理论力学第7章答案.pdf

7.1 直杆 AB 搁置如图 ab 所示试分别以 A 端沿水平轴 x 向右运动时的速度和加速 度表示杆 AB 的角速度和角加速度 解杆作平面运动由于受两处约束1=f取为广义坐标 a将= ctg A hx对时间求导得 = & & 2 A cschx 因此有hx/sin 2 A =& & hhxx/ )/2sin(sin 2 AA 2 =& & & & b将=sin/ A rx对时间求导得 = 2 A sin/cos & &rx 因此有rx /tgsin A & & = rxxx/ )secsinsintgsin( A 2 AA & & & & & & & & += rrxx/ /sin)sec1 (tgsin 2 AA +=& & 7.2 试证明直杆 AB 搁置如图 ab 所示杆 AB 运动时杆上点 C 的速度沿杆 AB 其大小等于cos A v 解基点 CAAC vvv+= a x 0sinsin ACAAxC =+= & &CAxvvv y = cos AyC vv 证毕 b x 0sinsin ACAAxC =+=+= & &CAxvvv y = cos AyC vv 证毕 7.3 滚压机构的滚子沿水平面作纯滚动如图示曲柄 OA 长r连杆 AB 长l滚子半 径为R若曲柄以匀角速度绕固定轴 O 转动试求任意时刻=AOB连杆 AB 和滚子的角速度 解本机构自由度14233=f除外取多 余坐标两者间有约束方程 =sinsinlr1 矢量法 基点 BAAB vvv+=)( A rv= )sin()sin()sin( B 2 A 2 BA + = = vvv =coscos ABA vv=coscos BAAB lrlv +=cos)sin( AB vv+=cos)sin( BB RrRv 分析法 将式1对时间求导得 =coscoscoscoslrlr & & 对+=coscos B lrx对时间求导得 +=cos)sin(sinsin B rlrx& & & 因此+=cos)sin(/ BB RrR x & 7.4 一放大机构中ABCD 为一平行四边形B 为 OC 的中点D 为 CE 的中点设图 示位置点 A 的速度如图示求点 E 的速度 解平 行 四 边 形 机 构 在 任 意 时 有BC/AD AB/CD因此 1ADBC = 2CDAB = A基点 ABBA vvv+=+= 基点 ECCE vvv+=+= QOBOC2=BACE2= B11C 22vv=OBOC AB22EC 22vv=BACE 可导出 AE 2vv= 7.5 一自动卸货大卡车的升降机构如图示图中BFBE =lAC =在此瞬时活 塞在处于水平的液压缸中的速度为v求车厢转动的角速度 解利用速度投影定理 杆vv= o 60cos F vv2 F = vvv2 FE = 杆vvv= o 60cos ED 因此lvADv2 D = 7.6 画出图示机构中作平面运动的杆件在图示位置的速度瞬心 7.7 图示拱桥上受到 1 F和 2 F两力作用若给出的三拱桥的支座 C 若突然坍塌试求 此瞬时 GBJ 和 ICJ 两部分的速度瞬心 解GBI 构件瞬心为 ICJ 构件瞬心在无穷远 7.8 杆 AB 可在作定轴转动的套筒 O 内滑动如图示其 A 端与曲柄 OA 铰接已知 rOOOA=求杆的动瞬心轨迹和定瞬心轨迹 解AB 杆作平面运动杆上与 O 相重合之点速度 O v沿杆方 向 A v垂直于 OA 杆因此瞬心为 C不难看出 C 点相对 AB 杆和定系的位置可分别以),2(r和)2 ,(r表示则动 定瞬心迹线分别是半径为r2和r的圆 7.9 图示反平行四边形机构中aCDAB2=cBDAC2=ca 求杆 BD 的动瞬心轨迹和定瞬心轨迹 解BD 杆的瞬心为 AB 与 CD 的交点 P容易证明三角形 APC 和 DPB 全等因此瞬心 P 点相对 BD 杆和定系的位置均可用 ),(表示在三角形 APC 中有DPAP = 0sin)2(sin=a ca2cos)2(cos=+ 上二式中消去得 222 )2()cos2()sin(=+ac 可导出如下椭圆方程 cos)/(1 / )( 22 =acaca 因此动定瞬心迹线均为椭圆 7.11 三根连杆 ABBC 和 CD 用铰链相连组成一四连杆机构AD 