高中数学建模教学研究.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果 尽我所知 除了文中特别加以标注和 致谢的地方外 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果 也不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示感谢 签名乔印桕日期 2 0 1 2 年士月 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留 使用学 位论文的规定 内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和磁盘 允许论文被查阅和借阅 可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影 印 缩印或扫描等复制手段保存 汇编学位论文 并且本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致 保密的学位论文在解密后也遵守此规定 签名 李弓猫枸导师签名 乞咿绷期 秒f 砂年产月钐日 内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 数学具有广泛的应用性 这是数学的基本特征之一 生产和科技的 高速发展 为数学的应用提供了广阔的前景 应用数学的素质和能力已 经成为人们必须具备的基本素质和基本能力之一 因此 数学建模越来 越受到人们的重视并且成为数学和其它相关学科广为关注的重要课题之 一 由于我国基础教育在应用方面不足 学生的应用能力较为薄弱 所 以对数学建模更加重视 本文通过对数学建模教学的基本理论 产生的 历史背景以及国内外开展数学建模教学情况 阐明在高中阶段开展数学 建模教学研究的必要性 提出数学建模教学的实施策略并给出了开展数 学建模教学的课例 将问题分类 研究数学建模在高中数学教学中的应 用 本文共分五章 具体内容如下 一 导论 主要阐述了本文的研究目的 意义 国内外的研究现状 研究的方法以及创新之处 二 数学建模相关内容概述 首先 对相关概念进行界定 其次 从理论方面研究了数学建模的基本方法与步骤 再次 通过数学建模教 学 从不同侧面培养学生的各种能力 三 高中数学建模教学实施策略与案例分析 基于第二章的相关理 论以及问卷调查 总结了三点关于高中数学建模教学的实施策略 并设 计了两个教学案例 四 数学建模在高中数学教学中的应用 在新课标的理念下 对数 内蒙古师范大学硕士学位论文 学模型进行分类 将数学建模思想渗透到函数 方程 不等式 数列 三角 线性规划 概率与统计等内容的教学中 五 结束语 通过对高中数学建模教学的研究 得到以下几点启示 第一 新课改背景下 应积极鼓励教师在数学课堂中实施数学建模 教学 而高中数学建模教学的顺利开展 必须依靠明确的教学目标 严 谨的教学原则 严密的教学环节和科学的教学策略 第二 数学课程改革应着力加强数学教学的应用性 重视数学与实 际生活的联系 将数学建模思想渗透到函数 方程 不等式 统计与概 率等内容的教学中 促进学生逐步形成和发展数学应用意识 提高实践 能力 关键词 高中数学 数学模型 数学建模教学 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t m a t h e m a t i c sh a saw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n s t h i si so n eo ft h eb a s i c f e a t u r e so fm a t h e m a t i c s t h er a p i dd e v e l o p m e n to f p r o d u c t i o na n dt e c h n o l o g y f o rt h ea p p l i c a t i o no fm a t h e m a t i c st op r o v i d eab r o a dp r o s p e c t t h eq u a l i t y a n dc a p a c i t yo fa p p l i e dm a t h e m a t i c sh a sb e c o m eo n eo ft h ep e o p l em u s th a v e t h eb a s i cq u a l i t i e sa n db a s i ca b i l i t i e s t h e r e f o r e m a t h e m a t i c a lm o d e l i n gm o r e a n dm o r ea t t e n t i o nh a sb e e np a i da n db e c a m eo n eo ft h ei m p o r t a n tt o p i c so f m a t h e m a t i c sa n do t h e rr e l a t e dd i s c i p l i n e s e x t e n s i v ep u b l i ca t t e n t i o n a