x a m p l et os h o wt h a tt h ep i n c h i n gc o n s t a n ti n t h e o r e m2i st h eb e s tw h e n 刀8 k e y w o r d s ：l o c a l l ys y m m e t r i c ，c o n f o r m a l l yf l a t ，p a r a l l e lu n i tm e a nc u r v a t u r e v e c t o rf i e l d ，t h el e n g t ho ft h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r m l v 浙江大学硕士学位论文 第1 章引言 当外围空l 司是空i 司形式时，应用j s i m o n s 的技巧，已经得到了小少刚性定 理，问题也研究得比较清楚了( 如文献 5 】中得到了具有平行平均曲率的子流形的 刚性定理，文献 1 q h 得到了常数量曲率子流形的刚性定理) ，自然地，大家希望 研究当外围空间不是空间形式，而是局部对称共形平坦的黎曼流形时，是否有 好的结论由于局部对称共形平坦这个条件稍弱，一般我们假设外围空间的截面 曲率( 【3 】) 或者硒c c i 曲率有界( 【2 】) 设肘p 是截面曲率满足圭 万k 1 n + p 维局部对称共形平坦完备黎曼流形，m ”是等距浸入在肘，中的n 维紧致子流 形蔡艳在【3 】中证明了： 定理a ：设n 斛p 是n 十p 维局部对称共形平坦空间，其截面曲率满足 圭 一南( ；彳) ( 季g ) | ，j l j 证明：容易看出，当所有q 同号时，命题5 显然成立，由命题4 知 善( 岛一q ) 4 = 三善( 岛一乃) 4 二n - - i ( 巧) 2 j i i1 ，j 同时，不妨设口l 口2 - - - a m o a m + l - - - a n ，则 q q ( 匆一吃) 2 一2 i q q i ( 包一屯) 2 f ， l f s 卅，册+ l - 2 ( i q 乃| 2 ) “2 ( ( 6 f 一吃) 4 ) “2 l f s 珊。r e + l j 使马，吼同时对角化，并记 磕= 口l ，砬= a 2 ，磁= 6 i ，砭= 也，则有口1 + a 2 = 2 h ，岛+ 也= 0 ，岛= 一乞0 且 q q ( 包一) 2 = - 2 g 彳) ( 巧) 有( q + 口2 ) 2 = 0 ，即口l + 口2 = 0 ，m 2 极小此时s = 2 ，由文献【1 6 】中的定理 5 知，m 2 是四维单位球面中的c l i f f o r d 极小曲面 综合上面三种情况即得定理1 一9 一 浙江大学硕士学位论文 第4 章定理2 的证明 将( 2 1 4 ) 代a ( 3 1 ) ，经过一个直接的计算得： 仃磊蟛喵2 一石墨。，荟+ 。够够+ 万2 两1 1 互。劈瑶 + 击( 蚝一篇) 磊删件1 ) 一n ( h 口h p 一彬玩) 一( t r h 。t h p ) 2 a ，f l n + la t ，月+ l + 槲磊，r ，( 成以+ ) 一磊。眇( 以峨+ 一) 】2 对于固定的n + l ，可将峨巾同时对角化，再由命题1 得： 一n ( h 口h p 一h a ) - ( t r h , ，h p ) 2 一( 1 + i is g n ( p 一2 ) ) ( t r h j ) 2 口，芦”+ l口。口n+l厶 一击口，荟+ 。劈够一南乏磊。删 ( 4 2 ) ( 4 3 ) ；而2 r j 磊。蟛圪屹再2 , , 一二t c y + 。叫 ( 4 4 ) 将( 4 2 ) ，( 4 3 ) ，( 4 4 ) 及( 3 4 ) 代入( 4 1 ) 中，得： 一1 0 一 浙江大学硕士学位论文 当 口磊u 劈喵一百暑瓦互。，程+ 币2 n 乞磊。删 + 击( 一篇) a ，荟+ 。恻 一( 1 + i 1s g n ( p 一2 ) ) ( 恻) 2 ( 4 5 ) a r ：n + l 一赤( 蜮) 互。川 ( 一m s + 熹) t r h j 玎+ p z 赢i s m ( n + p - 2 ) t r ( 4 6 ) 时，根据( 4 5 ) 有( 3 9 ) 成立，与前面相同的讨论，有绦= o ，v i ，j ，k ，口cn + l 成 立，同时( 3 1 1 ) 成立，或者 s = m + p 一2 ) 1 ， ( 4 7 ) 若( 3 1 1 ) 成立，由文献【5 】知，m ”位于”p 的一个全测地子流形”1 中， 若( 3 11 ) 不成立，( 4 7 ) 成立，同样可分为以下三种情况： ( 1 ) 腔8 ，勘 3 且p - 2 ，l l t l 对m 2 赤； ( 2 ) 2 刀8n _ p 3 ，l l 捌 m = l + 丢s g l l ( p - 2 ) = 吾； ( 3 ) 刀2p 2 2 ，此时m = 1 + i 1s g n ( p - 2 ) 2 瓦鲁i 2l 同第三节的讨论，情况( 1 ) 是不可能的 在情况( 2 ) 下，由( 4 5 ) 式中第- - 个不等号取得等号知m ”是极小的，此时 s = i o ，由命题3 知m ”是全测地的，与( 3 11 ) 不成立矛盾故知情 3 ( 刀+ p 一2 ) 。 