可视作固定不动的 连杆已知aBCAB=aCD2=杆 AD 以匀角速度转动求图示两位置杆 CD 的角速度和角加速度 解a杆作瞬时平动0 BC = BC vv = 2/2/ CCD =av 基点 +=+ CB n B n CC aaaa 0 C = a0 CD = b杆速度瞬心在点0= C v =av / BBC 0 CD = 基点 n CBCB n BC aaaa+= x n CB n Bccos aaa= Q 4/7sincos=aa 2n B = aa 2n CB = 7/8 2 C aa= 7/742/ 2 CCD = aa 7.12 平面机构如图示已知CD/EGB 为杆 DG 的中点OABCDEG 均为铰链cm20= EGCDcm50=DGcm40=OA在图示位置杆 CD 铅垂 OA/CDcm/s20 A =v水平向左B 的加速度沿水平方向的分量 2 Bx cm/s10=a 3 . 0tan=试用平面运动基点法求此瞬时 1杆 CD 和杆 OA 的角速度 2B 的加速度沿铅垂方向的分量 3杆 OA 的角加速度 解杆 做 瞬 时 平 动0 AB = BA vv= rad/s5 . 0/ AOA =OAv 22 OA n A cm/s10=OAa 某点 +=+ ABByBxA n A aaaaa x = sincoscossin ByBxA n A aaaa 2 By n ABxA cm/s1tg)(=+= aaaa 2 AOA rad/s)40/1 (/= OAa 7.13 滚压机构的滚子沿水平面作纯滚动如图示曲柄 OA 长r连杆 AB 长l滚子 半径为R若曲柄以匀角速度绕固定轴 O 转动计算连杆 AB 和滚子的角加速度 解矢量法 基点 n BABA n AB aaaa+= y += sincossin0 n BABA n A aaa = tg)(cos/ )sinsin( 2222 BA &lrla x n BA n AB )cos(cosaaa+= +=cos/ )cos( 22 B & l ra = tg)(/ 22 BAAB &la +=cos/ )cos(/ 22 BB RlrRa& 分析法 =+=tg)(cos/sincoscos/sin 2222 AB & &lrlr += 2 BB cos/sin)sin(cos/ )(cos(RrRr& +=cos/ )cos( 22 Rlr& 7.14 半径为r的圆盘在水平面上作直线纯滚子如图示其中心 O 的速度 O v常量 杆 AB 长l其 B 端用铰链与圆盘边缘相连接求在水平面上运动的 A 端的速度和加速度 以转角表示之 解本机构自由度1=f和有约束方程 )cos1 (sin=rl) 1 ( 矢量法圆盘的瞬心为点杆的瞬心为点因此 )2/sin(2)/( OOB =vBPrvv =cos/ )2/cos()2/sin(2/ O lvCBvB AB =cos/sin O lv 2 cos/ )2/sin()cos/sin( O +=llvCAv ABA )2/sin()2/sin(2)cos/( O += v cos/ )cos(1 O += v 基点 n BOBOOB aaaa+= 0 O =a BO a 基点 n ABABBA aaaa+= x n ABBA ) 2 cos(cosaaa+ = + + = 3 222 A cos sin cos )sin( l v r v a OO 分析法将式1对时间求导得=cos/sin O lv & 因为=cossin OA lrxx对时间求导得 )cos/sin(sincos OOOAA +=lvlvvxv& cos/ )cos(1 O += v += 2 OAA cos/sin)cos(cos/ )(sin( & & & &vva + + = 3 22 O 2 O cos sin cos )sin( l v r v 7.15 半径为 10cm 的轮 B 由曲柄 OA 和连杆 AB 带动在半径为 40cm 的固定轮上作纯 滚动设 OA 长 10cmAB 长 40cmOA 匀角速转动角速度rad/s10=求在图示位 置轮 B 滚动的角速度和角加速度 解矢量法杆作瞬时平动0 AB =rvv AB rad/s10/ BB =rvcmr10= 基点 +=+ BA n A n BB aaaa x = sinsincos n A n BB aaa 75/154tg)5/( 2222 B = rrrra 2 rad/s 7 . 