s c h i n a sb a s i ce d u c a t i o ni nt h ea p p l i c a t i o n s t h ea b i l i t yo fs t u d e n t si sr e l a t i v e l y w e a k s op a ym o r ea t t e n t i o nt om a t h e m a t i c a lm o d e l i n g i nt h i sp a p e r t h e b a s i ct h e o r yo nt h et e a c h i n go fm a t h e m a t i c a lm o d e l i n g t h eh i s t o r i c a l b a c k g r o u n da s w e l la sa th o m ea n da b r o a dt oc a r r yo u tm a t h e m a t i c a l m o d e l i n gt e a c h i n gs i t u a t i o n t oc l a r i f yt h en e e df o rt e a c h i n ga n dr e s e a r c hi n m a t h e m a t i c a lm o d e l i n gi nh i g hs c h 0 0 1 t h ei m p l e m e n t a t i o no ft h ep r o p o s e d m a t h e m a t i c a lm o d e l i n gt e a c h i n gs t r a t e g i e sa n dt oc a r r yo u tt h et e a c h i n go f m a t h e m a t i c a l m o d e l i n g l e s s o n p r o b l e mt os t u d yt h ea p p l i c a t i o no f m a t h e m a t i c a lm o d e l i n gi nh i g hs c h o o lm a t h e m a t i c st e a c h i n g t h e r ea r ef i v ep a n si n c l u d e di nt h i st h e s i s c h a p t e ro n e i n t r o d u c t i o n i nt h i sp a r t t h ea u t h o ri n t r o d u c e st h ea i m a n d m e a n i n g so ft h i st o p i c t h eo n g o i n gr e s u l t sa n di n n o v a t i o no f t h i sr e s e a r c h h o m ea n da b r o a d c h a p t e rt w o o v e r v i e wo fm a t h e m a t i c a lm o d e l i n g f i r s t d e f i n et h e 内蒙古师范大学硕士学位论文 一 一 r e l e v a n t c o n c e p t s s e c o n d r e s e a r c h f r o mt h et h e o r e t i c a l a s p e c t s o f m a t h e m a t i c a lm o d e l i n gm e t h o d sa n dp r o c e d u r e s a g a i n f r o md i f f e r e n ts i d e s 一 一一一一 一一 t h es t u d e n t so fm a t h e m a t i c a lm o d e l i n gt e a c h i n g c h a p t e rt h r e e h i g hs c h o o lm a t h e m a t i c a lm o d e l i n gt e a c h i n gs t r a t e g i e s a n dc a s es t u d i e s s u m m a r i z e st h et h r e ei m p l e m e n t a t i o ns t r a t e g i e so nt h e t e a c h i n go fh i g hs c h o o lm a t h e m a t i c a lm o d e l i n gb a s e do nt h es e c o n dc h a p t e r o fr e l e v a n tt h e o r ya n ds u r v e ya n dd e s i g no ft h et w ot e a c h i n gc a s e s c h a p t e r f o u r m a t h e m a t i c a l m o d e l i n g i n h i g h s c h o o lm