、 况( 2 ) 不成立 情况( 3 ) 中，n = p = 2 ，同前面的讨论，不妨设吃与平均曲率方向一致，选择 浙江大学硕士学位论文 适当的标架 巳，e ：) 使也，h 4 同时对角化，并记磕= a m ，砬= 口：，配= 6 1 ，砭= 5 2 ， 则有q + a 2 = 2 h ，岛+ 5 2 = 0 ，岛= - 5 2 o 且 a , a j ( b i 一巧) 2 = 2 ( q 2 八乃2 ) i ，j i j 于是有( q + 口2 ) 2 = 0 ，即a l + a 2 = o ，m 2 极小此时m 2 是4 中的极小 曲面，磕= o ，令扛歹= 1 得幽= 碱= o ，岛为常数又因为碗= o ，所以 o = 配。矿= 班一张吐一砭砰+ 硅霹= ( 6 l 一魂) 砰 岛= 一吃0 ，因此砰= 0 ，再由结构方程， o = d 硅= ( b a + k ：1 2 ) c 0 1 缈2 + k ：衄国人彩口，o = 1 ，2 ，口= 3 ，4 ) 6 1 + 砭，：= o 即砰= k ：。：= 丢( k 。+ ：一争，s = 墨。+ 疋：一了k 又因为 ( 4 4 ) 中等号成立，蜀。：乙，于是多：2 f c i k ：3 乞一乃一i k ，即乞：正， n 4 有常r i c c i 曲率，由( 2 1 4 ) 因此4 是常曲率的，即n 4 = s 4 ( 匀再由文献 【1 6 】得到m 2 是c l i f f o r d 极小曲面 综合三种情况即得到定理2 一1 2 一 浙江大学硕士学位论文 第5 章一些注记和例子 在定理2 的条件下，假设斛1 有常截面曲率，不妨设为1 ( 即n 肿1 = s ”1 ( 1 ) ) 如果m ”有大于刀( 门_ 1 ) 的常数量曲率且石i 告鬲 1 ，则根据文献【1 1 】得：m ” 或捌、球面趴m 或者是两个低维球面的乘积其中，= 辱 特别地，当外围流形是具有常截面曲率1 的条件下，f c = 乃= n + p - 1 ， k = 伽+ p ) ( n + p - 1 ) ，此时石i 告面_ 1 ，因此m ”或者是小球面( ，) ，或者是 两个低维球面的乘积其中厂= 焉谶是文献 1 】中的主要坌吉论 当外围流形有常曲率c 时，乞= 瓦= ( n + p - 1 ) c ，k = ( n + p ) 伽+ p 一1 ) c ，此 时石i 等鬲。c ，定理2 变为： 推论1 ：m ”是常曲率空间n 肿p ( c ) 中具有平行单位平均曲率向量的紧致子 流形( p 2 ) ，若m ”的第二基本形式模长平方s 满足： s n c m 则 ( 1 ) m ”是n ”，中某一个n + 1 维全测地子流形n ”1 的超曲面；或者 ( 2 ) n = p = 2 ，此时m 2 是s 4 ( 丧) 中的c l i 肋r d 极小曲面 这就是文献【1 6 】中的主要结论，实际上，【8 】中进一步证明了：当n 8 时， 推论中的拼挤常数是最佳的。 利用文献f 1 1 的方法，我们构造一个例子：取外围流形为单位球面，s 斛，n ) 再取m = s ”1 () ，鸠= s 1 () ，( u ，v ) m 鸠是r ”x r 2 中的一个单位向量，故mx m ：是s 肿1 ( 1 ) 中的一个子流形，而s ”1 ( 1 ) 是s 肿，( 1 ) 的 一1 3 一 浙江大学硕士学位论文 全测地子流形，由文献【8 】得s = 厢，当刀8 时，满足定理2 的条件，此时 不等号且取得等号，也说明定理2 的估计在刀8 时是最好的。可以验证这个例 子也适用于定理1 。 一1 4 一 浙江大学硕士学位论文 参考文献 【l 】张剑锋，关于常数数量曲率的子流形和f i n s l e r 流形上的调和函数博士 毕业论文2 0 0 5 0 5 01 【2 】张剑锋，局部对称共形平坦黎曼流形中的紧致子流形【j 】数学杂志 v 0 1 2 4 ( 2 0 0 4 ) n o 1 【3 】蔡艳，局部对称共形平坦空间的子流形硕士毕业论文2 0 0 4 0 5 0 1 【4 】c h e ng u a n g h u a , x us e n l i n r i g i d i t yo fc o m p a c tm i n i m a ls u b m a n i f o l d si na l o c a l l ys y m m e t r i ca n dc o n f o r m a l l yf l a yr i e m a n nm a n i f o l d j 数学物理学报， 19 9 6 ，1 6 ( 1 ) ：8 9 - 9 6 【5 】5 s h i n g t u n gy a u ，s u b m a n i f o l d s w i t l lc o n s t a n tm e a n c u r v a t u r e j i ：a m e r j m a t h ，1 9 7 4 ，9 6 ：3 4 6 - 1 6 6 ；i i ：a m e r j m a t h ，1 9 7 5 ，9 7 ：7 6 1 0 0 6 】l ia n m i n ，l ij i a m i n g a ni n e q u a l i t yf o rm a t r i c e sa n di t sa p p l i c a t i o n si n d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y j 数学进展，1 9 9 1 ，1 0 ( 3 ) ：3 7 5 【7 】g o l d b e r g ， s i ， c u r v a t u r ea n d h o m o l o g y , a c a d e m i c p r e s s ，l o n d o n 19 6 2 9 2 9 4 【8 】s s c h e r n ，m d oc a r m oa n ds k o