2075/154/ 2 BB = ra 分析法设的坐标分别为 A x A y B x B y此 瞬 时0 A =xry = A rx15 B = 0 B =y则有 22 AB 2 AB )4()()(ryyxx=+将上式求导得 0)()( ABABABAB =+yyyyxxxx& 0)()()()( ABAB 2 ABABAB 2 AB =+yyyyyyxxxxxx& & & & & 将0 BA = yy& 2 A =r y & & rxy5/ 2 BB & &=及0 A = x & & 等代入上二式得 =rxx BA &75/154 2 B =r x & & 因此导出 rad/s10/ BB =r x & 2 BB rad/s 7 . 20/=r x & & 7.16 半径为r的两轮用长l杆AO2相连如图示前轮 1 O匀速滚动轮心的速度为v 求在图示位置后轮 2 O滚动的角加速度 解矢量法 1 O轮纯滚动vvv22 1 OA =AO2杆瞬时平动 vvv2 AO2 = 0 AO2 = 2 O轮纯滚动rvrv/2/ 22 OO = 基 点 1 O n AOAOOA 1 aaaa+= 0 1 O =a 0 AO = a 2 O基点 n AOAOAO 22 1 aaaa+= x =sincos AO2 aarva/tg 2 O2 = 222 OO / 22 rlrvra= 分析法AO2杆长l,故 22 OA 2 OA )()( 22 lyyxx=+则有 0)()( 2222 OAOAOAOA =+yyyyxxxx& 0)()()()( 222222 OAOA 2 OAOAOA 2 OA =+yyyyyyxxxxxx& & & & & 将0 BA = yy&rvy/ 2 A =& &0 2 O = y & & 0 A = x & & 代入上二式得 vxx2 AO2 = = & & 222 O / 2 rlvx=& &于是导出 rvrx/2/ 22 OO =& 222 OO / 22 rlrvrx=& & 7.17 圆柱体 C 在固定的半圆柱 D 上纯滚动一杆 AB 一端与圆柱体中心铰接另一 端与滑块 A 铰接在图示瞬时滑块 A 的速度m/s3=v加速度 2 m/s2=a求此瞬时圆柱 体 C 的角速度和角加速度 解B基点 A BAAB vvv+= ooo 105sin15sin60sin ABAB vvv = m/s70 . 2 B =vm/s80 . 0 BA =v rad/s8 . 15 . 1/ BC =v rad/s1 . 08/ BAAB =v n BABAA n BB aaaaa+=+ 5 . 4/ 2 B v8 2 AB x n BAA n BB 30cos15sin15cosaaaa+= ooo 2 B m/s31 . 2 = a 2 BC rad/s54 . 1 5 . 1/= a 7.18 一杆 AB一端与小齿轮中心 A 铰接另一端与圆盘 D 的边缘 B 点铰接如图 示若圆盘 D 以匀角速度转动杆 AB 长m5 . 0求此瞬时小齿轮在齿圈上滚动的角速 度和角加速度 解杆的速度瞬心即齿圈的圆心因此 =)3/4()25 . 3/( BAB v =)3/16(4 BA v=3 . 51/ AA & v 基点 n ABAB n B n AA aaaaa+=+ 4/ 2 A v2 2 AB AB x n AB n B n AA 45coscossinaaaa+=+ o 在三角形中 AB )45sin( 5 . 1 sin 4 45sin+ = = oo 解 得 o 377.15=)m10(92 . 4 1 =AB于 是 有 2 A 45.12= a 2 A 45.121/= a A 7.19 直杆 CD 在 C 点处与齿轮 B 铰接在图示瞬时杆 CD 的速度为0=v加速度 2 mm/s600=a求此瞬时齿条 A 的加速度 解(1)令齿轮轮心 O, 以 C 为基点有 OCCO aaa+= 0 Ox =a0 Oy =a所以0 O =a (2) POP aa = 2C P m/s8 . 0=OP OC a a 齿条加速度 )/(8 . 