a t h e m a t i c s t e a c h i n g m a t h e m a t i c a lm o d e lt oc l a s s i f yt h ec o n c e p to ft h en e wc u r r i c u l u m t op e n e t r a t ei n t ot h ei d e ao fm a t h e m a t i c a lm o d e l i n gi nt h et e a c h i n go f f u n c t i o n s e q u a t i o n s i n e q u a l i t i e s s e r i e s t r i g o n o m e t r y l i n e a rp r o g r a m m i n g p r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c sa n d o t h e rc o n t e n t c h a p t e rf i v e c o n c l u d i n g r e m a r k s t h e t e a c h i n g o f h i g h s c h o o l m a t h e m a t i c a lm o d e l i n g a sf o l l o w i n g f i r s t l y t h ec o n t e x to ft h en e wc u r r i c u l u m s h o u l da c t i v e l ye n c o u r a g e t e a c h e r st oi m p l e m e n t a t i o no ft h em a t h e m a t i c a lm o d e l i n gi nt h em a t h e m a t i c s c l a s s r o o mt e a c h i n g w h i l et h es m o o t hd e v e l o p m e n to ft h et e a c h i n go fh i g h s c h o o lm a t h e m a t i c a lm o d e l i n g w em u s tr e l yo nt h ec l e a rt e a c h i n go b j e c t i v e s r i g o r o u s t e a c h i n gp r i n c i p l e s r i g o r o u st e a c h i n g a n ds c i e n c e t e a c h i n g s t r a t e g i e s s e c o n d l y t h er e f o r mo ft h em a t h e m a t i c sc u r r i c u l u ms h o u l df o c u so n s t r e n g t h e n i n g t h e a p p l i c a t i o n o fm a t h e m a t i c s t e a c h i n g e m p h a s i s o n 内蒙古师范大学硕士学位论文 一 m a t h e m a t i c sa n dr e a ll i f ec o n t a c t t h ei d e ao fm a t h e m a t i c a l m o d e l i n gt o p e n e t r a t ei n t ot h et e a c h i n go ff u n c t i o n s e q u a t i o n s i n e q u a l i t i e s s t a t i s t i c sa n d p r o b a b i l i t yc o n t e n t a n dp r o m o t et h es t u d e n t sg r a d u a l l yf o r m e da n dd e v e l o p e d t h em a t h e m a t i c a la p p l i c a t i o na w a r e n e s s i m p r o v ep r a c t i c a la b i l i t y k e yw o r d s t h e h i g hs c h o o lm a t h e m a t i c s m a t h e m a t i c a lm o d e l t e a c h i n g m a t h e m a t i c a lm o d e l i n g 内蒙古师范大学硕士学位论文 目录 第1 章导论 1 1 1 研究目的和意义 1 1 2 国内外研究现状 3 1 2 1 国内研究情况 3 1 2 2 国外研究情况 4 1 3 研究方法 5 1 3 1 文献研究法 5 1 3 2 案例分析法 5 1 4 创新之处 5 第2 章数学建模相关内容概述 6 2 1 相关概念界定 6 2 1 1 数学模型 6 2 1 2 数学建模 7 2 2 数学建模的理论依据 8 2 2 1 