高中数学 2.2.2反证法课件 新人教A版选修12.ppt

第二章推理与证明 2 2 2反证法 栏目链接 用反证法证明否定性命题 设 an bn 分别是公比为p q p q r 且p q 的两个等比数列 如果cn an bn 证明数列 cn 不可能是等比数列 分析 因为结论是否定的 所以用反证法证明 证明 假设 cn 是等比数列 则c c1c3 即 a1p b1q 2 a1 b1 a1p2 b1q2 展开并整理得a1b1 p q 2 0 由于a1 b1是等比数列中的项 所以a1 0 b1 0 那么p q 这与已知条件矛盾 所以 数列 cn 不可能是等比数列 点评 本题很好地体现了反证法证明否定性数学命题的巨大作用 同时也十分清晰地展示了反证法的证明步骤 变式训练1 如图 设sa sb是圆锥so的两条母线 o是底面圆心 c是sb上一点 求证 ac与平面sob不垂直 证明 假设ac 平面sob 直线so在平面sob中 so ac so 底面圆o so ab 又ab ac a so 平面sab 平面sab 底面圆o 这显然出现矛盾 假设不成立 即ac与平面sob不垂直 栏目链接 用反证法证明 至少 至多 问题 栏目链接 证明 假设a b c都不大于0 即a 0 b 0 c 0 则a b c 0 而a b c x 1 2 y 2 2 z 1 2 3 3 0 即a b c 0 与假设矛盾 所以a b c中至少有一个大于0 点评 采用反证法证明结论中至少或至多形式时 可以使得推证方向明确 推证过程清晰 有利于问题的整体解决 栏目链接 变式训练2 已知x 0 y 0 且x y 2 试证 中至少有一个小于2 分析 如果从正面证明 需要对某一个分式小于2或两个分式都小于2等进行分类讨论 而从反面证明 则只要证明两个分式都不小于2是不可能的 于是考虑采用反证法 栏目链接 栏目链接 用反证法证明唯一性命题 栏目链接 栏目链接 变式训练3 求证 方程2x 3有且只有一个根 证明 2x 3 x log23 这说明方程至少有一个根 下面用反证法证明方程2x 3的根是唯一的 假设方程2x 3有两个根x1 x2 x1 x2 则2x1 3 2x2 3 两式相除得 2x1 x2 1 如果x1 x2 0 则2x1 x2 1 这与2x1 x2 1相矛盾 如果x1 x2 0 则2x1 x2 1 这也与2x1 x2 1相矛盾 因此 x1 x2 0 即x1 x2 这与x1 x2矛盾 所以方程2x 3有且只有一个根 栏目链接 当正面入手较困难时宜用反证法 已知a b c 0 ab bc ac 0 abc 0 求证 a 0 b 0 c 0 证明 假设a b c不全是正数 即至少有一个小于或等于0 又abc 0 不妨假设a 0 则bc 0 b c a 0 a b c 0 a b c 0 又bc 0 ab bc ac 0 这与已知相矛盾 假设不成立 故a 0 b 0 c 0 栏目链接 点评 当一些问题直接证明比较难时 可以考虑用反证法 它是从否定结论出发 利用已知 公理 定理 性质等 进行推理 直至产生矛盾 与已知 假设或明显成立的事实相矛盾 或自相矛盾 栏目链接 变式训练4 若a3 b3 2 求证 a b 2 分析 本题若直接证明 难度较大 而本题结论的反面更简单 所以宜用反证法 证法一假