0 2 P smaa= 7.20 上题中若速度改为mm/s75=v加速度不变求齿条 A 的加速度 解轮心 O 为速度瞬心 rad/s1 C = OC v n OCOCCO aaaa+= 2 C rad/s8 75 600 /=OCa n POPOOP aaaa+= 2 O POPx m/s725 . 0 075 . 0 8 . 0=aaa 所以 2 PxA m/s725 . 0 = aa 7.21 图示动齿轮 O 由曲柄O O 带动在定齿轮 O 上滚动已知曲柄的角速度为计 算齿轮相对曲柄的角速度 解方法一= )( 21O rrv= ) 1/(/ 212O rrrv a 齿轮 O 动系O O 杆 era += =)/()( 21ar rr 方法二齿轮 O 瞬心位于 O 连线外侧因此因此 r 必与=e反向由 er/ =OCCO得 =)/( 21r rr 7.22 图示行星齿轮系中轮I固定轮II由曲柄 AB 带动轮III又由轮II带动已知曲 柄的角速度为角加速度为零求轮III相对曲柄 AB 的角速度和角加速度设轮II轮III 半径相同 解设轮?半径为r则rAB2= = rvB2=2/ B2 rv =rrv42 2P =4/ P3 rv 轮?动系杆 era += =34 r 03=& rr 7.23 图示传速器由以下齿轮组成半径cm40 1= r的定齿轮半径各为cm20 2 =r和 cm30 3 =r的相连的行星齿轮以及半径cm90 4 =r的内啮合齿轮主动轴转速 min/ r1800 1= n带动行星齿轮在定齿轮上滚动并通过内啮合齿轮使从动轴转动试求 从动轴每分钟的转速 2 n 解A 点作圆周运动 a21A )(nrrv+= 齿轮 2 在定齿轮 1 上纯滚动rvA/ 2 =齿轮 3 与齿轮 2 有相同角速度 23 = 基点 BAAB vvv+= b4n r 33 r a232133AB )/1)(nrrrrrvv+=+= rpm3000/)/1)(/ 4a23214b =+=rnrrrrrvn B rpm转数分 7.25 图示杆 OA 以匀角速度=e逆时针转动圆盘 B 以=4 r 的匀角速度相对 杆 OA 作顺时针纯滚动圆盘半径为r3r=OP求圆盘中心 B 的速度 解方法一因 r 与 e 反向圆盘的瞬心在连 线外侧 由 er /=CPCO可得rCP = 圆盘动系杆 era +=+=3 a =rrv232 aB 方法二基点 BPPB vvv+= Q=rrv33 eP =rrv3 aBP =+=rvvv23)( 2/12 BP 2 PB 方法三动系杆 era vvv+= Q=rrv4 rr =rrv1010 ee =+=rvvvvv23)cos2( 2/1 er 2 e 2 ra 7.26 图示杆 OA 以匀角速度=e逆时针转动圆盘 B 以=4 r 的匀角速度相对 杆 OA 作顺时针纯滚动圆盘半径为r3r=OP试求圆盘与杆 OA 的接触点 P 的加速 度 解圆盘上动系杆 kr n eeP aaaaa+= e r3 2 3 e r 2 r rQ0= r v x 2n exP 3 = raa y 222 reyP 13)4(3=+=+= rrraaa 7.27 图中直杆 AB 表示齿条圆轮 O 表示齿轮当齿条的一端运动时带动半径为 cm5的齿轮绕轴 O 转动今设 A 端以cm/s30的速度向右匀速运动求图示位置齿条 AB 及齿轮 O 的角速度和角加速度 解AB杆 瞬 心 为点rad/s3/ AB =PAvA ABC = PCv rad/s3/ ABCO =COv 矢 量 法圆 盘动 系杆 ABrO += rad/s6 r = ABrO += ABOr += 圆盘上动系杆 kerO aaaa+= 杆上 O 基点 n OAOAAe aaaa+= 由于0 O =a0 A =a由以上二式得 0 k n OAOAr =+ aaaa r r AB OA 2 AB OA rAB 2v rr = rv x 060cos30cos k n OAOA =+ aaa oo2 AB rad/s39= y 060sin30sin n OAOA = oo aaar 2 O rad/s39= 分 析 法设为 广 义 坐 标)2/(ctg = rxA将 上 式 求 导得 2/)2/(csc2=&rvA 