数学建模的基本方法 8 2 2 2 数学建模的基本步骤 1 0 2 3 数学建模与能力培养 1 1 第3 章高中数学建模教学实施策略与案例分析 1 3 3 1 高中数学建模教学的基本知识 1 3 内蒙古师范大学硕士学位论文 3 1 1 高中数学建模教学的阶段性 1 3 3 1 2 建模教学的目标及原则 1 5 3 2 高中数学建模教学的实施策略 1 8 3 2 1 结合课堂教学 适当切入数学建模 1 8 3 2 2 从生活中的数学问题出发 激发学生数学建模的热情 1 9 3 2 3 开展研究性学习 培养学生主动建构数学模型的能力 2 0 3 3 高中数学建模教学案例分析 2 1 3 3 1 等差数列前 z 项和教学设计 2 1 3 3 2 案例 优化问题的教学 2 5 第4 章数学建模在高中数学教学中的应用 2 9 4 1 构造函数模型解决实际问题 2 9 4 2 构造方程或不等式模型解决实际问题 3 0 4 3 构造数列模型解决实际问题 31 4 4 构造三角模型解决实际问题 j 3 3 4 5 构造线性规划模型解决实际问题 3 5 4 6 构造统计与概率模型解决实际问题 3 6 第5 章结束语 3 9 参考文献 4 0 致谢 4 2 第1 章导论 1 1 研究目的和意义 第1 章导论 数学建模 m a t h e m a t i c a lm o d e l i n g 是近些年随着计算机的普及而谈论的比 较多的话题之一 用数学方法解决实际问题 定量分析的方法是必不可少的 而 数学建模是处在数学向技术转化的中心环节上 在数学产生 发展的历史长河中 人们通过建立数学模型解决一些需要数量规律的现实问题 并获得巨大的成功 是不乏先例的 数学模型 就是在解决实际问题中用数学方法 数学语言近似的刻画 同时 要给出数学表达式 应用数学模型不仅可以定量地描述或研究事物的本质 还可 以定性的研究事物的本质 从而使其数量化 精确化 这正是现代科技发展的重 要特征之一 数学建模这个词的出现是近三十年的事情 但数学建模本身并不是新鲜事 物 在某种意义上说 自从用数学解决现实生活中的实际问题开始 就有了数学 建模过程 进行数学建模教育是高中数学日常教学的一项内容 通过数学建模教 育 提高学生的洞察力 想象力等 逐步养成抓住问题本质的习惯 为今后的学 习与工作打下夯实的基础 在教学中 应注重学生在实际背景中理解基本的数量 关系和变化规律 注重学生经历从实际问题中建立数学模型的正确性与合理性的 过程 在高中阶段研究数学建模的问题是非常重要的 也是十分必要的 数学建模 教育的进行 逐渐成为高中数学日常教学的一项常规内容 在高中的日常数学教 学中 教师在课堂中应当逐步渗透数学建模思想 同时还应通过建模实例不断去 充实教学内容 使学生体验从现实生活中的实际问题到抽象简化成数学问题的过 程 促使学生渐渐地学会用数学的眼光来看待周围的实际问题 用数学的思维来 分析身边的事物 更重要的是 在近几年的高考试题中 实际应用题较前几年有 中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准 实验 m 北京 北京师范大学出版社 2 0 0 4 2 3 内蒙古师范大学硕士学位论文 所增加 这些建模试题更接近生活 有很强的灵活性 高中数学建模是为了解决社会或生活中的实际问题 并使用中学数学知识对 简化的关系或规律用数学符号 式子以及数量关系进行描述 从而求出模型结果 并与实际比较 若不符合实际 修改模型 直至符合实际为止的全过程 由于高 中学生的数学知识有限 所以数学建模的题目不能太难 否则 会影响学生学习 数学建模的热情 也会影响学习数学的兴趣 新课程标准中虽然没有对展开数学 建模活动的次数 时间和具体内容做统一的规定 但是提出了六个要求 分别 是 1 在数学建模中 问题是关键 问题应来自于学生的日常生活 现实世 界 其他学科等多方面 同时 解决问题所涉及的知识 思想 方法应该与高中 数学课程内容有联系 2 通过数学建模 学生将了解和经历上述框图所表示的解决实际问题的 全过程 体验数学与日常生活及其他学科的联系 感受数学的实用价值 增强应 用意识 提高实践能力 3 每一个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题 对同样的问题 可以发挥自己的特长和个性 从不同的角度 层次探索解决的办法 从而获得综 合运用知识和方法解决实际问题的经验 发展创新意识 4 学生在发现和解决问题的过程中 应学会通过查询资料等手段获取信 息 5 学生在数学建模中应采取各种合作方式解决问题 养成与人交流的习 惯 并获得良好的情感体验 6 高中阶段至少应为学生安排一次数学建模活动 还应将课内与课外有 机地结合 把数学建模活动与综合实践活动有机地结合起来 在如今这个以知识的创新和应用为重要特征的知识经济时代 竞争日益激 烈 个人数学素质的高低是衡量他的能力的重要因素 而数学建模的学习对于提 刘冬梅 大学生数学建模竞赛与教学策略研究 d 山东师范大学 2 0 0 8 1 2 2 第1 章导论 高学生的数学素质有重要的作用 首先 数学建模教学有利于培养学生发现问题 解决问题的意识 数学建模中要求学生能够根据实际问题的背景对问题做出合理 假设 其次 数学建模教学有利于培养学生的观察力 抽象能力 数学建模教学 过程中要求学生能在分析实际问题情境 做出合理假设后抽象出数学模型 再次 数学建模教学能强化学生的数学应用意识 增强学生数学研究能力 最后 数学 建模教学能够培养学生自立能力和合作精神 1 2 国内外研究现状 1 2 1 国内研究情况 当今世晃 随着科学技术的飞速发展和时代的进步 人们逐渐认识到一个人 的综合素质的重要方面之一就是所谓的数学素质 而一个人数学素质高低的重要 标志之一就是学会数学模型的建立和运用 数学建模课程在上世纪8 0 年代初引 入到我国的部分高校 在这三十多年中 数学建模在我国得到了非常迅速的发展 其影响也很大 我国首届大学生数学建模联赛是中国工业与应用数学学会于1 9 9 2 年举行的 从那以后 数学建模活动形成的一股热潮也迅速波及到了全国各地的 中学 在我国 中学真正开展数学建模是上世纪6 0 年代开始的 我国著名数学家 华罗庚和一批同时代的教育家 数学家 把数学建模思想逐渐渗透到中学数学竞 赛中 同时 还通过开展数学讲座向中学生介绍数学建模思想 不过 数学建模 这个词在当时还没有被使用 贯彻数学建模的思想在1 9 7 8 年全国数学竞赛试题 中得到充分的体现 北京数学会等五家单位在上世纪九十年代末组织了 中学数 学知识应用竞赛 的科普活动 通过查阅历年高考试卷不难发现 在近几年的数 学高考题目中 与数学建模相关的应用题有逐年增加的趋势 此外 在全国各省 市的各类数学竞赛中 数学建模的题目也有逐年增加的势头 在中国优秀硕士学位论文全文数据库中 以 题名 为检索项 以 数学建 模 为检索词 检索出2 篇关于数学建模的优秀硕士学位论文 如表卜l 内蒙古师范大学硕士学位论文 表卜1 学位论文关于数形结合的研究 文章题目篇数学位发表时间 年 学校 新课标下初中数学建模教学设计与实践 1 硕士 2 0 1 1 山东师范大学 高中数学建模教学设计与实践 1 硕士 2 0 1 1 山东师范大学 总计 2 在这2 篇硕士论文中 主要研究了数学建模教学的设计与实践 1 2 2 国外研究情况 数学建模教学在国外许多国家的数学教育界中 是谈论比较多的一个话题 同时 数学建模在国际 国内的各类数学大会 数学竞赛中占有非常重要的地位 二十世纪七十年代末 英国剑桥大学设置了数学建模课程 但只对研究生开设 与此同时 一些西方发达国家纷纷效仿将数学建模列为研究生课程 随后 英国 美国 瑞典 加拿大 德国等国家陆续在其数学课程方面要求数学学习与其他学 科以及社会生活相联系 注重培养学生的数学应用能力 由此 数学建模被作为 培养数学能力的重要方法之一被推上历史舞台 第一届 数学建模和应用的教学国际会议 是1 9 8 3 年在英国召 二f 的 在这 次会议上 人们有了一个一致的认识 就是认为数学建模课程在高中的开设是十 分必要的 在第四次会议上 人们认为数学模型和数学建模的广泛应用在数学教 学的理论和实践中 具有决定性意义 由此得知 数学建模教学得到国外数学教 育界越来越高的重视 国外许多国家的课程标准中都强调 问题解决和数学应用 数学教育指导 性文件 考克罗夫特报告 在英国于1 9 8 2 年下发 文件中 强调数学的应用性 是该文件的一个核心思想 同时 该报告建议数学工作者应该尽自己最大的努力 把所学的数学定义帮助学生理解好 而且 还应教会学生在解决实际问题时运用 所学的知识 把重点放在问题解决上 是日本教育界普遍认可的一种观点 从 上世纪6 0 年代开始 荷兰数学课程的一个非常鲜明的特点就是 重视问题解决 根据现实数学思想编写的课本几乎成了当地大部分的中小学使用的课本 旨在培 养学生用数学的意识 数学的思想 数学的方法去分析问题和解决问题 4 第1 章导论 1 3 研究方法 1 3 1 文献研究法 在确定这个题目开始 就着手搜集有关数学建模方面的专著和相关的论文资 料 在进行了仔细的阅读之后 基于建模教学的基本理论展开研究 1 3 2 案例分析法 基于普通高中数学课程标准的要求 在相关理论的指导下 给出高中中数学 建模的教学设计方案 最后 依据给出的方案进行案例设计并具体实施 然后通 过课例评析 对实施的效果做出总结与反思 1 4 创新之处 将问题进行分类 从构造函数 方程 不等式 数列 三角 排列组合 线 性规划等模型 研究高中数学建模在教学中的应用 内蒙古师范大学硕士学位论文 第2 章数学建模相关内容概述 2 1 相关概念界定 2 1 1 数学模型 要开展本课题研究 首先要清楚两个概念 数学模型和数学建模 数学建模 是本课题研究的核心内容 在这一部分中 笔者将明确界定什么是数学建模和数 学模型 在初中数学教材中学生已经遇到过简单的数学模型 老师当时为了教会学生 知识 而将许多问题理想化了 例如 大家也许遇到过 航行问题 例1 甲河与乙河两河间隔4 0 0 k m 有一艘船从乙河到甲河逆水航行要经过 4 0 h 而从甲河到乙河顺水航行需1 0 h 求 水流速度是多少 船速又是多少 解析 设船速为x 水流速度为y 根据题意得 抖y 4 0 0 解得 p 2 5 1 4 0 z 一少 4 0 0 y 1 5 实际上 这组数学表达式 数学方程 就是上述应用题的数学模型 根据 题意 列出相应的数学表达式 数学方程 将实际问题转化为数学问题 方程 的解即为所求 我们在现实生活中遇到的实际问题的数学模型往往都比较复杂 而且大多是 变化着的 但是 我们在解应用题的过程中就已经将数学模型的基本内容包含进 去了 通常我们要做一些合理的假设 如 航行中水和船都是匀速行驶 所求的 