可导出rad/s3|/ )2/(sin2 60 2 A = = o &rv 2 60 A rad/s39|/sin= = o & &rv 因为为杆瞬心=cos/ AAC vPAPCvv 则有rad/s3|/cos/ 60 ACO = = o rvrv 2 60 AO rad/s39|/sin= = o & r v 7.28 一机构在图示位置时OBOA 点 C 位于 AB 的中点已知rOA= rAB4=求当杆 OA 以匀角速度转动时杆 CD 的速度和加速度 解杆瞬时平动 AC vv= 0 AB = 基点 n BABA n AB aaaa+= 0 n BA =a y+= cos0 BA n A aa15/4/ 2 BAAB = ra 杆上动系杆 era vvv+=15/ CD rv= kera aaaa+=0 k =a 杆上 C 基点 n CACA n Ae aaaa+= 0 n CA =a 导出 += CA n Ara aaaa x CA n A aaa=coscos CD 15 AB /rrra 22 CD 7cos/2= 7.29 套筒 C 上装有一销轴可在半径为 1m 的圆槽内滑动当滑块 A 以匀速 m/s5 . 0=v向右上方运动而杆 DA 以匀角速度2rad/s= & 转动时求图示瞬时套筒 C 在杆 AD 上滑动的速度和加速度图示位置 o 90= 解动系杆 era vvv+= 1 ker n aa aaaaa+=+ 2 杆 C 点基点 CAAe vvv+= 3 n CACAae aaaa+= 4 由13得 CAAra vvvv+= & AC CA v m/s8= a vm/s4 r =v 由24得 k n CAr n aa aaaaa+=+ 1/ 2 a v 2 & AC r 2 v & y ooo 30sin30cos30cos k n CAr n aaaaa= m/s 6 . 5330tg30cos/ k n CA n r = oo aaaa a 7.30 图示一机构在某瞬时的位置此时=OA0 OA = lvCD0 CD =a 求杆 AB 的角速度和角加速度 解动系杆 era vvv+= 1 kera aaaa+=0 a =a2 杆上 P 点基点 APAe vvv+=3 n PAPA n ae aaaa+= 4 由13得 PAera vvvv+= CD v OA l AB 2 l x PAAa 45cos45cosvvv+= oo =+=lvllv2/ )(2/ CDOAPAAB y oo 45cos45cos Ara vvv=lv2 r 由24得0 k n PAPA n Ar =+ aaaaa 2 OA l AB 2 l 2 AB 2 l rAB 2v x 045cos kPA n A =+ aaa o 222 PAAB 5 . 222/2/= lllla 7.31 两个半径为cm20=r中心距离保持不变的圆盘在地面作纯滚动在其边缘 B D 处铰接的连杆 BD 上安装一滑块 C杆 AC 一端与滑块铰接另一端与一圆盘的中心 A 铰接若 A 以cm/s60 A =v匀速水平向左运动求图示位置杆 AC 的角速度和滑块 C 相对 BD 的速度以及杆 AC 的角加速度 解矢量法圆盘rad/s3/ AA =rv 0/ AA =ra 基点 BAAB vvv+=1 n BABAAB aaaa+= 0 A =a0 BA = a 2 C基点 CAAC vvv+= 3 n CACAAC aaaa+= 0 A =a 4 C动系 BD erC vvv+= Be vv = 5 erC aaa+= Be aa = 6 由135得 CAABAAr vvvvv+=+ y oo 30cos30sin CABA vv=rad/s13/ CAAC =rv x oo 30sin30cos CABAr vv-v=cm/s320 r =v 由246得 n CACA n BAr aaaa+=+ y ooo 30sin30cos30cos n CACABA aaan= 2 CAAC rad/s3/383/= ra 分析法取为坐标存在约束方程 =cossin3rr 高丽营 对上式连续求导得 = & &sincos3 = & & & &sincossin3cos3 22 将 o 30=rad/