未知量经常用字母表示 如 z 代表船速 y 代表水流速度 利用公式列出等式 求出数学上的解答 这一过程 还需用实际现象来验证我们所得到的数学结果 6 第3 章高中数学建模教学实施策略与案例分析 2 1 2 数学建模 有关数学建模的概念 不同的学者从不同的角度出发 做出了各种理解 李林认为 数学模型是把某种事物系统的主要特征 主要关系抽象出来 用 数学语言概括或近似地表述出来的一种数学结构 它是对现实世界的一个特定对 象或者一个特定目的 由特定的内在规律 做出一些必要的简化假设 运用适当 的数学工具 得到的一种数学结构 数学模型有广义和狭义之分 广义的数学 模型是指从现实原型抽象概括出来的一切数学概念 数学公式定理 数学理论体 系 方程式和算法系统均是数学模型 狭义的数学模型是指那些反映特定问题的 数学结构 叶其孝认为 模型是指人们为了某种特定的目的 而对课题原型所做的一种 在特性 结构或功能行为等方面具有某种相似关系简化的描述 数学模型是使用 数学符号 数学式子以及数量关系对实际问题的简化而得出的关系或规律的描 述 是对实际问题的主要特征 主要关系进行分析 经过抽象 概括后所得出的 数学结构 广义的数学模型是指一切数学概念 数学公式 法则 原理 各种 函数关系式 方程式及算法系统都可以成为数学模型 狭义的数学模型是指反映 特定问题或特定的具体事物的数学关系结构 张思明认为 数学建模是寻求建立数学模型的方法和过程 数学建模可以 看做问题解决的一部分 它的作用更侧重于非数学领域 但需用数学工具来解决 的问题 普通高中数学课程标准 实验 指出 数学建模是运用数学思想 方法 和知识解决实际问题的过程 已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容 虽然对数学建模的定义的观点不尽相同 但是思想是一样的 笔者认为数学 建模就是建立数学模型的过程 是指对实际问题加以提炼 抽象成为数学模型 并求出模型的解 验证模型合理性并能够用模型来解释一类实际问题的过程 现 李林 中学数学建模教与学 d 福建 福建师范大学 2 0 0 3 1 0 5 叶其孝 中学数学建模 m 长沙 湖南教育出版社 1 9 9 8 2 6 张思明 中学数学建模的实践与探索 m 北京 北京教育出版社 1 9 9 8 1 6 中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准 实验 m 北京 人民教育出版社 2 0 0 3 7 内蒙古师范大学硕士学位论文 实生活中 能够直接使用数学方法解决的实际问题并不多见 然而 对于客观世 界中的一个特定对象 从表面上看这些现象往往是杂乱无章的 而我们经常为了 某个目的 根据这些现象的现实背景 做出一些必要的合理的简化 假设等 同 时 对相关的数学工具和数学方法加以应用 从这些现象中抽象出恰当的数学结 构 数学模型 人们建立数学模型的过程称为数学建模 数学建模也就是把客 观世界中的实际问题合理的抽象简化成数学结构 数学模型的过程 2 2 数学建模的理论依据 当今世界 随着计算机的迅速普及和飞速发展 数学应用的范围越来越广 逐渐成为关系国家科技实力和经济技术的重要学科之一 也是大部分学科不可缺 少的工具之一 用数学的方法去解决现实生活中的实际问题 数学建模起着非常 重要的作用 首先 数学建模在一般工程技术领域有较强的应用 数学建模在诸 如土木 大型水坝的应用计算 如中长期天气预报 c a d 技术水利等领域中都有 较强的应用 它的普遍性和重要性不言而喻 其次 在一些新型领域中数学建模 也有用武之地 随着各学科的相互交叉 相互渗透 数学建模在一些新的领域 控制论 经济学 地质学等中得到了广泛的应用 再次 数学建模几乎成为高新 技术领域的核心成份 2 2 1 数学建模的基本方法 通常来说 建模方法一般可分为测试分析和机理分析两种 通常人们选用的 建模方法取决于人们对该实际问题的了解程度和建模要求 如果掌握了一些内部 机理的知识 模型也要求具有反映内在特征的物理意义 建模就应以机理分析为 主 如果对象的内部规律基本上不清楚 模型也不需要反映内部特性 例如仅用 于对输出作预报 就可以采用测试分析 机理分析要针对具体问题来做 不可 能有统一的方法 因而主要是通过实例研究来学习 测试分析有一套完整的数学 方法 以动态系统为主的测试分析称为系统辨识 是一门专门学科 通常我们建立一个数学模型 它至少应满足下列两个条件 1 用该数学模型所预测的事物 必须使大家全部承认是成立的 第3 章高中数学建模教学实施策略与案例分析 2 该数学模型 不仅能够说明几个特定的事实 而且能够说明更多的事实 我们知道 对于同一个现实问题 即使前提条件完全相同 用不同的数学方 法 也可以建立不同的数学模型 从而满足上述两个条件的程度也就有所不同 这就说明 在建立数学模型时 应尽可能的选择合理的 科学的 先进的数学方 法 如i 歹02 是由一个简单问题所建的不同数学模型 例2 假设有8 个人参加一个圆桌会议 其中两两握一次手 问共握多少次 手 解析 这个问题的建模并不困难 每个学生通过自己的独立探索 所掌握的 数学知识和技能 采用自身的数学思想和问题解决的策略可以建立不同的数学模 型 模型1 原问题等价于正八边形有多少条对角线和多少条边的问题 因此 由平面知识可得 共握8 坠婺翌 2 8 次手 这是初中生的数学算法模型 模型2 设a b c d e f g 日分别表示这八个人 根据题 意可以做出八阶方阵 o1 10 11 l1 从左至右依次为么 b c d e f g h 从上至下依次为么 b c d e f g 日 由于彳不可 能与自己握手 所以第一行与第一列交叉处填上0 由于a 与握过手 所以第一 行与第二列交叉处填写1 以此类推 由于8 阶方阵共有8 2 个兀素 但方阵中有8 个0 义有曲个人握手计算了2 次 得 8 2 8 2 2 8 这是高中或大学低年级的数学算法模型 以上两种算法模型都具有一般性 求刀个人两两握手的次数 由模型l 蒋 玎 半 出 1 关4 型i 2 得 0 2 z 2 1 1 1 o 1 1 o 1 内蒙古师范大学硕士学位论文 综上所述 对现实中大量的实际问题建立数学模型时 不仅要用到初等数学 知识 数学工具也是必不可少的 只有这样 在建立数学模型时 才 可以得心应 手的采用较为合理的 科学的 先进的数学方法 2 2 2 数学建模的基本步骤 生活中的实际问题往往是很复杂的 而影响它的因素也是比较多的 在一个 模型中要把这些因素都体现出来是很困难的 也是不现实的 这样的模型很难甚 至是无法建立 即使这样的模型能建立也是不可取的 因为这样的模型很复杂 很难进行数学处理和计算 数学模型所面临的实际问题是多种多样的 所用的数学方法也不同 建模的 要求与目的也不同 建立起的数学模型也不同 我们遇到问题应实事求是 具体 问题具体分析 以下大致归纳了建模的一般步骤 如图2 1 所示 模型准备 模型假设 模型建立 模型求解 模型分析 争模型检验 图2 1 建模的一股步骤 数学建模的过程揭示了客观世界中现实对象和数学模型的关系 一方面 数 学模型是对客观世界的现实反映 根据现实问题的内在规律 进行合理的必要的 简化和抽象 再应用适当的数学方法 数学工具 把现实问题抽象成一种数学结 构 另一方面 只有当数学建模的结果经受住客观世界中现实对象的检验时 才 能对客观世界中现实对象有更深刻 更全面的认识 接下来我们将通过求解一道应用题的过程来简单说明数学建模的步骤 例3 孙子算经 中记载了这样一个问题 今有雉兔同笼 上有三十五 头 下有九十四足 问雉兔各几何 解析 这个问题用现在的文字表述即为 有若干只兔和鸡在同一个笼子里 从下面数 有9 4 只脚 从上面数 有3 5 个头 问该笼子中有多少只鸡和多少只 兔 设笼中有兔y 只 有鸡x 只 根据题意得 主荔3 圳5 褊 主 第3 章高中数学建模教学实施策略与案例分析 即 笼子中有兔子1 2 只 有鸡2 3 只 将此结果代入原题进行验证 可知所求结果正确 例4 我们日常生活中用的探照灯的反射镜的轴截面大多数是抛物线的一部 分 它的光源在抛物线的焦点的位置 如果给出的条件是灯口源的直径是6 0 c m 灯的深度为4 0 c m 求探照灯反射镜轴截面所在抛物线的方程以及焦点所处位置 解析 先确定如何建立直角坐标系 直角坐标系建立的不同会影响解题的效 率 因此我们选最简单的方法建立 以顶点处作为坐标原点建立 设抛物线的标准方程为y2 2 p x p 0 由已知条件可得a 的坐标 4 0 3 0 代入方程得 p 1 1 2 5 所求抛物线方程为y 2 1 1 2 5 x 由此可得 数学建模的一般步骤为 1 根据问题的背景和建模的目的 要求做出必要的 合理的 简化的假设 本题隐含假设鸡兔是正常的 2 所要求的未知量通常用字母来表示 3 根据自己所掌握的数学知识 数学方法 列出正确的数学表达式 4 求出数学式子的解答 5 检验所得结果是否正确 2 3 数学建模与能力培养 在高中数学教学中融入数学建模 能够扩大学生的知识面 从不同侧面提高 学生的想象力 观察力等 培养学生运用所学知识 数学方法 数学工具等分析 解决问题的能力 即 数学建模的能力 具体地讲 数学建模有利于培养学生 以下几个方面的能力 1 丰富灵活的想象能力 数学建模解决的问题往往需要多学科的知识和多 种不同的方法 因此 需要我们具备丰富的想象能力 内蒙古师范大学硕士学位论文 2 抽象思维的简化能力 现实生活中的实际问题往往都是很复杂的 数学 建模过程就是把现实生活中的实际问题进行合理的抽象 必要的简化将其转化为 数学问题 因此 这种抽象思维的简化能力是必不可少的 数学建模的学习和训 练有利于培养学生的这种能力 3 敏锐的洞察力 这种能力对于建模是非常重要的 但需要经过艰苦的 长期的经验积累和有针对性地训练 4 发散思维的联想能力 发散思维是发明创造的一个有力武器 在数学建 模的过程中 通过某些关键信息展开联想 这是一种 由此及彼 由彼及此 的 能力 5 学以致用的应用能力 学以致用是2 1 世纪高素质应用型人才所具备的一 种素质 一个人所掌握的知识总是有限的 但解决实际问题所需要的知识相对是 无限的 因此 我们必须具备学以致用的应用能力 数学建模是培养我们这种能 力的一种有效途径 6 抓住问题本质的能力 数学建模的问题所给条件和数据往往不是恰到好 处 有时也可能是杂乱无章的 这就要求我们具备一种会抓问题本质的判断能力 充分利用已知信息 寻找突破口 来解决问题 7 科技论文的写作能力 论文的写作能力是数学建模的基本技能之一 也 是科技人才的基本能力之一 是表达我们所做工作的方式之一 8 团结协作的攻关能力 数学建模都是以小组为单位开展工作的 体现的 是团队精神 培养的是团结协作的能力 也是未来科研工作所必备的能力 不具 备这种能力的人则很难有所成就 第3 章高中数学建模教学实施策略与案例分析 第3 章高中数学建模教学实施策略与案例分析 随着计算机的迅速普及和飞速发展 用数学的方法去解决现实生活中的实际 问题 数学建模起着非常重要的作用 数学建模在现实世界中的重要意义主要体 现在 首先 数学建模在一般工程技术领域有较强的应用 其次 数学建模在诸 如土木 大型水坝的应用计算 中长期天气预报 c a d 技术水利等领域中都有 较强的应用 再次 数学建模在一些新型领域中也有用武之地 如 在控制论 经济学 地质学等领域中都有广泛的应用 最后 数学建模几乎成为高新技术领 域的核心成份 3 1 高中数学建模教学的基本知识 普通高中数学课程标准积极鼓励在数学教学的课堂中向学生开展建模教学 随着新课程改革的深入 新教材呈现的问题将数学学习与现实生活联系起来 改 变了以往学生学了许多数学知识后 却不会应用或无法应用的局面 数学来源于 生活 又应用于生活 在数学建模教学中积极培养学生的数学建模能力 这是实 施素质教育的有效途径 国内学者对数学建模教学的研究和推广 为教师的建模 教学提供理论帮助 3 1 1 高中数学建模教学的阶段性 在高中数学课堂上开展建模活动 对教师和学生来讲都是一个机遇 也是一 个挑战 建模活动是一个共同学习 共同进步的过程 在高中数学教学中进行数 学建模活动 教师应充分了解学生的认知能力和知识水平 否则 这一过程将很 难开展下去 所以 在开展活动之前要有充分的准备 起点要低 尽可能的让班 级大部分同学积极参与进来 因而要进行分阶段训练 高中阶段建模训练大致分 为以下三个阶段 1 简单建模阶段 高一年级可以进行简单建模阶段的训练 这一阶段的数学教学应该结合教科 书 精挑细选一些对学生来讲相对容易的实例 在教师的引导下 以简单建模为 徐斌艳 数学课程与教学论 m 杭州 浙江教育出版社 2 0 0 3 1 3 内蒙古师范大学硕士学位论文 主要目标 由学生共同展开建立数学模型的活动 培养学生运用数学建模方法的 意识 这一阶段 主要提高学生运用数学知识和解决实际问题的能力 体会数学 的价值 享受数学学习的乐趣 增强学好数学建模的信心 选取的例子要贴近生活实际并且要考虑学生的认知发展水平 涉及的专业知 识不能太多 而且要易于理解 此阶段的重点是渗透建模意识 注重培养学生的 阅读能力和数学语言的转换能力 通过师生共同讨论 寻找等量关系或函数关系 将实际问题数学化 本阶段的末尾可以通过假期的研究性学习和活动 平稳过渡 到下一阶段 例如 集合的各种运算 如交集 并集 补集的应用 各类重要 初等函数的应用 等差 等比数列的前n 项和公式的应用 这一阶段的教学应让学生学会如何将具体问题转化成数学问题 并将 艾字性 语言翻译成数学语言 结合数学知识使问题获得合理的解答 2 典型案例建模阶段 经过一年的学习 学生到了高二 所掌握的知识越来越多 用来渗透建模思 想的数学内容也越来越多 如 解析几何中各类曲线的应用 导数和微分的应用 各类坐标系与各种参数方程的应用 概率统计的应用等等 落实典型案例教学目标 让学生初步掌握常用方法 结合教科书内容 精心 挑选典型案例 有计划地让学生参与建模过程 使学生初步掌握理论分析法 类 比联想分析法 数据分析法 模拟方法和人工假设法等中学阶段适宜介绍的数学 建模方法 激发学生进一步学好数学的热情 拓宽学生视野 接触更多的社会知 识和科学知识 改变教学方式 尽量让学生独立完成 由学生汇报并写报告 使 他们能对经过提炼加工 忽略了次要因素保留下来的诸因素之间的数量关系 能 够比较清楚的构建其数学模型 这一阶段的建模活动师生要共同参与 教师要指导学生以小组为单位开展建 模活动 活动形式包括 在课堂上放映一些专家的讲座 由老师分配学生组成建 模小组或是由学生自己组成小组 各个组的人数不必太多 小组成员要相互交 流 共同完成模型建立 求解 验证的过程 最后 由小组提交完整的小论文 1 4 第3 章高中数学建模教学实施策略与案例分析 3 综合建模阶段 高二下及高三上的学生处于综合建模训练阶段 师生应组成 共同体 在 教师的点拨指导下 以建模为核心 以小组为单位展开建模活动 同时 提高学 生独立工作和相互合作的能力 师生共同讨论评定并汇总 教师在科学的思维方 法上应给予点拨和总结 通过建模训练 培养学生科学的思维方法 提高创新能 力 高三的学生知识储备相对较多 所以许多问题只是给出了问题的情境及基本 要求 这就需要学生们根据这些情况通过各种途径去收集信息 同学们集思广益 提出多种多样的解决方案 经过反复的研究讨论进而得出结论 学生可分小组或 独立进行设计建模活动 在这一过程中 让每位学生都承担一项具体任务 让他 们自己设计 讨论 在这个过程中教师只起引导作用 最后 由学生写成建模小 论文 并完成论文的答辩 在第三阶段有的课题花时较多 教学控制有一定难度 在实际操作上困难重 重 值得注意的是 这样的课题最好在高二下或高三上展开 对于有条件的学校 应积极鼓励学生使用计算机 以本人的经验 鉴于高三时间紧迫 应减少课外活 动 将重点和注意力放在考试型的建模上 坚持每周几题或每天一题 用以加强 对高考应用题的适应和训练 3 1 2 建模教学的目标及原则 数学建模课堂教学的主要目的是培养学生的建模意识 因此采用的教学模型 多数以 问题情景 建立模型 解释 应用与拓展 为基本方式 在建模 过程中 使学生初步了解建模的一般步骤 体验数学建模思想方法 从而逐步形 成良好的数学思维习